高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)（新教材新高考）集合（學(xué)生版+解析）

專題01集合（核心考點(diǎn)精講精練）

考情探究

1.4年真題考點(diǎn)分布

4年考情

考題示例考點(diǎn)分析關(guān)聯(lián)考點(diǎn)

2023年新I卷，第1題,5分集合的交集一元二次不等式的解法

2023年新II卷,第2題,5分元素的性質(zhì)、集合的子集無(wú)

2022年新I卷，第1題,5分集合的交集根號(hào)不等式的解法

2022年新II卷，第1題,5分集合的交集單絕對(duì)值不等式的解法

2021年新I卷，第1題,5分集合的交集無(wú)

2021年新II卷，第2題,5分集合的交集、補(bǔ)集無(wú)

2020年新I卷，第1題,5分集合的并集無(wú)

2020年新II卷，第1題,5分集合的交集無(wú)

2.命題規(guī)律及備考策略

【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度較低，分值為5分

【備考策略】1.理解、掌握集合的表示方法，能夠判斷元素與集合、集合與集合的關(guān)系

2.能正確處理含參的分類討論問(wèn)題，掌握集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算和性質(zhì)

3.具備數(shù)形結(jié)合的思想意識(shí)，會(huì)借助Venn圖、數(shù)軸等工具解決集合的計(jì)算問(wèn)題

4.會(huì)解一元二次不等式、一元二次方程、簡(jiǎn)單的分式不等式、簡(jiǎn)單的根號(hào)不等式，簡(jiǎn)單的指對(duì)

不等式和簡(jiǎn)單的含絕對(duì)值的不等式

【命題預(yù)測(cè)】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，一般給兩個(gè)集合，要求通過(guò)解不等式求出一個(gè)集合，然后

通過(guò)集合的運(yùn)算得出答案。

考點(diǎn)梳理

知識(shí)講解

1.定義

一般地，我們把研究對(duì)象統(tǒng)稱為元素，把一些元素組成的整體叫做集合（簡(jiǎn)稱集）

2.集合與元素的表示

集合通常用大寫字母A,6,C,???表示，元素用小寫字母a,b,c,???表示

3.元素與集合的關(guān)系

元素與集合的關(guān)系記法讀法

a是集合A的元素a^Aa屬于集合A

。不是集合A的元素a^A。不屬于集合A

4.常用數(shù)集及其記法

數(shù)集記法

非負(fù)整數(shù)集（自然數(shù)集）N

正整數(shù)集N+或N*

整數(shù)集Z

有理數(shù)集Q

實(shí)數(shù)集R

5.集合中元素的性質(zhì)

（1）確定性

給定的集合，它的元素必須是確定的；

也就是說(shuō)，給定一個(gè)集合，那么任何元素在不在這個(gè)集合中就確定了。

(2)互異性

一個(gè)給定集合中的元素是互不相同的；

也就是說(shuō)，集合中的元素是不能重復(fù)出現(xiàn)的。

(3)無(wú)序性

組成集合的元素沒(méi)有順序之分，只要構(gòu)成兩個(gè)集合的元素是一樣的，我們就稱這兩個(gè)集合是相等的。

6.集合的表示方法

(1)列舉法

我們可以把“地球上的四大洋”組成的集合表示為｛太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋｝

把“方程(》_如-2)=0的所有實(shí)數(shù)根”組成的集合表示為｛1,-2｝.

像這樣把集合的元素一一列舉出來(lái).并用花括號(hào)"｛『'括起來(lái)表示集合的方法叫做列舉法.

(2)描述法

用集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法

具體方法是在花括號(hào)內(nèi)先寫上表示這個(gè)集合元素的一般符號(hào)及取值(或變化)范圍，再畫一條豎線，在豎

線后寫上這個(gè)元素所具有的共同特征。

數(shù)學(xué)表達(dá)式為：｛如⑴｝,其中尤為代表元素，°(x)為共同特征。

7.子集

一般地，對(duì)于兩個(gè)集合A、民如果集合A中任意一個(gè)元素都是集合8中的元素，我們就說(shuō)這兩個(gè)集合有包含關(guān)

系,稱集合A為集合B的子集，

記作AcB或(B衛(wèi)A)讀作“A含于(或“2包含A").

8.真子集

如果集合A口3,但存在元素xe氏且xeA,我們稱集合A是集合B的真子集，記作A16或A,讀作

“A真含于5或(B真包含A)”

9.集合相等

如果集合A是集合B的子集(AcB)，且集合B是集合A的子集(BcA),

此時(shí)，集合A與集合B中的元素是一樣的，因此，集合A與集合B相等，記作A=B.

10.空集

我們把不含任何元素的集合叫做空集，記為0

規(guī)定：0是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集

11.集合中元素個(gè)數(shù)與子集，真子集的關(guān)系

集合中元素個(gè)數(shù)子集個(gè)數(shù)真子集個(gè)數(shù)

1

2

3

4

n

12.并集

一般地，由所有屬于集合A或?qū)儆诩?的元素所組成的集合，稱為集合A與B的并集，記作AU6（讀作“A

并8"）,即

=A,或veB}.可用Venn圖1表示.

圖1

13.交集

一般地，由屬于集合A且屬于集合B的所有元素組成的集合，稱為A與8的交集，記作4門3（讀作"A交B"）,即

4（"|3={布€A且xeg}.,可用Venn圖2表示

14.補(bǔ)集

一般地，如果一個(gè)集合含有我們所研究問(wèn)題中所涉及的所有元素，那么就稱這個(gè)集合為全集，通常記作U.

對(duì)于一個(gè)集合A,由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對(duì)于全集U的補(bǔ)集，簡(jiǎn)稱為

集合A的補(bǔ)集，

記作CVA={[xeU,且x任A}

可用Venn圖3表示

圖3

15.并集的運(yùn)算

A\JB=B\JA

AUA=A

AU0=0UA=A

A\JB=B^A^B

16.交集的運(yùn)算

A^B=B[}A

AAA=A

An0=0AA=0

AC\B=A^A^B

4口5=0（入0）=,：徵分類討論）

17.補(bǔ)集的運(yùn)算

A^CuA=U

AHCvA=0

Cu（CuA）=A

18.德摩根定律

Cu（AL）B）=C[/AnCuB

cu（Ann）=cuAUcuB

考點(diǎn)一、判斷元素與集合的關(guān)系

☆典例引領(lǐng)

1.（2023?河北秦皇島?秦皇島一中?？级＃┰O(shè)全集U={2,4,6,8},若集合M滿足毛加={2,8},貝I］（）

A.B.6^MC.41MD.6任Af

2.（2023?黑龍江牡丹江?牡丹江市第三高級(jí)中學(xué)?？既＃┮阎?={乂/_2<0},且。一，則〃可以

為（）

3「

A.l2B.—1C.—D.J2

2

即時(shí)檢測(cè)

1.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知全集。={1,2,3,4,5},4門3={2,4},4口3={1,2,3,4},則（）

A.2GB.3GA,3GBC.4GD.5^A,5^B

2.（2023?全國(guó)?校聯(lián)考三模）已知全集"={1,2,3,4,5},那={2,4},膽={3,4},則（）

A.1GB.2GA,2eB

C.3GD.5A,5GB

考點(diǎn)二、集合中元素的特性

☆典例引領(lǐng)

1.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）若ae{l,3,/},貝的可能取值有（）

A.0B.0,1C.0,3D.0,1,3

2.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知awE,6eR,若集合卜,={〃,a+40},則/皿+尸照的值為（）

A.-2B.-1C.1D.2

即時(shí)檢測(cè)

1.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知人=卜+2,（。+1）2,6+3。+3},若leA,則實(shí)數(shù)。構(gòu)成的集合B的元素

個(gè)數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

2.（2023.全國(guó).高三專題練習(xí)）集合4={-4,24-1,4},3={9,4-5,1-4，若Ac3={9},貝！|。=（）

A.-3B.3或一3C.3D.3或一3或5

考點(diǎn)三、集合間的基本關(guān)系

☆典例引領(lǐng)

1.（2023?新高考n卷高考真題）設(shè)集合A={0,-a},5={l,a-2,2?-2},若4勺3,則。=（）.

A.2B.1C.1D.-1

2.（2023?重慶?校聯(lián)考三模）數(shù)集{123,4,5}的非空真子集個(gè)數(shù)為（）

A.32B.31C.30D.29

3.（2023?江蘇南京?統(tǒng)考二模）集合A={xeN[l<x<4}的子集個(gè)數(shù)為（）

A.2B.4C.8D.16

4.（2023?遼寧?遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)集合M={。,。},N={//},若/=",則a+b=（

A.0B.1C.2D.-I

☆即時(shí)檢測(cè)

1.（2023?湖南懷化?統(tǒng)考二模）已知集合M={—1,1,2,3,4,5},N={1,2,4},P=McN,則尸的真子集共有（

A.3個(gè)B.6個(gè)C.7個(gè)D.8個(gè)

2.（2023?遼寧大連?統(tǒng)考三模）已知集合M,N,滿足則（）

A.MjNB.NjMC.NeMD.MeN

3.（2023?江蘇?統(tǒng)考一模）設(shè)M=[x卜=1■，左eZ,,N=+左cZ,,則（）

A.M\jNB.NVMC.M=ND.McN=0

考點(diǎn)四、集合的基本運(yùn)算

☆普創(chuàng)刊鯉

1.（2023?新高考I卷高考真題）已知集合拉={-2,-1,0,1,2},N={x,-x-6>01,貝i]McN=（）

A.{-2,-1,0,1}B.{0,1,2}C.{-2}D.2

2.（2022?新高考I卷高考真題）若集合〃={"?<4},N={x\3x>l},則VcN=（）

A.{x|0Wx<2}B.C.{x|3Wx<16}I

3.（2022?新高考n卷高考真題）已知集合4={-1,1,2,4},8=卜卜-1|:<1},則（）

A.{-1,2}B.U,2}C,{1,4}I）.{7,4}

☆即時(shí)檢測(cè)

1.（2023?湖南?校聯(lián)考二模）已知集合A={x|y=A/^,8={L2,3,4},則（）

A.{3}B.{2,3}C.{1,2,3}I）.{L2,3,4}

2.（2023?遼寧葫蘆島?統(tǒng)考二模）若集合W={x|5x>1},則McN=（）

A.1B.[gw尤<6]

C.D.{%3<x<9}

3.（2023?湖南常德?二模）已知全集。二={0,123,4},集合A={1,2,3},3={2,4},則（）

A.{2}B.{2,3,4}C.{1,2,3,4}D.{0,2,3,4}

4.（2023?河北唐山?統(tǒng)考二模）已知全集0=11,集合A={x[x<-2},B={x\-4<x<0},則（

A.1x|-4<x<-21B.{x[%<0}

C.1x|-2<x<0}D.{小>-4}

5.（2023?山西臨汾?統(tǒng)考二模）已知集合A={x|lnx<l},5={刈2%+1]<3},則AD6=（）

A.{x|-2<x<l}B.{九|-2<x<e}

C.{xlx<l}D.[x\x<e}

6.（2023?河北秦皇島?秦皇島一中?？级＃┰O(shè)全集。={2,4,6,8},若集合M滿足6M={2,8},貝（）

A.B.6^MC.41MD.6^M

7.（2023?湖南邵陽(yáng)?統(tǒng)考三模）已知集合。=w—54尤<2},A={X—3<九v0},則gA=（）

A.{%|-3<x<0}B,{A]-3<X<0}

C.{x|-5<x<-3^0<x<2}D.{%|-5<x<-30<x<2}

8.（2023?河北邯鄲?統(tǒng)考三模）已知集合A={—U,2,4},B={x||x-l|>1},則40設(shè)8=（）

A.{1}B.{-1,2}C.{1,2}D.{-1,2,4）

9.（2023?浙江紹興?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）若集合A={x|2x<l},B={x||x-l|>2},貝|他A）cB=（）

A.{x|無(wú)4-1}B.jx|-l<x<^-j

C.“xN：1D.{尤|XN3}

10.（2023?海南?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知全集。=氏集合A={M（X+3）（X-2）>0},3={0,1,2,3,4},則Venn

圖中陰影部分表示的集合為（）.

C.（0,1,2}D.{0,1,2,3}

考點(diǎn)五、集合新定義

典例引領(lǐng)

1.（2023嚏國(guó)?高三專題練習(xí)）定義集合A+B={x+yKeA且yeB}.已知集合人={2,4,6},B=則

A+8中元素的個(gè)數(shù)為（）

A.6B.5C.4D.7

2.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）定義集合A*B={z|z=町,xeAyeB},設(shè)集合A={-l,0/},5={-1,1,3},

則A*3中元素的個(gè)數(shù)為（）

A.4B.5C.6D.7

即時(shí)檢測(cè)

...........

1.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）定義集合A?B={xlxeA且x走8},已知集合4={-3,—2,2,3},3={-3,—1,1,2},

則4區(qū)8=（）

A.{-3,2}B.{-1,1}C.{-2,3}D.{0}

2.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）定義集合運(yùn)算人十匹卜,y）沫若集合

A=B={xeN|l<x<4）,C=1（x,y）|y=-lx+||,貝l]（A十B）cC=（）

A.0B.{（4,1）}C.D.1（4,

考點(diǎn)六、集合多選題

典例引領(lǐng)

1.（2023?山東濰坊?統(tǒng)考一模）若非空集合”,N,P滿足：McN=N,M5=P,則（）

A.PqMB.MlP=M

C.NuP=PD.McbpN=0

2.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知集合A,8均為R的子集，若Ac5=0,則（）

A.A=3RBB.B

C.AuB=RD.（寤4）5*）=R

我即時(shí)檢測(cè)

1.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知河、N均為實(shí)數(shù)集R的子集，且Nn4M=0,則下列結(jié)論中正確的是

（）

A.Mn”=0B.MU”=R

N=？M

c.颯uRN=%MD.WARR

2.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知集合4=3-"尤V7},B={x|a+2<x<2a-l],若使成立的實(shí)

數(shù)a的取值集合為M,則M的一個(gè)真子集可以是（）

A.（-oo,4]B.（-8,3]C.（3,4]D.[4,5）

好題沖關(guān)

【基礎(chǔ)過(guò)關(guān)】

1.（2023?遼寧遼陽(yáng)?統(tǒng)考二模）已知集合4={x[3-x<l},3={T,-3,-2,2,3,4},則4n3=（）

A.{3,4}B.{2,3,4}C.{T-3,-2}D.{<-3,-2,2}

2.（2023.河北?校聯(lián)考一模）已知集合4={尤|%>2},3={0,1,2,3,4},則（）

7Q

A.IGAHBB.~^A\JBC.D.-GA|JB

3.（2023?福建莆田?統(tǒng)考二模）設(shè)全集U={xeN]?W2},A={2,3},則eA=（）

A.{0,1}B.{0,4}C.{1,4}D.{0,1,4）

4.（2023?山東威海?統(tǒng)考二模）已知全集。=卜|。<尤<5},集合A滿足①A={x|l<x<3},則（）

A.l^AB.2GC.3eAD.4GA

5.（2023?湖北武漢?統(tǒng)考二模）已知集合A={x|Y一尤-6<0},B={x|2x+3>0）,則4%=（）

6.（2023?湖南常德?二模）已知全集。={0,1,2,3,4},集合A={1,2,3},3={2,4},則4口3=（）

A.{2}B.{2,3,4}C.{1,2,3,4}D.{0,2,3,4}

7.（2023?浙江?統(tǒng)考二模）已知集合A={x|%==,則Ap|3=（）

A.{1,2}B.{2,4}C.{0,1,2}D.{0,2,4）

8.（2023?廣東廣州?華南師大附中?？既＃┮阎稀?{-1,。/},N={y|y=/-l,xeM},則McN=

（）

A.{-1,0,1}B.{-1,0}C.{0,1}D.{-1,1}

9.（2023?重慶?統(tǒng)考二模）已知集合4=卜?=x,xeR},B=^yy=px>oj,則（）

A.0B.{（1,1）}C.（0,+s）D.R

10.（2023?江蘇南通?二模）若N是U的非空子集，McN=M,則（）

A.M^NB.N=MC.QM=ND.^N=M

【能力提升】

1.（2023.重慶?校聯(lián)考三模）數(shù)集｛1,2,3,4,5｝的非空真子集個(gè)數(shù)為（）

A.32B.31C.30D.29

2.(2023.湖南?校聯(lián)考二模)已知集合&=*"=6三,3={1,2,3,4},則4n3=()

A.{3}B.{2,3}C.{1,2,3}D.{1,2,3,4}

3.(2023?福建漳州?統(tǒng)考三模)已知集合4={尤|爐一2彳一8<0},B={x||x-3|<2),則-3=()

A.(-2,5)B.(-2,4)C.(1,4)D.(-2,1)

4.(2023?山東煙臺(tái)?統(tǒng)考三模)己知全集。=卜€(wěn)刈*<6},集合A={1,2,3},3={2,4,5},則@4方3=()

A.{0}B.{4,5}C.{2,4,5}D.{0,2,4,5}

5.(2023?湖北武漢?統(tǒng)考三模)設(shè)集合A={y|y=?+l,xeR),8=}卜=e',無(wú)eR},貝|("#)口8=()

A.(0,+功B.[l,+oo)

C.(0,1)D.(—8,1)

6.(2023?廣東汕頭?金山中學(xué)?？既?已知集合4={%|2]-4<0},B={x\l^<l}f則4口5=()

A.{x|x<21B.{x|x<10}

C.{x|0<x<2}D.{x|x<0或了>2}

7.(2023?江蘇鹽城?校考三模)集合4={尤|。2*<3},8=卜卜=如匚可，則Ap3=()

A.1x|0<x<31B.{x|0<x<2}

C.{x|0<x<4}D.{x|0<x<2}

8.(2023.浙江?校聯(lián)考三模)若集合A=Wlog2(?-l)W0},B={N(2-x)(x+l)V0},則4口釬=()

A.[0,4]B.(1,4)C.[0,2)D.(1,2)

9.(2023?遼寧沈陽(yáng)?沈陽(yáng)二中?？寄M預(yù)測(cè))設(shè)集合A={無(wú)eN*|?W2},集合B=卜,=必十？},則=

()

A.[1,4]B.[2,4]C.{1,2,3,4}D.{2,3,4}

10.(2023?河北?校聯(lián)考一模)已知集合4={尤|/一2x<0},集合人門⑵人心。},則476=()

A.{x|0<x<2}B,{x|0<x<2}C.{x|x<2}D.[x\x<2\

【真題感知】

1.(2021.新高考I卷高考真題)設(shè)集合A={尤卜2<x<4},3={2,3,4,5},則()

A.{2}B.{2,3}C.{3,4}D.{2,3,4}

2.(2021.新高考II卷高考真題)設(shè)集合U={1,2,3,4,5,6},A={1,3,6},8={2,3,4},則()

A.{3}B.{1,6}C.{5,6}D.{1,3}

3.(2020?新高考I卷高考真題)設(shè)集合A={x|l裝3},3={尤［2<x<4},則AUB=()

A.{x\2<x<3}B.{x\2<x<3}

C.{x|l<x<4}D.{x\l<x<4}

4.(2020?新高考II卷高考真題)設(shè)集合A={2,3,5,7},B={1,2,3,5,8},則=()

A.{1,3,5,7}B.{2,3}C.{2,3,5}D.{1,2,3,5,7,8}

5.(2023?全國(guó)甲卷.統(tǒng)考(理科)高考真題)設(shè)全集U=Z，集合M=x=3k+l,k^Z},N=[x\x=3k+2,k&Z},

加(MuN)=()

A.{x|尤=3匕左eZ}B.{.r|x=3k-\,k&Z}

C.{xl尤=3左一2,左eZ}D.0

6.(2023?全國(guó)乙卷?統(tǒng)考(文科)高考真題)設(shè)全集。={0,1,2,4,6,8},集合M={0,4,6},N={0,1,6},則

MugN=()

A.{0,2,4,6,8}B.{0,1,4,6,8}C.{1,2,4,6,8}D.U

7.(2023?全國(guó)甲卷?統(tǒng)考(文科)高考真題)設(shè)全集U={1,2,3,4,5},集合/={1,4},N={2,5},則NUe^=

()

A.{2,3,5}B.{1,3,4}C.{1,2,4,5}D.{2,3,4,5}

8.(2023.天津?統(tǒng)考高考真題)已知集合。={1,2,3,4,5},4={1,3},3={1,2,4},則電BUA=()

A.{1,3,5}B.{1,3}C.{1,2,4}D.{1,2,4,5}

9.(2023?全國(guó)乙卷統(tǒng)考(理科)高考真題)設(shè)集合"=14,集合用={小<1},N={x]-1<尤<2},則{x|xN2}=

()

A.g("UN)B.NUaM

C.D.

專題01集合（核心考點(diǎn)精講精練）

考情探究

1.4年真題考點(diǎn)分布

4年考情

考題示例考點(diǎn)分析關(guān)聯(lián)考點(diǎn)

2023年新I卷，第1題,5

集合的交集一元二次不等式的解法

分

2023年新H卷，第2題,5

元素的性質(zhì)、集合的子集無(wú)

分

2022年新I卷，第1題,5

集合的交集根號(hào)不等式的解法

分

2022年新n卷，第1題,5

集合的交集單絕對(duì)值不等式的解法

分

2021年新I卷，第1題,5

集合的交集無(wú)

分

2021年新n卷,第2題,5

集合的交集、補(bǔ)集無(wú)

分

2020年新I卷，第1題,5

集合的并集無(wú)

分

2020年新n卷，第1題,5

集合的交集無(wú)

分

2.命題規(guī)律及備考策略

【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度較低，分值為5分

【備考策略】1.理解、掌握集合的表示方法，能夠判斷元素與集合、集合與集合的關(guān)系

2.能正確處理含參的分類討論問(wèn)題，掌握集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算和性質(zhì)

3.具備數(shù)形結(jié)合的思想意識(shí)，會(huì)借助Venn圖、數(shù)軸等工具解決集合的計(jì)算問(wèn)

題

4.會(huì)解一元二次不等式、一元二次方程、簡(jiǎn)單的分式不等式、簡(jiǎn)單的根號(hào)不等

式，簡(jiǎn)單的指對(duì)不等式和簡(jiǎn)單的含絕對(duì)值的不等式

【命題預(yù)測(cè)】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，一般給兩個(gè)集合，要求通過(guò)解不等式求出一

個(gè)集合，然后通過(guò)集合的運(yùn)算得出答案。

考點(diǎn)梳理

知識(shí)講解

19.定義

一般地，我們把研究對(duì)象統(tǒng)稱為元素，把一些元素組成的整體叫做集合（簡(jiǎn)稱集）

20.集合與元素的表示

集合通常用大寫字母A,5,C,?一表示，元素用小寫字母a,b,c,???表示

21.元素與集合的關(guān)系

元素與集合的關(guān)系記法讀法

。是集合A的元素a^Aa屬于集合A

a不是集合A的元素aiA。不屬于集合A

22.常用數(shù)集及其記法

數(shù)集記法

非負(fù)整數(shù)集（自然數(shù)集）N

正整數(shù)集N+或N*

整數(shù)集Z

有理數(shù)集Q

實(shí)數(shù)集R

23.集合中元素的性質(zhì)

（4）確定性

給定的集合，它的元素必須是確定的;

也就是說(shuō)，給定一個(gè)集合，那么任何元素在不在這個(gè)集合中就確定了。

(5)互異性

一個(gè)給定集合中的元素是互不相同的；

也就是說(shuō)，集合中的元素是不能重復(fù)出現(xiàn)的。

(6)無(wú)序性

組成集合的元素沒(méi)有順序之分，只要構(gòu)成兩個(gè)集合的元素是一樣的，我們就稱這兩個(gè)集合

是相等的。

24.集合的表示方法

(3)列舉法

我們可以把“地球上的四大洋”組成的集合表示為｛太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋｝

把“方程儀-如-2)=0的所有實(shí)數(shù)根”組成的集合表示為

像這樣把集合的元素一一列舉出來(lái).并用花括號(hào)“｛｝”括起來(lái)表示集合的方法叫做列舉法.

(4)描述法

用集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法

具體方法是在花括號(hào)內(nèi)先寫上表示這個(gè)集合元素的一般符號(hào)及取值(或變化)范圍，再畫一

條豎線，在豎線后寫上這個(gè)元素所具有的共同特征。

數(shù)學(xué)表達(dá)式為：冏0(九)｝，其中％為代表元素，°(x)為共同特征。

25.子集

一般地，對(duì)于兩個(gè)集合43,如果集合A中任意一個(gè)元素都是集合B中的元素,我們就說(shuō)這兩

個(gè)集合有包含關(guān)系,稱集合A為集合B的子集，

記作Ac3或(3臭A)讀作“A含于(或“8包含A)

26.真子集

如果集合4口5，但存在元素xe&且x0A,我們稱集合A是集合B的真子集，記作A晨B

或與人，讀作“A真含于8或(8真包含“

27.集合相等

如果集合4是集合B的子集(AcB)，且集合B是集合A的子集(BcA),

此時(shí)，集合A與集合B中的元素是一樣的，因此，集合A與集合B相等，記作A=B.

28.空集

我們把不含任何元素的集合叫做空集,記為0

規(guī)定：0是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集

29.集合中元素個(gè)數(shù)與子集，真子集的關(guān)系

集合中元素個(gè)數(shù)子集個(gè)數(shù)真子集個(gè)數(shù)

1

2

3

4

n

30.并集

一般地，由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合，稱為集合A與8的并集，記

作AU5（讀作“A并）,即

AU5=k|xwA或vwB}.可用Venn圖1表示.

圖1

31.交集

一般地，由屬于集合A且屬于集合B的所有元素組成的集合，稱為A與B的交集，記作4口3（讀

作"A交8”）,即

An8={RxeA,且可用Venn圖2表示

32.補(bǔ)集

一般地，如果一個(gè)集合含有我們所研究問(wèn)題中所涉及的所有元素,那么就稱這個(gè)集合為全集,

通常記作U.

對(duì)于一個(gè)集合4由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對(duì)于全集U

的補(bǔ)集，簡(jiǎn)稱為集合A的補(bǔ)集，

記作CfjA={x|xeU,且xeA）.

可用Venn圖3表示

ClA

圖3

33.并集的運(yùn)算

A\JB=B\JA

AUA=A

AU0=0UA=A

A\JB=B^>A^B

34.交集的運(yùn)算

AC\B=BC\A

AC\A=A

AA0=0AA=0

AAB=A<^AcB

AnB=0（3H0）A：：/分類討論）

35.補(bǔ)集的運(yùn)算

A\JCUA=U

AQCvA=0

C.（CuA）=A

36.德摩根定律

Cu（AL）B）=CuAnCuB

Cu（AnB）=CuAUCuB

考點(diǎn)一、判斷元素與集合的關(guān)系

☆典例引領(lǐng)

1.（2023?河北秦皇島?秦皇島一中校考二模）設(shè)全集U={2,4,6,8},若集合〃滿足電/={2,8},

則（）

A.4oMB.6=MC.41MD.6^M

【答案】C

【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系及補(bǔ)集運(yùn)算即可.

【詳解】由題意可得：Af={4,6},

顯然4是M中的元素，故ABD錯(cuò)誤，C正確.

故選：C

2.（2023?黑龍江牡丹江?牡丹江市第三高級(jí)中學(xué)?？既＃┮阎?={4/一2<0},且

a^A,則。可以為（）

3r-

A.-2B.-1C.-D.V2

2

【答案】B

【分析】求出集合A,結(jié)合元素與集合關(guān)系判斷即可.

【詳解】Elf_2<0,回一直<尤<應(yīng)，0A=（x|-V2<x<V2},

可知-2拓故A、C、D錯(cuò)誤；-leA,故B正確.

故選：B

即時(shí)檢測(cè)

1.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知全集。={1,2,3,4,5},4門3={2,4},4口3={1,2,3,4},則

（）

A.2eA,2gBB.3eA,3eBC.4eA,4gBD.5gA,5gB

【答案】D

【分析】根據(jù)題意判斷集合A3中的元素情況，即可判斷答案.

【詳解】由。={1,2,3,4,5},4門3={2,4},4口3={1,2,3,4},可知2eA,2e3,4eA,4e3,

3不同時(shí)在集合A,2中，集合A2中都不含5,故A,B,C錯(cuò)誤，D正確.

故選：D.

2.（2023?全國(guó)?校聯(lián)考三模）已知全集"={1,2,3,4,5},瘵4={2,4},心={3,4},則（）

A.leA,UBB.2eA,2w8

C.3￡A3e3D.5^A,5GB

【答案】c

【分析】根據(jù)補(bǔ)集的概念結(jié)合元素與集合的關(guān)系即可得答案.

【詳解】因?yàn)閁={L2,3,4,5}?A={2,4},所以A={1,3,5}.

又63={3,4},所以3={1,2,5}.

所以3eA,3e3,故ABD錯(cuò)誤，C正確.

故選：C.

考點(diǎn)二、集合中元素的特性

典例引領(lǐng)

1.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）若貝壯的可能取值有（）

A.0B.0,1C.0,3D.0,1,3

【答案】C

【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系及集合中元素的性質(zhì)，即可判斷。的可能取值.

【詳解】“=0,則“e{l,3,0},符合題設(shè)；

時(shí)，顯然不滿足集合中元素的互異性，不合題設(shè)；

a=3時(shí)，則ae{l,3,9},符合題設(shè)；

回。=0或。=3均可以.

故選：C

2.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知aeR,beR,若集合上={心。+&。},貝!]

儲(chǔ)。19+09的值為（）

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】B

[|=0

【解析】本題可根據(jù)卜，：/}={/，a+b，。}得出＜a=a+b，然后通過(guò)計(jì)算以及元素的互異性

得出。、6的值，即可得出結(jié)果.

【詳解】因?yàn)椴?：“={/,。+九0},

2=o

a

b=0\b=Q

所以a=a+b解得q=l或I

a2=1

當(dāng)a=l時(shí)，不滿足集合元素的互異性，

2O192

故a=_l,b=0,^+^=（_i）+o^=-i,

故選：B.

【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：通過(guò)集合相等求參數(shù)時(shí)，要注意求出參數(shù)后，檢驗(yàn)集合中的元素是否滿

足互異性，考查計(jì)算能力，是中檔題.

即時(shí)檢測(cè)

1.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知人=卜+2,（4+1）2,/+3。+3},若leA,則實(shí)數(shù)。構(gòu)成

的集合8的元素個(gè)數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【解析】讓集合A中每個(gè)元素等于1,求得。，檢驗(yàn)符號(hào)集合中元素的互異性，得。的值，

從而可得結(jié)論.

【詳解】①a+2=1na=—1,0（a+1）-=0,a2+3iz+3=1>則A={l,0,l},不可以，

②（a+l）2=1na=0,Ea+2=2,a2+3a+3=3,貝1JA={2,1,3},可以，

或。=一2,回。+2=0,/+3a+3=l，則人={0,1/},不可以，

（D片+3a+3=1na=—1,a+2=l,（。+1）~=0,則4={1,0,1},不可以，

或a=-2,回a+2=0,（a+l）2=l,則4={0,1,1},不可以，

回8={0},

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查集合的概念，掌握集合元素的互異性是解題關(guān)鍵.

2.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）集合A={T,2〃—1,〃},3={9,4一5,1-4},若Ac3={9},

則a=（）

A.-3B.3或-3C.3D.3或-3或5

【答案】A

【分析】由Ac3={9}得9eA,分類討論：當(dāng)2a—1=9時(shí)，a=5,經(jīng)驗(yàn)證不合題意，當(dāng)/=9

時(shí)，得a=-3或。=3,經(jīng)驗(yàn)證。=-3符合題意.

【詳解】因?yàn)锳c3={9},所以9eA,

當(dāng)2a—1=9時(shí)，。=5,此時(shí)A={T,9,25},B={9,0,-4},=不合題意，

當(dāng)a?=9時(shí)，。=一3或。=3,

當(dāng)。=一3時(shí)，A={-4,-7,9},B={9,-8,4},符合題意，

當(dāng)。=3時(shí)，3={9,-2,-2}不滿足元素的互異性.

綜上所述：?=-3,

故選：A.

考點(diǎn)三、集合間的基本關(guān)系

典例引領(lǐng)

___________

1.（2023?新高考n卷高考真題）設(shè)集合A={o,-a},B={l,a-2,2a-2},若A=B,則"

（）.

2

A.2B.1C.-D.-1

【答案】B

【分析】根據(jù)包含關(guān)系分。-2=0和2a-2=0兩種情況討論，運(yùn)算求解即可.

【詳解】因?yàn)?=8,則有：

若=2=0,解得a=2,此時(shí)A={0,-2},B={l,0,2},不符合題意；

若2。一2=0,解得a=l,此時(shí)A={0,—l},B={l,-l,0},符合題意；

綜上所述：a=l.

故選：B.

2.（2023?重慶?校聯(lián)考三模）數(shù)集{1,2,3,4,5}的非空真子集個(gè)數(shù)為（）

A.32B.31C.30D.29

【答案】C

【分析】利用集合中含有〃個(gè)元素，則它的非空真子集個(gè)數(shù)為2"-2即可求解.

【詳解】因?yàn)榧蟵123,4,5}中含有5個(gè)元素，

所以集合{123,4,5}的非空真子集個(gè)數(shù)為25-2=30.

故選：C

3.（2023?江蘇南京?統(tǒng)考二模）集合A={xeN|l<尤<4}的子集個(gè)數(shù)為（）

A.2B.4C.8D.16

【答案】B

【分析】確定&={2,3},再計(jì)算子集個(gè)數(shù)得到答案.

【詳解】A={xeN[l<x<4}={2,3},故子集個(gè)數(shù)為2?=4.

故選：B

4.（2023?遼寧?遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)集合〃={a,0},^={a2,^},若河=",

則a+b=（）

A.0B.1C.2D.-1

【答案】B

【分析】根據(jù)集合相等的含義分別求出〃乃，然后可得答案.

【詳解】因?yàn)镸={a,0},N={a2,。},M=N,

Cl—Cl

b=0a=l

所以,解得所以Q+Z?=1.

a1手bb=0

QWO

故選：B.

即時(shí)檢測(cè)

1.（2023?湖南懷化?統(tǒng)考二模）已知集合"={-1,1,2,3,4,5},N={1,2,4},P=VcN,則尸的

真子集共有（）

A.3個(gè)B.6個(gè)C.7個(gè)D.8個(gè)

【答案】C