新高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習：集合（原卷版+解析）

專題01集合

【命題方向目錄】

命題方向一：集合的表示：列舉法、描述法

命題方向二：集合元素的三大特征

命題方向三：元素與集合間的關(guān)系

命題方向四：集合與集合之間的關(guān)系

命題方向五：集合的交、并、補運算

命題方向六：集合與排列組合的密切結(jié)合

命題方向七：集合的創(chuàng)新定義

【2024年高考預(yù)測】

1、考查兩個幾何關(guān)系的判定或子集的個數(shù)問題

2、常與一元二次不等式解法、一元一次不等式解法、分式不等式解法、指數(shù)、對數(shù)不等式解法結(jié)合

重點考查集合的交集運算，也可能考查集合的并集、補集運算

【知識點總結(jié)】

1、集合與元素

某些指定的對象集在一起就成為一個集合，簡稱集，通常用大寫字母A,B>（?，???表示.集合中的

每個對象叫做這個集合的元素，通常用小寫字母。，b,c,...表示.

2、集合的分類

集合按元素多少可分為：有限集（元素個數(shù)有限）、無限集（元素個數(shù)無限）、空集（不含任何元素）；

也可按元素的屬性分，如：數(shù)集（元素是數(shù)），點集（元素是點）等.

3、集合中元素的性質(zhì)

對于一個給定的集合，它的元素具有確定性、互異性、無序性.

4、常用集合符號

數(shù)集自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集

符號NN*或N.ZQR

5、元素與集合之間的關(guān)系

元素與集合之間用“e”或“任”連接，元素與集合之間是個體與整體的關(guān)系，不存在大小或相等關(guān)系.

6、集合與集合之間的關(guān)系

（1）包含關(guān)系：如果對任意xwA，都有則稱集合A是集合3的子集，記作A=顯然A=A，

0GA;

（2）相等關(guān)系：對于集合A、B，如果同時那么稱集合A等于集合3,記作4=臺；

（3）真包含關(guān)系：對于集合A、B，如果A=并且AwB，我們就說集合A是集合3的真子集，

記作AtJB；

（4）空集是任何非空集合的真子集.

7、集合的基本運算

（1）交集：一般地，由屬于集合A且屬于集合臺的所有元素組成的集合，稱為A與3的交集，記作AQ8,

即AP|3={xI尤?A，GB]-

（2）并集：一般地，由所有屬于集合A或?qū)儆诩?的元素組成的集合，稱為A與3的并集，記作AU3,

即A|JB={彳1xeA,或veB}■

（3）補集：對于一個集合A,由全集中不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對于全

集U的補集，簡稱為集合A的補集，記作QA，即{尤且xeA}.

8、集合表示方法：列舉法、描述法、Venn圖.

9、集合之間的運算性質(zhì)

（1）交集：4口8=804，=Ap|A=A，Ap|0=0，=A-

（2）并集：AUB=BUA，AIJBNA，AUB=3，AIJA=A，AU0=A，A^B^A\JB=B-

（3）補集的運算性質(zhì)：CU（CUA）=A，Cu0=U，GU=0，An（C[/A）=0，A\J（CuA）=U-

【秒殺總結(jié)】

U）若有限集A中有“個元素，則A的子集有2"個，真子集有2"-1個，非空子集有2"-1個，非空

真子集有2"_2個.

（2）空集是任何集合A的子集，是任何非空集合3的真子集.

（3）AryB=A<^A^B,A^jB=A<^B^A.

【典例例題】

命題方向一：集合的表示：列舉法、描述法

【通性通解總結(jié)】

1、列舉法，注意元素互異性和無序性，列舉法的特點是直觀、一目了然.

2、描述法，注意代表元素.

例L（2023?新疆?校聯(lián)考二模）集合A={—L0,L2,3,4,5},8={x|x為晨10以內(nèi)的質(zhì)數(shù)},記Ac3=M,

貝I（）

A.leMB.2eM

C.3^MD.4任M

例2.（2023?全國?高三專題練習）已知集合A={T,0,l},B=則集合8中所有元

素之和為（）

A.0B.1C.-1D.也

例3.（2023?全國?高三專題練習）已知集合4={刈2＜》＜6,尤eN},則集合A的子集的個數(shù)為（）

A.3B.4C.7D.8

變式1.（2023?廣東茂名?高三統(tǒng)考階段練習）設(shè)集合A={2,4},B={1,2},集合

M=1z|z=3，xeAy＞,則M中所有元素之和為（）

A.3B.5C.7D.9

變式2.(2023?全國?高三專題練習)已知集合A={#244},集合8={小?“且x-le耳，則3=()

A.{0,1}B.{0,1,2}C.{1,2,3}D.{1,2,3,4}

變式3.（2023?河北?高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）直角坐標平面中除去兩點A（l,l）、3（2,-2）可用集合表示為（）

A.{(x,y)|xwl,ywl,xw2,y。一2}

B.{(羽刈[或J

〔"1〔yw-2

c.{(x,y)|[(尤-1)2+(y—1)2][(x-2)2+(y+2)2]w0}

D.{(x,y)|[(x-1)?+(y—1尸]+[(尤-2)2+(y+2)2卜0}

命題方向二：集合元素的三大特征

【通性通解總結(jié)】

1、研究集合問題，看元素是否滿足集合的特征：確定性、互異性、無序性.

2、研究兩個或者多個集合的關(guān)系時，最重要的技巧是將兩集合的關(guān)系轉(zhuǎn)化為元素間的關(guān)系.

例4.（2023?全國?高三專題練習）集合A={a,6,c}中的三個元素分別表示某一個三角形的三邊長度，那么

這個三角形一定不是（）

A.等腰三角形B.銳角三角形

C.直角三角形D.鈍角三角形

例5.（2023?全國?高三專題練習）定義集合A*B={z|z=町,xeAye3},設(shè)集合A={-1,0,1},

3={-1,1,3},則中元素的個數(shù)為（）

A.4B.5C.6D.7

例6.（2023?河南新鄉(xiāng)?高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知集合人={4,無,2y},B={-2,x2,l-y},若A=B,則實數(shù)

尤的取值集合為（）

A.{-1,0,2}B.{-2,2}C.{-1,0,2}D.{-2,1,2）

變式4.（2023?全國?高三專題練習）設(shè)集合A={-2,-1,1,2,3},B={y|y=log21x|,%eA},則集合5元素的

個數(shù)為（）

A.2B.3C.4D.5

變式5.（2023?全國?高三專題練習）己知集合A={2,-5,3<7+1,叫，3={a+5,9,l-a,4},若AcB={4},

則實數(shù)。的取值的集合為（）

A.{1,2,-2}B.{1,2}C.{1,-2}D.{1}

命題方向三：元素與集合間的關(guān)系

【通性通解總結(jié)】

1、一定要牢記五個大寫字母所表示的數(shù)集，尤其是N與N*的區(qū)別.

2、當集合用描述法給出時，一定要注意描述的是點還是數(shù)，是還是.

例7.（2023?貴州黔東南?凱里一中?？既＃┮阎?=卜|〉=*一1},7={（羽丫）|工+?=0},下列關(guān)系正

確的是（）

A.-2eSB.（2,-2）gTD.（-1,1）eT

例8.（2023?新疆?校聯(lián)考二模）集合A=3={x|x為l~10以內(nèi)的質(zhì)數(shù)},記

AoB=M,貝!I（）

A.leMB.D.4^M

例9.（2023?河北石家莊?統(tǒng)考一模）設(shè)全集U={2,4,6,8},若集合”滿足令"={2,8},則（）

A.B.6^MC.41MD.6^M

變式6.（2023?河南?開封高中?？寄M預(yù)測）已知4={引爐—依+i＜。},若26兒且3任A,則。的取值

范圍是（）

A，5，+0）B<5101「510、（10'

-U°J-b,TjC匕句D.1可

變式7.（2023?云南昆明?昆明一中?？寄M預(yù)測）已知集合4={-2,-1,1,3,5},集合

B={x|-x2+5>0,xeZ）,則圖中陰影部分所表示的集合為（）

A.{-2-1,1}B.{0,3,5)

C.{0,1}D.{0,2}

變式8.（2023?河北?高三學(xué)業(yè)考試）給出下列關(guān)系：①giR；②⑸R；③|-3|eN；@|-3|eQ.其中

正確的個數(shù)為（）

命題方向四：集合與集合之間的關(guān)系

【通性通解總結(jié)】

1、注意子集和真子集的聯(lián)系與區(qū)別.

2、判斷集合之間關(guān)系的兩大技巧：

（1）定義法進行判斷

（2）數(shù)形結(jié)合法進行判斷

例10.（多選題）（2023,全國?高二專題練習）若非空集合滿足：McN=N,MuP=P,貝！]（）

A.P^MB.MlP=M

C.NuP=PD.McbpN=0

例11.（多選題）（2023?全國?高三專題練習）已知集合4={削-l<x<7},B={.r|a+2<x<2a-l},若使

成立的實數(shù)a的取值集合為M,則M的一個真子集可以是（）

A.（一94]B.（一8,引C.（3,4]D.[4,5）

例12.（多選題）（2023?全國?高三專題練習）已知集合舊=同6/一5%+1=0},集合尸=卜麻=1},若

McP=P,則實數(shù)。的取值可能為（）

A.0B.1C.2D.3

變式9.（多選題）（2023?全國?高三專題練習）設(shè)Z表示整數(shù)集，且集合機=5"2,左eZ},

N={H〃=10左+8,左eZ},則（）

A.MuN=MB.McN=0

C.&㈣UN=ZD.（枷）=（zN）

變式10.（多選題）（2023?云南昆明?昆明一中?？寄M預(yù)測）已知條件p：{刈/+》-6=0},條件q：

{x|xm+1=0},且p是q的必要條件，則根的值可以是（）

A.-B.—C.-~D.0

232

變式11.（多選題）（2023?全國?高三專題練習）設(shè)集合

M={x\x=6k+2,keZ},N={x\x=6k+5,keZ},P={x\x=3k+2,keZ},則（）

A.McNw0B.MuN=PC.M=PD.dpM=N

變式12.（多選題）（2023?全國?高三專題練習）下列關(guān)系式錯誤的是（）

A.0e{O}B.{2}c{l,2}C.6.三QD.OGZ

變式13.（多選題）（2023?全國?高三專題練習）設(shè)4={#2-9x+14=0},B=[x\ax-l=Q\,若

A^B=B,則實數(shù)。的值可以為（）

A.2B.4C.-D.0

27

變式14.（多選題）（2023?全國?高三專題練習）已知集合4={無€即2-318<。},

5eR|X2+ax+a"—T1<o|,則下列命題中正確的是（）

A.若A=3,則°=一3B.若AgB,則a=—3

C.若3=0,貝！Ja<-6或D.若BUA時，貝1]-6<。4一3或aN6

變式15.（2023?全國?高三專題練習）已知集合4={-1,1,3},2={&+2,4，B^A,則實數(shù)。的值是

變式16.（2023?全國?高三專題練習）已知集合出={x—+x-6=。}N={x|mx-l=0},若N三M,則實

數(shù)m的取值構(gòu)成的集合為.

命題方向五：集合的交、并、補運算

【通性通解總結(jié)】

1、注意交集與并集之間的關(guān)系

2、全集和補集是不可分離的兩個概念

例13.（2023?安徽?高三安徽省臨泉第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習）已知集合4={#1"（彳-2）<0},

3=何5-2尤〉0},則人口5=（）

A.jx|2<x<-|>B,卜弓<尤<31C.l<x<-|>D.{x[l<x<2}

例14.（2023?寧夏銀川?銀川一中校考二模）已知集合A={x|-L<xW3},B=（x|y=ln（4-x2））,則

A<JB=（）

A.（—oo,—1]U[2,+8）B.[—1,2）

C.[-1,3]D.（-2,3]

例15.（2023?安徽宣城?高三統(tǒng)考期末）已知U=R,集合A={T-l,0,l,3},B={^||x-l|>1},則

AI”=（）

A.{-1,0,1}B.{-3,3}C.{-3,-1,3}D.{0,1}

變式17.（2023?江西吉安?統(tǒng)考一模）已知全集U=R.設(shè)集合A=國log2（x+2）<l},B=，則

（M）UB=（）

A.{x|-2<x<0}B.{x|x4-2或x>l}

C.{x[x<-2或x>0}D.

變式18.（2023.內(nèi)蒙古赤峰.統(tǒng)考二模）設(shè)全集U={1,2,3,4,5,6,7,8},AI0B={1,3},a（AUB）={2,4},

則集合8為（）

A.{1,3,5,6,7,8}B.{2,4,5,6,7,8}

C.{5,6,7,8}D.{1,2,3,4）

變式19.（2023.貴州.校聯(lián)考二模）已知全集。=11,集合4={疝蝎無<2},3={XH<X<5},則圖中陰影

部分表示的集合為（）

A.{x|x<5}B.{x|O<xWl}C.{x|尤44}D.{鄧<x45}

變式20.（2023?全國?高三專題練習）我們把含有有限個元素的集合A叫做有限集，用card（A）表示有限集

合A中元素的個數(shù).例如，A={a,b,c},貝"ard（A）=3.容斥原理告訴我們，如果被計數(shù)的事物有4民。三

類，那么，cai-d（AUBUC）=

cardA+cardB+cardC-card（An3）-card（B^|C）-card（A^|C）+card（A^|3^|C）.某校初一四班學(xué)生46人，

寒假參加體育訓(xùn)練，其中足球隊25人，排球隊22人，游泳隊24人，足球排球都參加的有12人，足球游

泳都參加的有9人，排球游泳都參加的有8人，問：三項都參加的有多少人？（教材閱讀與思考改編）

（）

A.2B.3C.4D.5

變式21.（2023?全國?高三專題練習）如圖，/為全集，M、P、s是/的三個子集，則陰影部分所表示的

A.M尸)nsB.(Mg)US

C.(MnP)nSD.(MnP)uS

命題方向六：集合與排列組合的密切結(jié)合

【通性通解總結(jié)】

利用排列與組合思想解決集合或者集合中元素個數(shù)的問題，需要運用分析與轉(zhuǎn)化的思想方法

例16.（2023?全國?高三專題練習）已知集合丫={1,2,3},匕={1,2,3,…,"},（"eN*）,設(shè)S”={（。力）1。整除

6或6整除。aeX,b^Yn},令〃〃）表示集合S,所含元素的個數(shù)，則“2022）=.

例17.（2023?上海?高三專題練習）設(shè)非空集合。當。中所有元素和為偶數(shù)時（集合為單元素時和

為元素本身），稱2是加的偶子集，若集合M={1,2,3,4,5,6,7},則其偶子集。的個數(shù)為.

例18.（2023?全國?高三專題練習）對任何有限集S,記"（S）為S的子集個數(shù).設(shè)河=｛1,2,3,4｝,則

對所有滿足A&BUM的有序集合對（A,B）,p（A）p（B）的和為

變式22.（2023?高三課時練習）從集合M=｛1,2,3,…,10｝選出5個數(shù)組成的子集，使得這5個數(shù)的任兩個

數(shù)之和都不等于11,則這樣的子集有個.

命題方向七：集合的創(chuàng)新定義

【通性通解總結(jié)】

1、集合的創(chuàng)新定義題核心在于讀懂題意.讀懂里邊的數(shù)學(xué)知識，一般情況下，它所涉及到的知識和方

法并不難，難在轉(zhuǎn)化.

2、集合的創(chuàng)新定義題，主要是在題干中定義“新的概念，新的計算公式，新的運算法則，新的定理”,

要根據(jù)這些新定義去解決問題，有時為了有助于理解，還可以用類比的方法進行理解.

例19.（2023?湖南長沙?高三校聯(lián)考期中）若一個非空數(shù)集F滿足：對任意。力eP,有。+6,a-b,

ab&F,且當6x0時，有”F,則稱歹為一個數(shù)域，以下命題中：

b

（1）0是任何數(shù)域的元素；（2）若數(shù)域/有非零元素，貝。2021CF；

（3）集合尸=｛x|尤=3匕％eZ｝為數(shù)域；（4）有理數(shù)集為數(shù)域；

真命題的個數(shù)為

例20.（2023?全國?高三專題練習）對于非空集合A=｛o1M2，/，…,%｝（420，，=1，2,31的），其所有元素的

幾何平均數(shù)記為E（A）,即磯A）=Wv%??…凡.若非空數(shù)集B滿足下列兩個條件：①BA；②

E（5）=E（A）,則稱B為A的一個“保均值真子集”，據(jù)此，集合｛1,2,4,8,16｝的“保均值真子集”有一個.

例21.（2023?全國?高三專題練習）非空集合G關(guān)于運算十滿足：（1）對任意a、blG,都有。十beG；

（2）存在eeG,使得對一切awG,者B有a十e=e十a(chǎn)=a,則稱G關(guān)于運算十為“融洽集”.現(xiàn)給出下列

集合和運算：

①G=｛非負整數(shù)｝,十為整數(shù)的加法；

②G=｛偶數(shù)｝,十為整數(shù)的乘法：

③G=｛平面向量｝,十為平面向量的加法；

@G=｛二次三項式｝,十為多項式的加法；

⑤G=｛虛數(shù)｝,十為復(fù)數(shù)的乘法

其中G關(guān)于運算十為“融洽集”的是.（寫出所有“融洽集”的序號）

變式23.（2023?全國?高三專題練習）設(shè)集合A1R,如果滿足：對任意都存在xeA,使得

0<|x-%0|<a,那么稱與為集合A的聚點，則下列集合中：

n1

（l）Z+uZ：（2）R+UTT；（3）{--IneA^*}；（4）{-|??e2V*）.

n+1n

以。為聚點的集合有（寫出所有你認為正確結(jié)論的序號）

變式24.（2023?全國?高三專題練習）給定數(shù)集若對于任意〃、b&M,有a+6?M,且a-be/,

則稱集合M為閉集合，則下列所有正確命題的序號是：

①集合”={-2,-1,0,1,2}是閉集合；

②正整數(shù)集是閉集合；

③集合M=刨〃=3左水cZ}是閉集合；

④若集合4、4為閉集合，則A口4為閉集合.

變式25.（2023?全國?高三專題練習）在整數(shù)集中，被4除所得余數(shù)為人的所有整數(shù)組成一個“類”，記為

［k］,即因={4〃+巾€2},左=0,1,2,3.給出下列四個結(jié)論.

①2021?1］；②③％<。］/］二］^］］；④“整數(shù)。，b屬于同一“類””的充要條件是“。-匹網(wǎng)”.

其中正確的結(jié)論是（填所有正確的結(jié)論的序號）.

【過關(guān)測試】

一、單選題

1.(2023?山東青島?統(tǒng)考模擬預(yù)測)設(shè)集合A={(x,y)k，yeN*,yNx},B={(x,y)|x+y=8},則集合AcB

中元素的個數(shù)為()

A.6B.5C.4D.3

2.(2023?陜西榆林?統(tǒng)考三模)已知集合4={川0<尤<16},5=3-4<4><16},則Au3=()

A.(-1,16)B.(0,4)C.(-1,4)D.(-4,16)

3.(2023?新疆喀什?統(tǒng)考模擬預(yù)測)已知集合4={-2,—3,-1,0,1},B={x|x>0),則()

A.{-1,1}B.{-1,0}C.{1}D.{0,1}

4.(2023?河南?校聯(lián)考模擬預(yù)測)已知集合5=卜s=2〃+l,〃wZ},T={x|x2-x-6<0},則S”的子集

的個數(shù)是()

A.1B.2C.3D.4

5.（2023?內(nèi)蒙古呼和浩特?統(tǒng)考二模）已知全集。={》|-3<尤<3},集合A={尤|V+x-2<0},則=

A.（—2,1]B.（—3,—2][1,3）C.[一2,1）D.（—3,—1）U（L3）

6.（2023.陜西寶雞.統(tǒng)考三模）已知集合4={（*,月卜+丫=5},集合3={（x,y）|x-y=-l},則Ac3等于

（）

A.{2,3}B.{（2,3）}C.{尤=2,y=3}.D.（2,3）

7.（2023?山東荷澤?統(tǒng)考二模）已知全集U={x|x、0},集合A={x|x（x—2）40},則6A=（）

A.（2,+oo）B.[2,+co）

C.（Y,0）D（2,+OO）D.（-（?,0]U[2,+CO）

8.（2023?湖南懷化?統(tǒng)考二模）已知集合〃={-1,1,2,3,4,5},N={1,2,4},P=McN,則尸的真子集共有

（）

A.3個B.6個C.7個D.8個

Y

9.（2023?陜西?統(tǒng)考一模）在R上定義運算⑤:尤⑤'=—,若關(guān)于x的不等式（x-a）區(qū)（x-l-a）W0的解

2-y

集是集合卜卜2〈尤44}的子集，則實數(shù)。的取值范圍為（）

A.-2<a<1B.—2Wa<1C.—2<Q<1D.—2WQ<1

10.（2023?陜西寶雞??？寄M預(yù)測）設(shè)A、B、。是三個集合，若AuB=BcC,則下列結(jié)論不正確的是

（）.

A.BB.BjCC.BcrAD.AcC

11.（2023?遼寧丹東?統(tǒng)考一模）已知集合&=卜€(wěn)e|（彳+1）（彳-0）<0},B={-3,-2,l},若A=B且

AcBw0,貝ij”（）

A.-3B.-2C.0D.1

12.（2023?江西吉安?統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知4=仕,2},5={1,2,6,7,8},且AUCaB,滿足這樣的集合C的

個數(shù)（）

A.6B.7C.8D.9

13.（2023?黑龍江哈爾濱?哈爾濱市第六中學(xué)校校考一模）己知集合&=卜|f+xV2},B={L。},若

B^A,則實數(shù)“的取值集合為（）

A.1—2,—1,01B.1x|—2<x<lj

C.{x|—2<x<1}D.{-2,-1,0,1}

二、多選題

14.（2023?山東濰坊?統(tǒng)考一模）若非空集合尸滿足：McN=N,MuP=P,則（）

A.PjMB.MIP=M

C.NuP=PD.McbpN=0

15.（2023?云南昆明?昆明一中校考模擬預(yù)測）已知條件）：{x|/+x-6=0},條件q：{x|x機+1=0},且

p是q的必要條件，則m的值可以是（）

A.—B.—C.--D.0

232

16.（2023?全國?高三專題練習）圖中陰影部分用集合符號可以表示為（）

A.Bn（AuC）B.CuBc（AuC）

C.BcCu（AuC）D.（AnB）u（BnC）

17.（2023?全國?高三專題練習）當兩個集合中一個集合為另一個集合的子集時，稱這兩個集合構(gòu)成“全

食”；當兩個集合有公共元素，但互不為對方子集時，稱這兩個集合成“偏食”.對于集合A=

3={x［（依+l/x-a）=0},若A與B構(gòu)成“全食”或“偏食”，則實數(shù)。的取值可以是（）

A.-2B.0C.1D.2

18.（2023?全國?高三專題練習）已知M是同時滿足下列條件的集合：②若則

x-y&M.③xeA/且xrO,則工eM.下列結(jié)論中正確的有（）

尤

A.-&MB.-IgM

3

C.若龍,yeM,貝D.若尤,yeM,貝U町eM

19.（2023?全國?高三專題練習）非空集合G關(guān)于運算?滿足：（1）對任意a,beG,都有。十6eG；

⑵存在eeG,使得對一切aeG,者陌a十e=e十a(chǎn)=a,則稱G關(guān)于運算十為“融洽集”.現(xiàn)給出下列集

合和運算，其中G關(guān)于運算十為“融洽集”的是（）

A.G={有理數(shù)},十為實數(shù)的乘法B.G={非負整數(shù)},十為整數(shù)的加法

C.G={偶數(shù)},十為整數(shù)的乘法D.G={二次三項式},十為多項式的加法

三、填空題

20.（2023?上海崇明?上海市崇明中學(xué)?？寄M預(yù)測）若集合P={x|x（尤—1）>0},Q={X||尤|<1},則2門。=

21.（2023?上海徐匯?統(tǒng)考二模）已知集合4={如<3},8=卜卜=萬7},則4口3=.

22.（2023?全國?高三專題練習）已知集合4=卜卜=」無一爐,集合8={#2<1},則

』＜尤,』=卜,=現(xiàn)214-4,則（4A）U3=

23.（2023?全國?高三專題練習）已知集合4=X

X+1

24.（2023?上海閔行?高三上海市七寶中學(xué)校考階段練習）已知集合4=向左<。},3=例xNl},且

AUB=R,則實數(shù)。的取值范圍是.

25.（2023?高三課時練習）已知集合4=卜|-2<%<7},B=[x\m+l<x<2m-]],且Au5=A,則實數(shù)

m的取值范圍是.

26.（2023?高三課時練習）已知集合人=可一%2+3%+1。之。},B={x|m+l<x<2m-l},若則實

數(shù)m的取值范圍是.

專題01集合

【命題方向目錄】

命題方向一：集合的表示：列舉法、描述法

命題方向二：集合元素的三大特征

命題方向三：元素與集合間的關(guān)系

命題方向四：集合與集合之間的關(guān)系

命題方向五：集合的交、并、補運算

命題方向六：集合與排列組合的密切結(jié)合

命題方向七：集合的創(chuàng)新定義

【2024年高考預(yù)測】

1、考查兩個幾何關(guān)系的判定或子集的個數(shù)問題

2、常與一元二次不等式解法、一元一次不等式解法、分式不等式解法、指數(shù)、對數(shù)不

等式解法結(jié)合重點考查集合的交集運算，也可能考查集合的并集、補集運算

【知識點總結(jié)】

1、集合與元素

某些指定的對象集在一起就成為一個集合，簡稱集，通常用大寫字母A，3,C，?-表

示.集合中的每個對象叫做這個集合的元素，通常用小寫字母a,°,c...表示.

2、集合的分類

集合按元素多少可分為：有限集（元素個數(shù)有限）、無限集（元素個數(shù)無限）、空集（不

含任何元素）；也可按元素的屬性分，如：數(shù)集（元素是數(shù)），點集（元素是點）等.

3、集合中元素的性質(zhì)

對于一個給定的集合，它的元素具有確定性、互異性、無序性.

4、常用集合符號

數(shù)集自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集

符號NN*或N+ZQR

5、元素與集合之間的關(guān)系

元素與集合之間用“e”或連接，元素與集合之間是個體與整體的關(guān)系，不存在

大小或相等關(guān)系.

6、集合與集合之間的關(guān)系

（1）包含關(guān)系：如果對任意xeA，都有Xe8，則稱集合A是集合8的子集，記作A18，

顯然A=A，0cA;

（2）相等關(guān)系：對于集合A、B，如果A=8，同時4口8，那么稱集合A等于集合

B>記作A=3；

（3）真包含關(guān)系：對于集合A、B，如果AQB，并且我們就說集合A是集合

3的真子集，記作At）8；

（4）空集是任何非空集合的真子集.

7、集合的基本運算

（1）交集：一般地，由屬于集合A且屬于集合3的所有元素組成的集合，稱為A與3

的交集，記作即Ang={x|xeA,且xeB}?

（2）并集：一般地，由所有屬于集合A或?qū)儆诩?的元素組成的集合，稱為A與臺

的并集，記作AUB，即AU3={x|xeA,或xeB}?

（3）補集：對于一個集合A，由全集0中不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為

集合A相對于全集U的補集，簡稱為集合A的補集，記作C〃A，即

QA={尤|尤eU,JLveA}.

8、集合表示方法：列舉法、描述法、腌〃”圖.

9、集合之間的運算性質(zhì)

（1）交集：A^B=BC\A-AQBcA-AC\B^B>A^\A=A<A^]0=0>

A<z2?AP]B=A?

（2）并集：A\JB=B\JA-AIJBNA，A\JB^B>A|JA=A，AIJ0=A，

=B-

（3）補集的運算性質(zhì)：CU（CUA）=A，Cv0=U-CvU=0>Ap[（CvA）=0，

AU（S）=U-

【秒殺總結(jié)】

（1）若有限集A中有〃個元素，則A的子集有2"個，真子集有2'-1個，非空子集有

2"_1個，非空真子集有2"_2個.

（2）空集是任何集合A的子集，是任何非空集合3的真子集.

（3）Ar}B=A^>A^B,A^jB=A<^B^A.

【典例例題】

命題方向一：集合的表示：列舉法、描述法

【通性通解總結(jié)】

1、列舉法，注意元素互異性和無序性，列舉法的特點是直觀、一目了然.

2、描述法，注意代表元素.

例1.（2023?新疆?校聯(lián)考二模）集合A={—L0,L2,3,4,5},3={x|x為1~10以內(nèi)的質(zhì)數(shù)},

記=貝！）（）

A.leMB.2^M

C.3^MD.4eM

【答案】D

【解析】因為8=同天為1~10以內(nèi)的質(zhì)數(shù)}={2,3,5,7},又A={-l,0,l,2,3,4,5},

則A/=Ac3={2,3,5},對比選項可知，"M,2cM3eM,4eM,即D正確，ABC錯

誤.

故選：D.

例2.（2023?全國?高三專題練習）已知集合&={-1,0,1},B=則

集合B中所有元素之和為（）

A.0B.1C.-1D.&

【答案】C

【解析】根據(jù)條件分別令〃/-1=T,。』，解得=0,±1,±忘，

又m-leA,所以〃2=-1,±0,2={-1,形,-應(yīng)},

所以集合B中所有元素之和是T，

故選：C.

例3.（2023?全國?高三專題練習）已知集合4=口|2<彳<6,》《可（，則集合A的子集的個

數(shù)為（）

A.3B.4C.7D.8

【答案】D

【解析】集合A={x|2<x<6,xeN}={3,4,5},

則集合4的子集有：0,{3},{4},{5},{3,4},{3,5},{4,5},{3,4,5）,共8個，

所以集合A的子集的個數(shù)為8.

故選：D

變式1.（2023?廣東茂名.高三統(tǒng)考階段練習）設(shè)集合A={2,4},8={1,2},集合

M=1z|z=>,則〃中所有元素之和為（）

A.3B.5C.7D.9

【答案】C

【解析】當x=2,y=l時，z=2；

當x=2,y=2時，z=l；

當x=4,y=l時，z=4；

當x=4,y=2時，z—2；

所以M={1,2,4},M中所有元素之和為7.

故選：C.

變式2.(2023.全國.高三專題練習)已知集合4={尤卜之<味集合

B-eN*JELX-1e,貝!]3=()

A.{0,1}B.{0,1,2}C.{1,2,3}D.{1,2,3,4}

【答案】C

【解析】?.?4={尤，<4}=-2,2],8=仲小小—]叫，

，3={1,2,3},

故選：C

變式3.(2023?河北?高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試)直角坐標平面中除去兩點41,1)、8(2,-2)可用集

合表示為()

A.{(%,y)|%w1,yw1,%w2,yw—2}

B.{(羽y)l]或J

C.{(x,y)|[(I)?+(y-1)?])x-2)2+(y+2力w0}

D.{(x,y)|[(x-1)2+(y-1)2]+[(x-2)2+(y+2)2]0)

【答案】C

【解析】直角坐標平面中除去兩點A(l,l)、B(2-2),其余的點全部在集合中，

A選項中除去的是四條線x=l,y=Lx=2,y=-2；

8選項中除去的是A(LD或除去3(2,-2)或者同時除去兩個點，共有三種情況，不符合題

思；

C選項{(%,y)|[(x-1)2+(_1)勺[(X-2)2+(y+2)2]H0},則(X_1產(chǎn)+⑶_1)2/。且

(X一2)2+。+2)2*0,即除去兩點A(l,l)、3(2,-2),符合題意;

。選項{(羽y)|[(x-+(y-1)?]+[(x-2尸+(y+2)2]w0},則任意點(x,y)都不能

[(x-l)2+(y-l)2]+[(x-2)2+(>+2)2]=0,即不能同時排除A,5兩點.

故選：C

命題方向二：集合元素的三大特征

【通性通解總結(jié)】

1、研究集合問題，看元素是否滿足集合的特征：確定性、互異性、無序性.

2、研究兩個或者多個集合的關(guān)系時，最重要的技巧是將兩集合的關(guān)系轉(zhuǎn)化為元素間的

關(guān)系.

例4.（2023?全國?高三專題練習）集合A={a,c}中的三個元素分別表示某一個三角形的

三邊長度，那么這個三角形一定不是（）

A.等腰三角形B.銳角三角形

C.直角三角形D.鈍角三角形

【答案】A

【解析】根據(jù)集合中元素的互異性得a手b,b手c,E,

故三角形一定不是等腰三角形.

故選：A.

例5.（2023?全國?高三專題練習）定義集合A*3={z|z=盯,xeAyeB},設(shè)集合

A={-1,0,1},3={-1,1,3},貝中元素的個數(shù)為（）

A.4B.5C.6D.7

【答案】B

【解析】因為A={T0,l},5={-1,1,3},

所以A*B={-3,-lQl,3},

故A*B中元素的個數(shù)為5.

故選：B.

例6.（2023?河南新鄉(xiāng)?高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知集合4={4,%2?,B={-2,x2,l-y],

若A=B,則實數(shù)x的取值集合為（）

A.{-1,0,2}B.{-2,2}C.{-1,0,2}D.{-2,1,2）

【答案】B

【解析】因為A=3,所以—2eA.

當尤=一2時，2y=l-y,得y=；：

當2y=-2時，貝ljx=2.

故實數(shù)尤的取值集合為{-2,2}.

故選：B

變式4.（2023?全國?高三專題練習）設(shè)集合4={-2,-1,1,2,3},

8={y|y=log2|x|,xeA},則集合B元素的個數(shù)為（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【解析】當彳=±2時，y=l；

當彳=±1時，y=0；

當x=3時，J=log23.

故集合8共有3個元素.

故選：B.

變式5.（2023?全國?高三專題練習）已知集合4={2,-5,3a+l,c/},3={a+5,9,l-a,4},

若Ac3={4},則實數(shù)。的取值的集合為（）

A.{1,2,-2}B.{1,2}C.{1,-2}D.{1}

【答案】D

【解析】?.?集合A={2,-5,3°+1,儲},B={a+5,9,1-a,4},

乂Ac={4}3a+1=4或片=4?解得a=l或。=2或。=—2,

當4=1時，A={2,-5,4,1},8={6,9,0,4},Ac8={4},符合題意；

當a=2時，A={2,-5,7,4},B={7,9,-1,4},AnB={7,4},不符合題意；

當。=-2時，A={2,-5,-5,4},3={3,9,3,4},不滿足集合元素的互異性，不符合題意.

：.a=\,則實數(shù)。的取值的集合為{1}.

故選：D.

命題方向三：元素與集合間的關(guān)系

【通性通解總結(jié)】

1、一定要牢記五個大寫字母所表示的數(shù)集，尤其是N與N*的區(qū)別.

2、當集合用描述法給出時，一定要注意描述的是點還是數(shù)，是還是.

例7.（2023?貴州黔東南?凱里一中?？既＃┮阎?/p>

S={y|y=x2-l},T={（x,y）|x+y=0},下列關(guān)系正確的是（）

A.-2eSB.（2,-2）eTC.-1"D.（-1,1）eT

【答案】D

【解析】因為S={y|y=f-l}={y|y2-l},

所以A、C錯誤，

因為2+（-2）=0,所以（2,-2）eT,所以B錯誤，

又—1+1=0,所以（-M）eT,所以D正確，

故選:D.

例8.（2023?新疆?校聯(lián)考二模）集合A=x

x+2

8={尤.為1~10以內(nèi)的質(zhì)數(shù)},記AcBuAf,則（）

A.leMB.2^MC.D.

【答案】D

Q

【解析】由扁>1，解得一2cx<6,又xeZ,所以A={—l,0,l,2,3,4,5},

而3={2,3,5,7},則AC3={2,3,5},即河={2,3,5},

對比選項可知，D正確，而A、B、C錯誤.

故選：D.

例9.（2023?河北石家莊?統(tǒng)考一模）設(shè)全集U={2,4,6,8},若集合M滿足毛/={2,8},則

（）

A.41MB.6cM