河南省聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高三年級(jí)上冊開學(xué)摸底聯(lián)考 數(shù)學(xué)試題（含解析）

2025屆高三開學(xué)摸底聯(lián)考

數(shù)學(xué)試題

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考場號(hào)、座位號(hào)、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如

需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。

寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

考試時(shí)間為120分鐘，滿分150分

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的。

1.已知集合4=日。<%<31*={-則(

A{0/，2}BI2}c{々2}D.{-2,-U，2}

2.若復(fù)數(shù)Z滿足2="，則歸=()

1+i11

V10_

A.2B.6C.百D.舊

3.拋物線y=4/的焦點(diǎn)坐標(biāo)為()

A.tMB.Hic.?1)

D.a。)

22

4.雙曲線—』—二1〉0)的禺心率為()

V2273

A.2B.3C.&D.26

5.將正整數(shù)1,2,3,…按從小到大的順序分組，第〃組含2"T個(gè)數(shù),分組如下：

(1),(2,3),(4,5,6,7),(8,9,10,11,12,13,14,15),…則2025在第()組.

A.9B.10C.11D.12

6.在△Z8C中，內(nèi)角48,C的對(duì)邊分別為名“c,。=3,0=4,且△48C的面積

反

S=^-(a2+c2-b2),若N4BC的平分線交NC于點(diǎn)。，則()

12G6V3__

A.7B.5C.2GD.12G

7.已知面積為9省的正三角形48c的所有頂點(diǎn)都在球。的球面上，若三棱錐。-48。的體積為6省,

則球。的表面積為（）

A.32兀B.64兀C.8兀D.167r

8.已知函數(shù)f(x)=sin((?x+1+sinI(?x--1-1(0<<?<5）,將/（x）的圖象向右平移.個(gè)單位長度后

7T1

得到g（x）的圖象，若g（x）在0,-上的值域?yàn)椋?1,1］,則函數(shù)y=g（x）+土在［-2兀,2兀］上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)

［_co\2

為（）

A.4B.6C.8D.10

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求。全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。

9.已知命題hu-上—”為真命題，則實(shí)數(shù)a的值可以是（）

L72x

A.2B.0C.-1D.-2

10.已知隨機(jī)變量X?N（90,900）,y?N（100,400）,則下列說法正確的是（）

A.E（X）<E（Y）B.E（2X-10）=170

C.^（27+10）=800D.P（X>120）+P（y<120）=1

11.若定義在R上的偶函數(shù)y=/（x）,對(duì)任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)王,々e（O,+e），都有

x\f(xi)+xif(x2)<x\f(x2)+xif(xi),則稱>=/(x)為"A函數(shù)"下列函數(shù)為"A函數(shù)"的是A.

2B./(x)=ln(4+》2)

/(x)=4-x

f一e”,x>0,

C./(x)=l-2|x|D."x)=,

e"-e-x,x<0.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.在@+的展開式中，含無的項(xiàng)的系數(shù)為.

13.已知函數(shù)機(jī)》—3,若當(dāng)xe（l,2）時(shí)，函數(shù)/（x）存在最小值，則實(shí)數(shù)加的取值

范圍是.

14.如圖，已知圓。的半徑為4,45是圓。的一條直徑，C,D兩點(diǎn)均在圓。上，|。。|=4百，點(diǎn)尸為

線段上一動(dòng)點(diǎn)，則方?麗的取值范圍是.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

15.（13分）近些年來，促進(jìn)新能源汽車產(chǎn)業(yè)發(fā)展政策頻出，新能源市場得到很大發(fā)展，銷量及滲透率遠(yuǎn)

超預(yù)期，新能源幾乎成了各個(gè)汽車領(lǐng)域的熱點(diǎn).在對(duì)某品牌10個(gè)子工廠投資及利潤的統(tǒng)計(jì)后，得到如下

表格，玉,y,分別表示第，個(gè)子工廠的投資（單位：萬元）和純利潤（單位：萬元）.

投入七/萬元32313336373839434546

純利潤yj萬

25303437394142444850

元

（1）依據(jù)表中的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，請判斷投資x與純利潤》是否具有較強(qiáng)的線性相關(guān)程度？

（參考：若0.3。<卜|<075,則線性相關(guān)程度一般；若卜20.75,則線性相關(guān)程度較強(qiáng).計(jì)算外時(shí)精確

度為0.01）

（2）求y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程（精確到0.01）.

10101010

參考數(shù)據(jù)：=380,2匕=390,^（x,.-x）2=254,-y）2=546.

i=lz=lz=lz=l

10

￡（毛—x）（^.-v）=355,V34671?186.20

1=1

Wa-元x%一歹）

參考公式：相關(guān)系數(shù)i,,，對(duì)于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)

歸玲￡（%一力2

Vi=li=l

（x;,j;）（z=1,2,???,?）,其回歸直線9=&+?的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為

八￡（%一元）（y—歹）八

b=—-------------------,d=y-bx.

元）

i=l

16.（15分）已知數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S”，且2s“+9=34+4〃.

（1）求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

（2）求數(shù)列十Q-2）｝的前〃項(xiàng)和7；.

17.（15分）如圖，在三棱柱Z8C—Z4G中，44]_L平面48C,48]

AB=BC=2.

（1）求證：48]，平面48。；

（2）設(shè)點(diǎn)尸滿足乖=；1而（0</141）,若平面4ap與平面8cp的夾角為g,求實(shí)數(shù)X.

18.（17分）已知函數(shù)/（x）=ln（x+a）+；x2（a〉0）,當(dāng)xe[0,+e）時(shí)，f（x）e[0,+oo）.

（1）求實(shí)數(shù)a的值；

（2）判斷函數(shù)/（x）的單調(diào)性；

（3）設(shè)g（x）=/（x）—；/,證明：對(duì)任意兩個(gè)不等實(shí)數(shù)石,々6[0,+"）,不等式

X1-X2>（g（Xj）-g（x2））\石工2+X]++1恒成立.

22

19.（17分）定義：若橢圓C:亍+%=l（a〉b〉0）上的兩個(gè)點(diǎn)幺（國,%）,8（%2，%）滿足

學(xué)+學(xué)=0,則稱48為該橢圓的一個(gè)“共聊點(diǎn)對(duì)”，記作[48]已知橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為

￡（—1,0）,且橢圓過點(diǎn)

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)求證：有兩個(gè)點(diǎn)5滿足“共軌點(diǎn)對(duì)”[48],并求出8的坐標(biāo)；

(3)設(shè)(2)中的兩個(gè)點(diǎn)5分別是用,々，設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P,。在橢圓C上，且與，P,B2,

。順時(shí)針排列且尸。〃04,證明：四邊形男尸與。的面積小于4JL

2025屆高三開學(xué)摸底聯(lián)考

數(shù)學(xué)參考答案及評(píng)分意見

1.B【解析】由題易得ZC8={1,2}.故選B.

2.D【解析】由題知，2=尊型二?=±&=2—i.所以上|=君.故選。.

(1+00-0211

3.B【解析】拋物線>=4/的標(biāo)準(zhǔn)方程為》2=；了，所以拋物線>=4/的焦點(diǎn)的坐標(biāo)為10,焉:故

選B.

220A

4.B【解析】由二—2=1,得/=3/,尸=/,所以02=今，即雙曲線的離心率e=22.故選

t3

B.

5.C【解析】由題意可設(shè)前〃組里含有的正整數(shù)的個(gè)數(shù)為S〃，則

1(1-2〃)

S”=1+2+2?+23+…+2〃T=；2J2—1,由于Ro=21°—1=1023<2025,

E]=2"—1=2047>2025,故2025在第11組.故選C.

6.A【解析】由S可知，acsinB=x2accosB.所以tan5=JJ,所以

JT

B=~3.在△4BC中，由等面積法得S/\△枷=SDABUAD+SLBJCD，即

-BC-BA-sinB=-BA-BDsin—+-BC-BD-sin—,即

22222

ipiiiiiinpy

—x3x4x——=—x4xBDx—+—x3xBDx—.所以5Z)=------.故選A.

2222227

A

D

7.B【解析】設(shè)球。的半徑為A,△48C外接圓圓心為a，半徑為r,△48C的邊長為a,

???△48。是面積為9G的等邊三角形，.?.工/x苴=96.解得。=6,.?/=立。=2百

223

VS

o-ABC=|^ABC-OQ=1x9V3XOOX=6V3,所以0a=2,則A?=°。；+72=4十】？=16.則球

。的表面積為47由2=647c.故選B.

兀兀兀兀

8.C【解析】g(x)=sinCD+—+sina)\x=smG)X------CO----,--因?yàn)楫?dāng)

6I266

八兀r,_L兀71717171571兀兀兀

X€0,一時(shí),CDX-----(X)------€-----3,CO-\—71<------①-------<-------

CO666--6---6---6666

兀兀<兀

——G)-

兀5715兀62

0<-—CD-\---<——,g(x)在0,-上的值域類[—1,1],所以"解得。=2,即

666CD兀5兀、兀

——a)-\---,

I662

g(x)=sin^2x-^=-cos2x,y=g(x)+g的零點(diǎn)即為cos2x=g的根，則2x=-g+2左?；?/p>

71一.+E或x=：+E,keZ,所以函數(shù)》=g(x)+；在［一2兀,2兀］上的零點(diǎn)有

2x=—+2Ml，即x=

3

7兀兀5兀11兀11兀5兀7T7兀

—,一,—，共8|.故選C.

6'6'6'6'6666

9.CD【解析】因?yàn)槊}"Vxe［l,+”)，hu—工―aNO”為真命題，所以

2x

a<Inx--.令/(x)=Inx-」-,xe[1,+oo),易知/(x)為增函數(shù)，當(dāng)x=l時(shí)，/(x)有最小值

2x2x

/(1)=-1.故實(shí)數(shù)a的取值范圍為

-OO--.故選CD.

2

10.ABD【解析】由隨機(jī)變量X?N（90,900）,y?N（100,400）,得

E(X)=90,0(X)=900,￡。)=100,D(7)=400,故A正確;

￡(2^-10)=2￡(^)-10=2x90-10=170,故B正確;

￡>（27+10）=22Z）（y）=4x400=1600,故C錯(cuò)誤：兩個(gè)隨機(jī)變量的〃+o■均為120,由正態(tài)分布特點(diǎn)

知D正確.故ABD.

11.ACD【解析】根據(jù)題意，對(duì)任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)苞,》2e（0,+"），都有

玉/（石）+//）<xj（x2）+x2f（xj,變形可得X][/（X）—/（%）]—%[/（X）—/（%）]<0.即

（X]-X2>[/（X1）-/（X2）]<°?若X]<,Xi-X2<0.可得/（再）一/（》2）>°，即

/6）>/（%>/（二）在（0,+O）上單調(diào)遞減.又/（X）為偶函數(shù)，.?./（X）在（一。,0）上單調(diào)遞增.易知

A,C,D符合題意，故ACD正確；對(duì)于選項(xiàng)B,/（%）在（0,+"）上單調(diào)遞增，不滿足題意，故B錯(cuò)

誤.故選ACD.

r

5r

12.80【解析@+的二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式為7；+i=q25T.g）=仁25-//=0,1,2,…,5,

令鼻=1,可得r=2,所以7；=C；23X=80X,故含x的項(xiàng)的系數(shù)為80.

13.（-e-4,-2）【解析?.?/'（》）=/+廿-1+根在、€（1,2）上單調(diào)遞增，由題意只需<

m+2<0,/、/、/、

4+e+%]o解得一e—4<7〃<—2.這時(shí)存在％e（1,2）,使得/（x）在區(qū)間（l,x0）上單調(diào)遞減，在區(qū)

間[%,2）上單調(diào)遞增，即函數(shù)/（x）在區(qū)間（1,2）上有極小值也即是最小值.所以功的取值范圍是

(-e-4,-2).

14.[-12,0]【解析】如圖，。為圓心，連接。尸，則

-/、，、?2???????2f、?2

PA?PB?=(PO?+OA?y(PO?+OB?)=PO+POOB+POOA+OAOB=PO+尸。??印?+?

=|P0|2-p|2=|P0|2-16,

因?yàn)辄c(diǎn)尸在線段CD上且=則圓心到直線的距離d=,42—00]=2,所以

2<|PO|<4,所以4m而『V16,則—124|麗『—16W0,即萬.方的取值范圍是[—12,01

15.解：(1)依題意知，相關(guān)系數(shù)

10

-無）（%-力

355

i=l,x0.95>075,

fw.107"254x5462V34671

VZ=1Z=1

所以y與x之間具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系

10

￡（x,-元）（匕-歹）

11"4。

(2)依題意知,b=---------------

之（—）2

1=1

x=38/—39

-355

a=y-bx^39—-—x38?-14.11

254

所以y關(guān)于1的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為歹=1.40%-1411

16.解：（1）當(dāng)〃=1時(shí)，2%+9=3%+4,即q=5,

當(dāng)"22時(shí)，2S.+9=3a“+4〃①，2S,”]+9=3%_]+4（〃一1）②，

①一②得：2a“=3%—+4,即a“=3a“_i—4,所以%—2=3（a“_1一2）.

因?yàn)?-2=5-2=3,

所以數(shù)列｛?！?2｝是首項(xiàng)為3,公比為3的等比數(shù)列

則%-2=3",

即=3"+2.

（2）由（1）得〃（％-2）=〃-3",

所以7；=1X3+2X32+3X33+---+MX3\

37；,=1X32+2X33+---+（?-1）X3H+?X3,,+1,

故27；=〃x3"i_(3+32+…+3")=〃x3"M_￡(^9=^_1^x3?+i+|,

土，(2〃—1)3角+3

所以<二1—L——.

17.(1)證明：?.?44]J.平面48C,8Cu平面NBC,

AAX±BC.

又：4B工BC.且幺民u平面A8814，Z5nZ4=2,

.?.BC,平面幺叫4.

,/ABlu平面ABBXAX,:.BC±ABX.

又?.-AB[14C,BCn4c=C,5c,4Cu平面AXBC,

ABi，平面48c.

(2)解：由(1)知，4民.?.四邊形48與4為正方形，即44]=48=2,且有ZC=2夜.

以點(diǎn)2為原點(diǎn)，以ZC,44]所在直線分別為y,z軸，以過/點(diǎn)和平面NCG4垂直的直線為x軸，建立如

圖所示的空間直角坐標(biāo)系4-平，則

4(0,0,2),C伙2后,0)8(72,00)B［伊,行,2).?.近=(0,2后,-2)

4P=24C(0<2<1),P2舊,2—24)

AP=(0,2V22,2-24)刀=(72,V2,0)

設(shè)平面尸4B的一個(gè)法向量為4=(x,y,z),由刀，吊，加，吊得:

2V22v+(2-22)z=0.(正八

<廠1~取4=1,-1,-

V2x+V2y=0,(丸—1,

由⑴知46口平面45C,.?.平面CP8的一個(gè)法向量為函

_,12722

兀,?司|4-11

二.cos—=__.1~1=-----,=—

3回一…f2

解得a=L

2

18.(1)解：由題知/(x)在［0,+e)上單調(diào)遞增，

由當(dāng)XE[0,+8)時(shí)，f(X)G[0,+(x)),可知/(0)=lna=0,即Q=1.

(2)解：由(1)知，/(%)=111(工+1)+；%2,/(%)的定義域?yàn)?_1,+8).

1X2+X+1

/'(%)=-----PX-........

x+1X+1

4^>,=X2+X+1,A=-3<0,

所以/'(x)>0,所以/(x)在(-1,+“)上單調(diào)遞增.

(3)證明：g(x)=/(x)-^-x2=ln(x+l).不妨設(shè)西〉工2?0,

xx

則要證明苞—%>(g(X)-g(%))Vi2+xl+x2+l.

只需證明(xj+1)-(x2+1)>[in(xj+1)-In(x2+1)]+l)(x2+1),

x+1

即G+1)--2(苞+1)(7+1)+(%+〉flniY

+l)(x2+1)Ix2+1?

11<1、2

口「、-M+1-x+1ix+1

即證」-----2+，9一>In」一.

x2+1X]+1Ix2+1?

設(shè)/=土土則只需證明>ln/.化簡得與〉111/.

v

x2+l)

r_i

設(shè)0(7)=-y--In/.則9,(。=-——蘆〉0在。,+。)上恒成立,9。)在(1,+。)上單調(diào)遞增,

“2t7t

二當(dāng)，>1時(shí),eC)>e(i)=o,即>Inr,得證.

2

19.(1)解：由題，橢圓C:xJ+=1(。>6>0)的另一焦點(diǎn)為g(1,0),

ab2

因此2a=以用+以閶=（1+1）24.

所以。=2,b=V3,

所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為工+匕=1.

43

（2）解：設(shè)“共軌點(diǎn)”對(duì)［48］中點(diǎn)8的坐標(biāo)為8（x,y）,

根據(jù)“共朝點(diǎn)對(duì)”［48］定義:

X2V2

——+—=1,

43

點(diǎn)、B的坐標(biāo)滿足＜3

x一7y

—+=0,

[43

x=V3,x=-\/3,

所以G或,V3

y=----,

:2

（反、/、

于是有兩個(gè)點(diǎn)滿足,且點(diǎn)8的坐標(biāo)為A