安徽省A10聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期開學(xué)摸底考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1安徽省A10聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期開學(xué)摸底考數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本大題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分．在每小題所給四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題意的．1.已知集合，，則（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由可得或，故，故，故選：C.2.設(shè)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗由可得，由可得或，故能得到，同時(shí)也無(wú)法推出，故“”是“”的充分不必要條件，故選：A.3.已知某學(xué)校參加學(xué)科節(jié)數(shù)學(xué)競(jìng)賽決賽的8人的成績(jī)（單位：分）為：72，78，80，81，83，86，88，90，則這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是（）A.86 B.87 C.88 D.90〖答案〗B〖解析〗將數(shù)據(jù)從小到大排序得，因?yàn)?，所以?5百分位數(shù)是．故選：B．4.一個(gè)質(zhì)地均勻的正四面體木塊的四個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4.連續(xù)拋擲這個(gè)正四面體木塊兩次，并記錄每次正四面體木塊朝下的面上的數(shù)字，記事件A為“第一次向下的數(shù)字為2或3”，事件B為“兩次向下的數(shù)字之和為奇數(shù)”，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.事件A與事件B互斥C.事件A與事件B相互獨(dú)立 D.〖答案〗C〖解析〗依題意，拋擲正四面體木塊，第一次向下的數(shù)字有1，2，3，4四個(gè)基本事件，則，A不正確；事件B含有的基本事件有8個(gè)：，其中事件發(fā)生時(shí)，事件A也發(fā)生，即事件A，B可以同時(shí)發(fā)生，B不正確；拋擲正四面體木塊兩次的所有基本事件有16個(gè)，，即事件A與事件B相互獨(dú)立，C正確；，D不正確.故選：C.5.已知，，若，則實(shí)數(shù)m的值為（）A. B. C.3 D.2〖答案〗C〖解析〗，即，，故，則，由于，故，解得或，因?yàn)椋?，故，即，解?故選：C.6.已知平面向量和滿足，在上的投影向量為，則在上的投影向量為（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?，所以，在上的投影向量為，故，故，所以，則在上的投影向量為.故選：A.7.已知函數(shù)，若a，b，c，d互不相等，且，則的取值范圍為（）A B.C. D.〖答案〗C〖解析〗令，則故，令，則或，由〖解析〗式知：在上遞減且值域，在上遞增且值域?yàn)?，在上遞減且值域?yàn)椋谏线f增且值域?yàn)椋鞒龅牟輬D如下，令且，則，，，為與的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，由圖知：，且，則，由對(duì)勾函數(shù)可知在上遞減，故,故,故選：C.8.在中，M為BC上一點(diǎn)且滿足，，，若，則的外接圓半徑為（）A. B. C.1 D.〖答案〗D〖解析〗設(shè)，則，因?yàn)椋?，由三角形面積公式得，解得，在中，由余弦定理得，故，在中，由余弦定理得，故，在中，由余弦定理得，故，則的外接圓半徑為.故選：D.二、選擇題：本題共3個(gè)小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得部分分．9.瑞士數(shù)學(xué)家歐拉于1748年提出了著名的歐拉公式：其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，i是虛數(shù)單位，該公式將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)聯(lián)，在復(fù)變函數(shù)論中占有非常重要的地位，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”．依據(jù)歐拉公式，下列選項(xiàng)正確的是（）A.虛部為1B.復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限C.D.若，在復(fù)平面內(nèi)分別對(duì)應(yīng)點(diǎn)，，則面積的最大值為1〖答案〗AC〖解析〗A選項(xiàng)，，故的虛部為1，A正確；B選項(xiàng)，，故在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)為，在第一象限，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，，故，C正確；D選項(xiàng)，若，，故，，則，故，當(dāng)，即時(shí)，面積取得最大值，最大值為，D錯(cuò)誤.故選：AC.10.把函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的函數(shù)是一個(gè)奇函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.的最小正周期為B.C.當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)镈.若方程在區(qū)間上恰有六個(gè)不等實(shí)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為〖答案〗BCD〖解析〗由，得故，由于為奇函數(shù)，故，由于，故取，則，故，對(duì)于A，最小正周期為，A錯(cuò)誤，對(duì)于B，由于，故B正確，對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，則，故，故的值域?yàn)?,2，C正確，對(duì)于D，時(shí)，則，要使在區(qū)間上恰有六個(gè)不等實(shí)根，則，解得，故D正確，故選：BCD.11.如圖，M為棱長(zhǎng)為2的正方體表面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則（）A.當(dāng)在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，四棱錐的體積是定值B.當(dāng)在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，與所成角的取值范圍為C.使得直線與平面所成的角為60°的點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為D.若為棱的中點(diǎn)，當(dāng)在底面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，且平面時(shí)，的最小值〖答案〗ACD〖解析〗對(duì)于A，因?yàn)榈酌嬲叫蔚拿娣e不變，在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí),又到平面的距離為正方體棱長(zhǎng)，故四棱錐的體積不變，故A正確；對(duì)于B，由于，故與所成的角即為與所成的角，當(dāng)在端點(diǎn)時(shí)，為等邊三角形，此時(shí)所成的角最小，最小為，當(dāng)在的中點(diǎn)時(shí)，所成的角最大，最大為，故與所成角的取值范圍為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由于在正方體表面上，若直線與平面所成的角為60°，則,故以為圓心，以為半徑作球，與棱相交于點(diǎn)，則的軌跡為線段，以及在平面內(nèi)以為圓心、為半徑的圓弧，如圖①，故的軌跡長(zhǎng)度為，故C正確；分別取、、、、的中點(diǎn)、、、、，由正方體的性質(zhì)可知、、、、，六點(diǎn)共面，且為正六邊形，如圖②,由中位線定理，，平面，平面，所以平面，同理平面，且，平面，所以平面平面，在底面內(nèi)運(yùn)動(dòng),所以軌跡為線段，取中點(diǎn)，連接,則平面，故,故當(dāng)最小時(shí)，最小，由于故，故當(dāng)為時(shí)，的長(zhǎng)最小，此時(shí),故最小為，D正確．故選：ACD．三、填空題：本大題共3個(gè)小題，每小題5分，共15分．12.在中，D為BC邊上的中點(diǎn)，E是AD上靠近A的四等分點(diǎn)，若則______．〖答案〗〖解析〗由，則，因此.13.燕子每年秋天都要從北方飛向南方過冬．專家發(fā)現(xiàn)：兩歲燕子的飛行速度可以表示為（米/秒），若某只兩歲的燕子耗氧量為時(shí)的飛行速度為（米/秒），另一只兩歲的燕子耗氧量為時(shí)的飛行速度為（米/秒），兩只燕子同時(shí)起飛，當(dāng)時(shí)，一分鐘后第一只燕子比第二只燕子多飛行的路程為______米.〖答案〗〖解析〗因?yàn)?，所以，所以，，又，所以，所以，所以，所以一分鐘后第一只燕子比第二只燕子多飛行的路程為（米）.14.已知是球O的球面上的五個(gè)點(diǎn)，四邊形為梯形，，，，平面，則球O的表面積為______．〖答案〗〖解析〗取中點(diǎn)，由于，，故,則四邊形為平行四邊形，故，同理可得，故，故為梯形外接圓圓心，過作平面，且使得，則四邊形為矩形，故球心在的中點(diǎn)，設(shè)球的半徑，，根據(jù)球的性質(zhì)得，，故，故表面積為．四、解答題：本大題共5個(gè)小題，共77分．解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明，證明過程或演算步驟．15.2023年起我國(guó)旅游按下重啟鍵，寒冬有盡，春日可期，先后出現(xiàn)了“淄博燒烤”，“哈爾濱與小土豆”，“天水麻辣燙”等現(xiàn)象級(jí)爆款，之后各地文旅各出奇招，六安文旅也在各大平臺(tái)發(fā)布了六安的宣傳片：六安瓜片、舒城小蘭花、固鎮(zhèn)大白鵝等等出現(xiàn)在大眾視野現(xiàn)為進(jìn)一步發(fā)展六安文旅，提升六安經(jīng)濟(jì)，在5月份對(duì)來(lái)六安旅游的部分游客發(fā)起滿意度調(diào)查，從飲食、住宿，交通，服務(wù)等方面調(diào)查旅客滿意度，滿意度采用百分制，統(tǒng)計(jì)的綜合滿意度繪制成如下頻率分布直方圖，圖中.（1）試估計(jì)游客滿意度得分的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）和第60百分位數(shù).（2）六安文旅6月份繼續(xù)對(duì)來(lái)六安旅游的游客發(fā)起滿意度調(diào)查現(xiàn)知6月1日-6月7日調(diào)查的4萬(wàn)份數(shù)據(jù)中其滿意度的平均值為85，方差為74：6月8日-6月14日調(diào)查的6萬(wàn)份數(shù)據(jù)中滿意度的平均值為95，方差為69.由這些數(shù)據(jù)計(jì)算6月1日—6月14日的總樣本的平均數(shù)與方差.解：（1）由題意知，，所以，所以滿意度得分的平均值為，因?yàn)?，，所以第百分位?shù)位于第三個(gè)區(qū)間內(nèi)，所以第百分位數(shù)為分.（2）把6月1日—6月7日的樣本記為，其平均數(shù)記為，方差記為，把6月8日—6月14日的樣本記為，其平均數(shù)記為，方差記為，總樣本方差為，則總樣本平均數(shù)，由方差的定義，樣本總方差為：,所以，所以總樣本的平均數(shù)為，方差為.16.已知銳角的三個(gè)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．（1）求A；（2）若，求周長(zhǎng)的取值范圍．解：（1）由正弦定理得，則，所以，即，由于，所以，所以，則，，由于，所以.（2）若，由正弦定理得，所以，所以三角形周長(zhǎng)為，由于三角形是銳角三角形，所以，所以，所以，所以，所以三角形周長(zhǎng)的取值范圍是.17.如圖1，矩形中，，，為邊上的一點(diǎn)．現(xiàn)將沿著折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置．（1）如圖2，若為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，求證：平面；（2）如圖3，設(shè)點(diǎn)在平面內(nèi)的射影落在線段上．①求證：平面；②當(dāng)時(shí)，求直線與平面所成的角的余弦值．解：（1）如圖，取是線段的中點(diǎn)，連接，，因?yàn)辄c(diǎn)是線段的中點(diǎn)，所以，，因?yàn)?，，所以，，即四邊形是平行四邊形，所以，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面；?）①由題意可知平面，平面，故，又平面，故平面②由于平面，故為直線與平面所成的角，，，故,,則，故,故直線與平面所成的角的余弦值為.18.設(shè)函數(shù)，．（1）判斷函數(shù)的奇偶性，并討論其單調(diào)性（不需證明單調(diào)性）；（2）求證：；（3）若在區(qū)間上的最小值為，求的值．解：（1）由題意可知，的定義域?yàn)?，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又，所以為奇函數(shù)；因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，所以，在上單調(diào)遞增；（2）因?yàn)椋?，所以可得；?）由,令，由，則，又，則令，對(duì)稱軸，當(dāng)，即時(shí)，，解得，當(dāng)，即時(shí)，，解得，又，因此不符合題意，當(dāng)，即時(shí)，，解得，綜上知，.19.對(duì)于集合和常數(shù)，定義：為集合A相對(duì)的的“正弦標(biāo)準(zhǔn)差”．（1）若集合，，求A相對(duì)的的“正