貴州省遵義市2024屆高三第二次模擬測(cè)試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1貴州省遵義市2024屆高三第二次模擬測(cè)試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.樣本數(shù)據(jù)11，12，13，15，16，13，14，15，11的第一四分位數(shù)為（）A.11.5 B.12 C.12.5 D.13〖答案〗B〖解析〗樣本數(shù)據(jù)由小到大排列為11，11，12，13，13，14，15，15，16，由，得樣本數(shù)據(jù)的第一四分位數(shù)為12.故選：B.2.已知數(shù)列的前項(xiàng)和，則（）A.16 B.17 C.18 D.19〖答案〗D〖解析〗依題意，，，所以.故選：D.3.已知單位向量滿足，則與的夾角為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由平方可得，即，則，則，又，所以，故與的夾角為.故選：B.4.已知集合，，若，則整數(shù)的值為（）A.4 B.5 C.6 D.7〖答案〗A〖解析〗因不等式或，解得或，所以或，因?yàn)?，所以，解得，則整數(shù)的值為，故選：A.5.若函數(shù)在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，，則（）A. B.1 C. D.2〖答案〗C〖解析〗當(dāng)時(shí)，，由在上只有一個(gè)零點(diǎn)，得，解得，由，得，解得，所以.故選：C.6.已知平面滿足，下列結(jié)論正確的是（）A.若直線，則或B.若直線，則與和相交C.若，則，且D.若直線過空間某個(gè)定點(diǎn)，則與成等角的直線有且僅有4條〖答案〗D〖解析〗在正方體中，平面，平面，平面兩兩垂直，令平面為平面，平面為平面，平面為平面，對(duì)于A，直線，，當(dāng)為直線時(shí)，，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，當(dāng)為直線時(shí)，，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，當(dāng)為直線時(shí)，，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，在正方體中，直線相交于點(diǎn)，它們與平面，平面，平面所成的角都相等，而正方體過其中心的直線有且只有4條直線與該正方體各個(gè)面所成的角相等，過空間給定點(diǎn)作直線平行于直線之一，所得直線與與所成角相等，因此直線過空間某個(gè)定點(diǎn)，與成等角的直線有且僅有4條，D正確.故選：D.7.已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，過點(diǎn)且與漸近線垂直的直線與雙曲線左右兩支分別交于兩點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由題意知，點(diǎn)到漸近線的距離為，所以，因?yàn)?，，所以，所以，因?yàn)?，所以，得，則，在中，由正弦定理得，即，得，由雙曲線的定義知，所以，在中，由余弦定理得，即，整理得，即，所以離心率為.故選：A.8.已知定義在上的函數(shù)滿足：，且，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.的周期為4 C.關(guān)于對(duì)稱 D.在單調(diào)遞減〖答案〗C〖解析〗由，，可得，可設(shè)，由，即，則可取，即進(jìn)行驗(yàn)證.選項(xiàng)A：，故選項(xiàng)A不正確.選項(xiàng)B：由，則其最小正周期為,故選項(xiàng)B不正確.選項(xiàng)D：由于周期函數(shù)，則在不可能為單調(diào)函數(shù).故選項(xiàng)D不正確.選項(xiàng)C：,又，故此時(shí)為其一條對(duì)稱軸.此時(shí)選項(xiàng)C正確,故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知實(shí)數(shù)a，b，c滿足，，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.若，則的最小值為2〖答案〗BC〖解析〗對(duì)于A，等價(jià)于，當(dāng)時(shí)，顯然不成立，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，，，故B正確；對(duì)于C，，，，故C正確；對(duì)于D，，，，所以，所以，所以當(dāng)時(shí)，的最小值為2，此時(shí)，顯然不滿足，故D錯(cuò)誤.故選：BC.10.關(guān)于復(fù)數(shù)，下列結(jié)論正確的是（）A.B.若C.若，則D.若，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡為一條直線〖答案〗AD〖解析〗對(duì)于A，設(shè)，則，A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，則，而，因此，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，設(shè)，由，得，因此在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡為一條直線，D正確.故選：AD.11.已知平面內(nèi)曲線：，下列結(jié)論正確的是（）A.曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱B.曲線所圍成圖形的面積為C.曲線上任意兩點(diǎn)同距離的最大值為D.若直線與曲線交于不同的四點(diǎn)，則〖答案〗AC〖解析〗對(duì)于A，在曲線：中，分別換方程不變，因此曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，即表示以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓在第一象限的圓弧，圓弧端點(diǎn)，，，則，，扇形的面積，在曲線的方程中，用換或者用換方程都不變，則曲線關(guān)于對(duì)稱，也關(guān)于軸對(duì)稱，所以曲線所圍成圖形的面積為，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由選項(xiàng)B知，曲線在第二象限、在第三象限、在第四象限內(nèi)的部分分別是以點(diǎn)為圓心，半徑為的圓弧，圓心角都等于，由圖知，兩個(gè)點(diǎn)分別在兩段圓弧上時(shí)，兩點(diǎn)間的距離才可能最大，由圓的性質(zhì)知，當(dāng)兩個(gè)點(diǎn)在相鄰兩個(gè)象限的圓弧上時(shí)，兩點(diǎn)間距離最大值等于，當(dāng)兩個(gè)點(diǎn)在相對(duì)兩個(gè)象限的圓弧上時(shí)，兩點(diǎn)間距離最大值等于，而，所以曲線上任意兩點(diǎn)同距離的最大值為，C正確；對(duì)于D，直線交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)都在曲線在第四象限的圓弧下方，點(diǎn)到直線的距離，于是直線曲線無公共點(diǎn)，且在曲線的下方，當(dāng)時(shí)，直線在曲線的下方，與曲線無公共點(diǎn)，D錯(cuò)誤.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．12.三角形中，角所對(duì)的邊分別為，若，則_____________．〖答案〗〖解析〗在中，由正弦定理及，得，而，則，兩邊平方得,于是，而，則，于是，，而，根據(jù)大邊對(duì)大角，不可能是鈍角，所以.13.某校開展勞動(dòng)技能比賽，高三（1）班有3名男生，5名女生報(bào)名參賽，現(xiàn)從8名同學(xué)中選4名同學(xué)代表班級(jí)參加比賽，要求男女生各至少1人，則不同的選派方案共有_________種．〖答案〗65〖解析〗從8名同學(xué)中任選4名，有種方法，其中全是女生的選法有種，所以不同的選派方案共有（種）.14.如圖，棱長(zhǎng)為4的正方體中，點(diǎn)為中點(diǎn)，點(diǎn)在正方體內(nèi)（含表面）運(yùn)動(dòng)，且滿足，則點(diǎn)在正方體內(nèi)運(yùn)動(dòng)所形成的圖形的面積為_________________；若在正方體內(nèi)有一圓錐，圓錐底面圓內(nèi)切于正方形，圓錐頂點(diǎn)與正方體上底面中心重合，則點(diǎn)運(yùn)動(dòng)所形成的圖形截圓錐表面得到的橢圓的離心率為_____________________.〖答案〗〖解析〗取，的中點(diǎn)，連接，則且，則點(diǎn)在正方體內(nèi)運(yùn)動(dòng)所形成的圖形為四邊形，又在正方體中平面，且平面，則，所以四邊形為矩形.又，則又，所以，即，由上可知平面，且平面，則，由，且平面，平面，所以平面.當(dāng)點(diǎn)在正方體內(nèi)運(yùn)動(dòng)所形成的圖形為四邊形時(shí)，平面，所以滿足，此時(shí)，，面積為.由上可知為平面與底面所成角.則，則，故，設(shè)截面橢圓的中心為，長(zhǎng)軸為，短軸為，過橢圓的短軸作與圓錐的底面平行的截面分別交母線于兩點(diǎn).設(shè)該截面與圓錐的軸所成角為，則，則，設(shè)圓錐的母線于圓錐的軸所成角為，則.，由相交弦定理可得：，在中，，所以，即，在中，，所以，即，設(shè)橢圓的離心率為，則，所以.四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知直線過點(diǎn)，拋物線．（1）若直線與拋物線于兩點(diǎn)，且中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，求直線的方程；（2）若直線與拋物線有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，求直線的方程．解：（1）依題意，直線的斜率存在且不為0，設(shè)其方程為，，由消去y得，，解得，，由中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，得，解得或，所以直線的方程為或，即或.（2）當(dāng)直線的斜率不存在或?yàn)?時(shí)，直線與曲線有唯一公共點(diǎn)，此時(shí)直線的方程為或；當(dāng)直線斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)直線的方程為，由（1）知，，解得，直線的方程為，所以直線的方程為或或.16.商場(chǎng)對(duì)某種商品進(jìn)行促銷，顧客只要在商場(chǎng)中購(gòu)買該商品，就可以在商場(chǎng)中參加抽獎(jiǎng)活動(dòng)．規(guī)則如下：先賦予參加抽獎(jiǎng)的顧客5分的原始分，然后從裝有4個(gè)紅球，2個(gè)白球，2個(gè)黑球的盒中有放回地隨機(jī)取球若干次，每次取出一個(gè)球，若為紅球，則加1分，否則扣1分，過程中若顧客持有分?jǐn)?shù)變?yōu)?分，抽獎(jiǎng)結(jié)束；若顧客持有分?jǐn)?shù)達(dá)到15分，則獲得一等獎(jiǎng)，抽獎(jiǎng)結(jié)束．（1）求顧客3次取球后持有分?jǐn)?shù)的數(shù)學(xué)期望；（2）設(shè)顧客在抽獎(jiǎng)過程中持有分?jǐn)?shù)為分最終獲得一等獎(jiǎng)的概率為；①證明：是等差數(shù)列；②求顧客獲得一等獎(jiǎng)的概率．（1）解：記事件：“一次取出紅球”，則，設(shè)顧客3次取球取得紅球的次數(shù)為隨機(jī)變量為，3次取球后累計(jì)分?jǐn)?shù)為隨機(jī)變量.則，則，故，所以；（2）①證明：由題意當(dāng)時(shí)，，即，所以是等差數(shù)列；②解：由題意，由上可知：，所以，又由題意，所以.由先賦予參加抽獎(jiǎng)的顧客5分的原始分，即，所以先賦予參加抽獎(jiǎng)的顧客5分的原始分，顧客獲得一等獎(jiǎng)的概率.17.通過化學(xué)的學(xué)習(xí)，我們知道金剛石是天然存在的最硬的物質(zhì)，純凈的金剛石是無色透明的正八面體形狀的固體，如圖1是組成金剛石的碳原子在空間中排列的結(jié)構(gòu)示意圖，從圖中可以看出，組成金剛石的每個(gè)碳原子都與其相鄰的4個(gè)碳原子以完全相同的方式連接，從立體幾何的角度來看，可以認(rèn)為4個(gè)碳原子分布在一個(gè)所有棱長(zhǎng)都相等的正三棱錐的4個(gè)頂點(diǎn)處，而中間的那個(gè)碳原子處于與這4個(gè)碳原子距離相等的位置，如圖2所示：（1）在金剛石的碳原子空間結(jié)構(gòu)圖（圖2）中，求直線與直線所成角的余弦值；（2）若四面體和正八面體的棱長(zhǎng)相等，現(xiàn)將兩幾何體拼接起來，使它們一個(gè)表面完全重合，得到一個(gè)新多面體，判斷新多面體為幾面體，并說明理由．解：（1）將正四面體放入正方體中，為正方體的中心，如圖，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為，則，在中，由余弦定理得：，所以直線與直線所成角的余弦值為.（2）新多面體為七面體.設(shè)四面體和正八面體的棱長(zhǎng)為1，在正四面體中，取中點(diǎn)為，連接，在正中，，同理，則為二面角的平面角，，在中，由余弦定理得：，在四棱錐中，取中點(diǎn)，連接，在正中，，同理，即即為二面角的平面角，而，在中，由余弦定理得：，于是二面角與二面角互補(bǔ)，同理得二面角的余弦值為，以平面與平面完全對(duì)應(yīng)重合為例，則，，，四點(diǎn)共面，同理，，，四點(diǎn)共面，，，，四點(diǎn)共面，所以將兩幾何體拼接起來，使它們一個(gè)表面完全重合，得到一個(gè)七面體.18.函數(shù)有且只有兩個(gè)零點(diǎn)．（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）已知為常數(shù)，設(shè)函數(shù)，若，求的值．解：（1）函數(shù)定義域?yàn)?，求?dǎo)得，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，此時(shí)至多一個(gè)零點(diǎn)，不合題意；當(dāng)時(shí)，由，得；由，得，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，當(dāng)趨近于0時(shí)，趨近于正無窮大，當(dāng)趨近于正無窮大時(shí)，趨近于正無窮大，則只需，即，此時(shí)在上有唯一零點(diǎn)，在上有唯一零點(diǎn)，符合題意，所以的取值范圍是.（2）由（1）知，得，令，則，，，，，記，，令，則，令，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，而，則，當(dāng)時(shí)，時(shí)，當(dāng)時(shí)，，于是函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，因此，顯然當(dāng)時(shí)，，而，所以.19.設(shè)集合或，中的元素，，定義：．若為的元子集，對(duì)，都存在，使得，則稱為的元最優(yōu)子集．（1）若，且，試寫出兩個(gè)不同