廣東省揭陽市兩校2025屆高三年級上冊8月聯(lián)考數(shù)學試題（含答案）

廣東省揭陽市兩校2025屆高三上學期8月聯(lián)考

數(shù)學試題

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.設集合4={0,1,2,3},B={%￡N\X2-5X+420},則4ClB=()

A.{1}B.{1,2}C.{0,1}D.{1,2,3)

2.w%”是的()

A,充分不必要條件B,必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

3.已知函數(shù)f(x)={先苧；＜1的值域為R,那么實數(shù)a的取值范圍是()

A.(―8,—1]B.[-1,2)C.(0,2)D.(-2,1]

4.如圖，已知4(1,0),點C在函數(shù)y=/的圖象上，點。在函數(shù)y=切9鵬的圖象上，若四邊形

4BCD為正方形，貝=()

3

A.-B.2C.3D.4

TTTT

5.已知sin3+sin(0+§)=1,則sin(。+g)=()

A.1B.乎C.|D.g

6.神舟十二號載人飛船搭載3名宇航員進入太空，在中國空間站完成了為期三個月的太空駐留任務，期間

進行了很多空間實驗，目前已經(jīng)順利返回地球.在太空中水資源有限，要通過回收水的方法制造可用

水.回收水是將宇航員的尿液、汗液和太空中的水收集起來經(jīng)過特殊的凈水器處理成飲用水，循環(huán)使

用.凈化水的過程中，每增加一次過濾可減少水中雜質20%,要使水中雜質減少到原來的5%以下，則至

少需要過濾的次數(shù)為()(參考數(shù)據(jù)：lg2=0.3010.)

A.10B.12C.14D.16

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7.設％,尸2分別是橢圓噂+3=1（a>6>0）的左、右焦點，過&的直線交橢圓于4B兩點，且麗?

AFl=0,AB=4F^B,則橢圓E的離心率為（）

A.|B.乎C.*D.^

n

8,已知數(shù)列｛an｝滿足巧=1,前n項和為S”an+1-an=2（nEN*）,則S2024等于（）

A.22°24_IB.3x21012-lC.3x21012-2D.3x21012-3

二、多選題：本題共3小題，共15分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。

9.下列大小關系正確的是（）.

A.1.92<21-9B.229<2.92

21n2oJ2

C?不D.log74<log127

10.已知函數(shù)/（%）=asinx-cos2久，貝!]（）

A./（久）的最小正周期為兀

B.函數(shù)/（幻的圖象不可能關于點（兀,0）對稱

TT77

C.當a=-2時，函數(shù)/（久）在②萬）上單調遞增

D,若函數(shù)/（久）在（0》上存在零點，則實數(shù)a的取值范圍是（一1,+8）

H.已知函數(shù)/'（久）=lg（y]x2+1+%）+ex—e~x+l（e?2.7...）,若不等式/（sin。+cos0）<2—/（sin20—t）

對任意。GR恒成立，則實數(shù)t的可能取值為（）

A.1B.A/2C.3D.4

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.定義運算匕胃=ad-兒則不等式殍久;J<0對任意％￡R恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是.

13.已知過原點。的直線與y=/。①萬交于4B兩點（4點在B點左側），過4作%軸的垂線與函數(shù)y=4"交于C

點，過8點作x軸的垂線與函數(shù)y=2、交于。點，當CD平行于x軸時，點4的橫坐標為.

14.已知/（嗎是定義在R上的單調函數(shù)，/丁（嗎-2個=3對乂€/?恒成立，則f（3）的值為.

四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.（本小題12分）

在△28C中，角4,B,C的對邊分別是a,b,c,已知c=5,2bcosC=2a—c.

（1）求角B的大?。?/p>

（2）若△4BC的面積10避，設。是8C的中點，求比鄉(xiāng)的值.

SITL/\U

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16.（本小題12分）

如圖，在四棱臺ABCD—AiBiCiDi中，底面48CD是菱形，AB=2AAr=2A1B1=2,AABC=60°,A4i1

平面28CD.

(1)證明：BD1CC1；

(2)棱BC上是否存在一點E,使得二面角E-A%-D的余弦值為4?若存在，求線段CE的長；若不存在，請說

明理由.

17.(本小題12分)

設函數(shù)fO)=b：：2(a*0,x>0),滿足：①/⑴②對任意x>0,/(x)=/$恒成立.

(1)求函數(shù)的解析式.

(2)設矩形48CD的一邊4B在x軸上，頂點C,。在函數(shù)〃>)的圖象上.設矩形4BCD的面積為S,求證：

0<S<1.

18.(本小題12分)

已知函數(shù)人久)=W+k是奇函數(shù).(e是自然對數(shù)的底)

(1)求實數(shù)k的值；

(2)若%>0時，關于％的不等式/(2%)恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；

(3)設g(x)=空舟，對任意實數(shù)a,6,cG(0,n],若以a,b,c為長度的線段可以構成三角形時，均有以

g(a),g(6),g(c)為長度的線段也能構成三角形，求實數(shù)n的最大值.

19.(本小題12分)

已知函數(shù)/'(X)=ax2-lnx-x.

(I)討論f(x)的單調性;

(II)若不等式/(幻20恒成立，求a的取值范圍；

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(in)當a=0時，試判斷函數(shù)F(%)=2sin%-/(%)-2%的零點個數(shù)，并給出證明.

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參考答案

l.c

2.B

3.5

4.B

5.B

6.C

7.B

8.D

9.ABD

10.BCD

11.CD

12.(-4,0]

13.2

14.9

15.解：(1)；2bcosC=2a-c,結合余弦定理cosC=吐震至

a+bC

可得2b-nl~=2a—c,整理得a2+c2—/=這，

Zab

4

所以cosB=$2c2一爐=,

TT

又Be(0,TT),所以B=§.

(2)因為△ABC的面積10褥，

所以4-AB-BC-sinB=10^/3,即〈x5x8Cxsin?=10^/3,

NNS

解得BC=8.

在△ABC中，據(jù)余弦定理可得

AC2=AB2+BC2-2AB■BC-cosB

=52+82-2X5x8Xco1=49,

故4C=7.

又。是BC的中點，故S4ABD=S/4C。，

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所以-AD-sinzBXD=^AC-AD-sinzCXD,

癡sin484。_AC__7

改sin乙CZQ=布=工，

16.解：（1）證明：連接ac/iQ,

因為力BCD-&B1C1D1為棱臺，所以44,C1，C四點共面，

又因為四邊形48C。為菱形，所以BD1AC,

因為4411平面4BCD,BDu平面4BCD,所以人占1BD,

又因為ZHiCAC=4且441,4。u平面ACCiAi，所以BD1平面力CCi^i，

因為CCiu平面力CC遇1，所以BD1CCi，

（2）取8c中點Q,連接2Q,

因為底面4BCD是菱形，且乙4BC=60°,所以△4BC是正三角形，所以4Q1BC,即2Q1AD,

由于4411平面4BCD,以4為原點，分別以力QHD,44i為x軸、y軸和z軸，建立如圖所示的空間直角坐標

系，

則4（0,0,0）/式0,0,1）,。式0,1,1）,Q（居0,0）

假設點E存在，設點E的坐標為（退幾0）,其中-1W4W1,

可得荏=（聞0）而=（0,1,1）

設平面力D1E的法向量獲=（x,y,z）,則儀'+Ay-0

取％=九可得y=-//=避，所以3=（無一避,避）.

又由平面的法向量為ZQ=（信0,0）,

所以|COS（而用|=反彳?[6=9解得a=±號

由于二面角E-為銳角，則點E在線段QC上，

所以2=字，即CE=1—岑，

故BC上存在點E,當CE=1-噂時，二面角E-加入-D的余弦值為小

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17.解：⑴由①得:/(1)=KTT=1-即2a=b+l；

a

由②得：送1=高工，(久>0)恒成立，

X2

即b+x2=bx2+1恒成立，

所以力=1,所以a=1,

X

所以/■(>)=亞彳，(久>°);

(2)證明：因為，(x)=(/?y)，

當0<x<1時，「(X)>0,

當x>1時，/'Q)<0,

所以/(切在(0,1)上單調遞增，在(1，+8)上單調遞減，

不妨設2(t,0),tG(0,1),

由/(X)=爬1)知照1,0),

1t

則|陰=2\AD\=中，

S=\AB\-\AD\=(拚),出=-1+白，

因為te(0,1),所以嚴e(0,1),t2+1e(1,2),

所以占e(1,2),

則-1+亦寸(0,1),

所以0<S<1.

18.解：⑴因為f(x)是奇函數(shù),且定義域為因所以-0)=0,

即辭l+k=°，解得k=—1.經(jīng)檢驗，此時人%)是奇函數(shù)

所以k=-1.

(2)由(1)知〃久)=總一1=二，

由x>0時，/'(2久)WmfO)恒成立，得L；；

因為1-1>0,所以爪2鳥坐，

e2x+1

x22xxx

'A.,zN(e+I)e+2e+1.2e._2

4=1+

設旗x)=^7TT=e2x+1=i+^TT^+^

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因為礦+222,當且僅當x=0時，等號成立，又x>0,所以e，+3>2,

故八?)=至=~=1+前可<1+2=2,

所以TH>2.

ex_^

(3)由題意得：g(x)=空需=留去=礦

ex+1

不妨設0VaWbWcWn,

以a,b,c為長度的線段可以構成三角形，即a+6>c,且

以g(a),g(b),g(c)為長度的線段也能構成三角形，則e。+?>e。恒成立,得e。-+於->1恒成立,

I.a+b—2cc

因為e。-。+eb-c>2Jea-Jeb-c=>2e-2,僅當a=6時前一個等號成立，

c1

所以2?—即C4一21n2=21n2,于是九的最大值為21n2.

2

19.1?：(I)因為/(%)=ax-lnx-xfxE(0,+8),

所以(Q)=2ax--l=2。亍-1,

當a40時，2a%2—%—i<0恒成立，所以「(%)<0；

當a>0時，42a%2-%-1=0,解得x=1+6+8a(舍負),

4a

令f'(x)>0,得X>1+?+8a；令八久)<0,得0<x<l+1l+8a.

4a4a

綜上所述：當。<0時，/(%)在(0,+8)上單調遞減；

當a>0時，/(x)在(0,1±手均上單調遞減，在(1+尸防,+8)上單調遞增.

4a4a

(11)/(%)>0恒成立，得a/>In%+久在(0,+8)上恒成立，

所以aN；+在(0,+8)上恒成立.

令=§+登(x>°)，

則或久)=T+七t普

___1_1—21n%———+1—21n%

X2X3X3.

令九(%)=-2lnx—x+1(%>0).

易知h(x)=-21nx-x+1在(0,+8)上單調遞減.

又九(1)=0,

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所以當％E(0,1)時,/i(x)>0,g'(%)>0.

當%E(1,+8)時,/i(x)<0,g'(x)<0.

所以g(%)在(0,1)上單調遞增，在(1,+8)上單調遞減，

所以9(%)在％=1處取得極大值，也是最大值，即g(%)max=g(i)=1，

所以QNI,即。的取值范圍為［1,+8).

(III)當a=0時，F(xiàn)(x)=2sinx+Inx+x-2x=\nx—x+2sinx,%>0.

則F'(%)=；—l+2cos%.

令G(%)=F'(x)=:—l+2cos%,%>0,

則G'(%)—2sin%.

當久e(0,TT)時,G<x)<0,所以產(chǎn)'(%)在(0,兀)上單調遞減.