河北省灤縣某中學(xué)2024-2025學(xué)年高三4月模擬考試數(shù)學(xué)試題（含解析）

河北省灤縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)2024-2025學(xué)年高三4月模擬考試數(shù)學(xué)試題（文理合卷）試題

考生請(qǐng)注意：

1.答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。

2.第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的

位置上。

3.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.一袋中裝有5個(gè)紅球和3個(gè)黑球（除顏色外無區(qū)別），任取3球，記其中黑球數(shù)為X,則E（X）為（）

97162

A.-B.-C.—D.—

88256

2.已知A（XA，YA）是圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)。，半徑為1的圓上的任意一點(diǎn)，將射線Q4繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)子到08交圓

于點(diǎn)8（4,%），貝！）2%+%的最大值為（）

A.3B.2C.73D.75

x-y<0,

_x+3

3.若x,y滿足約束條件Vx+y＜2,則z=―-的取值范圍為（）

八y+2

x+1>0,

24242

A.—]B.[-，3]C.[-,2]D.[-,2]

53535

9<2%+y<6

4.若羽y滿足約束條件《_"一則z=x+2y的最大值為（）

3<x-y<6,

A.10B.8C.5D.3

5.金庸先生的武俠小說《射雕英雄傳》第12回中有這樣一段情節(jié)，“……洪七公道：肉只五種，但豬羊混咬是一般滋

味，獐牛同嚼又是一般滋味，一共有幾般變化，我可算不出了”.現(xiàn)有五種不同的肉，任何兩種（含兩種）以上的肉混

合后的滋味都不一樣，則混合后可以組成的所有不同的滋味種數(shù)為（）

A.20B.24C.25D.26

6,、x~+10x+1,x＜0

設(shè)函數(shù)十）九4X；0若關(guān)于X的方程f（x）=a（a^R）有四個(gè)實(shí)數(shù)解%（z=1,234）,其中

%＜々＜%3＜》4，貝1（玉+%2）（%3一%4）的取值范圍是（）

A.（0,101]B.（0,99]C.（0,100]D.（0,+8）

7.小張家訂了一份報(bào)紙，送報(bào)人可能在早上6:30-7:30之間把報(bào)送到小張家，小張離開家去工作的時(shí)間在早上

7.00-8:00之間用4表示事件：“小張?jiān)陔x開家前能得到報(bào)紙”，設(shè)送報(bào)人到達(dá)的時(shí)間為x,小張離開家的時(shí)間為y,

（x,y）看成平面中的點(diǎn)，則用幾何概型的公式得到事件A的概率p（A）等于（）

5237

A.B.D.

8558

8.若函數(shù)y=2s%（2x+9）1|同＜/J的圖象經(jīng)過點(diǎn)［卷可，則函數(shù)/（%）=s譏（2x—0）+cos（2x—0）圖象的一條

對(duì)稱軸的方程可以為（）

7137兀Yin137r

A.x-------B.x------C.x-.......D.x--------

24242424

9.已知函數(shù)/（乃=；取3+x2（。＞0）.若存在實(shí)數(shù)/6（-1,0）,且使得/（x0）=/（—g）,則實(shí)數(shù)。的取

值范圍為（）

22121Q

A.（j,5）B.（-,3）0（3,5）C.（y,6）D.（q,4）u（4,6）

10.已知定點(diǎn)A,3都在平面c內(nèi)，定點(diǎn)尸0%尸是a內(nèi)異于A,3的動(dòng)點(diǎn)，且PC_LAC,那么動(dòng)點(diǎn)。在平

面a內(nèi)的軌跡是（）

A.圓，但要去掉兩個(gè)點(diǎn)B.橢圓，但要去掉兩個(gè)點(diǎn)

C.雙曲線，但要去掉兩個(gè)點(diǎn)D.拋物線，但要去掉兩個(gè)點(diǎn)

11.地球上的風(fēng)能取之不盡，用之不竭.風(fēng)能是清潔能源，也是可再生能源.世界各國致力于發(fā)展風(fēng)力發(fā)電，近10年來,

全球風(fēng)力發(fā)電累計(jì)裝機(jī)容量連年攀升，中國更是發(fā)展迅猛，2014年累計(jì)裝機(jī)容量就突破了100GW,達(dá)到H4.6GW,

中國的風(fēng)力發(fā)電技術(shù)也日臻成熟，在全球范圍的能源升級(jí)換代行動(dòng)中體現(xiàn)出大國的擔(dān)當(dāng)與決心.以下是近10年全球風(fēng)

力發(fā)電累計(jì)裝機(jī)容量與中國新增裝機(jī)容量圖.根據(jù)所給信息，正確的統(tǒng)計(jì)結(jié)論是（）

近10年全球風(fēng)力發(fā)電累蔻機(jī)容量（CW）

200920102011201220132014201520162017201$

A.截止到2015年中國累計(jì)裝機(jī)容量達(dá)

B.10年來全球新增裝機(jī)容量連年攀升

C.10年來中國新增裝機(jī)容量平均超過20GW

D.截止到2015年中國累計(jì)裝機(jī)容量在全球累計(jì)裝機(jī)容量中占比超過g

12.若復(fù)數(shù)z=（2+D（l+i）（i是虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)二在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.集合A={(x,y)H+|y|=a,a>0},5={(x,y)||xy|+1=|x|+|y|),若8是平面上正八邊形的頂點(diǎn)所構(gòu)成的

集合，則下列說法正確的為

①。的值可以為2；

②。的值可以為0；

③。的值可以為2+J5；

"3x-2y+4>0,

14.設(shè)x,V滿足約束條件x+4y+620,,則z=/+/的最大值為.

x-2<0,

15.將函數(shù)/(x)=sin2x的圖..像向右平移三IT個(gè)單位，得到函數(shù)g(x)的圖.像，則函數(shù)y=/(%)-g(x)在區(qū)間0,TC-上

6|_2_

的值域?yàn)?

16.角a的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過點(diǎn)尸(L2),則COS{:-a)的值是.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)心形線是由一個(gè)圓上的一個(gè)定點(diǎn)，當(dāng)該圓在繞著與其相切且半徑相同的另外一個(gè)圓周上滾動(dòng)時(shí)，這個(gè)定

點(diǎn)的軌跡，因其形狀像心形而得名，在極坐標(biāo)系0%中，方程0=a(l-sin，)(a>0)表示的曲線G就是一條心形

線，如圖，以極軸3所在的直線為x軸，極點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)的直角坐標(biāo)系中.已知曲線的參數(shù)方程為

x=1+6t

<G。為參數(shù)).

[y=---3--1■/

(1)求曲線。2的極坐標(biāo)方程;

（2）若曲線G與G相交于4、。、B三點(diǎn)、,求線段AB的長.

12

18.（12分）已知矩陣加=°的一個(gè)特征值為3,求另一個(gè)特征值及其對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量.

2a

19.（12分）如圖，在三棱柱ABC—A4G中，△A6C是邊長為2的等邊三角形，BC±BBl,CQ=^2,AQ=76.

（1）證明：平面ABC，平面55cl。；

（2）M,N分別是BC,Bq的中點(diǎn)，P是線段AG上的動(dòng)點(diǎn)，若二面角P—MN—C的平面角的大小為30。，試

確定點(diǎn)P的位置.

20.（12分）我們稱“（“eN*）元有序?qū)崝?shù)組（再，/，…，％）為〃維向量，￡歸|為該向量的范數(shù).已知"維向

Z=1

量￡=（4%「??,%）,其中％e｛—1,0,1｝,，=1,2,”.記范數(shù)為奇數(shù)的“維向量￡的個(gè)數(shù)為4,這4個(gè)向量的

范數(shù)之和為紇.

（1）求七和4的值；

（2）當(dāng)”為偶數(shù)時(shí)，求4，紇（用”表示）.

21.（12分）已知依｝是遞增的等差數(shù)列，%,即是方程，「-5x-6=0的根.

（1）求｛%｝的通項(xiàng)公式；

（2）求數(shù)列｛墨｝的前〃項(xiàng)和.

22.（10分）已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)大（—0,0）,《（夜,0）,5（30,0）,動(dòng)點(diǎn)N滿足|A*|+|NS|=4jL點(diǎn)產(chǎn)

為線段Nf；的中點(diǎn)，拋物線C：V=2加'（加〉0）上點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為&,OAOS=6y/6.

（1）求動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡曲線W的標(biāo)準(zhǔn)方程及拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

11

（2）若拋物線C的準(zhǔn)線上一點(diǎn)Q滿足OPLOQ,試判斷大守+3中是否為定值，若是，求這個(gè)定值；若不是，

\OP\-|OQ

請(qǐng)說明理由.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.A

【解析】

由題意可知，隨機(jī)變量X的可能取值有0、1、2、3,計(jì)算出隨機(jī)變量X在不同取值下的概率，進(jìn)而可求得隨機(jī)變

量X的數(shù)學(xué)期望值.

【詳解】

由題意可知，隨機(jī)變量X的可能取值有0、1、2、3,

廠If)d廠親"=2）=等吟,尸（X=3）」日

則。"=0)=請(qǐng)=法，尸(X=1)=3

C8DOC8

9

因此，隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望為E（X）=OxW+lx型+2><竺+3><一

8-

56565656

故選：A.

本題考查隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

2.C

【解析】

設(shè)射線04與1軸正向所成的角為a,由三角函數(shù)的定義得丁從=sina,yB=sin（6if+—）,

2%+%=3sina+且cosa，利用輔助角公式計(jì)算即可?

22

【詳解】

設(shè)射線。4與x軸正向所成的角為a,由已知，4=cos。,以=sin。,

/2?、./2兀、c：Lt、rCc.?/2兀、

xB=cos(or+—),yB=sm(a+—),所以2yA+?、?2sma+sin(cif+—)=

2sinor--sinor+—cosa=-sina+^-cosor=A/3sin(6Z+—)<石，

22226

當(dāng)a=§時(shí)，取得等號(hào).

故選：C.

本題考查正弦型函數(shù)的最值問題，涉及到三角函數(shù)的定義、輔助角公式等知識(shí)，是一道容易題.

3.D

【解析】

x+3

由題意作出可行域，轉(zhuǎn)化目標(biāo)函數(shù)Z=[1]為連接點(diǎn)￡>(-3,-2)和可行域內(nèi)的點(diǎn)(％,j)的直線斜率的倒數(shù)，數(shù)形結(jié)合

即可得解.

【詳解】

由題意作出可行域，如圖,

x+3

目標(biāo)函數(shù)Z=可表示連接點(diǎn)D(-3,-2)和可行域內(nèi)的點(diǎn)(羽y)的直線斜率的倒數(shù),

由圖可知，直線DA的斜率最小，直線。6的斜率最大,

%-y=0/、x+y=2/、

由<x+l=。可得A(T,T)’由川:0可得5(-1,3),

—1+21=所以242<2.

所以^DA=-=T，^DB

—1+3Z-1+325

本題考查了非線性規(guī)劃的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

4.D

【解析】

]z1

畫出可行域，將Z=元+2曠化為y=—QX+Q,通過平移y=-即可判斷出最優(yōu)解，代入到目標(biāo)函數(shù)，即可求出最值.

【詳解】

0<2x+y<6

解:由約束條件C-,作出可行域如圖,

3<x-y<6

y

17

化目標(biāo)函數(shù)Z=x+2y為直線方程的斜截式,y=—,x+5.由圖可知

17

當(dāng)直線y=-5x+務(wù)過4(3,0)時(shí),直線在y軸上的截距最大,z有最大值為3.

故選:D

本題考查了線性規(guī)劃問題.一般第一步畫出可行域，然后將目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為丁=以+%的形式，在可行域內(nèi)通過平移

y=?找到最優(yōu)解，將最優(yōu)解帶回到目標(biāo)函數(shù)即可求出最值.注意畫可行域時(shí),邊界線的虛實(shí)問題.

5.D

【解析】

利用組合的意義可得混合后所有不同的滋味種數(shù)為C；+C：+C；+C；,再利用組合數(shù)的計(jì)算公式可得所求的種數(shù).

【詳解】

混合后可以組成的所有不同的滋味種數(shù)為C^+Cf+C；+Cj=20+5+1=26(種)，

故選：D.

本題考查組合的應(yīng)用，此類問題注意實(shí)際問題的合理轉(zhuǎn)化，本題屬于容易題.

6.B

【解析】

畫出函數(shù)圖像，根據(jù)圖像知：X]+X,=-10,陽4=1，!<l3<1，計(jì)算得到答案.

10

【詳解】

/、(x2+10x+l,x<0

/(x)={I,Ic,畫出函數(shù)圖像，如圖所示：

|lgx|,x>0

根據(jù)圖像知：Xj+x2=-10,lgx3=~lgx4,故占乙=1,且需4X3<1.

,(1)

故(玉+兀2)(兀3-%)=-10x3---e(0,99].

7

故選：B.

1234x

本題考查了函數(shù)零點(diǎn)問題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力，畫出圖像是解題的關(guān)鍵.

7.D

【解析】

這是幾何概型，畫出圖形，利用面積比即可求解.

【詳解】

解：事件A發(fā)生，需滿足即事件A應(yīng)位于五邊形BCDEF內(nèi)

1-lxlxl

7

P（A）=222

18

故選：D

考查幾何概型，是基礎(chǔ)題.

8.B

【解析】

由點(diǎn)求得9的值，化簡(jiǎn)/(%)解析式，根據(jù)三角函數(shù)對(duì)稱軸的求法，求得了(x)的對(duì)稱軸，由此確定正確選項(xiàng).

【詳解】

由題可知+。)=闋n71

2s%12xA0,<—?。二一

2~6

所以/(%)-s加12%+YJ+COS12%+7J-^/2sin+^+J=0sin12%+看J

^2x+—=—+k7i,k^Z,

122

,=兀k兀1r

倚x-----1--------,keZ

242

令左=3,得》=衛(wèi)生

24

故選：B

本小題主要考查根據(jù)三角函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)求參數(shù)，考查三角恒等變換，考查三角函數(shù)對(duì)稱軸的求法，屬于中檔題.

9.D

【解析】

首先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)分析函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值，根據(jù)題意，列出參數(shù)所滿足的不等關(guān)系，求得結(jié)

果.

【詳解】

2

/'(%)=at2+2x,令/''(尤)=0,得工］=0,%=——.

2a

其單調(diào)性及極值情況如下：

_2

X0(0,+“)

a1訓(xùn)

廣⑴

4-0-04-

極小

/(X)/極大值/

值

若存在XG使得/（%）=/

oI

_2_J_

a2

23i2

則<_―>-1（如圖1）或一―<――<――（如圖2）.

aa2a

（圖1）

（圖2）

于是可得46[7,4）3（4,6）,

故選：D.

該題考查的是有關(guān)根據(jù)函數(shù)值的關(guān)系求參數(shù)的取值范圍的問題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值,

畫出圖象數(shù)形結(jié)合，屬于較難題目.

10.A

【解析】

根據(jù)題意可得AC，3C,即知C在以為直徑的圓上.

【詳解】

,：PBLa,AC<^a,

:.PBLAC,

又PC上AC,PBcPC=P,

AC，平面P5C,又6Cu平面PBC

:.AC±BC,

故。在以AB為直徑的圓上，

又。是a內(nèi)異于A,B的動(dòng)點(diǎn)，

所以C的軌跡是圓，但要去掉兩個(gè)點(diǎn)

故選：A

本題主要考查了線面垂直、線線垂直的判定，圓的性質(zhì)，軌跡問題，屬于中檔題.

11.D

【解析】

先列表分析近10年全球風(fēng)力發(fā)電新增裝機(jī)容量，再結(jié)合數(shù)據(jù)研究單調(diào)性、平均值以及占比，即可作出選擇.

【詳解】

年份2009201020112012201320142015201620172018

累計(jì)裝機(jī)容量158.1197.2237.8282.9318.7370.5434.3489.2542.7594.1

新增裝機(jī)容量39.140.645.135.851.863.854.953.551.4

中國累計(jì)裝機(jī)裝機(jī)容量逐年遞增，A錯(cuò)誤；全球新增裝機(jī)容量在2015年之后呈現(xiàn)下降趨勢(shì)，B錯(cuò)誤；經(jīng)計(jì)算，10年來

中國新增裝機(jī)容量平均每年為19.77GW,選項(xiàng)C錯(cuò)誤；截止到2015年中國累計(jì)裝機(jī)容量197.7GW,全球累計(jì)裝機(jī)

容量594.1—158.1=436GW,占比為45.34%,選項(xiàng)。正確.

故選：D

本題考查條形圖，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.

12.A

【解析】

將z整理成a+方的形式，得到復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的的點(diǎn)，從而可選出所在象限.

【詳解】

解：z=（2+i）（l+，）=2+『+3i=l+3i,所以z所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（1,3）在第一象限.

故選:A.

本題考查了復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的坐標(biāo).易錯(cuò)點(diǎn)是誤把i2當(dāng)成1進(jìn)行計(jì)算.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.②③

【解析】

根據(jù)對(duì)稱性，只需研究第一象限的情況，計(jì)算AC：y=—1）%,得到A（l,應(yīng)—1）,C（V2+1,1）,得到答案.

【詳解】

如圖所示：根據(jù)對(duì)稱性，只需研究第一象限的情況，

集合3：xy+l^x+y,故=即x=］或y=l,

集合A：x+y=a,AC8是平面上正八邊形的頂點(diǎn)所構(gòu)成的集合，

故AC所在的直線的傾斜角為22.5。，左AC=tan22.5°=0—1，故AC：y=（a-l）x,

解得A（1,0—1）,止匕時(shí)q=C（V2+1,1）,止匕時(shí)。=血+2.

故答案為：②③.

本題考查了根據(jù)集合的交集求參數(shù)，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力，利用對(duì)稱性是解題的關(guān)鍵.

14.29

【解析】

由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為以原點(diǎn)為圓心的圓，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，聯(lián)立方程組求得最優(yōu)解的坐標(biāo)，代

入目標(biāo)函數(shù)得答案.

【詳解】

-3x-2y+4>0,

由約束條件<x+4y+6>0,作出可行域如圖：

x-2<0,

3x-2y+4=0,

聯(lián)立，解得A(2,5),

%—2=0,

目標(biāo)函數(shù)Z=/+y2是以原點(diǎn)為圓心，以人為半徑的圓，

由圖可知，此圓經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，半徑正最大，此時(shí)z也最大,

最大值為z=2?+5?=29.

所以本題答案為29.

線性規(guī)劃問題，首先明確可行域?qū)?yīng)的是封閉區(qū)域還是開放區(qū)域、分界線是實(shí)線還是虛線，其次確定目標(biāo)函數(shù)的幾何

意義，是求直線的截距、兩點(diǎn)間距離的平方、直線的斜率、還是點(diǎn)到直線的距離等等，最后結(jié)合圖形確定目標(biāo)函數(shù)最

值取法、值域范圍.

r出~

【解析】

根據(jù)圖像的平移變換得到函數(shù)g(x)的解析式，再利用整體思想求函數(shù)的值域.

【詳解】

函數(shù)/(X)=sin2x的圖像向右平移F個(gè)單位得g(x)=sin2(x--)=sin(2x--),

663

y=/(x)-g(x)=sin2x-sin(2x—sin2x+cos2x=sin(2x+—),

7Fjrjr4〃

xe0,-=>2x+-e-

233

.G1

..y€----,1.

2

故答案為：-.

本題考查三角函數(shù)圖像的平移變換、值域的求解，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力、運(yùn)算

求解能力，求解時(shí)注意整體思想的運(yùn)用.

16.—

5

【解析】

試題分析：由三角函數(shù)定義知cos。==~^~，又由誘導(dǎo)公式知cos(〃-tz)=-cosa=-f，所以答案應(yīng)填：-

考點(diǎn)：1、三角函數(shù)定義；2、誘導(dǎo)公式.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

JT

17.(1)0——(/?ER)；(2)2。.

6

【解析】

(1)化簡(jiǎn)得到直線方程為y=?工，再利用極坐標(biāo)公式計(jì)算得到答案?

(2)聯(lián)立方程計(jì)算得到A,計(jì)算得到答案.

【詳解】

%=1+qt廠

73消f得，X—百y=o即丁=也工,

(1)由＜

/=T+Z

C,是過原點(diǎn)且傾斜角為￡的直線，a的極坐標(biāo)方程為9=三(夕dR).

66

(2)由＜

p-6z(l-sin0)

,7乃--

由"V得'—%=2a.

夕=a(l—sing)d=/(26)22

本題考查了參數(shù)方程，極坐標(biāo)方程，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.

1

18.另一個(gè)特征值為1,對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量。=

-1

【解析】

根據(jù)特征多項(xiàng)式的一個(gè)零點(diǎn)為3,可得。=1,再回代到方程/“)=0即可解出另一個(gè)特征值為4=,最后利用求

特征向量的一般步驟，可求出其對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量.

【詳解】

矩陣"的特征多項(xiàng)式為:

2-1-2

〃■）==（2—1）（4—a）-4,

—2A,—G

???4=3是方程/(2)=0的一個(gè)根,

12

（3—1）（3—a）—4=0,解得a=i,即A/=

21

二方程/（丸）=0即（2_1）（九_(tái)1）_4=0,22-22-3=0,

可得另一個(gè)特征值為：4=-1，

x

設(shè)4=-1對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量為：a=

y

-2x-2y=0

則由4a=Ma,得＜1―2x—2產(chǎn)。得—

令x=l,則y=-l,

所以矩陣M另一個(gè)特征值為-1，

1

對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量a=

-1

本題考查了矩陣的特征值以及特征向量，需掌握特征多項(xiàng)式的計(jì)算形式，屬于基礎(chǔ)題.

19.(1)證明見解析；(2)P為線段AG上靠近G點(diǎn)的四等分點(diǎn)，且坐標(biāo)為。j呼，孝、

7

【解析】

(1)先通過線面垂直的判定定理證明eqJ■平面ABC,再根據(jù)面面垂直的判定定理即可證明;

(2)分析位置關(guān)系并建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)二面角P-MN-C的余弦值與平面法向量夾角的余弦值之間的關(guān)系,

即可計(jì)算出P的坐標(biāo)從而位置可確定.

【詳解】

(1)證明：因?yàn)锳C=2,CC[=叵,Aq=n，

所以AC?+CC：=AC：,即AC，CQ.

又因?yàn)锽C±BB},BBJICC、,所以BC_LCG,

AC[}BC=C,所以CG，平面ABC.

因?yàn)镃Gu平面所以平面ABC，平面58cle.

(2)解：連接AM，因?yàn)锳B=AC=2,〃是的中點(diǎn)，所以AML5C.

由(1)知，平面ABC,平面所以AM,平面

以M為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系M-xyz,

則平面的一個(gè)法向量是陽=(0,0,1),A(0,0,若)，N(O,0,O),。(―1,夜,0).

設(shè)Q=/福(0</<1),P(x,y,z),

AP=(x,y,z->/3),AC】=(一1,0,-石)，

代入上式得x=T,丫=5,z=73(1-1),所以P(—/,衣,、方—百f).

設(shè)平面肱VP的一個(gè)法向量為為=(%,%,zj,W=(0,72,0),MP=(-t,y/2t,y/3-j3t),

n-MN=0近y、=0

由<-.,得1

fi-MP=0-iXj++A/3(1—=0

令z1="得==(百-島0,Q.

因?yàn)槎娼荘-肱V-C的平面角的大小為30°，

所以磊當(dāng)t_6

解得t2

即府彳7一24

所以點(diǎn)p為線段AG上靠近G點(diǎn)的四等分點(diǎn)，且坐標(biāo)為尸

本題考查面面垂直的證明以及利用向量法求解二面角有關(guān)的問題，難度一般.（1）證明面面垂直，可通過先證明線面垂

直，再證明面面垂直；（2）二面角的余弦值不一定等于平面法向量夾角的余弦值，要注意結(jié)合圖形分析.

20.（1）4=4,為=4.（2）4=^1,Bn

【解析】

（1）利用枚舉法將范數(shù)為奇數(shù)的二元有序?qū)崝?shù)對(duì)都寫出來，再做和；（2）用組合數(shù)表示4和8",再由公式

（n-k）C：=nC）_i或kC：="Ct；將組合數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，得出最終結(jié)果.

【詳解】

解：（1）范數(shù)為奇數(shù)的二元有序?qū)崝?shù)對(duì)有：（—1,0）,（0,-1）,（0,1）,（1,0）,

它們的范數(shù)依次為1,1,1,1,故A=4,B2=4.

（2）當(dāng)"為偶數(shù)時(shí)，在向量。=（%,%2，毛，，一，九0）的”個(gè)坐標(biāo)中，要使得范數(shù)為奇數(shù)，則0的個(gè)數(shù)一定是奇數(shù)，所以

可按照含。個(gè)數(shù)為：1,3,〃—1進(jìn)行討論：￡的”個(gè)坐標(biāo)中含1個(gè)0,其余坐標(biāo)為1或—1，共有C>2"T個(gè)，每

個(gè)￡的范數(shù)為〃一1；

￡的〃個(gè)坐標(biāo)中含3個(gè)0,其余坐標(biāo)為1或—1,共有C>2"-3個(gè)，每個(gè)￡的范數(shù)為3；

）的”個(gè)坐標(biāo)中含個(gè)0,其余坐標(biāo)為1或-1，

共有C7.2個(gè)，每個(gè)J的范數(shù)為1；所以

4=C:2"T+C-2"3+...+C：T.2,

立=（〃—1）?C：?2"T+（〃—3）?C：?"3+...+C：T?2.

因?yàn)椋?+1）”=C>2"+C；?2"T+C>2"一+???+C：,①

（2-1）"=C°-2"-2"T+C>2,!-2--?.+（-1）"C：,②

①j②得,C：-2"T+C；2"-3+...=^zl,

所以4=號(hào)?

解法1：因?yàn)閚（"j）C=（〃—左）.河Mr".看卷1=“3，

所以紇=5—l）C-2"T+5—3>C>2"-3+...+C：T,2.

=MC3-2"T+C>2"-3+...+C：］.2)

24

=2H(CL1-2"-+CL1-2--+---+C：：；)

=2〃.(y=〃0一).

解法2：①土②得,C°-2"+C；-2"-2+...=^±i.

2nn2

kl

又因?yàn)橐溃?hn\=n-—(、/)，——=nC,,所以

k!("-4)!

比』._11_=n._C_/I

"履(i)!(I)!(i)!=J

="(C：?2"T+C：.2n-3+…+CL.2)-(C；.2"T+3.C：.2^3+…+(〃-1).C；1.2)

=囪-.2'T+CL-2-3+…+c；j2)=小(號(hào)--(3"T-1).

本題考查了數(shù)列和組合，是一道較難的綜合題.

]〃+4

21.(1)an=-n+l;(2)Sn=2--

【解析】

（1）方程/-5x+6=0的兩根為2,3,由題意得。2=3,%=2,在利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出;利用“錯(cuò)

位相減法”、等比數(shù)列的前九項(xiàng)和公式即可求出.

【詳解】

方程X2—5x+6=0的兩根為2,3.

由題意得a2=2,a4=3.

,13

設(shè)數(shù)列｛an｝的公差為d,則