2024-2025學(xué)年北京市房山區(qū)高三（上）入學(xué)數(shù)學(xué)試卷（含答案）

2024-2025學(xué)年北京市房山區(qū)高三（上）入學(xué)數(shù)學(xué)試卷

一、單選題：本題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的。

1.已知集合a={x|-3<x<1],B={x\-l<久<2},則4UB=()

A.{x|-3<x<2]B.{x|-l<%<1}C.{-2-1,0,1}D.{-1,0}

2.若復(fù)數(shù)z滿足不\=貝ijz=（）

A.1—iB.-1—iC.-1+iD.1+i

2

3.雙曲線久2-7=1的漸近線方程為()

1

A.y=-%B.y=±2xC.y=2xD.y=-2x

4.已知圓(%—1)2+(y+3)2=r2(r>0)與直線％—y+2=0相切,則r=()

A.2B.mC.2^/3D.3^/2

5.(2%-§4的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為()

A.-24B.-6C.6D.24

6.設(shè)向量Z=(%-1,%)工=-2),則“％=3”是“213”的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

7.已知函數(shù)/（%）=^sinajx-^-cosajx（a）>0）的圖象與直線y=1的相鄰兩個(gè)交點(diǎn)間的距離等于兀，則3=

（）

A.4B.2C.1D.1

8.已知正四棱錐P-4BCD的八條棱長(zhǎng)均為4,Q是底面上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，PO<3,則點(diǎn)Q所形成區(qū)域的面積為

A.1B.nC.4D.471

9.近年來純電動(dòng)汽車越來越受消費(fèi)者的青睞，新型動(dòng)力電池迎來了蓬勃發(fā)展的風(fēng)口，Penkert于1898年提

出蓄電池的容量C（單位：X/i）,放電時(shí)間t（單位：九）與放電電流/（單位：Z）之間關(guān)系的經(jīng)驗(yàn)公式：C=嚴(yán)?

t,其中幾為常數(shù).為測(cè)算某蓄電池的Pe迎ert常數(shù)九，在電池容量不變的條件下，當(dāng)放電電流

I=304時(shí)，放電時(shí)間1=15/1；當(dāng)放電電流/=404時(shí)，放電時(shí)間七=8瓦若計(jì)算時(shí)取國(guó)2k0.3,

國(guó)3、0.477,則該蓄電池的常數(shù)幾大約為（）

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A.1.25B.1.75C.2.25D.2.55

1i

10.已知集合/={(%,y)|(%-<0}^={(x,y)\-<x<2,-<y<2},S是集合/nB表示的平面圖

形的面積，貝US=()

9Q

A.1B-oC.2Dq-

二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分。

11.拋物線N=4y的準(zhǔn)線方程為.

一2

12.在平面直角坐標(biāo)系％。y中，角a與角0均以。％為始邊，它們的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱.若s譏a=耳，則si印=

13.己知函數(shù)/(%)={](：■溫“Lx耳:若a=°，則八1)=:若f。)在R上單調(diào)遞增，貝必的一

個(gè)值為.

14.如圖1,一個(gè)正四棱柱形的密閉容器水平放置，其底部鑲嵌了同底的正四棱錐形實(shí)心裝飾塊，容器內(nèi)盛

有小升水時(shí)，水面恰好經(jīng)過正四棱錐的頂點(diǎn)P.如果將容器倒置，水面也恰好經(jīng)過點(diǎn)P(圖2),設(shè)正四棱柱的

局為九1，正四棱錐的高為八2,

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15.古希臘畢達(dá)開拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家用沙粒和小石子來研究數(shù).他們根據(jù)沙粒或小石子所排列的形狀，把數(shù)

分成許多類.如圖，第一行圖形中黑色小點(diǎn)個(gè)數(shù)：1,3,6,10,…稱為三角形數(shù)，第二行圖形中黑色小點(diǎn)

個(gè)數(shù)：1,4,9,16,…稱為正方形數(shù)，記三角形數(shù)構(gòu)成數(shù)列｛即｝，正方形數(shù)構(gòu)成數(shù)列｛%｝，給出下列四個(gè)

結(jié)論：

①數(shù)列｛即｝的一個(gè)通項(xiàng)公式是即=跡/；

②2025既是三角形數(shù)，又是正方形數(shù)；.△A

③*+*+*+…+*<*

(4)VmeN,m之2,總存在p,qEN.使得=即+與成立.

其中所有證確結(jié)論的序號(hào)是.

三、解答題：本題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

16.(本小題13分)

在銳角aaBC中，角a,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且避a—26sM4=0.

(I)求角B的大??；

(II)再?gòu)南旅鏃l件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為己知，求△ABC的面積.

條件①：c=2,C=p

條件②：b=也c=2.

注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

17.(本小題13分)

已知四棱錐P—2BCD中，PA，平面ABC。，四邊形48CD為菱形，PA=4。=2,E為2。的中點(diǎn).

①若F為PC的中點(diǎn)，求證：EF〃平面P4B；

(II)若BD=2也.求平面P4B與平面PEC夾角的余弦值.

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18.(本小題14分)

某企業(yè)產(chǎn)品利潤(rùn)依據(jù)產(chǎn)品等級(jí)來確定：其中一等品、二等品、三等品的每一件產(chǎn)品的利潤(rùn)分別為100元、

50元、50元.為了解產(chǎn)品各等級(jí)的比例，檢測(cè)員從流水線上隨機(jī)抽取了100件產(chǎn)品進(jìn)行等級(jí)檢測(cè)、檢測(cè)結(jié)果

如下表：

產(chǎn)品等級(jí)一等品二等品三等品

樣本數(shù)量(件)503020

①?gòu)牧魉€上隨機(jī)抽取1件產(chǎn)品，估計(jì)這件產(chǎn)品是一等品的概率；

(II)若從流水線上隨機(jī)抽取3件產(chǎn)品，這3件產(chǎn)品的利潤(rùn)總額為X.求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(III)為了使每件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)不低于80元，產(chǎn)品中的一等品率至少是多少？

19.(本小題15分)

己知橢圓E：g+^=l(a>b>0)的一個(gè)頂點(diǎn)為(2,0)樵距為2M.過點(diǎn)(ni,0)(7n>2)且斜率不為零的直線

與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)4B,過點(diǎn)力和C(l,0)的直線AC與橢圓E的另一個(gè)交點(diǎn)為D.

①求橢圓E的方程及離心率；

(II)若直線BD與％軸垂直，求加的值.

20.(本小題15分)

X

已知函數(shù)f(x)=彘，直線2為曲線y=/(久)在點(diǎn)(t/(t))處的切線.

(I)當(dāng)t=0時(shí)，求出直線/的方程；

(II)若g(x)=/'(x),求g(x)的最小值;

(in)若直線/與曲線y=/(%)相交于點(diǎn)(s,/(s)),且s<t,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

21.(本小題15分)

已知數(shù)列4：%,a2,a3,an(n23)的各項(xiàng)均為正整數(shù)，設(shè)集合T={x\x=a;,l<i<j<n],記T

的元素個(gè)數(shù)為P(T).

(I)若數(shù)列41,3,5,6,求集合7,并寫出P(T)的值;

(n)若a是遞減數(shù)列，求證：“a為等差數(shù)列”的充要條件是“p(r)=n-1”；

(in)已知數(shù)列42,22,23,2n,求證:p(r)=硬嚴(yán).

第4頁(yè)，共10頁(yè)

參考答案

1.A

2.C

3.5

4.D

5.D

6.A

7.B

8.B

9.C

10.B

ll.y=-1

12-

13.01(答案不唯一)

14(

15.①③④

16懈：(I)因?yàn)檎d-26si九4=0,由正弦定理可得避sinA—2s出BsinA=0,

在銳角△ABC中，sinA>0,可得sinB=半，

77

可得B=]

(II)若選條件①：c=2,C=^,由正弦定理可得=公?，

b2廠

即理=否，解得b=76,

22

因?yàn)閟inA=sin(F+C)=sin。+今=sin^cos^+cos^sin^=號(hào)乂浮+三義號(hào)=",

所以S△麗=^bcsinA=義xmx2x於："=1+產(chǎn)；

若選條件②：b=也c=2,

在銳角三角形中，由正弦定理可得心=肅，

SLTLDoL/ic?

即嚕=森3可得sinC=<可得C=1

SITIC2看

第5頁(yè)，共10頁(yè)

因?yàn)閟inA=sin(B+C)=sine+今=sin^cos^+cos￡sig=岑義孝+"'￥="；■,

所以$4ABC=^bcsinA=2xmx2X%也=

乙乙4Z

17.解：(1)證：設(shè)PB的中點(diǎn)M,連接MF,AM,如圖所示：

1

???四邊形2BCD為菱形，E為力。的中點(diǎn)，BC//AE,AE=^BC,

又F為PC的中點(diǎn)，???MF//BC,且MF=|BC,

MF//AE,MF=AE,四邊形MFEA為平行四邊形，

EF//AM,又EF呈面PAB,AMu面P4B,

￡T〃面248；

(2)當(dāng)BD=2的時(shí)，AB2+AD2=BD2,四邊形4BCD為正方形，

又241面4BCD,以48,AD,4P所在直線為x軸，y軸，z軸，建立坐標(biāo)系，如圖所示:

貝必(0,0,0),P(0,0,2),￡(0,1,0),C(2,2,0),麗=(0,-1,2),fT=(2,1,0),

設(shè)面PEC的法向量為元=(久,y,z),貝|{,毛=；，即匕0°，令y=2,貝!Jx=-1,z=1,?'.n

=(T,2,l),

又AE1AB,AE1PA,且力BCAP=A,AE1面P4B,

故荏=(0,1,0)可以作為面248的一個(gè)法向量，

第6頁(yè)，共10頁(yè)

Icos<n,版>|=夜彳=坐.

即平面P4B與平面PEC夾角的余弦值.

18.解：①設(shè)概率為P,由題意得P=50+3°+20=|；

(II)首先，我們把二等品和三等品視為一個(gè)整體，

則單次抽到一等品的概率為《抽到二等品和三等品這個(gè)整體的概率為今

當(dāng)X=150時(shí)，抽到的產(chǎn)品一定在二等品和三等品這個(gè)整體里，

所以P(X=150)=或(5。6)3=*

當(dāng)X=200時(shí)，P(X=200)=6弓)16)2=1

當(dāng)X=250時(shí),PQX=250)=C轉(zhuǎn)產(chǎn)即=|,

當(dāng)X=300時(shí),P(X=300)=C|(1)3(1)0=I，

故分布列見下表：

X150200250300

P1331

8888

所以數(shù)學(xué)期望為E(X)=150+200XI+250X|+300X5=225；

OOOO

(in)設(shè)產(chǎn)品中的一等品率為刈故非一等品率為1-久，

所以100久+50(1—久)280,解得*20.6,

所以產(chǎn)品中的一*等品率至少是60%.

19.解：(I)因?yàn)闄E圓的一個(gè)頂點(diǎn)為(2,0),焦距為2#，

所以a=2,c=y/2,所以力=福，故橢圓的方程為￥+[=1,

4Z

故離心率為e=?=乎；

a2

(II)如圖，設(shè)的方程為丫=左。一771),「(久切)，「(久222)，

第7頁(yè)，共10頁(yè)

"x2,y2_1

聯(lián)立方程組佟=，加)，可得曲韻―"+喈一』,

而/=TH2k4呼+1-m2fe4+2k2=（2—苧）M+1>0,

2m2M

mk4mk2-----1_2m2V2—4

所以打+%2=I?=X1X=

4+21+2H'21+2k2

因?yàn)檫^點(diǎn)4和C(l,0)的直線ac與橢圓E的另一個(gè)交點(diǎn)為D,

所以4C,。三點(diǎn)共線，所以灰，而共線,

因?yàn)锽O與X軸垂直,所以、2)，故4C=(1—久1，一%)，CD=(^2~1,—y2)>

故得—yi（%2—1）+丫2（1-％1）=0，所以——1）+女（％2-血）（11％1）=

化簡(jiǎn)得k［Qi+比2)(瓶+1)-2X1久2-2利=0,所以k［含贛x(m+1)-2x華雪段~2利=0,

而吃。，所以受'(6+1)-2><^^-2爪=°,一26+8=°,解得加=4,故m的值為4.

20.解：(I)因?yàn)?。)=三，則斜率k=r(0)=1,

又/(。)=0,

則函數(shù)y=/(久)在點(diǎn)(0,0)處的切線［的方程為久-y=0；

(II)g(x)=/。)=衰,》eR,

則g'Q)=整，

第8頁(yè)，共10頁(yè)

令"(%)=0，得％=2，

則當(dāng)%G(一8,2)時(shí),g'(%)<0,函數(shù)單調(diào)遞減,

當(dāng)久G(2,+8)時(shí)，/(%)>0,函數(shù)單調(diào)遞增，

1

所以9(X)的最小值為g(2)=-葭；

(in)由八%)=會(huì)，得=寧，則r(t)=寧，

可得曲線y=八町在(叮(0)處的切線方程為了—捺=詈0-1),

即y=^rx+|-

令八(X)=￡—

顯然h(t)=o,H(x)=M—9，

令m(x)=爰-V'

y_?

則7n'(%)=-^r=0,得X=2,

所以1(%)在(-8,2)上單調(diào)遞減，在(2,+8)上單調(diào)遞增.

若t<2,%e(一8,1)時(shí)，

所以"(%)>0,

則廿(%)在(一8,t)上單調(diào)遞增，且h(t)=0,

所以以%)在(-8?上無零點(diǎn)，舍去；

若力>2,

因?yàn)?gt;一《，

elez

所以％e(一8由時(shí)，h'(x)min=T(2)=<°，

則h(x)在(-8,久0)上單調(diào)遞增，在(Xo,t)上單調(diào)遞減，

而無趨于-8久時(shí)，h(久)趨于-8,

所以無(無)在(0,t)上存在零點(diǎn).

故t的取值范圍是(2,+8).

21.解:(1)由題意,數(shù)列41,3,5,6,

可得3-1=2,5-1=4,6-1=5,5-3=2,6-3=3,6-5=1,

所以集合T={123,4,5},所以P(T)=5.

第9頁(yè)，共10頁(yè)

(2)證明：必要性：若/為等差數(shù)列，且/是遞減數(shù)列，設(shè)/的公差為d(d<0),