重慶市南開中學(xué)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期第二次質(zhì)量檢測（10月）數(shù)學(xué)試題 含解析

重慶市高2025屆高三第二次質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.3.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號.回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.4.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求.1.已知集合，則（）A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】分別運(yùn)用正弦函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出再求交集即可.【詳解】.故選：A2.函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)解析式有意義，列出不等式，結(jié)合一元二次不等式的解法，即可求解.【詳解】由函數(shù)有意義，則滿足，即，解得，所以函數(shù)的定義域?yàn)?故選：B.3.已知，則（）A.3 B. C.2 D.【答案】D【解析】【分析】應(yīng)用二倍角余弦公式及二倍角正弦公式計(jì)算再結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系求解.【詳解】.故選：D.4.已知命題：角與角的終邊關(guān)于直線對稱，命題，則是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)角終邊的對稱性，利用充分條件、必要條件的定義判斷即得.【詳解】若角與角的終邊關(guān)于直線對稱，則，而當(dāng)時(shí)，角與角的終邊關(guān)于直線對稱，所以是的必要不充分條件.故選：B5.已知，若不等式對一切恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)奇偶函數(shù)的定義判斷為R上的奇函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)奇偶性和單調(diào)性解不等式即可.【詳解】為R上的奇函數(shù)，為R上的單調(diào)遞增函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)等號成立，故原不等式等價(jià)于，即，故，又，所以.故選：C6.人教A版《數(shù)學(xué)必修第二冊》第102頁指出，“以直角三角形的一條直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做圓錐（circularcone）.”若一個(gè)直角三角形的斜邊長為，則按以上步驟所得到圓錐的體積的最大值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)直角邊利用圓錐體積公式及導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值計(jì)算即可.【詳解】設(shè)直角三角形的兩條直角邊分別為，則，則圓錐體積，記，則，易得在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，，故.故選：B7.如圖，直線與函數(shù)的圖象相交，為相鄰的三個(gè)交點(diǎn)，且，若為的一個(gè)零點(diǎn)，則的解析式可以為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)點(diǎn)結(jié)合函數(shù)值得出，再結(jié)合周期得出，進(jìn)而得出，再帶入點(diǎn),得出即可得出解析式.【詳解】設(shè)函數(shù)的周期為，設(shè)，則，所以，所以，所以.因?yàn)?，所以，可得，所以，則，又，得，取即可.故解析式為.故選：C8.已知銳角滿足，則的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先應(yīng)用兩角和差公式運(yùn)算，再結(jié)合誘導(dǎo)公式化簡，最后應(yīng)用同角三角函數(shù)關(guān)系及輔助角公式計(jì)算化簡得,求出角及正弦值.【詳解】由題意，有，即，得為銳角，.故選：D.二?多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯(cuò)得0分.9.關(guān)于函數(shù)，以下說法正確的是（）A.為奇函數(shù)B.為偶函數(shù)C.在區(qū)間單調(diào)遞增D.在區(qū)間單調(diào)遞減【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)奇偶性的定義，先求函數(shù)的定義域，利用定義，可得A、B的正誤；根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判別，結(jié)合對數(shù)函數(shù)和對勾函數(shù)的單調(diào)性，可得C、B的正誤.【詳解】由，則，當(dāng)時(shí)，等號成立，則的定義域?yàn)?，為偶函?shù)，故A錯(cuò)誤，B正確；當(dāng)時(shí)，函數(shù)且單調(diào)遞增，函數(shù)且單調(diào)遞增，函數(shù)單調(diào)遞增，函數(shù)在單調(diào)遞增，故C正確，D錯(cuò)誤.故選：BC.10.已知，，，則以下說法正確的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】利用二倍角的正切公式及兩角和的正切公式進(jìn)行求值判斷.【詳解】，由，解得或（舍），故A正確；由，解得，故B正確；由，且，故C錯(cuò)誤，D正確.故選：ABD11.已知直線是函數(shù)圖象的一條對稱軸，則下列結(jié)論正確的是（）A.的最小值為B.不可能是零點(diǎn)C.若在區(qū)間上有且僅有2個(gè)對稱中心，則D.若在區(qū)間上單調(diào)遞減，則【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)對稱性可得，即可求解A，根據(jù)即可求解B，利用對稱性與周期的關(guān)系可得即可求解C，利用單調(diào)性與周期的關(guān)系即可求解D.【詳解】直線是函數(shù)圖象的一條對稱軸，則，解得，又，則的最小值為，故A正確；假設(shè)是的零點(diǎn)，則，解得，與，矛盾，假設(shè)不成立，故B正確；設(shè)函數(shù)的周期為直線是函數(shù)圖象的一條對稱軸，在區(qū)間上有且僅有2個(gè)對稱中心，，即，解得，又，故C錯(cuò)誤；在區(qū)間上單調(diào)遞減，則必有，即，此時(shí)符合題意，故D正確.故選：ACD三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.一個(gè)扇形的面積為1，周長為4，則該扇形圓心角的弧度數(shù)為______．【答案】【解析】【分析】設(shè)扇形的半徑為R，弧長為l，圓心角為，根據(jù)題意，由，求解.【詳解】設(shè)扇形的半徑為R，弧長為l，圓心角為，則．①由扇形的面積公式，得．②由①②得，，∴．∴扇形的圓心角為．故答案為：13.已知直線與曲線相切，則______.【答案】2【解析】【分析】設(shè)出切點(diǎn)，求導(dǎo)，根據(jù)點(diǎn)斜式求解切線方程，代入可得，即可求解.【詳解】，設(shè)切點(diǎn)橫坐標(biāo)為，曲線在處的切線方程為，將代入，得，解得，則.故答案為：214.在中，.（1）若，則面積的最大值為______；（2）若點(diǎn)滿足：，則的取值范圍為______.【答案】①.3②.【解析】【分析】（1）根據(jù)余弦定理可求得角余弦值，再根據(jù)三角函數(shù)恒等變換可求得，再根據(jù)三角形面積公式以及不等式性質(zhì)可求得；（2）根據(jù)余弦定理可求得，將兩式相除再根據(jù)，代入可求得取值范圍，再開方即可求得.【詳解】（1）設(shè)三角形角的對邊分別為a,b,c，有，所以由余弦定理，可得，則三角形面積，當(dāng)時(shí)，取得最大值3，此時(shí)符合題意.故答案為：（2）由題意，，由余弦定理，可得，，所以，則，即.故答案為：四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.已知中，角的對邊分別為，且滿足.（1）求角；（2）若，求的面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由代入即可求解；（2）由（1）結(jié)合正弦定理可得，再由面積公式即可求解.【小問1詳解】由余弦定理可得：，即，；【小問2詳解】由正弦定理可得：，則，解得16.在減肥界，碳水化合物一直是個(gè)備受爭議的角色.俗話說，減肥八分靠吃，兩分靠動(dòng).而在吃上，“少吃碳水”被奉為圭臬，米飯?饅頭?面條……這些傳統(tǒng)主食，早已成了減肥人士眼中的洪水猛獸.相對應(yīng)地，在談及身邊肥胖情況越來越普遍時(shí)，主食也就理所當(dāng)然被歸成了“罪魁禍?zhǔn)住?世界衛(wèi)生組織的標(biāo)準(zhǔn)中，.大于等于的成人屬于肥胖人群.某健身機(jī)構(gòu)為研究碳水化合物與肥胖是否有關(guān)聯(lián)，在該機(jī)構(gòu)的健身學(xué)員中隨機(jī)抽取200名學(xué)生調(diào)查，列表如下：肥胖碳水合計(jì)不控制碳水?dāng)z入控制碳水?dāng)z入肥胖4060不肥胖合計(jì)135200（1）完善列聯(lián)表，根據(jù)概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析不控制碳水?dāng)z入是否會(huì)增加變肥胖的風(fēng)險(xiǎn)；（2）以樣本頻率估計(jì)概率，從該健身機(jī)構(gòu)肥胖的學(xué)員中隨機(jī)抽取5名學(xué)生，用表示這5名學(xué)生中恰有名不控制碳水?dāng)z入的概率，求取最大值時(shí)的值.附：參考公式：，其中.臨界值表：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】（1）列聯(lián)表見解析，會(huì)增加（2）2【解析】【分析】（1）利用獨(dú)立性檢驗(yàn)求解；（2）利用超幾何分布概率模型求出的概率即可求解.【小問1詳解】肥胖碳水合計(jì)不控制碳水?dāng)z入控制碳水?dāng)z入肥胖4060100不肥胖2575100合計(jì)65135200設(shè)：不控制碳水化合物攝入與肥胖無關(guān)，，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷不成立，即認(rèn)為不控制碳水化合物攝入與肥胖有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.05，根據(jù)表中的數(shù)據(jù)計(jì)算，不控制碳水化合物攝入中肥胖和不肥胖的頻率分別為和，控制碳水化合物攝人中肥胖和不肥胖的頻率分別為和，由于，可見，在被調(diào)查者中，不控制碳水化合物攝入中肥胖的頻率是控制碳水化合物攝入中肥胖的頻率的1.4倍，根據(jù)頻率穩(wěn)定于概率的原理，我們可以認(rèn)為不控制碳水?dāng)z入會(huì)增加變肥胖的風(fēng)險(xiǎn).【小問2詳解】從肥胖的學(xué)員中任意抽取1名學(xué)生為不控制碳水的概率，則.，，.時(shí)，有最大值.17.已知函數(shù)，其圖象中兩條相鄰的對稱軸之間的距離為.（1）求函數(shù)的解析式，并求出它的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度，再將所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，當(dāng)時(shí)，求方程的所有根之和.【答案】（1），（2）9【解析】【分析】（1）利用三角恒等變換公式得，根據(jù)兩條相鄰的對稱軸之間的距離為可確定函數(shù)的解析式，進(jìn)而可求單調(diào)遞減區(qū)間；（2）根據(jù)函數(shù)圖象的變換得到，從而轉(zhuǎn)化為求方程的所有根之和，利用三角換元結(jié)合正弦函數(shù)圖象的對稱性即可求解.【小問1詳解】圖象中兩條相鄰的對稱軸之間的距離為，由.令，得，∴fx的單調(diào)遞減區(qū)間為.【小問2詳解】y=fx圖象向左平移個(gè)單位長度得，再將所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標(biāo)不變），得.由.令，則，或（舍）.由，令，則，結(jié)合正弦函數(shù)對稱性可得所有根之和，.18.已知雙曲線的實(shí)軸長為4，漸近線方程為.（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）雙曲線的左?右頂點(diǎn)分別為，過點(diǎn)作與軸不重合的直線與交于兩點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)S，直線與交于點(diǎn).（i）設(shè)直線的斜率為，直線的斜率為，若，求的值；（ii）求的面積的取值范圍.【答案】（1）（2）（i）；（ii）【解析】【分析】（1）根據(jù)雙曲線性質(zhì)計(jì)算即可；（2）設(shè)直線l方程及坐標(biāo)，聯(lián)立雙曲線方程，根據(jù)韋達(dá)定理得出縱坐標(biāo)和積關(guān)系，（i）利用兩點(diǎn)斜率公式消元計(jì)算即可；（ii）聯(lián)立直線方程求出坐標(biāo)，并求出，利用三角形面積公式及范圍計(jì)算即可.【小問1詳解】由題意知：，解得，雙曲線方程為.【小問2詳解】因?yàn)橹本€斜率不為0，設(shè)直線方程為，易知，設(shè)，聯(lián)立，得，則，且，（i）；（ii）由題可得：.聯(lián)立可得：，即，同理.，故，且，.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：反設(shè)直線線并設(shè)點(diǎn)，聯(lián)立雙曲線方程后得出縱坐標(biāo)的和積關(guān)系，為后面消元轉(zhuǎn)化減輕計(jì)算量.19.若函數(shù)對其定義域內(nèi)任意滿足：當(dāng)時(shí)，有為同一常數(shù)，則稱函數(shù)具有性質(zhì).（1）請寫出一個(gè)定義域?yàn)榍揖哂行再|(zhì)的函數(shù)；（2）已知，函數(shù)，當(dāng)時(shí)，證明：；（3）設(shè)函數(shù)，（i）判斷函數(shù)是否具有性質(zhì)；（ii）證明：.【答案】（1）且（答案不唯一）（2）證明見解析（3）（i）不具有；（ii）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，可得答案；（2）由題意，建立方程組，根據(jù)韋達(dá)定理，結(jié)合基本不等式，可得答案；（3）（i）由題意建立方程，利用等量代換化簡方程，結(jié)合變量任意性，可得答案；（ii）利用導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)?x的單調(diào)性，利用分類討論思想，根據(jù)等量關(guān)系建立方程構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合新函數(shù)的單調(diào)性，可得答案.【小問1詳解】且（答案不唯一）.由，則，易知，，可得，解得.【小問2詳解】令，即，是的兩個(gè)不等實(shí)根，，又且.【小問3詳解】（i）設(shè)，且為常數(shù)，由得，即