習(xí)題課橢圓的綜合問(wèn)題及應(yīng)用教學(xué)設(shè)計(jì)-2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第一冊(cè)

習(xí)題課橢圓的綜合問(wèn)題及應(yīng)用教學(xué)設(shè)計(jì)-2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第一冊(cè)學(xué)校授課教師課時(shí)授課班級(jí)授課地點(diǎn)教具課程基本信息1.課程名稱：習(xí)題課橢圓的綜合問(wèn)題及應(yīng)用

2.教學(xué)年級(jí)和班級(jí)：2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期，高二（1）班

3.授課時(shí)間：2024年10月15日，第3節(jié)課

4.教學(xué)時(shí)數(shù)：1課時(shí)（45分鐘）核心素養(yǎng)目標(biāo)1.通過(guò)分析橢圓的性質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和空間想象力。

2.通過(guò)解決橢圓相關(guān)的綜合問(wèn)題，提高學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力。

3.增強(qiáng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)數(shù)學(xué)概念和關(guān)系的能力，提升數(shù)學(xué)交流素養(yǎng)。學(xué)習(xí)者分析1.學(xué)生已經(jīng)掌握了哪些相關(guān)知識(shí)：

-學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程以及焦點(diǎn)、準(zhǔn)線等基本概念。

-學(xué)生能夠計(jì)算橢圓的離心率，了解橢圓的幾何性質(zhì)。

-學(xué)生具備一定的解析幾何基礎(chǔ)，能夠解決簡(jiǎn)單的橢圓問(wèn)題。

2.學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、能力和學(xué)習(xí)風(fēng)格：

-學(xué)生對(duì)解析幾何有一定的興趣，但對(duì)橢圓的復(fù)雜應(yīng)用問(wèn)題可能感到困惑。

-學(xué)生具備一定的邏輯推理能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，但可能在解決綜合問(wèn)題時(shí)缺乏策略。

-學(xué)生學(xué)習(xí)風(fēng)格多樣，有的喜歡通過(guò)圖形直觀理解，有的偏好通過(guò)公式推導(dǎo)。

3.學(xué)生可能遇到的困難和挑戰(zhàn)：

-學(xué)生可能在處理橢圓與其他圖形（如直線、圓）的綜合問(wèn)題時(shí)遇到困難。

-學(xué)生在應(yīng)用橢圓的性質(zhì)解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，可能難以建立合適的數(shù)學(xué)模型。

-學(xué)生在解決含有參數(shù)的橢圓問(wèn)題時(shí)，可能對(duì)參數(shù)的取值范圍和影響理解不深，導(dǎo)致解題過(guò)程中出現(xiàn)錯(cuò)誤。教學(xué)方法與手段1.教學(xué)方法：

-采用講授法，系統(tǒng)地講解橢圓的綜合問(wèn)題解題方法和技巧。

-運(yùn)用討論法，組織學(xué)生分組討論，共同解決典型例題，促進(jìn)學(xué)生思考和交流。

-實(shí)施啟發(fā)式教學(xué)，通過(guò)提問(wèn)引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)探索橢圓問(wèn)題的解決策略。

2.教學(xué)手段：

-使用多媒體設(shè)備展示橢圓的動(dòng)態(tài)圖像，幫助學(xué)生直觀理解橢圓的性質(zhì)。

-利用教學(xué)軟件進(jìn)行實(shí)時(shí)反饋，及時(shí)了解學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的掌握情況。

-結(jié)合網(wǎng)絡(luò)資源，提供額外的練習(xí)題和案例分析，豐富學(xué)生的學(xué)習(xí)材料。教學(xué)過(guò)程1.導(dǎo)入新課

-我首先通過(guò)復(fù)習(xí)上一節(jié)課的內(nèi)容，讓學(xué)生回顧橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程以及焦點(diǎn)、準(zhǔn)線等基本概念。

-接著，我提出一個(gè)引導(dǎo)性問(wèn)題：“同學(xué)們，我們之前學(xué)習(xí)了橢圓的基本性質(zhì)，那么在實(shí)際問(wèn)題中，橢圓有哪些應(yīng)用呢？”

-學(xué)生思考片刻后，我給出一些橢圓應(yīng)用的實(shí)例，如地球衛(wèi)星軌道、橢圓齒輪等，激發(fā)學(xué)生的興趣。

2.知識(shí)講解

-我通過(guò)多媒體展示橢圓的綜合問(wèn)題，如橢圓與直線的交點(diǎn)問(wèn)題、橢圓與圓的相交問(wèn)題等。

-我詳細(xì)講解每個(gè)問(wèn)題的解題思路和方法，例如：“對(duì)于橢圓與直線的交點(diǎn)問(wèn)題，我們首先要確定直線方程，然后將其與橢圓方程聯(lián)立，解出交點(diǎn)坐標(biāo)?！?/p>

-在講解過(guò)程中，我不斷提問(wèn)，確保學(xué)生能夠跟上我的思路，如：“同學(xué)們，我們?cè)诮膺@個(gè)方程組時(shí)，需要注意哪些地方？”

3.例題分析

-我挑選一些具有代表性的例題，讓學(xué)生觀察并嘗試解決。

-例如：“下面這個(gè)題目，我們需要求橢圓與直線的交點(diǎn)，并討論交點(diǎn)的個(gè)數(shù)。請(qǐng)大家先獨(dú)立思考，然后我們一起來(lái)討論?！?/p>

-學(xué)生嘗試解題后，我邀請(qǐng)幾位同學(xué)分享他們的解題過(guò)程，并進(jìn)行點(diǎn)評(píng)和總結(jié)。

4.練習(xí)鞏固

-我設(shè)計(jì)一些練習(xí)題，讓學(xué)生分組討論并解決。

-例如：“現(xiàn)在請(qǐng)大家分成小組，每組選擇一道題目進(jìn)行討論。在討論過(guò)程中，注意使用我們剛才講解的方法和技巧?！?/p>

-學(xué)生討論完畢后，我邀請(qǐng)每組代表匯報(bào)他們的解題過(guò)程和結(jié)果，對(duì)每組的表現(xiàn)給予肯定和指導(dǎo)。

5.課文主旨內(nèi)容探究

-我引導(dǎo)學(xué)生深入探討橢圓的綜合應(yīng)用問(wèn)題，如：“同學(xué)們，橢圓在物理、工程等領(lǐng)域有哪些具體應(yīng)用？我們可以如何利用橢圓的性質(zhì)解決實(shí)際問(wèn)題？”

-學(xué)生通過(guò)查閱資料、小組討論等方式，探究橢圓在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，并分享他們的發(fā)現(xiàn)。

-我對(duì)學(xué)生的探究成果進(jìn)行總結(jié)，強(qiáng)調(diào)橢圓在解決實(shí)際問(wèn)題中的重要作用。

6.重點(diǎn)難點(diǎn)講解

-我針對(duì)學(xué)生在解題過(guò)程中可能遇到的難點(diǎn)，如參數(shù)方程的應(yīng)用、橢圓與圓的相交問(wèn)題等，進(jìn)行詳細(xì)講解。

-例如：“對(duì)于橢圓與圓的相交問(wèn)題，我們需要先畫(huà)出圖形，觀察兩圖形的位置關(guān)系，然后建立方程組進(jìn)行求解。”

-我通過(guò)舉例說(shuō)明，讓學(xué)生更好地理解這些難點(diǎn)的處理方法。

7.學(xué)生展示與反饋

-我邀請(qǐng)學(xué)生展示他們?cè)谡n堂練習(xí)中的解題過(guò)程，并給予反饋。

-例如：“這位同學(xué)，你的解題方法很巧妙，但有一點(diǎn)需要注意，我們?cè)谇蠼膺^(guò)程中要確保方程的解是符合實(shí)際情況的?！?/p>

-學(xué)生根據(jù)我的反饋進(jìn)行調(diào)整，再次展示解題過(guò)程。

8.總結(jié)與拓展

-我對(duì)本次課程進(jìn)行總結(jié)，強(qiáng)調(diào)橢圓的綜合應(yīng)用問(wèn)題在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要性。

-例如：“通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，我們不僅掌握了橢圓的綜合問(wèn)題解題方法，還了解了橢圓在實(shí)際應(yīng)用中的價(jià)值?！?/p>

-最后，我布置一些拓展作業(yè)，讓學(xué)生在課后繼續(xù)探索橢圓的應(yīng)用問(wèn)題，如：“請(qǐng)大家嘗試找出橢圓在生活中的其他應(yīng)用，并撰寫(xiě)一篇小論文。”

9.課堂結(jié)束語(yǔ)

-我鼓勵(lì)學(xué)生積極參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，培養(yǎng)他們的數(shù)學(xué)思維能力和解決問(wèn)題的能力。

-例如：“同學(xué)們，數(shù)學(xué)是一門(mén)充滿智慧的學(xué)科，希望大家能夠在學(xué)習(xí)中不斷探索、不斷創(chuàng)新，不斷提高自己的數(shù)學(xué)素養(yǎng)?！?/p>

-我祝愿學(xué)生在接下來(lái)的學(xué)習(xí)中取得更好的成績(jī)，并期待他們?cè)跀?shù)學(xué)的世界中綻放光彩。學(xué)生學(xué)習(xí)效果1.學(xué)生掌握了橢圓的綜合問(wèn)題解題方法，能夠熟練運(yùn)用橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程以及焦點(diǎn)、準(zhǔn)線等基本概念解決實(shí)際問(wèn)題。

2.學(xué)生通過(guò)課堂練習(xí)和小組討論，提高了邏輯思維能力和空間想象力，能夠更好地理解橢圓的幾何性質(zhì)。

3.學(xué)生在解決橢圓相關(guān)的綜合問(wèn)題時(shí)，能夠運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行推導(dǎo)和計(jì)算，提高了運(yùn)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問(wèn)題的能力。

4.學(xué)生通過(guò)觀察橢圓的動(dòng)態(tài)圖像，加深了對(duì)橢圓性質(zhì)的理解，能夠直觀地描述橢圓的形狀和位置關(guān)系。

5.學(xué)生在課堂討論中積極發(fā)言，表達(dá)自己的觀點(diǎn)，提升了數(shù)學(xué)交流素養(yǎng)，能夠運(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言準(zhǔn)確表達(dá)數(shù)學(xué)概念和關(guān)系。

6.學(xué)生通過(guò)解決橢圓問(wèn)題的過(guò)程中，培養(yǎng)了耐心和細(xì)心的學(xué)習(xí)態(tài)度，遇到困難時(shí)能夠堅(jiān)持不懈地尋找解決問(wèn)題的方法。

7.學(xué)生在學(xué)習(xí)橢圓的綜合問(wèn)題時(shí)，掌握了運(yùn)用數(shù)學(xué)軟件進(jìn)行實(shí)時(shí)反饋的技巧，能夠及時(shí)了解自己對(duì)知識(shí)點(diǎn)的掌握情況。

8.學(xué)生通過(guò)拓展作業(yè)的完成，進(jìn)一步了解了橢圓在實(shí)際生活中的應(yīng)用，增強(qiáng)了將數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用到實(shí)際情境中的意識(shí)。

9.學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中，逐漸形成了自主學(xué)習(xí)的習(xí)慣，能夠主動(dòng)查找相關(guān)資料，深入探究橢圓的綜合應(yīng)用問(wèn)題。

10.學(xué)生在本次課程學(xué)習(xí)后，對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生了更濃厚的興趣，提高了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情，為后續(xù)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。課后作業(yè)1.請(qǐng)根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)（\(a>b>0\)），求橢圓的離心率\(e\)，并討論當(dāng)\(a\)和\(b\)取不同值時(shí)，離心率\(e\)的變化情況。

2.已知橢圓的焦點(diǎn)為\(F_1(-c,0)\)和\(F_2(c,0)\)，其中\(zhòng)(c>0\)，橢圓上一點(diǎn)\(P(x,y)\)滿足\(PF_1+PF_2=2a\)。求證：點(diǎn)\(P\)的軌跡是橢圓，并給出該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。

補(bǔ)充說(shuō)明與例題：

-答案：橢圓的離心率\(e=\frac{c}{a}\)。當(dāng)\(a\)增大或\(b\)減小時(shí)，\(c\)增大，\(e\)增大，橢圓更扁平；當(dāng)\(a\)減小或\(b\)增大時(shí)，\(c\)減小，\(e\)減小，橢圓更圓。

-例題：已知橢圓\(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1\)的離心率是多少？答案：\(e=\frac{\sqrt{16-9}}{4}=\frac{\sqrt{7}}{4}\)。

3.橢圓\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)上一點(diǎn)\(P\)到兩焦點(diǎn)的距離之和為\(2a\)，求點(diǎn)\(P\)到橢圓中心的距離。

補(bǔ)充說(shuō)明與例題：

-答案：點(diǎn)\(P\)到橢圓中心的距離為\(b\)。

-例題：橢圓\(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1\)上一點(diǎn)\(P\)到兩焦點(diǎn)的距離之和為\(8\)，求點(diǎn)\(P\)到橢圓中心的距離。答案：\(b=3\)。

4.已知橢圓\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)的一個(gè)焦點(diǎn)為\(F(2,0)\)，且橢圓上一點(diǎn)\(P\)滿足\(PF+PF'=6\)，求橢圓的方程。

補(bǔ)充說(shuō)明與例題：

-答案：橢圓的方程為\(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1\)。

-例題：已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為\(F(2,0)\)，且橢圓上一點(diǎn)\(P\)滿足\(PF+PF'=6\)，求橢圓的方程。答案：\(a=3,c=2,b^2=a^2-c^2=5\)。

5.直線\(y=kx+m\)與橢圓\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)相交于\(A\)、\(B\)兩點(diǎn)，求證：\(A\)、\(B\)兩點(diǎn)的中點(diǎn)\(M\)在直線\(y=-\frac{ka}\)上。

補(bǔ)充說(shuō)明與例題：

-答案：聯(lián)立直線方程和橢圓方程，消去\(y\)，得到一個(gè)關(guān)于\(x\)的二次方程。解出\(x\)的值，求出\(A\)、\(B\)兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和，即可得到\(M\)點(diǎn)的橫坐標(biāo)，進(jìn)而證明\(M\)點(diǎn)在直線\(y=-\frac{ka}\)上。

-例題：直線\(y=x+1\)與橢圓\(\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\)相交于\(A\)、\(B\)兩點(diǎn)，求證：\(A\)、\(B\)兩點(diǎn)的中點(diǎn)\(M\)在直線\(y=-\frac{1}{2}x\)上。答案：通過(guò)聯(lián)立方程組，解出\(A\)、\(B\)兩點(diǎn)的坐標(biāo)，求出中點(diǎn)\(M\)的坐標(biāo)，驗(yàn)證其在直線\(y=-\frac{1}{2}x\)上。

6.橢圓\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)的內(nèi)接矩形的長(zhǎng)和寬分別為\(2a\)和\(2b\)，求該矩形的面積。

補(bǔ)充說(shuō)明與例題：

-答案：內(nèi)接矩形的面積為\(4ab\)。

-例題：橢圓\(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1\)的內(nèi)接矩形的面積是多少？答案：\(4\times4\times3=48\)。

7.已知橢圓\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)的離心率為\(e\)，求證：橢圓的焦距\(2c\)與半長(zhǎng)軸\(a\)、半短軸\(b\)之間存在關(guān)系\(2c=2ae\)。

補(bǔ)充說(shuō)明與例題：

-答案：由離心率的定義\(e=\frac{c}{a}\)，可以得到\(c=ae\)。因?yàn)榻咕郳(2c=2ae\)，所以關(guān)系成立。

-例題：橢圓\(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1\)的離心率為\(e=\frac{\sqrt{7}}{4}\)，求證：橢圓的焦距\(2c=2ae\)。答案：\(c=2\times4\times\frac{\sqrt{7}}{4}=\sqrt{7}\)，所以\(2c=2ae\)成立。教學(xué)評(píng)價(jià)與反饋1.課堂表現(xiàn)：

-學(xué)生在課堂上的參與度較高，能夠積極回答問(wèn)題，展示出對(duì)橢圓綜合問(wèn)題解題方法的興趣。

-學(xué)生在聽(tīng)講過(guò)程中，能夠認(rèn)真記錄筆記，對(duì)橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程等基本概念掌握較為牢固。

-部分學(xué)生在解題過(guò)程中表現(xiàn)出較高的邏輯推理能力，能夠迅速找到解題的關(guān)鍵步驟。

2.小組討論成果展示：

-小組討論過(guò)程中，學(xué)生們能夠積極交流，互相幫助，共同解決橢圓綜合問(wèn)題。

-各小組在成果展示時(shí)，能夠清晰地表達(dá)解題思路，展示出良好的團(tuán)隊(duì)協(xié)作能力。

-小組討論成果展示環(huán)節(jié)，學(xué)生們對(duì)橢圓與直線、圓的相交問(wèn)題有了更深入的理解。

3.隨堂測(cè)試：

-隨堂測(cè)試結(jié)果顯示，大部分學(xué)生對(duì)橢圓綜合問(wèn)題的掌握程度較好，能夠熟練運(yùn)用解題方法。

-少數(shù)學(xué)生在解決含有參數(shù)的橢圓問(wèn)題時(shí)，對(duì)參數(shù)的取值范圍和影響理解不夠深入，需要加強(qiáng)練習(xí)。

-測(cè)試中，學(xué)生們?cè)跈E圓的幾何性質(zhì)應(yīng)用方面表現(xiàn)較好，但在實(shí)際問(wèn)題解決方面仍有提升空間。

4.課后作業(yè)完成情況：

-學(xué)生們能夠按時(shí)完成課后作業(yè)，對(duì)橢圓綜合問(wèn)題的鞏固和拓展起到了積極作用。

-作業(yè)中，學(xué)生們對(duì)橢圓與直線、圓的相交問(wèn)題有了更深刻的理解，能夠靈活運(yùn)用解題