湖北省新高考聯(lián)考協(xié)作體2025屆高三上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖北省新高考聯(lián)考協(xié)作體2025屆高三上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)集合，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)?，所以且，所?故選：C.2.已知b，，虛數(shù)是方程的根，則（）A. B. C.4 D.2〖答案〗A〖解析〗是方程的根，則方程另一根為，故，.故選：.3.已知向量，，若，則（）A.2 B. C.1 D.0〖答案〗C〖解析〗由于，.故〖答案〗為：C.4.已知相互嚙合的兩個齒輪，大輪有45齒，小輪有30齒.如果大輪的轉(zhuǎn)速為180（轉(zhuǎn)/分），小輪的半徑為10cm，那么小輪周上一點(diǎn)每1s轉(zhuǎn)過的弧長是（）cm.A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗大輪有45齒，小輪有30齒，…當(dāng)大輪轉(zhuǎn)動一周時小輪轉(zhuǎn)動周，當(dāng)大輪的轉(zhuǎn)速為180時，小輪轉(zhuǎn)速為，小輪周上一點(diǎn)每1s轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)為：.又小輪的半徑為10cm，所以小輪周上一點(diǎn)每1s轉(zhuǎn)過的弧長為：.故選：B.5.已知隨機(jī)變量，且，則的最小值為（）A.5 B. C. D.〖答案〗D〖解析〗根據(jù)正態(tài)分布的知識得，則，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等.故選：D.6.已知某圓臺上下底面半徑分別為2.5和6，母線長為7，則該圓臺內(nèi)能放入最大球的表面積為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗圓臺的軸截面如圖等腰梯形，過分別作垂直，垂足為，，，所以圓臺軸截面等腰梯形底角為60°，高為，設(shè)邊長為的正三角形的內(nèi)切圓半徑為，則，解得，即邊長為12的正三角形內(nèi)切圓半徑為，，故能放入最大球半徑為，其表面積為.故選：A.7.設(shè)函數(shù)，若，則a，b滿足的關(guān)系式為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，且恒成立，在定義域上單調(diào)增且零點(diǎn)為，在定義域上單調(diào)減且零點(diǎn)為，故與在定義域內(nèi)函數(shù)值正負(fù)相反且零點(diǎn)重合，則.故選：C.8.小明有一枚質(zhì)地不均勻的骰子，每次擲出后出現(xiàn)1點(diǎn)的率為，他擲了k次骰子，最終有6次出現(xiàn)1點(diǎn)，但他沒有留意自己一共擲了多少次骰子.設(shè)隨機(jī)變量X表示每擲N次骰子出現(xiàn)1點(diǎn)的次數(shù)，現(xiàn)以使最大的N值估計(jì)N的取值并計(jì)算.（若有多個N使最大，則取其中的最小N值）.下列說法正確的是（）A. B.C. D.與6的大小無法確定〖答案〗B〖解析〗X服從二項(xiàng)分布，則，最大即為滿足，解得，又，故整數(shù)時，結(jié)合題設(shè)要求，；不為整數(shù)時N為小于，，故，故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知函數(shù)，則（）A.的極小值點(diǎn)為1B.有三個零點(diǎn)C.點(diǎn)為曲線的對稱中心D.過點(diǎn)可以做曲線的兩條切線〖答案〗AC〖解析〗，當(dāng)時，f'x>0，則當(dāng)x∈-1,1時，f'x當(dāng)x∈1,+∞時，f'所以為極大值點(diǎn)，1為極小值點(diǎn)，故A正確；令，即，則或，所以函數(shù)有兩個零點(diǎn)，故B錯誤；令，則，又，所以為奇函數(shù)，其圖像關(guān)于對稱，則圖像關(guān)于對稱，故C正確；設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則斜率，則切線方程為，將點(diǎn)0,2代入切線方程，整理可得，解得，即過點(diǎn)0,2可以做曲線y=fx的一條切線，故D故選：AC.10.受潮汐影響，某港口5月份每一天水深y（單位：米）與時間x（單位：時）的關(guān)系都符合函數(shù)（，，，）.根據(jù)該港口的安全條例，要求船底與水底的距離必須不小于2.5米，否則該船必須立即離港，一艘船滿載貨物，吃水（即船底到水面的距離）6米，計(jì)劃于5月10日進(jìn)港卸貨（該船進(jìn)港立即可以開始卸貨），已知卸貨時吃水深度以每小時0.3米的速度勻速減少，卸完貨后空船吃水3米（不計(jì)船?？看a頭和駛離碼頭所需時間）.下表為該港口5月某天的時刻與水深關(guān)系：時刻2：005：008：0011：0014：0017：0020：0023：00水深/米1074710747以下選項(xiàng)正確的有（）A.水深y（單位：米）與時間x（單位：時）的函數(shù)關(guān)系為，B.該船滿載貨物時可以在0：00到4：00之間以及12：00到16：00之間進(jìn)入港口C.該船卸完貨物后可以在19：00離開港口D.該船5月10日完成卸貨任務(wù)的最早時間為16：00〖答案〗ABD〖解析〗依題意，，，解得，顯然函數(shù)的圖象過點(diǎn)，即，又，因此，所以函數(shù)表達(dá)式為，，故A對；依題意，，整理得，即有，即,解得或，所以該船可以在0點(diǎn)到4點(diǎn)以及12點(diǎn)到16點(diǎn)進(jìn)入港口，故B對；該船卸完貨后符合安全條例的最小水深為5.5，19時水深為，故C錯；該船0點(diǎn)進(jìn)港即可以開始卸貨，設(shè)自0點(diǎn)起卸貨x小時后，該船符合安全條例的最小水深為函數(shù)與的圖象交于點(diǎn)，即卸貨5小時后，在5點(diǎn)該船必須暫時駛離港口，此時該船的吃水深度為4.5米，下次水深為7米時刻為11點(diǎn)，故該船在11點(diǎn)可返回港口繼續(xù)卸貨，5小時后完成卸貨，此時為16點(diǎn)，綜上，該船在0點(diǎn)進(jìn)港開始卸貨，5點(diǎn)暫時駛離港口，11點(diǎn)返回港口繼續(xù)卸貨，16點(diǎn)完成卸貨任務(wù)，故D對.故選：ABD.11.已知圓，過點(diǎn)向圓引切線，切點(diǎn)為，記的軌跡為曲線，則（）A.曲線關(guān)于軸對稱B.在第二象限的縱坐標(biāo)最大的點(diǎn)對應(yīng)的橫坐標(biāo)為C.的漸近線為D.當(dāng)點(diǎn)在上時，〖答案〗ABD〖解析〗圓，圓心，半徑，且，且.，則點(diǎn)在圓M外.由題意知，設(shè)，則①又點(diǎn)Q在圓M上，則②，①-②得，，解得③，由且，解得，且將③代入②消a得，即為曲線C的方程.設(shè)，，則，令，解得，或，或（舍）當(dāng)時，f'x>0，當(dāng)時，f'x<0，當(dāng)時，f'x>0，單調(diào)遞增且，，當(dāng)時，.且當(dāng)時，函數(shù)與單調(diào)性相同，且，，當(dāng)時，.故的大致圖象如圖①所示，又由方程可知曲線C關(guān)于x軸對稱，且.故曲線C的大致圖象為如圖②所示，故C在第二象限的縱坐標(biāo)最大的點(diǎn)對應(yīng)的橫坐標(biāo)為，漸近線為，A、B項(xiàng)正確，C錯誤；D項(xiàng)，當(dāng)點(diǎn)在C上時，則，由，或.得，又，，則，所以成立，故D正確；故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.在的展開式中，若的系數(shù)為，則_____.〖答案〗〖解析〗由二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式可得第，令，可得的系數(shù)為，所以，則，則.13.M、N分別為曲線與直線上的點(diǎn)，則的最小值為______.〖答案〗〖解析〗，，令可得，所以，，單調(diào)遞減；x∈0,+∞，，單調(diào)遞增；所以恒成立，恒成立，則曲線在直線上方，則當(dāng)M處切線與直線平行時MN最小，求導(dǎo)得，此時點(diǎn)到直線距離即為最短距離，此時.14.將橢圓上所有的點(diǎn)繞原點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)角，得到橢圓的方程：，橢圓的離心率為______.〖答案〗〖解析〗橢圓上所有點(diǎn)繞原點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)角，得到橢圓的方程：，設(shè)點(diǎn)Px,y在該橢圓上，則其關(guān)于的對稱點(diǎn)代入橢圓方程有，即，則該對稱點(diǎn)位于橢圓方程上，同理其關(guān)于的對稱點(diǎn)也位于橢圓方程上，則關(guān)于對稱，如圖所示：將代入可得，可得橢圓長軸的頂點(diǎn)為，，即，將代入，可得：，可得橢圓短軸的頂點(diǎn)為，，即，則，故.四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.（1）求角C的大??；（2）若，，求AB邊上的中線長.解：（1）因?yàn)?，由正弦定理可?又因?yàn)?，則，所以.整理得，即.因?yàn)?，所以，所以，所?（2）由余弦定理，且，則有，又，故.設(shè)邊上中線為CM，則，，故邊上中線長為.16.已知平面內(nèi)一動圓過點(diǎn)，且在y軸上截得弦長為4，動圓圓心的軌跡為曲線C.（1）求曲線C的方程；（2）若過點(diǎn)的直線l與曲線C交于點(diǎn)M，N，問：以MN為直徑的圓是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求出這個定點(diǎn)；若不過定點(diǎn)，請說明理由.解：（1）設(shè)動圓圓心，當(dāng)時，依題意，，即；當(dāng)時，點(diǎn)C的軌跡為點(diǎn)，滿足，所以點(diǎn)C的軌跡方程為.（2）依題意，直線不垂直于軸，設(shè)直線l方程為：，，由消去x并整理得，恒成立，則，令圓心為，則，，，直徑，則圓的方程為，當(dāng)時，，因此對于，圓恒過原點(diǎn)，所以存在定點(diǎn)，以MN為直徑的圓過定點(diǎn).17.某學(xué)校有，兩家餐廳，王同學(xué)開學(xué)第1天（9月1日）午餐時去餐廳用餐的概率是.如果第1天去餐廳，那么第2天繼續(xù)去餐廳的概率為；如果第1天去餐廳，那么第2天去餐廳的概率為，如此往復(fù).（1）計(jì)算王同學(xué)第2天去餐廳用餐的概率.（2）記王同學(xué)第天去餐廳用餐概率為，求；（3）求九月（30天）王同學(xué)去餐廳用餐的概率大于去餐廳用餐概率的天數(shù).解：（1）設(shè)表示第1天去餐廳，表示第2天去餐廳，則表示第1天去餐廳，根據(jù)題意得，，，，，所以.（2）設(shè)表示第天去餐廳用餐，則，，根據(jù)題意得，，，由全概率公式得，，即，整理得，，又，所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，.（3）由題意，只需，即，則，即，顯然必為奇數(shù)，為偶數(shù)時不成立，當(dāng)時，考慮的解，當(dāng)時，顯然成立，當(dāng)時，，不成立，由單調(diào)遞減得，時，也不成立，綜上，該同學(xué)只有1天去餐廳用餐的概率大于去餐廳用餐概率.18.已知函數(shù).（1）函數(shù)與的圖像關(guān)于對稱，求的〖解析〗式；（2）在定義域內(nèi)恒成立，求a的值；（3）求證：，.（1）解：依題意，設(shè)圖像上任意一點(diǎn)坐標(biāo)為，則其關(guān)于對稱的點(diǎn)在圖像上，則，則，故，；（2）解：令，，則在在恒成立，又，且hx在上是連續(xù)函數(shù)，則為hx的一個極大值點(diǎn)，，，下證當(dāng)時，在恒成立，令，,當(dāng)，φ'x>0，φx在當(dāng)，φ'x<0，φx在故，在上恒成立，又，則時，恒成立，綜上，.（3）證明：由（2）可知：，則，即，則，又由（2）可知：在上恒成立，則在0,+∞上恒成立且當(dāng)且僅當(dāng)時取等，令，，則，即，則，綜上，，即證.19.類似平面〖解析〗幾何中的曲線與方程，在空間直角坐標(biāo)系中，可以定義曲面（含平面）的方程，若曲面S和三元方程之間滿足：①曲面上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)均為三元方程的解；②以三元方程的任意解為坐標(biāo)的點(diǎn)均在曲面上，則稱曲面的方程為，方程的曲面為.已知曲面的方程為.（1）寫出坐標(biāo)平面的方程（無需說明理由），并說明平面截曲面所得交線是什么曲線；（2）已知直線過曲面上一點(diǎn)，以為方向量，求證：直線在曲面上（即上任意一點(diǎn)均在曲面上）；（3）已知曲面可視為平面中某雙曲線的一支繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)面；同時，過曲面上任意一點(diǎn)，有且僅有兩條直線，使得它們均在曲面上.設(shè)直線在曲面上，且過點(diǎn)，求異面直線（第二間中的直線）與所成角的余弦值.解：（1）根據(jù)坐標(biāo)平面內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)的特征可知，坐標(biāo)平面的方程為，已知曲面的方程為，當(dāng)時,平面截曲面所得交線上的點(diǎn)滿足，從而平面截曲面所得交線是平面上，以原點(diǎn)為對稱中心，焦點(diǎn)在軸上，實(shí)軸長為