2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：函數(shù)的概念及其表示（十六大題型）（練習(xí)）（解析版）

第01講函數(shù)的概念及其表示

目錄

01模擬基礎(chǔ)練..................................................................2

題型一：函數(shù)的概念.............................................................................2

題型二：同一函數(shù)的判斷........................................................................3

題型三：給出函數(shù)解析式求解定義域..............................................................5

題型四：抽象函數(shù)定義域........................................................................6

題型五：函數(shù)定義域的綜合應(yīng)用..................................................................8

題型六：待定系數(shù)法求解析式....................................................................9

題型七：換元法求解析式.......................................................................10

題型八：方程組消元法求解析式.................................................................12

題型九：賦值法求解析式.......................................................................14

題型十：求值域的7個基本方法.................................................................15

題型十一：數(shù)形結(jié)合求值域.....................................................................19

題型十二：值域與求參問題.....................................................................21

題型十三：判別式法求值域.....................................................................23

題型十四：三角換元法求值域...................................................................25

題型十五：分段函數(shù)求值、求參數(shù)問題...........................................................27

題型十六：分段函數(shù)與方程、不等式.............................................................28

02重難創(chuàng)新練.................................................................30

03真題實戰(zhàn)練.................................................................36

題型一：函數(shù)的概念

1.已知M={x|0VxW2},N={y|0WyV2},在下列四個圖形中，能表示集合M到N的函數(shù)關(guān)系的有（）

【答案】B

【解析】對A：可得定義域為{xIOWxWl},

所以不能表示集合M到N的函數(shù)關(guān)系；

對B：可得定義域為{x|OV尤42},值域為{y|04xV2},

且滿足一個無對應(yīng)一個y,所以能表示集合M到N的函數(shù)關(guān)系；

對C：任意xe{x|04x<2},一個尤對應(yīng)兩個y的值，

所以不能表示集合M到N的函數(shù)關(guān)系；

對D：任意無e{x|0〈尤V2},一個x對應(yīng)兩個，的值，

所以不能表示集合M到N的函數(shù)關(guān)系；

故選：B.

2.任給〃4-2,0],對應(yīng)關(guān)系/使方程"2+丫=0的解v與M對應(yīng)，則v=/（a）是函數(shù)的一個充分條件是（）

A.ve[-4,4]B.ve（-4,2]C.ve[-2,2]D.ve[<-2]

【答案】A

【解析】根據(jù)函數(shù)的定義，對任意“e-2,0],按v=_〃2,在v的范圍中必有唯一的值與之對應(yīng)，"2^0,4],

則w[-4,0],則v的范圍要包含[-4,0],

故選：A.

3.函數(shù)y=/（x）的圖象與直線x=l的交點個數(shù)（）

A.至少1個B.至多1個C.僅有1個D.有0個、1個或多個

【答案】B

【解析】若1不在函數(shù)小)的定義域內(nèi)，y寸x)的圖象與直線x=l沒有交點，

若1在函數(shù)“r)的定義域內(nèi)，y寸尤)的圖象與直線x=l有1個交點，

故選：B.

4.(2024?廣東佛山?模擬預(yù)測)在平面直角坐標(biāo)系尤Oy中，以下方程對應(yīng)的曲線，繞原點旋轉(zhuǎn)一定角度

之后，可以成為函數(shù)圖象的是()

A.x2+2y2=4B.x2-y2=4

C.x2+y2=4D.(x-l)2+(y-2)2-4

【答案】B

22

【解析】對于A項，因為爐+2丫2=4,所以土+匕=1,

42

所以方程對應(yīng)的曲線為橢圓，

所以當(dāng)橢圓繞原點旋轉(zhuǎn)后，其一定不會成為函數(shù)圖象，故A項不成立；

22

對于B項，因為d-丁=4,所以工一匕=1,

44

所以方程對應(yīng)的曲線為雙曲線，其漸近線為y=±乙

所以當(dāng)其繞原點旋轉(zhuǎn)g后，其一定是函數(shù)圖象，故B項成立；

對于C項，因為爐+產(chǎn)=4,所以方程對應(yīng)的曲線為圓，

所以當(dāng)圓繞原點旋轉(zhuǎn)后，其一定不會成為函數(shù)圖象，故C項不成立；

對于D項，因為。-1)2+。-2)2=4,所以方程對應(yīng)的曲線為圓，

所以當(dāng)圓繞原點旋轉(zhuǎn)后，其一定不會成為函數(shù)圖象，故D項不成立.

故選：B.

題型二：同一函數(shù)的判斷

5.下列各組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是

A./(x)=l,g(x)=x。

/、II/、x,x>0

B."x)=N，g(x)={

—A,X<U

4

C.f(x)=x+2,^(x)=------

x—2

D.“力=尤超(尤)=(五)

【答案】B

【解析】A、C、D中，/(x)的定義域均為R,而A中g(shù)(無)的定義域為xwO,C中g(shù)(無)的定義域為xr2,

D中g(shù)(x)的定義域為xNO,故A、C、D均錯，B中〃力與g(x)的定義域與值域均相同，故表示同一函數(shù)，

故選B.

考點：函數(shù)的解析式.

6.下列各組函數(shù)是同一函數(shù)的是()

①/(X)=，一2/與g(x)=尤;②/(%)=尤與g(x)=后；

③/(x)=尤°與g(x)=5；④/(x)=尤？-2x-1與gQ)=/—2r-1.

X

A.①②B.①③C.③④D.①④

【答案】C

【解析】①/(x)=^Aa了與g(x)=x^/與的定義域是{Hx<O},而/(X)=O'=，故這兩個函數(shù)

不是同一函數(shù)；

②/(尤)=》與g(X)=JF的定義域都是R,g(x)=G=|x|,這兩個函數(shù)的定義域相同，對應(yīng)法則不同，故

這兩個函數(shù)不是同一函數(shù)；

③〃x)=x。與g(x)=。的定義域都是{木工0},并且定義域內(nèi)/(x)=g(x)=l,對應(yīng)法則也相同，故這兩個

函數(shù)是同一函數(shù)；

④與g(f)=/2-2r-l定義域相同，對應(yīng)法則相同，是同一函數(shù)；

所以是同一函數(shù)的是③④.

故選：C.

7.下列函數(shù)中與函數(shù)y=x相等的函數(shù)是()

22

A.y=B.y=y[^C.y=D.y=--

【答案】B

【解析】兩函數(shù)若相等，則需其定義域與對應(yīng)關(guān)系均相等，易知函數(shù)y=x的定義域為R,

對于函數(shù)y=(五其定義域為[0,+8),對于函數(shù)y=；,其定義域為(-8,0)U(0,4w),

顯然定義域不同，故A、D錯誤；

對于函數(shù)y=#7=x，定義域為R，符合相等函數(shù)的要求，即B正確；

對于函數(shù)t二正二國，對應(yīng)關(guān)系不同，即C錯誤.

故選:B

8.下列各組函數(shù)是同一個函數(shù)的是()

3___________

A.y='+%與二=%B.y=與y=x—l

C.y=—^y=xD.y=忖與y=l

XX

【答案】A

【解析】A:函數(shù)y=gt^=邛±12=》和'=天的定義域為R,解析式一樣，故A符合題意；

x2+lx2+l

B：函數(shù)y=J（x-l）2=|尤T與"尤_1的定義域為R,解析式不一樣，故B不符合題意；

2

C：函數(shù)y=±=x的定義域為{x|xwo},y=x的定義域為R,解析式一樣，故C不符合題意；

X

D：函數(shù)>=忖=±1的定義域為{#wO},y=l的定義域為R,解析式不一樣，故D不符合題意.

X

故選：A

題型三：給出函數(shù)解析式求解定義域

9.已知等腰三角形ABC的周長為10,且底邊長y關(guān)于腰長x的函數(shù)關(guān)系為y=10-2無，則函數(shù)的定義域為（）

A.{x|x￡R}B.{x|x>0}

C.{x|0<%<5}D,卜g<x<5,.

【答案】D

x>0,

【解析】由題意知"。一2x>0,解得g<x<5

2x>10-2x,

即定義域為卜無<5，.

故選：D.

10.函數(shù)/（月=7餐的定義域為.

【答案】［0,3）53，-）

【解析】由題意自變量x應(yīng)滿足廠”：…解得xNO且xw3,

所以函數(shù)〃x）=正的定義域為［0,3）53,"）.

x-3

故答案為：［。,3）。（3,田）.

11.（2024?四川南充?三模）函數(shù)〃幻=反三的定義域為.

【答案】［Tl）U（l，4］

【解析】因為“X）

所以16-％2之0且x-lwO,

解得-4KxW4且九wl,

故函數(shù)的定義域為［T1）L（1,4］.

故答案為：［T1）U（L4］

12.函數(shù)，（無）=lg（x+3）+-^的定義域為___.

x+2

【答案】（一3,—2）“_2,4W）

x+3>0

【解析】函數(shù)〃x）=lg（x+3）++的定義域滿足解得X>-3且,

尤+2wO,

故函數(shù)“X）的定義域為（-3,-2）"-2,"）.

故答案為：（-3,-2）。（-2,包）.

13.函數(shù)?。?川氏（：+3）-1+:的定義域為——■

【答案】（TO）“。,”）

【解析】函數(shù)〃耳=丁JJ：的定義域滿足:］log2（x+3\l>0,

Jlog2（尤+3）-1x［x/O

解得x>—1且xw0.

故答案為：（-l,O）u（O,+a））.

題型四：抽象函數(shù)定義域

14.若函數(shù)f（2）的定義域為［0,2］,則函數(shù)f（4「￡）的定義域為.

【答案】［0』

【解析】對于『（2'）,因為0WxW2,所以由y=2”的單調(diào)性得2°42,W22,即142工44,

所以對于有1V4JM4,即4044-"4，，

由y=4"的單調(diào)性得OVl-xVl,解得OMxWl,

所以f（4I）的定義域為［0』.

故答案為：［0』.

15.已知函數(shù)“X）的定義域是［0,4］,則函數(shù)>=羋曹的定義域是__.

Vx-2

【答案】（2,5]

解得：2<X<5,.?.》=^^^的定義域為（2,5].

【解析】由題意知:

故答案為：（2,5].

16.已知函數(shù)的定義域為[-2,2],則函數(shù)尸（￡）=胄，的定義域為（）

A.[-3,1]B.[-3,0)5?！?/p>

C.(-l,O)u(O,l)u(l,3]D.[-3,-l)u(-l,O)u(O,l)

【答案】D

【解析】由題意可知，要使廠⑴有意義,

-2<x+l<2-3<x<1

只需要■x>。解得V"0

x#1-1,且xw1

所以xe[-3,—I）”-1,。）"。[），

所以函數(shù)網(wǎng)x）的定義域為[-3,-1）5-1,0）50,1）.

故選：D.

17.已知函數(shù)y=〃2x）的定義域為—*2]，則函數(shù)y=；：；；；的定義域為（）

7

A.[0,-]B.[-3,-1)(-1,4]

C.(-2,4]D.

【答案】D

【解析】由函數(shù)y=〃2x)的定義域為得2xe[-3,4],

f-3<l-x<4

因此函數(shù)y=,"中,\x+2>0,解得一2<xv—l或一l<x44,

ln(x+2)

尤+2wl

所以函數(shù)"送得的定義域為（-2,-1）（-1,4].

故選：D

題型五：函數(shù)定義域的綜合應(yīng)用

18.若函數(shù)〃x）=業(yè)主區(qū)的定義域為［3,內(nèi)），則實數(shù)〃=實數(shù)》的取值范圍

x-b

【答案】-3b<3

/?Z,［x+a>0x>-a

【解析】因為函數(shù)/（耳=A矍r/■的定義域為貝I

x手b

而函數(shù)〃x）=4號的定義域為［3,+8）,

所以一q=3,b<3,gpa=-3,b<3.

故答案為：-3；b<3.

19.函數(shù)/1（x）=lg（欣^m+i）的定義域為R,則實數(shù)機的取值范圍是.

【答案】［0,4）

【解析】由函數(shù)/（尤）=炮（，/+如+1）的定義域為區(qū)，

得VxwR,znx?+znx+l>0T旦成立.

當(dāng)機=0時，1〉0,成立；

fm>0,

當(dāng)相。0時，需滿足<24八于是0<機<4.

［m-4m<0,

綜上所述，〃z的取值范圍是［0,4）.

故答案為：［0,4）.

20.若函數(shù)/（尤）=lg32-2x+f）的定義域為R,則〃的取值范圍是（）

4

A.（-oo,-2）B.（-oo,2）C.（2,+oo）D.（-2,+oo）

【答案】C

【解析】???函數(shù)/。）=坨32一2X+9的定義域為R,

所以--2%+@>0恒成立，

4

當(dāng)a=0時，-2x>0顯然不合題意，

a>0

a>2

綜上所述，￡（2,+8）

故選：C.

1

21.已知函數(shù)“無)=的定義域為凡則。的范圍是

J(a-1)元2+(a-])尤+]

【答案】口,5)

【解析】有函數(shù)解析式知要使/(x)定義域為R,貝色(彳)=(°-1)1+(°-1)x+1>()恒成立，結(jié)合二次函數(shù)的性

質(zhì)即可求參數(shù)a的范圍.當(dāng)。=1時，/W=l,即定義域為R；

當(dāng)“1,要使/(x)的定義域為R,貝[]g(x-(a-l)x+l>0在xeR上恒成立,

tz—1>0

"{A=(a-l)2-4(a-l)<0解得lea<5,

綜上，Wl<a<5,

故答案為：口,5)

題型六：待定系數(shù)法求解析式

22.已知函數(shù)/⑴是二次函數(shù)，且滿足了(2x+l)+/(2x-l)=16/一4X+6,則/(刈=.

【答案】2尤2一x+1

【解析】設(shè)二次函數(shù)〃"=依2+云+44片0)

已知二次函數(shù)/(%)滿足/(2x+l)+/(2x-1)=16J;2-4%+6

即：tz(2x+l)2+Z?(2x+l)+c+a(2x—I)?+Z?(2x—l)+c=16x2-4x+6

Sa=16〃=2

可得：4。=-4,解得“1

2a+2c=6c=l

則/(x)=2x2-x+1

23.若〃元)是R上單調(diào)遞減的一次函數(shù)，且/[fa)]=4x-l,貝lj〃x)=.

【答案】-2x+l

【解析】因為八％)是R上單調(diào)遞減的一次函數(shù)，所以可設(shè)f(x)=&+6/<0),

所以/[/(x)]=左?/(%)+/?=k(kx+b)+b=k2x+kb+b,

又因為/[/(%)]=4x—1,所以上2%+妨+8=4%—1恒成立，

上2-4

所以,>因為/<°，所以々=-2，b=\.

kb+b=-\

所以f(x)=-2x+l.

故答案為：-2x+l

24.已知二次函數(shù)/(x)的圖象經(jīng)過點(-3,2),頂點是(-2,3),則函數(shù)/(x)的解析式為.

【答案]f(x)=-九2一4%-1

【解析】根據(jù)頂點為(-2,3),設(shè)/(%)=〃(％+2)2+3(〃。0),

由/(%)過點(-3,2),得2=QX1+3

解得a=-lf

0X以f(x)——(JV+2)2+3=-12—4x—1

故答案為：f(x)=-x2-4x-1

25.已知"％)是一次函數(shù)，且滿足3/(%+1)—2〃x—1)=2%+17,求"1)=—.

【答案】2x+7

【解析】因為〃力是一次函數(shù)，設(shè)/⑴=冰+跳"。),

因為3〃%+1)-2〃1-1)=2%+17,

所以3[a(x+l)+。]—2[a(x—1)+。]=2x+17,

整理可得雙+5a+8=2x+17,

所以，[a=.2,,可得[匕a=2

[5〃+。=17[b=7

所以〃x)=2x+7,

故答案為：2x+7.

26.已知定義在R上的函數(shù)Ax)對任意實數(shù)x,>,恒有/■(元)/(y)=f(x+y),并且函數(shù)/(刈在R上單調(diào)遞

減，請寫出一個符合條件的函數(shù)解析式.(需注明定義域)

【答案】/(x)=(；),(不唯一)

【解析】由題意例如〃X)=(；)x

“x)/(y)=g，g：=']’=/(無+y)

且在R上單調(diào)遞減

故答案為：/(X)=(f"(不唯一)

題型七：換元法求解析式

27.(2024?高三?上海黃浦?開學(xué)考試)已知〃sinx)=sinY+l,則函數(shù)的解析式為/⑺=.

【答案】x+l,xe[-l,U

【解析】依題意,令sinUl],則/⑺=t+l,

所以函數(shù)/（X）的解析式為〃x）=x+l,xe[Tl].

故答案為：尤

28.已知函數(shù)/（X）滿足/（2苫+1）=4/+3,則/'（尤）=1.

【答案】x2-2x+4

【解析】令f=2x+l,貝[|x=廳,

所以/⑺=4(]>+3=/—2/+4,

故/(了)=/-2X+4,

故答案為：X2—2x+4.

21(

29.(2024?全國?模擬預(yù)測)已知/(3)=5,則/*

x+113,

【答案】1/2.5

【解析】由題意得，〃3，）=S,

X+1

令3*=@,由"=3」，得尤=二,

332

故答案為：—■

30.已知/（無）是定義域為R的單調(diào)函數(shù)，且/（〃x）-3x）=4,若2"=log/=c,則（

A./(?)</(/?)</(c)B./(/?)</(c)</(o)

C.f(o)</(c)</(/?)D.f(c)</(Z?)</(o)

【答案】C

【解析】由已知/(〃%)一3%)=4,令”/(力一3%，

又因為/（元）是定義域為R的單調(diào)函數(shù).

所以存在唯一fwR,使/⑺=4,即/（x）=3x+r,

所以『"）=4=4,解得"1,

所以f（x）=3x+l.

如圖所示作出y=2工與y=logzx的圖象,

因為它們互為反函數(shù)，則圖象關(guān)于直線y=%對稱，

由2"=log2b=c>0,

在圖中作直線y=。，則與y=2-y=X,y=log2x的交點的橫坐標(biāo)依次為a,c,b,

可得avc<Z?,

又因為〃x)=3x+l是單調(diào)遞增的,

所以“。)</(。)</伍)，

故選：C.

題型八：方程組消元法求解析式

31.函數(shù)“X)是一個偶函數(shù)，g(x)是一個奇函數(shù)，且〃x)+g(x)=一則〃力等于(

X-L

B?言2x

A.-zD.—

X2-1x2-l

【答案】A

【解析】因為函數(shù)/(x)是偶函數(shù)，函數(shù)g(x)為奇函數(shù)，則〃r)=〃x),g(-x)=-g(x),

由f(X)+g(%)=-^-7可得f(一無)+g(一無)=>即/(X)—g(X)=-，

X-L—X—iX+L

〃x)+g(x)=2

所以，,解得〃尤)=丁7,其中X*±l,

/(x)-g(x)=-—!

故選：A.

32.設(shè)定義在(0,+e)上的函數(shù)g(x)滿足g(x)=2?-g-1,貝ljg(%)=

【答案】^4x+—{x>0)

【解析】因為定義在9+⑹上的函數(shù)g(x)滿足g(x)=24—g]￡|-l,

將X換成,可得：g(-)=^g(x)-l,將其代入上式可得:

所以g(x)=g?+g(x＞。)，

故答案為：+](尤＞0).

33.若對任意實數(shù)x,均有〃x)-2/(-x)=9x+2,求/(x)=

【答案】3x-2/-2+3x

【解析】???/(x)-2/(-x)=9x+2(1)

??.〃f)-2〃x)=9(f)+2(2)

由⑴+2x⑵得—3/(%)=—9x+6,

f(x)=3x-2(xeR).

故答案為：3x-2.

34.已知2/(X)+/[￡|=X(XW0),求/(x)的解析式

1

【答案】/(X)=—■——,xe(-oo,0)u(0,+oo).

35x

消去了[口解得〃尤)=卓一4，xe(—,0)50,心)

I犬，3DX

Oy1

故答案為：/(-x)=---—,xe(-＜?,0)u(0,+oo).

33x

35.已知函數(shù)f(x)滿足/(x)+2/(-x)=2x+3,貝ij/(x)=

【答案】-2x+l/l-2x

【解析】H^/?+2/(-x)=2x+3?,

所以f(-x)+2/(尤)=2?(-無)+3②，

②x2—①得，f(x)=-2x+l.

故答案為：-2x+l.

題型九：賦值法求解析式

36.設(shè)函數(shù)〃尤)的定義域是(0,+句,且對任意正實數(shù)天,y,都有/(個)=〃x)+〃y)恒成立，已知/(2)=1,

則沙一?

【答案】一1

【解析】令>=2,得〃2x)=〃x)+〃2)=〃x)+l,

所以/⑵=〃1)+1=1,解得〃1)=0,

/(i)=/Q]+i=o,解得/1]=一1,

故答案為：-1.

37.已知"％)為定義在R上的奇函數(shù)，〃x+2)為偶函數(shù)，且對任意的耳，X2G(O,2),玉w%，都有

〃？[伍)<0，試寫出符合上述條件的一個函數(shù)解析式“力=.

【答案】-sin^x(答案不唯一)

【解析】因為是定義在R上的奇函數(shù)，則〃-x)=-/(x),且"0)=0,

又/(x+2)為偶函數(shù)，則/(-x+2)=/(x+2),gp/(x+4)=/(-x),

于是〃x+4)=-f(x),則/(x+8)=-/(x+4)=/(x),即是以8為周期的周期函數(shù)，

對任意巧，x2e(O,2),無產(chǎn)馬,都有可得Ax)在(0,2)單調(diào)遞減，

2冗7T7T

不妨設(shè)/(X)=Asins,由題意，7=—=8,所以0=:，則”x)=Asin7X,

a>44

當(dāng)xe(O,2)時，%e(0,5，

因為/(x)=Asintx在(0,2)上單調(diào)遞減，且；y=sinx在10,j上單調(diào)遞增，

JT

所以A<0,不妨取A=-1,此時/(%)=-sin：%.

4

IT

故符合上述條件的一個函數(shù)解析式/(x)=-sin：x,(答案不唯一).

4

故答案為：-sin^x(答案不唯一)

4

38.已知函數(shù)/(x)滿足以下條件：①在R上單調(diào)遞增；②對任意毛，巧，均有=

則/(%)的一個解析式為.

【答案】〃x)=2，+2,答案不唯一

【解析】依題意可知〃x)為增函數(shù)，且〃%)"(9)=4〃占+9),

故“X)的一個解析式可以為"x)=2，+2.

故答案為：/。)=2-，答案不唯一

題型十：求值域的7個基本方法

39.求下列函數(shù)的值域.

⑴y=?-2；

ex?-尤

(2)y=--------7；

X—X+1

(3)y=x-Jl-2x；

/八—4x+3

⑷尸彳^——p

2x—x—1

y2.o

(5)y=^^(X>1).

x-1

【解析】(1)因為?20,所以五-212.故值域為［-2,y).

1C1A233I41

(2)因為y=l-r——且d-x+l=尤-已所以0<rW，所以一F丫<1,故函數(shù)

x--x+\I2；44x2-x+l33

的值域為-；/).

,____1—產(chǎn)

(3)令Jl-2x=r,則讓0,且％=——，

2

所以)=—(止0).故函數(shù)的值域［一8，；.

17

尤2—4x+3(x-l)(x-3)無一3“一文~(2x+l)——.?

(4)y=——［=)0~^=-~7,其中xwl,X-3_21/2」7

2x-尤-1(x-l)(2x+l)2x+l2x+l2x+l22(2x+l)

x-31-3_2

當(dāng)x=1時,

2x+l2x1+13

7Y—l1

又因為所以

故函數(shù)的值域為卜巴-g

⑸因為x>l,所以—>。，所以尸官二(1)：(「)+9~1+3+2%(1).白+2=8,

9

當(dāng)且僅當(dāng)兄-1=3,即％=4時，取等號，即y取得最小值8.

x-1

故函數(shù)的值域為[8,+/).

40.求下列函數(shù)的值域：

X2-4X+4

(i)y=(x>D

x-1

(2)y=30-Jx+1

(3)/(x)=3x+l+二卜勺

【解析】(1)因為％>1,貝

x2-4x+4=(尤f+；2川(1).占一2二°'

可得y=

x-1

當(dāng)且僅當(dāng)》-1=工，即x=2時，等號成立,

x-1

所以函數(shù)的值域為[0,+8).

(2)令YA/TTTNO,貝晨=產(chǎn)—1,

37>_37

可得>=3(產(chǎn)一1)—=3/7-3=3

n~~n

當(dāng)時，等號成立，

O

所以函數(shù)的值域為一||，+。;

2

(3)因為％<§,則2—3%>0,

9=(2-3x]+—^-3>2J(2-3x)—

可得-/(%)=-3x+l+=3，

3x-2'72-3xV2-3%

91

當(dāng)且僅當(dāng)2-即％=-彳時，等號成立，

即/⑺W-3,所以函數(shù)的值域為(―,-3].

41.求下列函數(shù)的值域：

小2x+l

(i)y=—7，

x-3

4

(2)y=x+—(x〉0),

x

(3)y=A/-2X2+X+3，

(4)y=x+4，1一x

【解析】(1)由題意可得：＞=&與=2+工，

x-3x—3

7

因為——-^0,則yw2,

x-3

所以原函數(shù)的值域為(f,2)_(2,用).

(2)因為x＞0,

貝！Jy=%+=4,當(dāng)且僅當(dāng)x=±,即％=2時，等號成立,

X\XX

所以原函數(shù)的值域為[4,+O)).

3

(3)令一2%2+%+3",解得—

2

「31

可得函數(shù)的定義域為-V-，

因為y二,一2彳2+x+3=J—2卜一+方,可得0?1V

所以原函數(shù)的值域為卜歲：

(4)設(shè)/=Jl-x，貝U尤=1—廠(t20),

所以原函數(shù)轉(zhuǎn)化為丁=-』+4/+1(拈0),

因為函數(shù)＞=一〃+4/+1的圖象開口向下，對稱軸方程為t=2e[0,”),

可知當(dāng)t=2時，函數(shù)y=-?+4f+l取到最大值＞max=5，

所以原函數(shù)的值域為(-8,5].

42.求下列函數(shù)的值域：

⑴y=x+l,xe{1,2,3,4,5}?

(2)y=f-2x+3,xe[0,3)；

-、2尤+1/人

(3)J=---7(》＞4);

x—J

(4)y=2x-y/x-1；

/u、x?—2%+4

⑸廠一^x>2)；

⑹尸下花=(無＜°);

2x?+2x+5

（7）y=

+x+1

【解析】（1）（觀察法）由xe{l,2,3,4,5},分別代入求值，可得函數(shù)的值域為{2,3,4,5,6}.

（2）（配方法）y=x2-2x+3=（x-l）2+2,由尤e［0,3）,再結(jié)合函數(shù)的圖像，可得函數(shù)的值域為［2,6）.

⑶（分離常數(shù)法）”三十型亭^+匕因為X"所以。＜乙＜7,所以2＜”9故

函數(shù)的值域為（2,9）.

（4）（換元法）設(shè)f=Jx-l,則刀=產(chǎn)+1,且此0,

4

且僅當(dāng)即x=4時，等號成立.

x-2

故函數(shù)的值域為［6,+QO）.

_2尤_2_________2________

(6)因為x<0,所以：=f+3X+4=尤+$3=_卜)+14)]+3,令:一

14—2x)x]—j+3=—1,當(dāng)且僅當(dāng)-x=—,即x=—2時，等號成立，所以-1V-<O,—2<—<0,故

函數(shù)的值域為[-2,0).

(7)由y=-I----------矢口x￡R,

X+X+1

整理得(y-2W+(y_2)x+y-5=0.

當(dāng)>=2時，方程無解；當(dāng)"2時，A=(y—2)2-4(y—2)(y—5)20,即2<yW6.

故所求函數(shù)的值域為(2,6].

題型十一：數(shù)形結(jié)合求值域

43.求函數(shù)y=7X2-2X+5+VX2-4X+13的最小值.

【解析】解法一：；函數(shù)y=6—2x+5+Jx2-4x+13=J(x-l)2+4+J(x-2)2+9的定義域為一切實數(shù).

y-Jx--2x+5=JX：-4x+13.Q.)

又y—A/X?-2x+5>0?即y>Jx~—2尤+5=^(x—I)2+422，

對①式兩邊平方，得y2—2y\Jx2—2x+5+x2—2x+5=爐—4x+13.

整理，得J—8+2x=Zyjx?—2x+5.②

對②式兩邊平方，得(y?-8)~+4x(y2-8)+4/=4y1尤2-2X+5),

再整理，得(4y2-4)x2-(12/-32)%-/+36/-64=0.③

4/-4>0,x為實數(shù)，A=(12/-32)2-4(4y2-4)(-y4+36y2-64)>0,

化簡并整理，W/-28/+52/>0,

即/(/-28y2+52)>0<^/(/-2)(/-26)>0,

又y>2,y2>26,y>>/26,

當(dāng)>=后時，方程③為100/-280尤+196=0,即25尤2-70尤+49=0，

7

解得X=g,故函數(shù)的最小值為技.

解法二：y=42-2X+5+VX2-4.X+13=7(X-1)2+22+7(x-2)2+32

令尸(x,0),4L2),8(2,3),則y=|AP|+|8P|

點A關(guān)于x軸的對稱點為4(1，-2).

則%*■”1+|3尸|冒4尸|+|破耳4同=每

(其中運用三角形兩邊之和大于第三邊，當(dāng)且僅當(dāng)A、P、2三點共線時取“等號”).

44.數(shù)學(xué)家華羅庚曾說：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微.”事實上，很多代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為幾何問題

加以解決.例如，與J(…>+(y_b)2相關(guān)的代數(shù)問題，可以轉(zhuǎn)化為點A(x,y)與點3(。,6)之間的距離的幾

何問題.結(jié)合上述觀點，函數(shù)/(耳=理土N，的值域為.

cosx+1<2」

【答案】[；，2

sinx+1_sinx-(-l)

【解析】仆)=

cosx+1cosx-(-l)'

所以函數(shù)〃尤)的幾何意義是連結(jié)(cosx,sinx)和(T-l)的直線的斜率,

所以“X)的值域為1，2.

故答案為：(；，2

TT，則函數(shù)/(x)=sin2尤-26sin%+3行的值域是

45.(2024?陜西銅川?一模)若無￡0,-

2+cos2x

【答案】

sin2%-2&sin2x+3^3sin2x+A/3COS2X+2^3_sin2x

【解析】/(%)=

2+cos2x2+coslx2+cos2x

v=sin2x,u=cos2x,貝|--------=----

2+cos2xu+2

TT、

由于九￡0,-,則小+y=],且"NO.

設(shè)人A

由該式的幾何意義得下面圖形，0(-2,0),其中直線ZM為圓的切線，由圖知MJBW人《的…

由圖知的B=0，

在RLAOAD中，有|OD|=2,所以|Ar)|=T°A『=石，

所以tan/ADO=r=坐，所以

DA33

所以，QMk&M

故所求值域為

3

故答案為:

46-函數(shù)y=缶2-6x+9+-10x+17的值域是.

【答案】［2^,+oo)

2(^-|)2|

【解析】y=j2d-6x+9+12爐-10尤+17=+

=V2[J(X-1)2+(0-1)2+J(X-1)2+(O+!)2],

其中尸(x,0),A(|則y=V2(|B4|+\PB\),

又|PA|+|PB閆AB|=M，因此y205=2石，值域為[2，?,+oo).

故答案為：[2如,+oo)

題型十二：值域與求參問題

(3a-2)x-4a,x<1

47.已知函數(shù)〃x)=iogM，xNl的值域為R,則實數(shù)。的取值范圍是()

、2

A?卜2，1B-［42］C［-8,一y口.［端

【答案】A

【解析】當(dāng)時，〃司=1。8y，其值域為

2

當(dāng)x<l時，/(x)=(3a-2)x-4a的值域應(yīng)包含(0,+8),所以/'(x)為減函數(shù)，

2

所以3a-2<0,且(3Q-2)xl-4。<0,解得-2工〃<§.

故選：A

48.若函數(shù)〃?=小-2同在區(qū)間［2,5］上的值域為［0,〃5)］,則實數(shù)”的取值范圍為(

A.[1,272]B.[2,572-5]C.[2,2應(yīng)]D.[1,572-5]

【答案】D

【解析】令"X)=X|X-24=。，得尤=0或x=2a,因為函數(shù)定義域為[2,5],所以無=2a,即函數(shù)在x=2a

處取得最小值0,且2ae[2,5],即IWawg,

x2-lax,2a<x<5

則f（x^=x\x-2a\=

2ax-x2,2<x<2a

因為函數(shù)的值域為[0"(5)],所以/(x)1mx=/(5)

當(dāng)時，W/（2）</（5）,gp4o-4<25-10a,得aV—，BPl<a<2;

當(dāng)2<a?|時，有/⑸，gpa2<25-10a,得-5忘-54a45后-5，即2<a45夜-5.

綜上，實數(shù)。的取值范圍為14。<50-5.

故選：D.

49.已知函數(shù)/(x)=logs如:，若函數(shù),(X)的定義域為R，值域為。2],則實數(shù)相+〃=()

A.8B.9C.10D.12

【答案】C

m丫2區(qū)fm>0fm>0

【解析】由于函數(shù)/(x)的定義域為R,則〃>0恒成立,貝葉乙,C，即必，令

%2+1[64-4mn<0[mn>16

后產(chǎn)+”,由于/(x)的值域為[0,2],貝心而

X+1

(t-m)x2-8x+t-n=0,則由A=64—4。一根)?—〃)20,角軍得，￡口,9],故/=1和，=9是方程

cfm+n=10[m=5

64-4。一㈤。一〃)=0即/_(機+初+