陜西省咸陽(yáng)市乾縣第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期第一次階段性檢測(cè)數(shù)學(xué)試題

乾縣第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高二第一次階段性檢測(cè)數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必填寫答題卡上的有關(guān)項(xiàng)目.2.作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑：如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上.3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答無(wú)效.4.考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，將答題卡交回.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.下列各式正確的是（）A. B.C. D.2.在平行六面體中，為AC與BD的交點(diǎn)，若，，，則下列向量中與相等的向量為（）A. B.C. D.3.雙曲線的兩條漸近線的夾角的大小等于（）A. B. C. D.4.已如向量，，且與互相垂直，則（）．A. B. C. D.5.若正三棱錐的所有棱長(zhǎng)均為3，則該正三棱錐的體積為（）A.3 B. C. D.6.已知空間中三點(diǎn)，則以為鄰邊的平行四邊形的面積為（）A.B.C.3D.7.在中，，則的長(zhǎng)為（）A. B.4 C. D.58.已知點(diǎn)A，B，C，D，P，Q都在同一個(gè)球而上，為正方形，若直線PQ經(jīng)過(guò)球心，且平面.則異而直線PA，QB所成的角的聶小值為（）A.60° B.45° C.30° D.15°二、多選題（本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，選錯(cuò)或者不選得0分。）9.設(shè)，為隨機(jī)事件，且，是，發(fā)生的概率.，，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若，互斥，則 B.若，則，相互獨(dú)立C.若，互斥，則，相互獨(dú)立 D.若，獨(dú)立，則10.已知空間三點(diǎn)，，，則下列說(shuō)法正確的是（）A. B. C. D.11.函數(shù)y=fx的定義域?yàn)?，區(qū)間，對(duì)于任意，，恒滿足，則稱函數(shù)在區(qū)間上為“凸函數(shù)”.下列函數(shù)在定義域上為凸函數(shù)的是（）A. B.C D.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知直線過(guò)點(diǎn)，且在軸上的截距是在軸上截距的2倍，則直線的方程為__________.13.方程的兩根為，且，則____________.14.如圖，在正方體中，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為，的中點(diǎn)，則平面截正方體所得截面面積為___________，動(dòng)點(diǎn)滿足，且，則當(dāng)取得取小值時(shí)二面角的余弦值為___________.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.15.在中，角所對(duì)的邊分別為．（1）若，求的值；（2）求面積的最大值．16.已知空間三點(diǎn).（1）求（2）求的面積；17.我們可以用“配方法”和“主元法”等方法證明“二元不等式”：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．公眾號(hào)：高中試卷君（1）證明“三元不等式”：．（2）已知函數(shù)．①解不等式；②對(duì)任意x∈0,+∞，恒成立，求實(shí)數(shù)18.如圖，四邊形是直角梯形，為的中點(diǎn)，是平面外一點(diǎn)，是線段上一點(diǎn)，三棱錐的體積是.（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值.19.一般地，我們把按照確定的順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng).數(shù)列的第一個(gè)位置上的數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的第1項(xiàng)，常用符號(hào)表示，第二個(gè)位置上的數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的第2項(xiàng)，常用符號(hào)表示，，第個(gè)位置上的數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的第項(xiàng)，常用符號(hào)表示.定義：一個(gè)正整數(shù)稱為“漂亮數(shù)”，當(dāng)且僅當(dāng)存在一個(gè)數(shù)列，滿足①②③：①都是正整數(shù)；②；③.（1）寫出最小的“漂亮數(shù)”；（2）當(dāng)時(shí)，求出所有的“漂亮數(shù)”.1.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)冪運(yùn)算求解.【詳解】對(duì)A：原式，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)B：原式，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)C：原式，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)D：顯然，所以原式，所以D選項(xiàng)正確.故選：D2.【答案】C【解析】因?yàn)樵谄叫辛骟w中，，所以，故選C.3.【答案】B【解析】【分析】求得雙曲線的兩條漸近線方程，得到斜率和傾斜角，再求出漸近線夾角的大小.【詳解】雙曲線的兩條漸近線的方程為，由直線的斜率為，可得傾斜角為，的斜率為，可得傾斜角為，所以兩條漸近線的夾角的大小為，故選：B.4.【答案】B【解析】【分析】計(jì)算，根據(jù)向量垂直得到答案.【詳解】，，則，與互相垂直，則，.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)向量垂直求參數(shù)，屬于簡(jiǎn)單題.5.【答案】C【解析】如圖，正三棱錐，，取中點(diǎn)，連接，取等邊三角形的中心，連接，由正四面體的性質(zhì)可知，頂點(diǎn)與底面中心連線垂直底面，∴平面即三棱錐的高為，∵，∴，∴，∴，∴.故選：C【答案】D【解析】夾角的余弦值為.因此夾角的正弦值為，故以為鄰邊的平行四邊形的面積為.故選D.7.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意可知，所以根據(jù)兩角和的正弦公式可求得，再根據(jù)正弦定理可求得.【詳解】根據(jù)三角形內(nèi)角和為，所以可知，則，根據(jù)正弦定理可知，代入解之可得.故選：C8.【答案】A【解析】設(shè)球的半徑為，記中心為，因?yàn)闉檎叫?，直線PQ經(jīng)過(guò)球心，且平西.所以PQ過(guò)點(diǎn)且PQ的中點(diǎn)為球心，設(shè)球心為，以為原點(diǎn)，OB、OC、OP分別為x，y，z軸正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，則，，，，所以，，所以，所以，，又，即.所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，設(shè)直線PA，QB所成的角為則，又，所以.故選A.9.【答案】ABD【解析】【分析】利用互斥事件的概率公式可判斷A選項(xiàng)；由相互獨(dú)立事件的概念可判斷B選項(xiàng)；由互斥事件和相互獨(dú)立事件的概念可判斷C選項(xiàng)；由相互獨(dú)立事件的概念，可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，若互斥，根據(jù)互斥事件的概率公式，則，所以選項(xiàng)A正確，對(duì)于選項(xiàng)B，由相互獨(dú)立事件的概念知，若，則事件是相互獨(dú)立事件，所以選項(xiàng)B正確，對(duì)于選項(xiàng)C，若互斥，則不一定相互獨(dú)立，例：拋擲一枚硬幣的試驗(yàn)中，事件：“正面朝上”，事件：“反面朝上”，事件與事件互斥，但，，不滿足相互獨(dú)立事件的定義，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)D，由相互獨(dú)立事件的定義知，若，獨(dú)立，則，所以選項(xiàng)D正確，故選：ABD.10.【答案】AC【解析】【分析】由條件可得的坐標(biāo)，然后逐一判斷即可.【詳解】因?yàn)?，，，所以所以，，所以不共線.故選：AC11.【答案】AD【解析】對(duì)A：，，，由在0,+∞上單調(diào)遞增，故其等價(jià)于，化簡(jiǎn)可得，故滿足題意，故A正確；對(duì)B：，，，取，，可得，，又，故此時(shí)不滿足題意，故B錯(cuò)誤；對(duì)C：，，，化簡(jiǎn)得恒成立，不滿足題意，故C錯(cuò)誤；對(duì)D：，，，左右平方后化簡(jiǎn)可得，故滿足題意，故D正確.故選：AD.【答案】或【解析】設(shè)在軸上的截距為，則在軸上的截距為，若，則過(guò)原點(diǎn)，故的方程為，即；若，則的方程為，所以，所以，所以的方程為，即.綜上所述，直線的方程為，或.13.【答案】-3【解析】【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可求得答案.【詳解】∵方程的兩根為，∴，，由題意得：；，∵，∴，，故，故答案為：-3.14.【答案】18；【解析】略15.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理可得，從而可求的值；（2）利用基本不等式可得，再根據(jù)余弦定理可得的范圍，從而可得的范圍，結(jié)合三角形面積公式，即可得面積的最大值．【小問(wèn)1詳解】由正弦定理，可得，【小問(wèn)2詳解】，，由余弦定理可得，，，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)面積取得最大值16.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先求出向量坐標(biāo)，再根據(jù)模長(zhǎng)公式計(jì)算即可；（2）先求出向量，的夾角，再利用三角形的面積公式即可求解；【小問(wèn)1詳解】，【小問(wèn)2詳解】設(shè)向量，的夾角為，由，，，，又三角形中，.17.【答案】（1）見解析（2）①；②.【解析】小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等），所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等），同理（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等），（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等），三式相加可得：，又因?yàn)?，所以，所以（?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等）.【小問(wèn)2詳解】①由可得：，所以，即，即，則，所以，解得：②因?yàn)楫?dāng)x∈0,+∞當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等，所以當(dāng)x∈0,+∞對(duì)任意x∈0,+∞則，所以，解得：.所以實(shí)數(shù)的取值范圍為：.18.（1）證明：如圖，連接交于點(diǎn)，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)椋?，所以，?又因?yàn)槠矫?，所以平面，又平面，所?又因?yàn)?，所以，又平面，所以平?（2）解：以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，平行于的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則.設(shè)，則，即點(diǎn)，則三棱錐的體積，解得，所以.則，設(shè)平面的法向量，由，令，得平面的一個(gè)法向量，易知，為平面的一個(gè)法向量，所以，由圖可知二面角是銳二面角，故二面角的余弦值是.19.【答案】（1）6（2）【解析】【分析】（1）直接根據(jù)“漂亮數(shù)”的定義即可證明最小的“漂亮數(shù)”為6；（2）先證明或，利用分類討論的思想可得和，根據(jù)“漂亮數(shù)”的定義求出即可.【小問(wèn)1詳解】若是“漂亮數(shù)”，設(shè)，滿足，則，所以，即，故，得，則，所以，此時(shí)，假設(shè)，則，又，所以全部可能取值為，經(jīng)驗(yàn)證，上述的取值都不等于1，不符合題意.所以，又，故6為“漂亮數(shù)”，所以最小的“漂亮數(shù)”是6；【小問(wèn)2詳解】若，設(shè)，滿足，則，