考點(diǎn)08 二次函數(shù)與方程不等式之間的關(guān)系（解析版）

考點(diǎn)八二次函數(shù)與方程不等式之間的關(guān)系知識(shí)點(diǎn)拓展一、二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系1．二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0），當(dāng)y=0時(shí)，就變成了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）．2．a(chǎn)x2+bx+c=0（a≠0）的解是拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．3．（1）b2–4ac>0?方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；（2）b2–4ac=0?方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，拋物線與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)；（3）b2–4ac<0?方程沒有實(shí)數(shù)根，拋物線與x軸沒有交點(diǎn)．考向一二次函數(shù)與一元二次方程、不等式的綜合拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)及相應(yīng)的一元二次方程根的情況都由Δ=b2–4ac決定.1．當(dāng)Δ>0，即拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，方程ax2+bx+c=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，這兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為一元二次方程的兩個(gè)根．2．當(dāng)Δ=0，即拋物線與x軸有一個(gè)交點(diǎn)（即頂點(diǎn)）時(shí)，方程ax2+bx+c=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，此時(shí)一元二次方程的根即為拋物線頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)．3．當(dāng)Δ<0，即拋物線與x軸無交點(diǎn)時(shí)，方程ax2+bx+c=0無實(shí)數(shù)根，此時(shí)拋物線在x軸的上方（a>0時(shí)）或在x軸的下方（a<0時(shí)）．典例引領(lǐng)1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線（k是常數(shù)）與x軸交于A、B兩，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)在此拋物線上，其橫坐標(biāo)為，過點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為Q，(1)求此拋物線的解析式；(2)直接寫出點(diǎn)B的坐標(biāo)；(3)當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方，且的值隨m的增大而增大時(shí)，求m的取值范圍；(4)當(dāng)拋物線上點(diǎn)A與點(diǎn)P之間的部分（包括點(diǎn)P）的最高點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離等于時(shí)，直接寫出m的值．【答案】(1)(2)(3)當(dāng)時(shí)，的值隨m的增大而增大(4)或或【分析】（1）將點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線解析式中，求出的值即可；（2）令，求解即可；（3）由可得，進(jìn)而得出，，則，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；（4）分三種情況討論：當(dāng)時(shí)，此時(shí)最高點(diǎn)為點(diǎn)，且點(diǎn)在軸上方，由最高點(diǎn)到軸的距離等于可得方程，求解即可；②當(dāng)時(shí)，此時(shí)最高點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)，且點(diǎn)在軸上方，由最高點(diǎn)到軸的距離等于可得方程，求解即可；③當(dāng)時(shí)，此時(shí)最高點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)，且點(diǎn)在軸下方，由最高點(diǎn)到軸的距離等于可得方程，求解即可．【詳解】（1）點(diǎn)在拋物線上，，解得：，此拋物線的解析式；（2）令，得，解得：，，；（3），點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，，軸，，，，，，當(dāng)時(shí)，的值隨的增大而增大；（4），拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，①當(dāng)時(shí)，此時(shí)最高點(diǎn)為點(diǎn)，且點(diǎn)在軸上方，，解得：（舍去），；②當(dāng)時(shí)，此時(shí)最高點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)，且點(diǎn)在軸上方，，解得：，（舍去）；③當(dāng)時(shí)，此時(shí)最高點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)，且點(diǎn)在軸下方，，解得：，（舍去）．綜上，或或．【點(diǎn)睛】本題主要考查用待定系數(shù)法求拋物線解析式、求拋物線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、解二元一次方程，解題關(guān)鍵是：（1）利用待定系數(shù)法正確求出拋物線解析式；（2）熟知求拋物線與軸交點(diǎn)坐標(biāo)的方法；（3）熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)；（4）利用分類討論思想，正確列出方程并求解．2．已知拋物線與x軸交于不同的兩點(diǎn)．(1)求的取值范圍；(2)證明該拋物線經(jīng)過象限內(nèi)的某個(gè)定點(diǎn)P，并求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)設(shè)拋物線與軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別是A，B，當(dāng)時(shí)，的面積是否有最大值或最小值？若有，求出該最大值或最小值及對(duì)應(yīng)的的值；若沒有，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)且(2)證明見解析；(3)的面積有最大值，最大值為，此時(shí)，的面積無最小值【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，掌握二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系是解題的關(guān)鍵：（1）根據(jù)根的判別式求出m的取值范圍：（2）根據(jù)題意可得y的值與m無關(guān)，把原函數(shù)關(guān)系式變形為，令，求出x的值，即可求解；（3）先求出拋物線與x軸兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，可得，再由，可得，從而確定的取值范圍，求得的面積為，從而得解．【詳解】（1）解：∵拋物線與軸交于不同的兩點(diǎn)，∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴，且，∴且，解得：且，∴的取值范圍是：且；（2）解：∵∴，即，令，解得：，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)拋物線過點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)拋物線過點(diǎn)(舍去)；∴該拋物線經(jīng)過象限內(nèi)的某個(gè)定點(diǎn)P，點(diǎn)P的坐標(biāo)為；（3）解：的面積有最大值，無最小值．當(dāng)時(shí)，，解得：，∴拋物線與x軸兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，∴，∵，∴，∴，，∴當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為，根據(jù)題意得：的面積為，∴當(dāng)最大時(shí)，的面積有最大，最大值為，此時(shí)．無最小值，的面積無最小值．3．如圖，二次函數(shù)的圖像與x軸交于A，B兩點(diǎn)，其頂點(diǎn)為C，連接．

(1)若，，求a的值；(2)若，，（?。┊?dāng)，請(qǐng)判斷此時(shí)拋物線的圖像與直線的圖像公共點(diǎn)的情況；（ⅱ）已知點(diǎn)和點(diǎn)在該拋物線上，若，求a的取值范圍．【答案】(1)(2)（?。佄锞€的圖像與直線的圖像有兩個(gè)公共點(diǎn)；（ⅱ）當(dāng)，a的取值范圍為或【分析】本題主要考查拋物線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)問題、二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系、二次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，綜合運(yùn)用二次函數(shù)的知識(shí)是解題關(guān)鍵．（1）如圖：過C作軸于點(diǎn)D．設(shè)出各點(diǎn)坐標(biāo)，則，，代入得到方程組求解即可；（2）將，代入可得；（?。┝谐龇匠淘佼嫵梢话闶剑缓筮\(yùn)用根的判別式判定即可；（ⅱ）分和兩種情況，分別運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解答．【詳解】（1）解：過C作軸于點(diǎn)D．

由題意可知，∵，∴，設(shè)，則，，拋物線解析式為，把代入得：，解得．（2）解：∵，，∴，（?。┯深}意可得：，即，∵，∴，∴拋物線的圖像與直線的圖像有兩個(gè)公共點(diǎn)；（ⅱ）∵，，∴拋物線的對(duì)稱軸為，當(dāng)時(shí)，由，則，解得：；當(dāng)時(shí)，由，則或，解得：；綜上，當(dāng)，a的取值范圍為或．4．如圖，函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)A，B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），與y軸交于點(diǎn)C．(1)已知一次函數(shù)的圖象過點(diǎn)B，C，求這個(gè)一次函數(shù)的解析式；(2)當(dāng)時(shí)，對(duì)于x的每一個(gè)值，函數(shù)（b為常數(shù)）的值大于函數(shù)的值，直接寫出b的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）令，則，可求，當(dāng)，則，可求，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式即可；（2）由題意知，的圖象與直線平行，如圖，結(jié)合圖象求解作答即可．【詳解】（1）解：令，則，解得，或，∴，當(dāng)，則，即，設(shè)一次函數(shù)解析式為，將，代入得，，解得，，∴一次函數(shù)的解析式為；（2）解：由題意知，的圖象與直線平行，如圖，∵當(dāng)時(shí)，對(duì)于x的每一個(gè)值，，∴由圖可知：．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，一次函數(shù)解析式，一次函數(shù)圖象的平移，二次函數(shù)與不等式．熟練掌握二次函數(shù)與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，一次函數(shù)解析式，一次函數(shù)圖象的平移，二次函數(shù)與不等式是解題的關(guān)鍵．變式拓展5．如圖所示，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過、、三點(diǎn)．

(1)求二次函數(shù)的解析式；(2)方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，m的取值范圍為__________．(3)不等式的解集為__________；【答案】(1)(2)(3)或【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、二次函數(shù)圖象與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，利用數(shù)形結(jié)合思想求解是解答的關(guān)鍵．（1）利用待定系數(shù)法，設(shè)二次函數(shù)的解析式為，進(jìn)而代值求解a值即可；（2）先求得二次函數(shù)的最小值，再結(jié)合圖象，求得使直線與二次函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)的m值的取值范圍即可；（3）先判斷出二次函數(shù)的圖象與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為，，再根據(jù)圖象，求得使二次函數(shù)的圖象位于直線上方部分的點(diǎn)的橫坐標(biāo)取值范圍即可．【詳解】（1）解：根據(jù)題意，設(shè)二次函數(shù)的解析式，將代入，得，∴二次函數(shù)的解析式為，即；（2）解：∵，∴當(dāng)時(shí)，y有最小值，∴當(dāng)時(shí)，直線與二次函數(shù)的圖象有一個(gè)交點(diǎn)，即方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，當(dāng)時(shí)，直線與二次函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，即方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故答案為：；（3）解：由圖可知，二次函數(shù)的圖象與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為，，∴當(dāng)或時(shí)，二次函數(shù)的圖象位于直線上方，故不等式的解集為或，故答案為：或．6．已知二次函數(shù)的圖象與x軸兩交點(diǎn)為、．(1)填空：________；(2)求代數(shù)式的值．【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查了一元二次方程與二次函數(shù)之間的關(guān)系，熟知二次函數(shù)與x軸兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為對(duì)應(yīng)的一元二次方程的解是解題的關(guān)鍵．（1）由題意知，，是一元二次方程的兩個(gè)根，則由根與系數(shù)的關(guān)系可得；（2）由題意知，，是一元二次方程的兩個(gè)根，則由根與系數(shù)的關(guān)系可得，，再由進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：由題意知，，是一元二次方程的兩個(gè)根，∴，故答案為：；（2）解：由題意知，，是一元二次方程的兩個(gè)根，∴，．∴．7．如圖，拋物線y＝a（x﹣2）2+3（a為常數(shù)且a≠0）與y軸交于點(diǎn)A（0，）．（1）求該拋物線的解析式；（2）若直線y＝kx（k≠0）與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1，x2，當(dāng)x12+x22＝10時(shí)，求k的值；（3）當(dāng)﹣4＜x≤m時(shí)，y有最大值，求m的值．【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）把代入拋物線的解析式，解方程求解即可；（2）聯(lián)立兩個(gè)函數(shù)的解析式，消去得：再利用根與系數(shù)的關(guān)系與可得關(guān)于的方程，解方程可得答案；（3）先求解拋物線的對(duì)稱軸方程，分三種情況討論，當(dāng)＜＜結(jié)合函數(shù)圖象，利用函數(shù)的最大值列方程，再解方程即可得到答案.【詳解】解：（1）把代入中，拋物線的解析式為：（2）聯(lián)立一次函數(shù)與拋物線的解析式得：整理得：∵x1+x2=4-3k，x1?x2=-3，∴x12+x22=（4-3k）2+6=10，解得：∴（3）∵函數(shù)的對(duì)稱軸為直線x=2，當(dāng)m＜2時(shí)，當(dāng)x=m時(shí)，y有最大值，=-（m-2）2+3，解得m=±，∴m=-，當(dāng)m≥2時(shí)，當(dāng)x=2時(shí)，y有最大值，∴=3，∴m=，綜上所述，m的值為-或．【點(diǎn)睛】本題考查的是利用待定系數(shù)法求解拋物線的解析式，拋物線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)的增減性，掌握數(shù)形結(jié)合的方法與分類討論是解題的關(guān)鍵.8．在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點(diǎn)，．(1)若，①求此拋物線的對(duì)稱軸；②當(dāng)時(shí)，直接寫出m的取值范圍；(2)若，點(diǎn)在該拋物線上，且，請(qǐng)比較p，q的大小，并說明理由．【答案】(1)①；②或(2)，理由見解析【分析】（1）①把點(diǎn)代入，求出a的值，可求出拋物線解析式，再把解析式化為頂點(diǎn)式，即可求解；②求出拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為，再根據(jù)二次函數(shù)的圖象，即可求解；（2）把點(diǎn)代入可得，再由，可得，，從而得到拋物線開口向下，拋物線的對(duì)稱軸為直線，然后根據(jù)，可得，再根據(jù)，可得到對(duì)稱軸的距離大于對(duì)稱軸的距離，即可求解．【詳解】（1）解：①當(dāng)時(shí)，點(diǎn)，把點(diǎn)代入得：，解得：，∴該函數(shù)解析式為，∵，∴拋物線的對(duì)稱軸為直線；②令，則，解得：，∴拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為，∵，∴拋物線開口向下，∴當(dāng)時(shí)，m的取值范圍為或；（2）解：，理由如下：把點(diǎn)代入得：，∵，∴，∴，∴，∴拋物線開口向下，拋物線的對(duì)稱軸為直線，∴，∴，∴，∵，∴到對(duì)稱軸的距離大于對(duì)稱軸的距離，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．如圖，二次函數(shù)的圖象與軸的正半軸交于點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)的直線與該函數(shù)圖象交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．(1)求直線的函數(shù)表達(dá)式及點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)點(diǎn)是第四象限內(nèi)二次函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作直線軸于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．當(dāng)時(shí)，求的值．【答案】(1)，(2)的值為2，3或【分析】（1）先求得點(diǎn)A坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求直線的函數(shù)表達(dá)式，進(jìn)而可求解點(diǎn)C坐標(biāo)；（2）由題意，點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為，，且，，分當(dāng)點(diǎn)在直線上方時(shí)和當(dāng)點(diǎn)在直線下方時(shí)兩種情況，結(jié)合坐標(biāo)與圖形列方程求解即可．【詳解】（1）解：對(duì)于，當(dāng)時(shí)，，解得，.點(diǎn)在軸正半軸上，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為.設(shè)直線的函數(shù)表達(dá)式為.將，兩點(diǎn)的坐標(biāo)，分別代入，得，解得，直線的函數(shù)表達(dá)式為；將代入，得，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為；（2）解：由題意可知：點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為，，且，∵點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴，則，如圖，當(dāng)點(diǎn)在直線上方時(shí)，，∵，∴解得∵∴如圖，當(dāng)點(diǎn)在直線下方時(shí)，，∵，∴解得，綜上，的值為2，3或．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)問題、待定系數(shù)法求函數(shù)表達(dá)式、坐標(biāo)與圖形、解一元二次方程等知識(shí)，利用數(shù)形結(jié)合和分類討論思想求解是解答的關(guān)鍵．10．已知二次函數(shù)．(1)求證：對(duì)于任意的實(shí)數(shù)，該二次函數(shù)圖象與軸總有公共點(diǎn)；(2)若該二次函數(shù)圖象與軸有兩個(gè)公共點(diǎn)，，且點(diǎn)坐標(biāo)為