2024年高中數(shù)學(xué)新高二暑期銜接空間向量基本定理（四大題型）

復(fù)習(xí)材料

第05講空間向量基本定理

【題型歸納目錄】

題型一：基底的判斷

題型二：基底的運用

題型三：正交分解

題型四：用空間向量基本定理解決相關(guān)的幾何問題

【知識點梳理】

知識點01：空間向量基本定理及樣關(guān)概念的理解

空間向量基本定理：

如果空間中的三個向量石，萬不共面，那么對空間中的任意一個向量力，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組

(x,y,z),使得/=++其中，空間中不共面的三個向量訝，E，1組成的集合｛7，5，c｝>常稱

為空間向量的一組基底.此時，a>B，1都稱為基向量；如果/=法+防+z3，則稱耘+誣+zm為力在基

底｛,，b,/｝下的分解式.

知識點2：空間向量的正交分解

單位正交基底：如果空間的一個基底中的三個基向量兩兩垂直，且長度都為1,那么這個基底叫做單位

正交基底，常用4表示.

正交分解：把一個空間向量分解為三個兩兩垂直的向量，叫做把空間向量進行正交分解.

知識點3：用空間向量基本定理解決相關(guān)的幾何問題

用已知向量表示某一向量的三個關(guān)鍵點：

(1)用已知向量來表示某一向量，一定要結(jié)合圖形，以圖形為指導(dǎo)是解題的關(guān)鍵.

(2)要正確理解向量加法、減法與數(shù)乘運算的幾何意義，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量

的始點指向末尾向量的終點的向量.

(3)在立體幾何中三角形法則、平行四邊形法則仍然成立

【典例例題】

題型一：基底的判斷

例1.(2023?河南省直轄縣級單位?高二統(tǒng)考期末)若￡、5、1構(gòu)成空間的一組基底，則下面也能構(gòu)成空間的

一組基底的是()

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A.2"、b+c>a+b+cB.b-2c>b+c>3c

—*~?-?—?—?—?—?—?—?-?

C.a>b-c、b+cD.b+c>b-c、2b

【答案】C

【解析】對于A選項，因為a+B+c=(B+c)+；x2a,則2之、b+c>Z+B+)共面，A不滿足條件；

對于B選項，因為31=0+@-0-2@,則各一2入b+c>3工共面，B不滿足條件；

對于C選項，假設(shè)％、])二、加+2共面，則存在2、〃eR,

使得b+c=Aa+ju[b-=Aa+/jb-/de,

A=0

因為Z、b，工構(gòu)成空間的一組基底，貝IJ〃=1,該方程組無解，

-〃=1

假設(shè)不成立，故￡、%二、加+工不共面，

所以，%、b-c>否+工可以作為空間向量的一組基底，C滿足條件；

對于D選項，因為辦=0+4+04),貝立+-g二、2辦共面，D不滿足條件.

故選：C.

例2.(2023?高二校考課時練習(xí))已知日區(qū)自是空間的一組基底，則可以與向量方=￡+九1/構(gòu)成基底

的向量是()

A.aB.bC.。+2坂D.a+2c

【答案】D

【解析】p=a+b,q=q—Bp,q與共面，故A,B錯誤；

*/a+2b=—^a+b^——^a—b^=—p——q,:?。+2否與p,q共面，故C錯誤；

V｛a,b,c｝是基底，二不存在x,y使a+2c=44+6)+>("6)=(%+>"+(%—>)6成立，

二￡+2工與不共面，故￡+2)可以與p,q構(gòu)成空間的一組基底，故D正確.

故選：D.

例3.(2023?四川綿陽?高二四川省綿陽南山中學(xué)校考階段練習(xí)乂扇“｝為空間的一組基底，則下列各項中能

構(gòu)成基底的一組向量是()

A.a,萬+B,a—bB.B,a+ba—b

C.c,a+bJa—bD.a+2bfa+ba—b

【答案】C

【解析】對選項A：?=1[(a+S)+(a-ft)],向量共面，故不能構(gòu)成基底，錯誤；

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對選項B：S=1[p+ft)-(a-S)],向量共面，故不能構(gòu)成基底，錯誤；

對選項C：假設(shè))=*+可+〃"坂)，即"=(2+〃)￡+(彳-〃聲，這與題設(shè)矛盾，假設(shè)不成立，可以構(gòu)成

基底，正確；

對選項D：a+2S=|p+S)-1p-S),向量共面，故不能構(gòu)成基底，錯誤；

故選：C

例4.(2023?江蘇連云港?高二江蘇省新海高級中學(xué)校考階段練習(xí))若｛3友同是空間的一個基底，則下列各組

向量中一定能構(gòu)成空間的一個基底的是()

A.a,a+b,a-bB.a+b,a-b,a+2b

C.a+b,a+c,b-cD.c,a+b,a-b

【答案】D

【解析】對A選項，=++故三向量共面，A錯誤；

對B選項，若Q+B,Q-B,Q+2B共面，貝(Jq+B=加(4一3)+〃(4+23)，解得機故三向量共面，B錯

誤，

對C選項，a+b=(a+c)+(b-c),故三向量共面，C錯誤，

對D選項，若向量c,a+B,〃一刃共面，貝Ijl+B=4(1-3)+〃乙無解，

故向量2+3,5-3,1不共面，故D正確，

故選：D

例5.(2023?遼寧?高二校聯(lián)考期末)已知忖,瓦可是空間的一個基底，則可以與向量玩=3+2幾為=”工構(gòu)成

空間另一個基底的向量是()

A.2a+2b-cB.a+4b+cC.b-cD.a-2b-2c

【答案】C

【解析】^2a+2b-c=(a+2b)+(a-c),

a+4b+c=2(3+2b)-(a-c),

5-2ft-2c=2(a-c)一(4+23)，

所以向量2a+2辦一1，a+4b+c，)一2[—2]均與向量玩，河共面.

故選：C

題型二：基底的運用

例6.(2023?浙江麗水?高二統(tǒng)考期末)在平行六面體/BCD-44G。中，AC,BD相交于。，M為。G的中

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點，設(shè)=&，而=BAA^c,則亙7=()

A.-5+-5--CB.-a--b+-c

442442

c.--a--b+-cD.--a+-b--c

442442

【答案】C

【解析】

如圖所示，CA7=|CO+1CG=^（cs+c5）+1cc；=-^-a-^-S+1c,

故選：c

例7.（2023?江蘇鹽城?高二鹽城中學(xué)?？计谥校┰谒拿骟wO-4BC中，PA^2OP，Q是BC的中點，且M

為PQ的中點，右QA=a,OB=b，OC-cf則OM=()

I一1r1-

A4.—a+—b+—cB.—a+—b+—c

644622

1-1-1-1-1;1-

—a+—b+—cD.—a+—b+—c

32344

【答案】A

———，i—，

【解析】因為2赤=>3，所以。尸=3。/,

因為0是3c的中點，所以而=；（赤+區(qū)）,

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——?1—?—?1—?1—?1—?1―?—?11-1

因為M為尸0的中點，所以O(shè)N=X（OP+OQ）=OP+O0=：Q4+T（O8+OC）=：3+76+：3,

2;2;;2;64644

故選：A.

例8.（2023?高二課時練習(xí)）如圖，M,N分別是四面體OABC的邊OA,BC的中點，E是MN的三等分點,

且簧=；，用向量風(fēng)，幅，發(fā)表示無為（）

A.OE=-OA+OB+OCB.OE=-OA+-OB+-OC

6333

—?1—?1—?1—.—>1―?1—?1—?

C.OE=-OA+-OB+-OCD.OE=-OA+-OB+-OC

663633

【答案】D

【解析】因為翡[，所以版=3庵,

___________,1_____?2__?

所以兩_麗=3（無_函），^OE=-OM+-ON,

y_OM=^OA,ON=^（OB+OC）,

—?1―?1―?1—?

所以O(shè)E=—O4+—OB+—OC.

633

故選：D

例9.（2023?高二單元測試）在平行六面體/BC。-44GA中，設(shè)方=*AD=b，AA1=C,則以扇B,工為

基底表示BD]=（）

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A.b+c-aB.c+a-bC.a+b-cD.a-b-c

【答案】A

VL4L4UUL4LNUIULUIMLUmjlvUuUlMLUIL*x.?VIUUI||

【解析】因為BDT=BD+DD[=BA+BC+DDT=-AB+AD+AAx^-a+b+c.

故選：A.

例10.(2023?河南商丘?高二商丘市實驗中學(xué)校聯(lián)考期中)如圖，在三棱錐。-4BC中，CD=^CB,

?！?]。/,若O/=q，OB=b>OC=cj則。E=()

【答案】C

【解析】如圖:

DE=DC+CO+OE

^-BC+CO+^OA

33

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^-OA--OB--OC

333

1-12-

=—a——b7——c

333

故選：C.

例11.（2023?全國?高二專題練習(xí)）如圖所示，在平行六面體/BCD-4片G，中，"為4G與4。的交點,

右AB-a，AD-b，AAX=cf則BM=()

1-17一

C.——a——b+cD,--a+-A+c

22222222

【答案】D

【解析】由題意，因為/為4G與3&的交點，所以/也為4cl與42的中點,

因止匕蕭=而_而=;（市+前）+3=_;焉+g而+2

1-17-

=——a+—b+c.

22

故選：D.

題型三：正交分解

例12.（2023?河北邯鄲?高二統(tǒng)考期末）己知"，平面ABC,AB1AC,SA=AB=1,=，則空間的一

個單位正交基底可以為（）

A.1布,;就，樂,B.｛萬，/，通｝

C.1函/k［於｝D-西函￡數(shù)|

【答案】A

【解析】因為弘_L平面/8C,AB,NC都在面N2C內(nèi)，

所以￡4_L/8,SA±AC.

因為AB=\,BC=#,所以/C=2,又&4=1,

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所以空間的一個單位正交基底可以為1萬萬

故選：A

例13.(2023?高二課時練習(xí))已知｛工粒｝是空間的一個單位正交基底，向量方="+23+3工，,+強-瓦可是

空間的另一個基底，向量方在基底M+下的坐標(biāo)為()

AJ|，T，3)B,1|,g,3jC,D-

【答案】A

【解析】^.p=x［a+b\+y(a-b\+zc

=^x+y^a+(^x-y)b+zc=a+2b+3c,

3

x=—

x+y=l2

1

所以x-y=2,解得，y=—一

2

z=3

z=3

所以向量方在基底,+“-正｝下的坐標(biāo)為目;,31

故選：A.

例14.(2023?高二課時練習(xí))設(shè)｛口國是單位正交基底,已知2=7+］花=7+木)=兄+7,若向量方在基底

區(qū)瓦寺下的坐標(biāo)為(8,6,4),則向量方在基底｛1］屈下的坐標(biāo)是()

A.(10,12,14)B.(14,12,10)

C.(12,14,10)D.(4,3,2)

【答案】C

【解析】因為向量方在基底收石同下的坐標(biāo)為(8,6,4),所以

p=8a+6b+4c=8(i+j)+6(j+k)+4(k+i)=ni+14j+10k,所以向量力在基底｛7，］葉下的坐標(biāo)為

(12,14,10).

故選：C.

例15.(2023?福建三明?高二福建省寧化第一中學(xué)?？奸_學(xué)考試)設(shè)均是單位正交基底，已知向量力在

基底｛瓦在，司下的坐標(biāo)為(8,6,4),其中)=7+亍，b=j+k,c=k+i，則向量力在基底｛f,下的坐標(biāo)是

()

A.(10,12,14)B.(12,14,10)C.(14,12,10)D.(4,3,2)

【答案】B

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【解析】由題設(shè)知：p=Sa+6b+4c<M5=z+j,b=j+k,c=k+T>

p=8（z+j）+6（j+k）+4（k+z）=12z+14j+10^,

P在基底｛i,j,k｝下的坐標(biāo)是（12,14,10）.

故選：B

例16.（2023?浙江寧波?高二余姚中學(xué)?？计谥校┮阎蛄縝,己是空間的一個單位正交基底，向量

a+b,a-b，?+/是空間的另一個基底，若向量力在基底小b,日下的坐標(biāo)為（2,3,4）,貝lj5在1+3,

a-b>N+1下的坐標(biāo)為（）

【答案】C

【解析】可設(shè)向量1=(1,0,0),6=(0,1,0),50,0,1),由此把向量2+5,a-b，d+E分別用坐標(biāo)表示，列

方程組解出x,y,z,即可得到萬的坐標(biāo).不妨設(shè)向量3=(1,0,0),6=(0,1,0),臺程,。,1)；

則向量￡+3=(1,1,0),a-5=(l,-l,0),5+c=(1,0,1).

設(shè)/=x(a+司+y{a-b}+z(a+c)，

即(2,3,4)=x(l,l,O)+0)+z(l,0,1),

f1

x=—

x+y+z=22

x-y=3解得＜y=-

z=4

z=4

即/在2+B,a-b<@+C下的坐標(biāo)為.

故選：C.

例17.（2023?全國?高二專題練習(xí)）設(shè)｛fJ扃為空間的一個標(biāo)準(zhǔn)正交基底，浣=87+3后，n=-i+5j-4k,則

m-n等于（）

A.7B.-20C.23D.11

【答案】B

【解析】因為｛i,j,k｝為空間的一個標(biāo)準(zhǔn)正交基底，

j=i-k=jk=O,i-i=k-k=j-j=1

所以而?拓=（8i+3可｛-i+5/-4不）=

—8z?i+40z,j—32i,左一3z■,上+15）,左一12k,k——20.

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故選：B.

題型四：用空間向量基本定理解決相關(guān)的幾何問題

例18.(2023?廣東中山?高二?？茧A段練習(xí))在空間四邊形ABCD中，H,G分別是AD,CD的中點，E,F

CFAF1——

分別邊AB,BC上的點，C4=a，CB=b>DC=c

FBEB3f

(2)求證：點E,F,G,H四點共面.

［解析］(i)vF^=FC+C5+DH=-^-CB+C5+153=-^CB-5C+1(DC+C4)=|C3-1CB-15C

—?ii-i

：.FH=-a——b——c

242

⑵連接

..?8蓬分別是/。,?！?的中點，，〃6〃/。.

又??/-建

：.EF//AC,

'FBEB3

EF//HG,則E,RG,H四點共面.

例19.(2023?高二課時練習(xí))已知A,B,C三點不共線，對平面ABC外的任一點O,若點M滿足

OM=^(JJA+OB+OC).

(1)判斷血，礪，前三個向量是否共面；

(2)判斷點M是否在平面ABC內(nèi).

【解析】⑴由題知。2+歷+后=3而，

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UUUUUUUUULUUUUUL1U

?'-OA-OM=OM-OB+OM-OC

即疝=麗7+西7=-礪-而，

/.祝?，而，前共面.

⑵由(1)知，癥，施，比共面且基線過同一點

:.M,A,B,C四點共面，從而點M在平面/8C內(nèi).

例20.(2023?廣東廣州?高二廣州市真光中學(xué)校考階段練習(xí))如圖所示，已知空間四邊形ABCD的每條邊和對

角線長都等于1,點E,F,G分別是AB,AD,CD的中點.設(shè)方=￡,AC=b,AD='c.

(1)求證EGJ_AB；

(2)求異面直線AG和CE所成角的余弦值.

【解析】(1)證明：連接?！?

因為空間四邊形/BCD的每條邊和對角線長都等于1,且E,G分別是N3,CD的中點,

所以/C=3C,8O=/。，

i^CELAB,DELAB,

又因為?！昕凇！?￡,CE,OEu平面CDE,

所以,平面CDE,

因為EGu平面CDE,

所以48LEG.

(2)由題意得：！ABC).ACD,\42。均為等邊三角形且邊長為1,

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所以/G=EC=@

2-84-8-2

設(shè)異面直線AG和CE所成角為8，

2

則cos0=cosMG,EC

3

例21.（2023?高二課時練習(xí)）如圖所示，在平行六面體Z3CQ-Z4G2中，E,尸分別在5A和。，上，且

12

BE=-BBX,DF=-DDX.

⑴證明：A、E、G、尸四點共面.

=x~AB+yAD+zAAl,求x+y+z.

【解析】（1）證明：在CG上取一點G,使得CG=*G，連接EG、DG,

121

在平行六面體“BCD-43clA中，BE=-BBltDF=-DD1,CG=-CC1；

:.DF”C\G豆DF=C、G,BEHCG且BE=CG,

所以四邊形。尸GG為平行四邊形，四邊形BEGC為平行四邊形,

所以DG//FQ,EGIIBC且EG=3C,

又AD//BC且AD=BC,

所以EG〃/。且EG=/。，

所以四邊形/EGD為平行四邊形，

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所以4E//DG,

所以/?/尸G，

;./、E、G、尸四點共面.

C1

4“B

(2)因為而=函+解=函+瓦瓦+印

=§麗+市+而西方+而

=-AB+AD+；AAX=xAB+yAD+zAA1,

即%=-1,>=1,z=1,

1

x+jv+z=-.

/'B

例22.(2023?北京順義?高二牛欄山一中?？茧A段練習(xí))如圖,在底面/BCD為菱形的平行六面體

ABCD-AiBGR中,M,N分別在棱/&，CQ上,S.AlM=-AAl,CN=-Cq,且

N&AD=NA[AB=NDAB=601

A、/B/

&

AB

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⑴用向量44|，40,28表示向量而？；

(2)求證：D,M,4，N共面；

AA

⑶當(dāng)釜為何值時，AQ1A.B.

AB

［解析］(I)A/^=AS+2B+5C+C7V=-|Z^+28+5C+114=^+^5-1^4.

⑵證明「?加加五i”，幽一n這一詬’

.-.DM^NB^：.D,M,B{,N共面.

(3)當(dāng)務(wù)=1,AQIA^,

AB

證明：設(shè)刀)■=高筋=B,方=1,

???底面/BCD為菱形，則當(dāng)*=1時，同=向=同，

■.■ACl=AB+BC+CCl=a+b+c,A^B^AB-AAx=a-c,

ZAXAD=NA［AB=ZDAB=60°,

22

:.ACl-A^B^(<a+b+cXa-c)=a+a-b-b-c-c=0,

AC,1AtB.

例23.(2023?河南洛陽?高二?？茧A段練習(xí))如圖，在平行六面體ABCD-AiBiCiDi中，AB=AD=AAi=l,

ZBAD=ZBAAi=60°,/DAAi=120°.求:

^AB-AD的值.

(2)線段AC1的長

【解析】⑴標(biāo).15=1西?西COS<Z§,而〉

=lxlcos60°

=亍.

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?ULUULILIUUU■

⑵選取｛/AN。，/，｝作為一組基底,

UUUULUUUUIUUUU

貝I|/C]=A8+BB]+B￡,

-------ttM---------Uttffl-----------LtK-tUfl--------tfcE-tttlB-------tttt—tttlfl-

r+(BBT+(耳GA+2xABxBB[+2\48%Q+2網(wǎng)喝￡

nxBj5-~|Uuun,2ULUuuurULUuuuuuumuuun

=JL45+/叫+|耳G|+2X4BXBB(+2x/8叫G+2xBB、碑G

=712+12+12+2'rlcos600+2'rlcos600+2'Tlcosl20°

="

例24.（2023?山東濟寧?高二統(tǒng)考期中）已知平行六面體4片Cj中，底面42。D是邊長為1的正方

(2)求西

【解析】⑴設(shè)方=1,AD=b,AA1=c,

由題意得：|a|=l,\b\=\,|c|=2,ab=0,a-c=l,b-e=\<

西.就=(B+3).(B+7)=廬+B1+B.3+G工=l+l+0+l=3；

(2)|^Ci|=|a+^+c|=yla2+b2+c2+2a-c+2b-c+2a-b=71+1+4+2+2+0=V10

【過關(guān)測試】

一、單選題

1.(2023?江蘇鎮(zhèn)江?高二江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)?？茧A段練習(xí))在下列條件中，使點M與點A,B,C一定共面的是

()

A.OM=OA-2OB+OCB.OM=^OA+^OB+^OC

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UL1UUUUIUUUI_____.____?____、__._

c.MA+MB+MC=OD.OM+OA+OB+OC=0

【答案】C

【解析】空間向量共面定理，OM=xOA+yOB+zOC,若A,B,C不共線，且A,B,C,M共面，則

其充要條件是x+y+z=l；

對于A,因為1+（-2）+（-1）=-2,所以不能得到A,B,C,M四點不共面；

對于B,因為+所以不能得出A,B,C,M四點共面；

對于C,由條件可得祝3=-施-就，則疝，MB＞流為共面向量，所以"與A,3,C一定共面；

對于D,因為南+厲+而+反=6，所以而=-力-礪-詼，因為-1-1-1=-3W1,所以不能得出

A,B,C,〃四點共面.

故選：C.

2.（2023?廣東陽江?高二陽江市陽東區(qū)第一中學(xué)校考期中）在平行六面體48CD-431GA中，M為4G與42

的交點，若羽=3,AD=b，AA^c,則下列向量中與兩相等的向量是（）

1_1--1_1--i_i-_1_1_-

A.-aH—b+cB.—ciH—b+cC.—a—b+cD.—a—b+c

22222222

【答案】B

（解析】在平行六面體ABCD-4片CQ]中，M為4cl與片口的交點，

BAd=BA++4A/"——4B+H—（+A,D,）——a+cH—a—b=—ciH—6+c.

11122222

故選：B

3.（2023?高二?？颊n時練習(xí)）已知直線AB,BC,8月不共面，若四邊形8月。1的對角線互相平分，且

AC[=xAB+2yBC+3zCC[,則x+y+z的值為（）

5211

A.1B.—C.-D.—

636

【答案】D

【解析】由題意，知次，BC,麗不共面，四邊形網(wǎng)GC為平行四邊形，西=甌，

二.｛麗晅西｝為空間的一組基底.

■.■AC[=AB+BC+CQ,又布=+元+3z不，

復(fù)習(xí)材料

:.x=2y=3z=\,:.x=l,y=—,z=~,

11

x+y+z=.

故選：D.

4.（2023?江蘇常州?高二常州市北郊高級中學(xué)?？计谥校┮阎匦?BCD,P為平面48CD外一點，尸/,平

面45CD,點M,N滿足麗=力卮，PN=-PD.^MN=xAB+yAD+zAP,貝|x+y+z=（）

,1i5?

A.—B.-C.—D.一1

226

【答案】A

【解析】矩形250）中，/=方+石，所以正=方+就=方+方+通=一9+方+詬.

P

因為兩=；定，所以加=；卜萬+赤+15）.

因為麗=益-萬，的［而，所以兩=g（石-9）.

所以痂=兩_而:=g（而一萬）+方+西=_；刀石.

所以，尸一',11￡

x=_?z=所以x+〉+z=+-=

26662

故選：A

5.（2023?天津?高二校聯(lián)考期末）在四面體0-45。中，OP=2PA,Q是BC的中點，且M為PQ的中點,

若次=小礪=3，oc=c,則兩=（）.

A.-a+-b+-cB.-a+-b+-c

466643

1f1r1一

C.—aH—bH—cD.-a+-b+-c

264344

【答案】D

―?2—?

【解析】因為。尸=2尸力,所以。?=§。4,

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因為。是3c的中點，所以而=；（礪+區(qū)）,

——?1—?—?1—?1—?1—?1—,—?11-1

因為“為P。的中點，所以。河=5（8+。。）=5。尸+不。0=鼻。9+］（。3+。＜^）=鼻3+16+^^,

乙乙乙JIJII

故選：D

6.（2023?江蘇常州?高二華羅庚中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在正方體N3CQ-&BG2中，下列各式中運算的結(jié)果為

向量西的是（）.

①（2_基）-方；②回+溝-麗；③（翔-珂-2西；④（皿+刎+函.

A.①②B.②③C.③④D.①④

【答案】A

/uumuuuui、uiuuuuuniuuu

【解析】對①：=，①正確；

UUUUUUI\UUUUIUUUUUUIUUUU

對②：（Z8。+5月）一〃6=80+。1。=2。，②正確；

對③：以｛麗而，石｝為基底向量,

zUL1UULU\UUUUIUULIUUUUuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuum

則（4D-45）-+2說，

BD{=BC+CD+DD}=-AB+AD+AAx,

/ULIUULWUUUUUU

根據(jù)空間向量基本定理可知：（/D-列X-2DD產(chǎn)"D,③錯誤;

,UUUUuumxUUU/UUUUUUUxUUUUUUU/UULIuuuxuuuu

對④：（42++DD}=但〃+Z>Q）+DD\=BR+（DXD+叫=BQ、,④錯誤.

故選：A.

7.（2023?江蘇南京?高二南京師大附中?？计谥校┤鐖D，在三棱柱/8C-/SG中，8cl與8c相交于點。,

ZAXAB=ZA1AC=60°,ZBAC=90°,//=3,AB=2,AC=4,則線段ZO的長度為（）

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B.V47

D.V38

【答案】A

【解析】由圖形易得加

所以+2AB-AC+2AB-AAi+2AC-AAl

=；x(4+16+9+2x2x4cos900+2x2x3cos600+2x4x3cos60。)=?

即/。=叵

2

故選：A

8.（2023?四川綿陽?高二四川省綿陽南山中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知四面體O—ABC,G1是AABC的重心，G

是OGi上一點，且OG=3GGi，^OG=xOA+yOB+zOC,貝（]0//）為（）

（111、/333、

A.匕q,ajB.〔了了小

（111、/222、

C0汽D.[mJ

【答案】A

【解析】如圖所示，連接4G/并延長，交8c于點E,則點E為BC的中點，

____?1__________1______________?______O_____1______________

AE=-(AB+AC)=-(OB-204+OC),貝1」語=§荏=§(赤-2OA+OC),

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由題設(shè)，標(biāo)=3兩=3(西-南)，

==2(04+^)=|(a4+|ag-|a4+|oc)=1(04+05+oc)

所以x=y=z=[.

4

故選：A

二、多選題

9.(2023?山東荷澤?高二統(tǒng)考期末)如圖，在平行六面體28。。-48GA中，ZC與3。交于。點，且

ABAD=ABAA{=ZDAA}=60°,AB=AD=4,/4=5.則下列結(jié)論正確的有()

A.ACX1BDB.BC1-A1C=9

C.BD、—J85D.OBX=—AB——AD—AAl

【答案】AB

【解析】如圖，

由題意得，AB=AD=\6^五甲=25

否通=畫.畫cosZBAD=4x4cos60°=8,

不怒=網(wǎng).陽cos/2/4=4x5cos6（T=10,

ZD-=|ZD|?|3441cosADAA,=4x5cos60°=10,

對于選項A,鶯?麗=（君+反4西）?（石-刀）

=AB-Al5-AB-AB+JC-Ai5-BC-AB+CCl-Ai5-CCl-AB

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二方益-下+病-而方+麴赤-麴方

------?2?2????

=-AB+AD+/4-/。-/4，/8=-16+16+10-10=0

所以更，麗，即

故選項A正確.

對于選項B,南飛=回+時?（就_溝

=（赤+河?（存+而-河=（而+怒）.而+國+河?（赤-河

，》“,,.?.，》2、、,.2

=AD-AB+AA1-AB+AD"-AAi=8+10+16-25=9

故選項B正確.

對于選項C,西2二（函—方/=（赤+怒_君『

------?2?22??*??

=AD+AA,+AB+2AD-AAX-2ADAB-2AACAB

=16+25+16+20—16—20=41

所以|西卜西即即="1

故選項C錯誤.

對于選項D,。瓦=OB+BBX=-DB+AAx=-^AB-ADj+AA}=-AB--AD+AAl

故選項D錯誤.

故選：AB

10.（2023?高二課時練習(xí)）下列條件中，使M與A,B,C一定共面的是（）

A.OM=3OA-OB-OC

B.OM=-OA+-OB+-OC

532

UUIUUUUIUUUI

c.MA+MB+MC=0

D.OM+OA+OB+OC=Q

【答案】AC

【解析】空間向量共面定理，OM=xOA+yOB+zOC,若A,B,C不共線，且A,B,C,M共面，則

其充要條件是x+V+z=l；

對于A,因為3-1-1=1,所以可以得出A,B,C,A/■四點共面；

對于B,因為；+；=所以不能得出A,B,C,M四點共面；

對于C,MA=-MB-MC.則抽，MB＞就為共面向量，所以M與A,8,（7一定共面；

對于D,因為血+a+礪+反=0，所以西=-刃-礪-無\因為-1-1-1=-341,所以不能得出

A,B,C,M四點共面.

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故選：AC.

11.（2023?福建莆田?高二莆田第二十五中學(xué)?？计谥校┰O(shè)X=Q+=B+c,2=c+a,且｛。，及。｝是空間的一個

基底，則下列向量組中，可以作為空間一個基底的向量組有（）

A.B.lx,y,z\

C.D.k/,。+雨

【答案】BCD

【解析】如圖所示，令G=AB,B=AA、,e=AD,則1=48”歹=場5=就，Xa+b+c=ACl,

DjCi

Bl

AaB

由/、Bi、C、，四點不共面知：向量五為三不共面，

同理3,乙彳和只歹,@+石+己也不共面.

故選：BCD

12.（2023?江蘇南京?高二校考期末）如圖，在四面體048c中，點M在棱。4上，且滿足（W=2M4,點N,

]G分別是線段8C,的中點，則用向量方，。月，od表示向量中正確的為（）

O

B

A.GN=~-OA+-OB+-OCB.OG=-OA--OB+-OC

344344

C.GM=-OA+-OB+-OCD.GM=-OA--OB--OC

232344

【答案】AD

【解析】連接ON,

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因為點N,G分別是線段5C,的中點，

—?1-----?1—?1?-?11—?—?

所以0G=—（W+—ON=—x—CM+—x—（O5+OC）,

222322

化簡可得詬:礪+9就，故B錯誤；

344

所以函=而一詬=：（歷+藥_（；次+：無+；兩=_!次+；無+；而，故A正確

__,..1—.1―.1.2—?1—.1—.1―>

GM=GO+OM=——OA——OB——OC+-OA=-OA——OB——OC,故C錯誤，D正確；

3443344

故選：AD.

三、填空題

13.（2023?高二單元測試）以下四個命題中，說法正確的有.（填入所有正確序號）

①若任意向量灑3共線，則必存在唯一實數(shù)/M吏得2=4成立；

②若向量組｛a,b,c）是空間的一個基底，貝IJ｛萬+%+乙萬+緡也是空間的一個基底；

③所有的平行向量都相等；

④V48c是直角三角形的充要條件是通.就=0.

【答案】②

【解析】對于①，根據(jù)共線的充要條件知，應(yīng)該強調(diào)723,故①錯誤;、

對于②，因為向量組｛落3就是空間的一個基底，所以3石兄三個向量不共面，假設(shè)存在實數(shù)4〃，使

2=1

a^cnA（a+b）+ju（b+c）=Aa+（A+^b+juc,則有<彳+〃=0,此方程組無解，所以N+瓦3+,方+己不共面，

〃=1

故歷+33+3,）+2｝也是空間的一個基底；故②正確；

對于③，6與任意向量平行，故③錯誤；

對于④，當(dāng)益?k=（）時，//=90°，故V4BC是直角三角形，反之V48c是直角三角形，則NN/B/C中

有一個角為直角，即方?就=0,前?法=0,^3?而=0,所以“萬?就=0"是'V/5C是直角三角形”的充分

不必要條件，故④錯誤.

故答案為：②.

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14.（2023?福建漳州?高二漳州三中?？茧A段練習(xí)）已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線的長都等于1,

點E,F分別是BC,AD的中點，則冠.麗的值為.

【答案】-1/-0.5

【解析】

根據(jù)題意48co為正四面體，

BC,BD，豆兩兩成60°角，BABC=BABD=BCBD=^,

由方=屜-詼」就一禮

2

CF=BF-BC=-BA+-BD-BC,

22

所以萬?