2024年高考文科數(shù)學高考主要知識點歸納匯編

文科數(shù)學高考主要知識點歸納

一、集合與常用邏輯用語

1、子集、真子集、交集、并集、補集-----（同學們自己看書《必修1》第一章）

2、f、pvq、p/\q的真假性判斷-----（同學們自己看書《選修1-1》第一章）

3、四種命題（原、逆、否、逆否）；原命題o逆否命題；逆命題o否命題?！?/p>

（《選修1?1》第一章）

4、特別強調(diào)：“都是”的否定“不都是”;“全是”的否定“不全是”

a”

pyq’的否定---

/p是q的充分不必要條侔;

5、p=q,qnp，pnq，qnp，p是q的必要不充

分條件;

/

pnq，qnp，p是q的充要條件；pnq，qnp,p是q的既不充分

也不必要條件。

3%eAGpa)o

6、全稱命題:\/xeM,p(x)；特稱命題:0

“3xekrX/)

“X/xeM,p(x)”的否定是0

“3x0^M,p(x0)”的否定是VxeM,—>/?(%)”

二、不等式

1、不等式的基本性質(zhì):

(1)a>b=a+c>Z?+c;a>b<^a-b>0

,(2)a>b,c>Q^aobc;a>b.cac<bc

(3)a>b>O^an>bn;a>b>0ny[a>y/b

(4)6z>/?>0=>0<—<—;6z<Z?<0=>0>—>-

abab

2、二次函數(shù)：

(1)解析式的三種形式：一般式：/(%)=ax2+bx+c(aw0)

頂點式：J(x)=a(x-m)2+n(Qw0)頂點坐標：(m,ri)

零點式：/(x)=a{x-xx)(x-x2)(aw0),西,々是方程改之+Z?x+c=O的根。

（2）對稱軸方程：x頂點坐標…看去

（3）最值：當a>0時，狐^看士；當a<0時，盤、=”了

（4）單調(diào)性：當a>0時，"X）在（-oo,-2］上單調(diào)遞減；在［-幺,+8）上單調(diào)遞增；

2a2a

當〃<0時，/（%）在（-8,-■”］上單調(diào)遞增；在［+8）上單調(diào)遞減。

2a2a

3、根的分布問題（主要思想方法：數(shù)形結(jié)合，聯(lián)系二次函數(shù)的圖像）……-（同學

們可根據(jù)自己情況選學）

設%,元2是方程依2+法+。=。（。>0）的兩個實根，則*y

（2）在（私〃）內(nèi)有且只有一個實根o<0

(圖3)

(圖2)

A=Z?2-4ac>0

b

m<---<n

（3）在（私〃）內(nèi)有兩個不相等的實根o

/(?)>0

/(?)>0

/(加)〉0

f(n)<Q

（4）兩根分別在（加〃）、（p,q）內(nèi)，且（w））（p,q）=°

/(P)<0

于⑷>0

4、不等式加+Zzx+c>0與相應函數(shù)/（x）=ax2+bx+c方程依之+Z?%+c=0的聯(lián)系。

5、線性規(guī)劃一一

(1)二元一次不等式Ax+3y+c>0表示直線心+5y+c=0某一側(cè)所有點組成的平面區(qū)

域。,(判斷方法一一取特殊點，一般取(0,0)作為特殊點)

(2)求線性目標函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問題，統(tǒng)稱為線性規(guī)劃

問題。

滿足線性約束條件的解(x,y)叫做可行解；由所有可行解組成的集合叫做可行

域；

使目標函數(shù)取得最大值或最小值的可行解叫做最優(yōu)解。

(3)線性規(guī)劃問題的解題步驟：

①根據(jù)題意，設出變量x,y,z②找出約束條件(列不等式組)③確定目標

函數(shù)z=f(x,y)

④畫出可行域(不等式組表示的區(qū)域的公共部分)

⑤令z=0,作直線/(x,y)=0,再進行直線的平移⑥觀察圖形，找到最優(yōu)解，

確定答案。

6、基本不等式：

(1)若a,beR,那么/+0222ab(a=b時等號成立)。

(2)若小。是正數(shù)，那么…?而(a=〃時等號成立)“一正，二定，三相等”

2

(3)最值定理：若積個=〃是定值，則和尤+y有最小值2赤；若和%+丁=5是定值，

則積孫有最大值§)2。

三、函數(shù)

1、函數(shù)的奇偶性：

(1)如果對于函數(shù)aX)的定義域內(nèi)任意一個x,都有/(r)=-〃x),那么稱函數(shù)

為奇函數(shù)。

如果對于函數(shù)“幻的定義域內(nèi)任意一個X,都有〃T)=/(X),那么稱函數(shù)〃x)為

偶函數(shù)。

(2)性質(zhì)1：奇、偶函數(shù)的定義域關于原點對稱。

性質(zhì)2：奇函數(shù)的圖像關于原點對稱；偶函數(shù)的圖像關于y軸對稱。

性質(zhì)3:若奇函數(shù)的定義域包括0,則有〃0)=0。

(3)利用定義判斷函數(shù)奇偶性的方法、步驟：

①首先確定函數(shù)的定義域，并判斷其定義域是否關于原點對稱。

②確定了(-x)與“X)的關系。③作出相應結(jié)論。

2、函數(shù)的單調(diào)性：

(1)定義：如果函數(shù)/⑴在區(qū)間D內(nèi)的任意看,馬,

當藥<々時，都有/&)</(%),則稱/'(x)是區(qū)間D上的增函數(shù)；

當王<々時，都有/心)〉/每)，則稱/(%)是區(qū)間D上的減函數(shù)。

(2)結(jié)論：奇函數(shù)在其對稱區(qū)間上的單調(diào)性相同；偶函數(shù)在其對稱區(qū)間上的單調(diào)性

相反。

(3)導數(shù)與單調(diào)性的關系：

在某個區(qū)間內(nèi)，如果/'(x)〉0,那么函數(shù)y=/(x)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；

在某個區(qū)間(a,。)內(nèi)，如果/(x)<0,那么函數(shù)y=/(x)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減。

3、函數(shù)的周期性定義：對于函數(shù)"X),若存在非零常數(shù)T,使得在定義域內(nèi)總有

/(x+T)=/(x),則稱函數(shù)/(無)為周期函數(shù)，常數(shù)T為函數(shù)的周期。

4、指數(shù)式與對數(shù)式：

(1)根式：當n為奇數(shù)時，丘=a；當n為偶數(shù)時，"=|a|=『a'°。

-a.a<Q

m__[

(2)塞的性質(zhì)：性;姮=也7?ap=—;aman=am+n

ap

—=am-n;(a-by^anbn;(a"')"=cT;

an

(3)指數(shù)式與對數(shù)式的互換：a"=N=logflN=b,(a>0且awl,N>0)

(4)對數(shù)性質(zhì)：log。1=0;log,a=l;*g〃=N;

bga*=bg“"Tog“N;log。""=〃log。"

loga(M-N)=logaM+log“N;

(5)1

換底公式：臉出=宰；loga/?-logfetz=l(或?qū)懗桑篰gab=—^—)

log/

5、指數(shù)函數(shù)：丁=優(yōu)（a>0且的圖像與性質(zhì):

7、%函數(shù)

(1)定義：形如y=x。(acH)的函數(shù)稱為募函數(shù)。

(2)塞函數(shù)y=在第一象限的圖像：

a>la=l0<cif<1a<0

(3)幾個課標要求掌握的塞函數(shù)的圖像:

(4)結(jié)論：塞函數(shù)的圖像不過第四象限。

8、圖像變換的規(guī)律：,平移變換、翻折變換

(1)水平平移y=/(尤)fy=/(x+。)：左加右減

豎直平移y=/(x)fy=/(x)+a:上加下減

(2)y=f(x)^y=\f(x')\t把在x軸下方的圖像沿著x軸翻折到上方;

y=/(x)fy=/(|x|):偶函數(shù)，圖像關于y軸對稱。

9、函數(shù)與方程

(1)方程〃x)=0的根(實數(shù)x)就是函數(shù)y=/(x)的零點。

(2)函數(shù)y=/(x)的零點是方程/(x)=0的實數(shù)根；

也是——函數(shù)y=/(x)的圖像與x軸的交點的橫坐標。

(3)方程/(%)=0有幾個實數(shù)根o函數(shù)y="X)的圖像與x軸有幾個交點

o函數(shù)y=有幾個零點

(4)方程了(尤)=g(x)有幾個實數(shù)根o函數(shù)產(chǎn)"X)的圖像與y=g(x)的圖像有幾個交點

(5)零點存在性定理:如果函數(shù)y=在區(qū)間［a刈上的圖像是連續(xù)不斷的一條直線,

并且有f(a)-f3)<0,那么函數(shù)y=在區(qū)間3。)內(nèi)至少有一個零點。

(6)二分法:對于在區(qū)間［a,句上連續(xù)不斷，且滿足/(a)"S)<0的函數(shù)y=/(x),通

過不斷地把函數(shù)"X)的零點所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點,

進而得到零點近似值的方法叫做二分法。

(7)用二分法求函數(shù)7(x)的零點近似值的步驟：……《必修1》的第90頁或(名師

金典48頁例3的點評)

四、導數(shù)

1、函數(shù)y=/(x)在點/處的導數(shù)的物理意義就是物體在與這一時刻的瞬時速

度。

2、函數(shù)y=/(x)在點x。處的導數(shù)的幾何意義就是曲線y=_/(%)在點(％"(%))處

的切線的斜率。

3、常用的導數(shù)公式：

(1)C=0(2)(x")'=〃x"T(3)(sinx)=cosx(4)(cosx)=-sinx

(5)(ev)=ex(6)(In%)=—(7)(-)1=-4

XXX

不太常用的兩個：(8)(logx)=—-—(9)(ax)=a*Ina

flxlna

4、導數(shù)的運算法則：

(1)"(X)土g(x)]=1/(%)土g(X)(2)[k-f(x)]=k-f\x)

(3)[/(%)?g(x)]=f\x)g{x)+f(x)g\x)(4)/(x)g(x)—/(x)g(x)

g(x)g"x)

5、用導數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟:

①求/(X)；②/(x)〉o的解集與定義域的交集所對應的區(qū)間為增區(qū)間；

/6)<0的解集與定義域的交集所對應的區(qū)間為減區(qū)間。

6、極值判別法：

如果/(/)'=0,并且在與附近的左側(cè)/(x)>0,右側(cè)/‘(x)<0,那么/(毛)是極大

值；

如果/(%)'=0,并且在與附近的左側(cè)/‘(x)<0,右側(cè)/’(x)〉0,那么/(%)是極小

值。

7、求函數(shù)極值的步驟：

(1)求導數(shù)/'⑴；(2)求導數(shù)/(x)=0的根；

(3)列表，用根判斷了⑴在根左右的值的符號；

(4)確定“X)在這個根處是取極大值還是取極小值。

8、求函數(shù)了⑴在a切上的最大值與最小值的步驟：

(1)求出/"(X)在內(nèi)的極值；(2)求出/(a)、/S)的值；

(3)將各極值與/'(a)、/㈤比較，最大的一個是最大值，最小的一個為最小值。

五、平.面向量

1、向量的概念：

(1)既有大小又有方向的量叫做向量，記作:A3,或a。

(2)長度為0的向量叫做零向量，記作0;長度為1的向量叫做單位向量。

(3)方向相同或相反的向量叫做平行向量，也叫共線向量。

(4)長度相等且方向相同的向量叫做相等向量。

(5)向量a的長度，也叫大小，也叫模，記作：|。|

(6)規(guī)定：0與任何向量平行。DC

2、向量的加法法則：/7

(1)三角形法則——首尾相接。如：AB+BC=MJB

(2)平行四邊形法則——同一起點。如；AB+AD=AC

3、向量的減法法則：

三角形法則——同一起點。如：AB-AC=CB

4、兩向量共線的充要條件：

向量6與非零向量。共線o三唯一的實數(shù)2,使得方=貓。

5、平面向量的坐標運算：

(1)若a=(X，X)、b=(x2,y2),貝!Ja±Z=(七±%,必土%)

(2)若A(X],%)、3區(qū),%)，貝！IAB=(x2-x1,y2-y1)

(3)若a=(x,y),則Aa=(Ax,Ay)

6、平面向量共線的坐標表示:

右〃=&,%)、b=(x2,y2)9貝!IaJ/b=玉％一%2%=。

7、數(shù)量積

（1）定義：已知兩個非零向量a和b,它們的夾角為。，則a-b=\a\-\b\-cos0叫做a與

人的數(shù)量積。

(2)投影：\b\-cosO-一一稱為向量b在。方向上的投影；且\b\-cos3=^-^-

Ia|-cos^―--稱為向量a在匕方向上的投影，且Ia\'COS0=^-^~

\b\

(3)運算公式及運算律:

一——2-2

①a-a=a=\a\,②(a+6)-(a-Z?)=?"-b=|~1^|2

...2_

③(a±b)=a±2a-b+b=\a\^+2\a\-\b\cos0+\b^

④a-b=b-a;(%〃)?b=X(a-b)=a-(2Z?);(a±b)'c=a-c±b'c

(4)數(shù)量積的坐標運算：若a=（%，X）、b=（ix2,y2）,貝!Ja-b=xlx2+yly2。

非零向量a與人的夾角。：作。i=a,0B=b,貝!|ZAOB=0，

其中O<0<7i9cos0-Qb

\a\-\b\

非零向量a與B同向時,夾角8=0。；反向時，夾角8=180。；垂直時，6=90°。

（6）兩個非零向量垂直的充要條件：aLboa?b=0oxrx2+yxy2=0

（7）模的運算公式：\a\=^a或|a\=yjx2+y2

六、三角函數(shù)

1、任意角和弧度制

（1）終邊相同的角：所有與角a終邊相同的角，連同角。在內(nèi)，可以構(gòu)成集合

S^{j3\/3=a+k-360°,k&Z}

180°

（2）角度o弧度：180。=?弧度；】。=念弧度；1弧度二

n

弧長…"(其中'⑷為圓心角的弧度數(shù))，扇形面積sj

(3)三角函數(shù)的定義：在角a的終邊上任取一個異于原點的點P(x,y),點P到原點

的距離記為r

(r=|OP|=Jx2+y2),那么：sin?=—;cosa=-;tan?=—;

rrx

三角函數(shù)的符號：一全，二正弦，三正切，四余弦。

(6)特殊角的三角函數(shù)值：

角a0°30°45°60°90°180°270°360°

717171713%

弧度制0~6~4T~27T~22%

j_V2此

sina010-10

2~T2

V3j_

cosa10-101

T2

同

tana01V3不存在0不存在0

3

sina

2、同角三角函數(shù)的基本關系式：sin2cif+cos2dz=l;------=tana

cos。

3、誘導公式：

(1)公式一：sin(o+2左》)=sin。，cos(a+2左乃)=cosa9tan(a+2左乃)=tana

公式二：sin(萬一。)=sin。,cos(^--a)=-cosa9tan(^--a)=-tana

公式三：sin(萬+a)=—sina,cos(^-+a)=-cosa,tan(?+a)=tana

公式四：sin(2?-a)=-sina9cos(2?-a)=cosa9tan(2^-a)=-tana

sin(—a)=—sina9cos(-cr)=cosa，tan(-cr)=-tana

cos

公式五：sing-a)=cosa9(~-a)=sina

.TC..

公式六:sin(1+a)=cosa,cos(——I-or)=-sinof

4、兩角和與差公式：

sin(6r+/?)=sinacos[3+cosasin/39sin(cr-J3)=sinacos(3-cosasin￡

cos(6r+J3)=cosacos/3-sinasin/39cos(a-P)-cosacos分+sinasin/?

八、tana+tan￡小tana-tanB

tanz(?+/)=--------------三,tanz(?—0)=--------------三

1-tan6Ztanp1+tanatanp

5、二倍角公式：sin2a=2sincrcoscr,tan2a=2tan,

1-tana

cos2cr=cos2a-sin2a-2cos2a-l=l-2sin2a

.21-cos2a1+cos2a

降塞公式:sina=------------cos2a=------------

22

6、正弦、余弦、正切函數(shù)的在一個周期內(nèi)的圖像與性質(zhì):

y-tanx,xe(----,

乃071

22

（2）性質(zhì):

y=sin%y=cosx

定義域(-00,+oo)(-00,+00)

值域[-1,1][-1,1]

當x=%+2k兀,keZ，ymM=1

當X=2k兀,kwZ，>ma*=l

最值

當x=a+2k兀，keZ,=-1

當x=—：+2kf，ym.a=-1

最小正

2TC271

周期

增區(qū)間：[--+2^,-+2M增區(qū)間：［-萬+2M,2面］

單調(diào)性22

減區(qū)間：[三+2丘,3^+2丘]減區(qū)間：［2左肛萬+2左萬］

22

奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)

y=tan%

兀

定義域[x\x^—+k7i.keZ}

值域(-00,+00)

最值無

最小正周期71

增區(qū)間：（--+^.-+M（左wz）

單調(diào)性22

減區(qū)間：無

奇偶性奇函數(shù)

7、函數(shù)y=Asin(s+0)(A>0,<z>>0)

（1）函數(shù)尸Asin（s+9）的物理意義：振幅：A，周期7=主，相位：a）x+（p9初

3

相：（P

（2）圖像變換：y=sinx-y=sin（x+0）:左加右減

y-sin（元+0）-y=sin（5+:當。>1時，橫坐標縮短；當0<°<1時，橫坐標伸長。

y=sin（0x+0）—>y=Asin（0x+0）:當A>1時，縱坐標伸長；當O<A<1時，縱坐標縮短。

（3）由函數(shù)的圖像求丁=4疝（如+9）+3的解析式的步驟:

①求A,A=%；怨—［辿1；②求B,B=＞嗎-+y辿；

22

③求T,從而求得。=芋;④求0,通常是利用圖像上的已知點。

七、正弦定理、余弦定理

1、正弦定理：—^―-―-27?(R為外接圓半徑)

sinAsin5sinC

變形1:(邊=＞角)a=2RsinA9b=2RsinB9c=2RsinC9

變形2:(角=＞邊)sinA=—,sinB=—,sinC=—

2R2R2R

變形3：sinA:sinB:sinC=＜2:Z?:c

2、余弦定理

a2=b2+c2-2Z?ccosA，b1=〃2+。2-2〃ccos89c2=a2+b2-labcosC

變形：（角n邊）

cos」+，rcos—fY

2bclaclab

3、三角形中常用角的變換:

sin(A+B)=sinC，sin(B+C)=sinA,sin(A+C)=sinB

cos(A+B)=-cosC，cos(B+C)=-cosA9cos(A+C)=-cosB

,A+BC,B+CA,A+CB

sin-------=cos——9sin-----=--COS—9sin-------=cos一

222222

A+B.CB+C.AA+C.B

cos-------=sin——，cos-=---s-i-n-—，cos-------=sin——

222222

4、面積公式：SMBC=—bcsmA=-absinC=-acsinB

222

八、數(shù)列：

1、4與S”的關系：n~lS“=%+/+■??+%

[s?-sn-in>2

2、求數(shù)列｛%｝的通項公式的常用方法：

(1)若滿足等差數(shù)列或等比數(shù)列的定義，可直接用通項公式；

(2)若a0-磯=/(〃),且/(〃)可以求和,可用累加法;

(3)若.=f(n),且/⑺可以求積，可用累積法；

a?-i

(4)若冊=PKT+q(p應為常數(shù)),可用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求通項。

3、等差數(shù)列與等比數(shù)列:

(1)公式對比：

等差數(shù)列等比數(shù)列

定

a-a_=dCn>2neN")

義nnx9=q(qwO,n>2fneN")

an-l

通

項

公n—1

an=q%=a?

式

兩

個

(一+%)?〃當4=1時，S”=nai;

求

n~2

和

n(n-l)

公s=na+2d當"1時，s'=』(lT)=a「a〃U

nil-ql-q

式

性

質(zhì)an=am+(n-m)d4fqf

性

若p+q-m+n，

質(zhì)若p+q=m+n,

則a-a=a-a,

二pqnn

則1n+c1m

性

質(zhì)若P+q=2m9若p+q=2m9

三

貝！|ap+aq=2am則ap-aq=a^

（2）等差中項：如果a,成等差數(shù)列，那么A叫作a與b的等差中項，且A=*

2

如果a,G,b成等比數(shù)列，那么G叫作a與b的等比中項，且G?=必，G=土疝

4、數(shù)列求和的方法：

（1）公式法：等差數(shù)列、等比數(shù)列的前n項和公式；

（2）分組求和法：拆開之后構(gòu)成等差或等比數(shù)列；

（3）裂項相消法：—=（其中上｝為等差數(shù)列，凡一）

。必+1danall+i

常見的拆項公式：」一=!--一；————=!（二——二）；

n（n+1）nn+1（2?-l）（2n+1）22n-l2n+l

—-I,=y/n+l-yfn

y/n+\jn+l

（4）錯位相減法:適用于｛a也｝,其中｛%｝是等差數(shù)列，也｝是等比數(shù)列。

（5）構(gòu)造法：把不是等差和等比數(shù)列的求和問題轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列來解決。

5、等差數(shù)列的常用判定方法：

①定義法：a“-*=d（d是常數(shù)）②中項公式法：2a什1=a〃+%什2

③通項公式法；an=pn+q（關于n的一次函數(shù)）

2

④前n項和公式法：Sn=An+Bn（A,B為常數(shù)）

6、等比數(shù)列的常用判定方法：

①定義法：%=q（"是不等于0的常數(shù)）②中項公式法：an+^an-an+2

an-\

③通項公式法：4=（關于n的一次函數(shù)）

九、直線與方程

1、直線的有關概念

（1）傾斜角a：0<a<7i

（2）斜率左：①k=tana（?^90°）;當傾斜角。=90。時，直線的斜率不存在。

②過兩點耳（石,必）、鳥（々,%）（工產(chǎn)％2）的斜率公式：k=~~—

x2一再

（3）截距：直線與X軸交點的橫坐標叫做直線在X軸上的截距；

直線與y軸交點的縱坐標叫做直線在y軸上的截距。

X,+x

X=2

2

（4）中點坐標公式：A&,%）、3（無2,%）兩點的中點般（x,y）滿足:

%+為

y=

2

2、直線方程的基本形式：

（1）點斜式：y-yG=左（%一%（））；當左不存在時，x=x。

（2）斜截式：y=kx+b9是直線在y軸上的截距）

（3）截距式：二+；=1（就wO），a、匕分別是直線在x軸、y軸上的截距。

ab

（4）一般式：Ax+By+C=O,（A,B不全為0）

3、兩直線的位置關系:

（1）平行：4〃4=七且仇力與；垂直：/J%=K?心=—1

（注：當直線的斜率不存在時，要特殊處理。）

（2）直線（：Ax+Bj+￡=0,/2:A2x+B2y+C2=0

平行：\0上=叢手豆；垂直：/1_1_-44+BB=0

452c2

（3）兩點間距離：若4和%）、則|45|=/々一/）2+（%-%）2

（4）點P（%%）到直線I:Ax+By+C=o的距離：咄a

VA2+B2

（5）兩平行線間的距離：直線4:Ax+By+G=。，，2：+By+C?—0,d—J1」

VA2+B2

4、直線系的有關結(jié)論：

（1）與直線y=平行的直線方程可設為：y=kx+m（m彳b）

（2）與直線Ax+3y+C=0平行的直線方程可設為：Ax+By+m=0（m中C）

（3）與直線Ax+3y+C=0垂直的直線方程可設為：Bx—Ay+m=0

5、幾種特殊的對稱：

（1）點關于x軸對稱的點的坐標為：（%，-%）

（2）點Pa,%）關于y軸對稱的點的坐標為:（f，%）

（3）點P（Xo,%）關于原點對稱的點的坐標為：（-x0,-y0）

6、點與點對稱的坐標關系:

x+X

XQ=

設點P(x,y)關于點”(%0，丁0)的對稱點P’的坐標是(x，y)，則：<-

7、點關于直線對稱的坐標關系：

設點。(七,為)，Q(x2,y2)關于直線hAx+By+C=O對稱，則：

%一％=B

x2-xxA

.A±^.A±2I

IA2+B2+C=0

十、圓與方程

1、圓的方程：

(1)圓心為C(a,Q,半徑為廠的圓的標準方程：(九一+(y—/?)2=F2

特殊：圓心在坐標原點，?+-=,

(2)圓的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=Q(表示圓的充要條件：D2+E2-4F>0)

其中，圓心坐標是(-§-§，半徑是包2土;士

2、點和圓的位置關系：若點P與圓心C的距離為d=\PC\,圓的半徑為r,貝！|：

d>ro點在圓外；d=ro點在圓上；d<r=點在圓內(nèi)

對于點Pg,%)和圓(x-a)2+(y-6)2=r2或f+y2+￡)x+Ey+R=0,則:

22

(1)點P在圓內(nèi)O(毛一+(%-b)“<廣Ox0+y0+Dx0+Ey0+F<0

2

(2)點尸在圓上o(x0-a)+(%-加2=產(chǎn)=/2++DXo+Eyo+F=0

22

(3)點尸在圓外o(%+(%-6)2〉產(chǎn)ox0+y0+Dxo+Eyo+F>O

3、直線與圓的位置關系：

(1)判斷方法：①幾何法

直線與圓相離od>r;直線與圓相切od=r;直線與圓相交od<r

Ax+By+C=0

②代數(shù)法:聯(lián)立方程組，得

x2+y2+Dx+Ey+F=0

消去y得一元二次方程〃x)=0,則:

直線與圓相離=△<();直線與圓相切=△=();直線與圓相交=△>€)

(2)圓的切線的幾何特征：①過切點的半徑垂直切線；②圓心到切線的距離等

于半徑(d=r)。

(3)直線被圓截得的弦長:

\AB\=24"

（即：半徑、弦心距、半徑長構(gòu)成一個直角三角形。）

4、圓與圓的位置關系的判斷：若兩圓的半徑分別為小/圓心距為d=|C,C21

〃〉（+馬o外離；dH0夕卜切；\rx-r2\<d<rx+r2<^相交

8=|彳-々|0內(nèi)切；0<6<1八-々|內(nèi)含

十一、圓錐曲線一\（c0J

1、橢圓：（1）定義：平面內(nèi)與兩個定點斗鳥的距離的和等

常數(shù)（大于下闖）的點的軌跡叫做橢圓。即：|尸居|+歸閭=2a（2a>/閭）

（2）c2=a2-b2（a>b>Q）

（3）幾何性質(zhì)

焦點在X軸上焦點在y軸上

2222

方程^-+^-=1(a>b>0)-+^-=l(a>b>0)

a2b②b2a2

范圍-a<x<a9-b<y<b-b<x<b9-a<y<a

u

圖像2

A

片(-c,0),F(C,0)FJO-c),C

焦點2F2(0,)

4（一。,0）、4（〃,o）A(0,—a)、A2(0,ci)

頂點

4（0,—A）、B?（0,b）司(—40)、與s,0)

離心e=-(0<e<l)

率a

關于x軸，y軸，原點對稱

長軸長=2a;短軸長=2）；焦距=2c

（4）兩種標準方程的一般形式：Ax2+By~=1（A>0,B>0,AwB）

2、雙曲線：（1）定義：平面內(nèi)與兩個定點斗鳥的距離的差的絕對值等于常數(shù)（小

于用8I）的點的軌跡叫做雙曲線。即：歸耳|-|「同=2a（2a<F閱）注意：

\PF^-\PF^=2a,表示雙曲線的一支。

（2）c2=a2+b2（a>0,b>0）

（3）幾何性質(zhì)

焦點在X軸上焦點在y軸上

2222

方程二-t=1匕-土=1

a2b2a2b2

范圍x<-a^x>ay<-a^y>a

i：

I止*

圖像0X

焦點居(-c,0),F2(C,0)FJO-c),工(0,c)

頂點4（一。,0）、&（。,0）A1(0,-a)\4(0,Q)

,b

漸進y=±-xy=+—x

線ab

離心e=—(e>1)

率a

關于x軸，y軸，原點對稱

實軸長=2a;虛軸長=2>；焦距=2c

（4）兩種標準方程的一般形式：Ax2+By2=1（AB<0）

3、拋物線：（1）定義：平面內(nèi)一定點F和一條定直線/的距離相等的點的軌跡叫做

拋物線。

定點F叫做拋物線的焦點，定直線/叫做拋物線的準線。（即：\PF\=d）

（2）性質(zhì)：離心率e=l

頂

圖形焦點坐準線方對稱

標準方程點

V標程性

￡k

1廠

y2=2px(p>0)(0,0)

7^史g，0）X軸

U2

y2=-2px(p>0)

（-與0）X_L(0,0)X軸

2

p

x2=2py(p>0)（o，T）y=——(0,0)y軸

02

_______1

x2=-2py(p>0)P

（o，-gy=—(0,0)y軸

2

4、軌跡方程的求法：

（1）直接法，一般步驟：建系、設點、列式、化簡。（2）定義法（3）相

關點法

5、直線與圓錐曲線的位置關系

（1）判斷方法：①聯(lián)立直線與圓錐曲線方程，構(gòu)成方程組。

②消去y（或x）得到一個一元二次方程。

③若A>0,則直線與圓錐曲線有2個交點；若A=0,則直線與圓錐曲線有1

個交點；

若△＜（）,則直線與圓錐曲線沒有交點。

十二、立體幾何

1、空間幾何體的結(jié)構(gòu)：（1）柱體：棱柱、圓柱（正棱柱：底面是正多邊形的直棱

柱。）

（2）錐體：棱錐、圓錐（正棱錐：底面是正多邊形并且各側(cè)面是全等的等腰三角形。）

（3）臺體：棱臺、圓臺（正棱臺：各側(cè)面是全等的等腰梯形。）

2、空間幾何體的表面積和體積：

（1）側(cè)面積公式：

①直棱柱S=c/z（C為底面周長，為高）②正棱錐S=（C為底面周

2

長，為斜高）

③正棱臺5=3（9+02）/（公。2分別為上下底面的周長，〃為斜高）

④圓柱S=2?〃2（r為底面半徑，力為高）⑤圓錐S=R7（廠為底面半徑，/為

母線長）

⑥圓臺S=萬儲+%）/（小馬分別為上下底面半徑，/為母線長）

（2）體積公式：①棱柱V=S/z（S為底面積，h為高）②棱錐V=gs/?（S

為底面積，%為高）

③棱臺V=g（S]+鄧瓦+S2）/z（Sp§2分別為上下底面積，h為高）

④圓柱V=Sh=Tir'h（S為底面積，r為底面半徑，力為高）

⑤圓錐丫=入/2=。心（S為底面積，r為底面半徑，%為高）

33

⑥圓臺v=；（S]+廊;+S2）/z（小§2分別為上下底面積，/2為高）

3、球：（1）球的表面積公式：S=4IR2（2）球的體積公式：丫=￥代（R表示

球的半徑）

（3）球的任意截面的圓心與球心的連線垂直截面，若設球的半徑為R,截

面圓的半徑是r,

截面圓的圓心與球心的連線長為d,貝?。篸2=R2-r\

4、空間幾何體的直觀圖和三視圖:

(1)三視圖：正視圖(自前面向后投射)、側(cè)視圖(自左面向右投射)、俯視圖(自

上面向下投射)

(2)直觀圖一一斜二測畫法：①Nxoy=45。；②平行于X軸或y軸的線段，在

直觀圖中仍保持平行；

③平行于X軸的線段的長度不變，平行于y軸的線

段的長度變?yōu)樵瓉淼囊话搿?/p>

5、空間點、直線、平面之間的位置關系:

(1)平面的基本性質(zhì)：

①公理1：若一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，則這條直線上所有的點都在這個

平面內(nèi)。

②公理2：經(jīng)過不在同一直線上的三點，有且只有一個平面。(即：可以確定一個

平面)

推論1：經(jīng)過一條直線和這條直線外的一點，有且只有一個平面。

推論2：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面。

推論3：經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面。

③公理3：若兩個平面有一個公共點，則它們有且只有一條通過這個點的公共直

線。

④公理4：平行于同一條直線的兩條直線平行。

⑤定理：一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等或互補。

(2)空間直線的位置關系：①空間兩條直線的位置關系：相交、平行、

異面

②異面直線所成的角：過空間任意一點作與這兩條異面直線平行的兩直線所稱的

銳角或直角。^e(0,1]

(3)直線和平面的位置關系：直線在平面內(nèi)、直線和平面相交、直線和平面平行(沒

有公共點)。

(4)兩個平面的位置關系：相交(有一條公共直線)、平行(沒有公共點)。

7、空間中的平行關系

(1)直線和平面平行

①線面平行的判定定理：如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,

那么該直線與此平面平行。（符號語言：

②線面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線和一個平面平行，那心

/a

任意一個平面與已知平面的交線與該直線平行。

（符號語言：IIIa,luf3,a（3=m=lIIm）

（2）平面和平面平行:

①面面平行的判定定理:

都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行。

符號語言：/ua,mu。,/m=O.lIIP.mll（3-all（3）

②面面平行的性質(zhì)定理：如果兩個平行平面同時與第三個平面相交，

那么它們的交線平行。

（符號語言：allp.ya=l,yf3-m^lIIm）

③面面平行的性質(zhì)：如果兩個平面平行，那么其中一個平財I/

的直線平行于另一個平面。