人教A版高中數(shù)學(xué)(必修第一冊(cè))培優(yōu)講義+題型檢測(cè)專題2.3 二次函數(shù)與一元二次方程、不等式-重難點(diǎn)題型精講及檢測(cè)（原卷版）

第第頁(yè)專題2.3二次函數(shù)與一元二次方程、不等式-重難點(diǎn)題型精講1．一元二次不等式一般地，我們把只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，稱為一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均為常數(shù)，a≠0.2．二次函數(shù)的零點(diǎn)一般地，對(duì)于二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c，我們把使ax2＋bx＋c＝0的實(shí)數(shù)x叫做二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的零點(diǎn)．溫馨提示：(1)二次函數(shù)的零點(diǎn)不是點(diǎn)，是二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．(2)一元二次方程的根是相應(yīng)一元二次函數(shù)的零點(diǎn)．3．二次函數(shù)與一元二次方程、不等式的解的對(duì)應(yīng)關(guān)系溫馨提示：(1)對(duì)于一元二次不等式的二次項(xiàng)系數(shù)為正且存在兩個(gè)根的情況下，其解集的常用口訣是：大于取兩邊，小于取中間．(2)對(duì)于二次項(xiàng)系數(shù)是負(fù)數(shù)(即a<0)的不等式，可以先把二次項(xiàng)系數(shù)化為正數(shù)，再對(duì)照上述情況求解．【題型1一元二次不等式的解法】【方法點(diǎn)撥】解一元二次不等式的一般步驟(1)通過(guò)對(duì)不等式變形，使二次項(xiàng)系數(shù)大于零；(2)計(jì)算對(duì)應(yīng)方程的判別式；(3)求出相應(yīng)的一元二次方程的根，或根據(jù)判別式說(shuō)明方程沒(méi)有實(shí)根；(4)根據(jù)函數(shù)圖象與x軸的相關(guān)位置寫(xiě)出不等式的解集．【例1】不等式（x+2）（2x﹣1）＜0的解集為（）A．(?12，2) C．(?∞，?2)∪(12【變式1-1】不等式3x2﹣x﹣2≥0的解集是（）A．{x|?23≤x≤1} BC．{x|x≤?23或x≥1}【變式1-2】不等式x2﹣3x﹣4＜0的解集為（）A．（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞） B．（﹣4，1） C．（﹣1，4） D．（﹣∞，﹣4）∪（1，+∞）【變式1-3】不等式﹣2x2+x+15≤0的解集為（）A．{x|?52≤x≤3} B．{x|x≤?5C．{x|?3≤x≤52} D．{x|x≤﹣3或【題型2含參的一元二次不等式的解法】【方法點(diǎn)撥】解含參數(shù)的一元二次不等式時(shí)：(1)若二次項(xiàng)系數(shù)含有參數(shù)，則需對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)大于0、等于0與小于0進(jìn)行討論；(2)若求對(duì)應(yīng)一元二次方程的根需用公式，則應(yīng)對(duì)判別式Δ進(jìn)行討論；(3)若求出的根中含有參數(shù)，則應(yīng)對(duì)兩根的大小進(jìn)行討論．【例2】若0＜a＜1，解不等式（a﹣x）（x?1a）＞【變式2-1】當(dāng)a≤0時(shí)，解關(guān)于x的不等式ax2+（1﹣2a）x﹣2≥0．【變式2-2】解關(guān)于x的不等式x2﹣（a+1a）x+1＜【變式2-3】解關(guān)于x的不等式：6x2+ax﹣a2＜0．【題型3三個(gè)“二次”關(guān)系的應(yīng)用】【方法點(diǎn)撥】(1)一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集的端點(diǎn)值是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，也是函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．(2)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象在x軸上方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c>0的x的值構(gòu)成的；圖象在x軸下方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c<0的x的值構(gòu)成的，三者之間相互依存、相互轉(zhuǎn)化．【例3】已知不等式ax2+bx﹣2＜0的解集為{x|﹣1＜x＜2}，則不等式ax2+（b﹣1）x﹣3＞0的解集為（）A．R B．? C．{x|﹣1＜x＜3} D．{x|x＜﹣1或x＞3}【變式3-1】二次不等式ax2+bx+c＜0的解集是（2，3），則cbA．65 B．?65 C．56【變式3-2】若不等式ax2+bx+2＞0的解集是{x|?12＜x＜A．(?∞，?16) B．(?∞，16【變式3-3】二次方程ax2+bx+c＝0（a＞0）的兩根為2，﹣3，那么關(guān)于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集為（）A．{x|x＞3或x＜﹣2} B．{x|x＞2或x＜﹣3} C．{x|﹣2＜x＜3} D．{x|﹣3＜x＜2}【題型4解簡(jiǎn)單的分式不等式】【方法點(diǎn)撥】(1)對(duì)于比較簡(jiǎn)單的分式不等式，可直接轉(zhuǎn)化為一元二次不等式或一元一次不等式組求解，但要注意分母不為零．(2)對(duì)于不等號(hào)右邊不為零的較復(fù)雜的分式不等式，先移項(xiàng)再通分(不要去分母)，使之轉(zhuǎn)化為不等號(hào)右邊為零，然后再用上述方法求解．【例4】求不等式的解集：（1）﹣x2+4x+5＜0；（2）2x2﹣5x+2≤0；（3）x+1x?3≥0；（4）【變式4-1】解下列不等式并寫(xiě)出解集．（1）﹣2x2+3x+9＞0；（2）8?x5+x≥【變式4-2】求下列關(guān)于x的不等式的解集：（1）5x?7≥?1；（2）2a2x2﹣3ax﹣2＞【變式4-3】解不等式：（1）4x2﹣15x+9＞0；（2）2?xx+4【題型5一元二次不等式恒成立、存在性問(wèn)題】【方法點(diǎn)撥】不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，就是不等式的解集為R，對(duì)于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集為R的條件為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ＝b2－4ac<0；))一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集為R的條件為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ＝b2－4ac≤0；))一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集為?的條件為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0，,Δ≤0.))【例5】已知關(guān)于x的不等式kx2﹣6kx+k+8≥0對(duì)任意x∈R恒成立，則k的取值范圍是（）A．0≤k≤1 B．0＜k≤1 C．k＜0或k＞1 D．k≤0或k≥1【變式5-1】不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4≥0的解集為?，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．（﹣∞，﹣2）∪[2，+∞） B．（﹣2，2） C．（﹣2，2] D．（﹣∞，2）【變式5-2】關(guān)于x的不等式x2+ax﹣2＜0在區(qū)間[1，4]上有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，1] C．（1，+∞） D．[1，+∞）【變式5-3】對(duì)任意實(shí)數(shù)x，不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0恒成立，則a的取值范圍是（）A．（﹣2，2] B．[﹣2，2] C．（﹣∞，﹣2）∪[2，+∞） D．（﹣∞，﹣2]∪（2，+∞）【題型6一元二次不等式的實(shí)際應(yīng)用】【方法點(diǎn)撥】一元二次不等式應(yīng)用題常以二次函數(shù)為模型，解題時(shí)要弄清題意，準(zhǔn)確找出其中的不等關(guān)系，再利用一元二次不等式求解，確定答案時(shí)應(yīng)注意變量具有的“實(shí)際含義”．【例6】汽車在行駛過(guò)程中，由于慣性作用，剎車后還要繼續(xù)滑行一段距離才能停住，我們稱這段距離為“剎車距離”．剎車距離是分析事故的一個(gè)主要因素．在一個(gè)限速為40km/h的彎道上，甲、乙兩車相向而行，發(fā)現(xiàn)情況不對(duì)同時(shí)剎車，但還是相撞了．事后現(xiàn)場(chǎng)測(cè)得甲車的剎車距離略超過(guò)12m，乙車的剎車距離略超10m．已知甲、乙兩種車型的剎車距離s（m）與車速x（km/h）之間分別有如下關(guān)系：s甲＝0.1x+0.01x2，s乙＝0.05x+0.005x2．則交通事故的主要責(zé)任方是（填“甲”或“乙”）．【變式6-1】某產(chǎn)品的總成本y（萬(wàn)元）與產(chǎn)量x（臺(tái)）之間的函數(shù)關(guān)系是y＝3000+20x﹣0.1x2（0＜x＜240，x∈N+），若每臺(tái)產(chǎn)品的售價(jià)為25萬(wàn)元，則生產(chǎn)者不虧本時(shí)（銷售收入不小于總成本）的最低產(chǎn)量是臺(tái)．【變式6-2】某輛汽車以xkm/h的速度在高速公路上勻速行駛（考慮到高速公路行車安全，要求60≤x≤120）時(shí)，每小時(shí)的油耗（所需要的汽油量）為15(x?k+4500x)L．【變式6-3】某農(nóng)貿(mào)公司按每擔(dān)200元的價(jià)格收購(gòu)某農(nóng)產(chǎn)品，并按每100元納稅10元（又稱征稅率為10個(gè)百分點(diǎn)）進(jìn)行納稅，計(jì)劃可收購(gòu)a萬(wàn)擔(dān)，政府為了鼓勵(lì)收購(gòu)公司多收購(gòu)這種農(nóng)產(chǎn)品，決定將征稅降低x（x＞0）個(gè)百分點(diǎn)，預(yù)測(cè)收購(gòu)量可增加2x個(gè)百分點(diǎn)．（1）寫(xiě)出稅收y（萬(wàn)元）與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）要使此項(xiàng)稅收在稅率調(diào)整后不少于原計(jì)劃稅收的83.2%，試確定x的取值范圍．專題2.3二次函數(shù)與一元二次方程、不等式-重難點(diǎn)題型檢測(cè)一．選擇題1．不等式（x+1）（x+3）＜0的解集是（）A．R B．? C．{x|﹣3＜x＜﹣1} D．{x|x＜﹣3，或x＞﹣1}2．若p：1x＞1；q：（x﹣1）（3﹣x）≤0A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．已知2x2﹣kx+m＜0的解集為（﹣1，t）（t＞﹣1），則k+m的值為（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．24．若關(guān)于x的不等式mx2+2x+m＞0的解集是R，則m的取值范圍是（）A．（1，+∞） B．（0，1） C．（﹣1，1） D．[1，+∞）5．已知關(guān)于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集為（﹣2，4），則不等式cx2﹣bx+a＜0的解集是（）A．{x|x＜?12或x＞14} B．{x|C．{x|x＜?14或x＞12} D．6．若關(guān)于x的不等式（2x﹣1）2＜ax2的解集中的整數(shù)恰有3個(gè)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．(53，74] B．[537．關(guān)于x的方程x2+（m+4）x+2m+20＝0有兩個(gè)正根x1，x2（x1＜x2），下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．0＜x1＜2 B．2＜x2＜6 C．x1x2x1+xD．x12+x228．已知不等式﹣2x2+bx+c＞0的解集是{x|﹣1＜x＜3}，若對(duì)于任意x∈{x|﹣1≤x≤0}，不等式﹣2x2+bx+c+t≤4恒成立，則t的取值范圍是（）A．{t|t≤2} B．{t|t≤﹣2} C．{t|t≤﹣4} D．{t|t≤4}二．多選題9．與不等式x2﹣x+2＞0的解集相同的不等式有（）A．﹣x2+x﹣2＜0 B．2x2﹣3x+2＞0 C．x2﹣x+3≥0 D．x2+x﹣2＞010．若不等式ax2+bx+c＞0的解集為（﹣1，2），則下列說(shuō)法正確的是（）A．a(chǎn)＜0 B．a(chǎn)+b+c＞0 C．關(guān)于x的不等式bx2+cx+3a＞0解集為（﹣3，1） D．關(guān)于x的不等式bx2+cx+3a＞0解集為（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）11．下列關(guān)于不等式x2﹣（a+1）x+a＞0的解集討論正確的是（）A．當(dāng)a＝1時(shí)，x2﹣（a+1）x+a＞0的解集為? B．當(dāng)a＞1時(shí)，x2﹣（a+1）x+a＞0的解集為（a，+∞） C．當(dāng)a＜1時(shí)，x2﹣（a+1）x+a＞0的解集為{x|x＜a或x＞1} D．無(wú)論a取何值時(shí)，x2﹣（a+1）x+a＞0的解集均不為空集12．下列說(shuō)法正確的是（）A．不等式（2x﹣1）（1﹣x）＜0的解集為{x|x＜12或xB．若實(shí)數(shù)a，b，c滿足ac2＞bc2，則a＞b C．若x∈R，則函數(shù)y=x2+4D．當(dāng)x∈R時(shí)，不等式kx2﹣kx+1＞0恒成立，則k的取值范圍是（0，4）三．填空題13．不等式x2+2x﹣8≤0的解集是．14．已知p：2x2﹣3x﹣2≥0，q：x2﹣2（a﹣1）x+a（a﹣2）≥0，若p是q的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．15．已知關(guān)于x的一元二次不等式ax2+bx+c＜0的解集為{x|1＜x＜3}，則cx2﹣bx+a＞0的解集是．16．對(duì)任意x∈R，一元二次不等式（k﹣1）x2+（k﹣1）x?38＜0都成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為四．解答題17．解以下一元二次不等式（1）2x2﹣3x+1≤0（2）﹣x2﹣5x+6＜0（3）4x2﹣4x+1＞0（4）x2﹣6x+9≤018．解下列關(guān)于x的不等式：（a為實(shí)數(shù)）（1）x2+2x+a＜0；（2）ax?1x?2＞19．已知不等式ax2+bx+1＞0的解集為{x|?12＜x＜132