半角模型-2022年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)（解析版）

專題29半角模型

考向1正方形中的半角模型

福題呈現(xiàn)

【母題來源】2021年中考黑龍江省齊齊哈爾卷

【母題題文】綜合與實(shí)踐

數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)，是一種非常有效的學(xué)習(xí)方式，通過活動(dòng)可以激發(fā)我們的學(xué)習(xí)興趣，提高動(dòng)手

動(dòng)腦能力，拓展思維空間，豐富數(shù)學(xué)體驗(yàn)，讓我們一起動(dòng)手來折一折、轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)、剪一剪，體

會(huì)活動(dòng)帶給我們的樂趣.

折一折：將正方形紙片ABCD折疊，使邊AB、AD都落在對(duì)角線AC上，展開得折痕AE、AF,

連接EF,如圖1.

(1)ZEAF=450,寫出圖中兩個(gè)等腰三角形：△AEF,△CEF,/XABC,ZkADC(不

需要添加字母)；

轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)：將圖1中的NEAF繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使它的兩邊分別交邊BC、CD于點(diǎn)P、Q,連接PQ,

如圖2.

(2)線段BP、PQ、DQ之間的數(shù)量關(guān)系為PQ=BP+DQ；

(3)連接正方形對(duì)角線BD,若圖2中的NPAQ的邊AP、AQ分別交對(duì)角線BD于點(diǎn)M、點(diǎn)N,

如圖3,則三乙=V2；

BM一一

剪一剪：將圖3中的正方形紙片沿對(duì)角線BD剪開，如圖4.

(4)求證：BM2+DN2=MN2.

【答案】(1)解：如圖1中,

???四邊形ABCD是正方形，

???AB=AD=BC=CD,ZBAD=90°,

AABC,AADC都是等腰三角形，

NBAE=NCAE,NDAF=ZCAF,

???NEAF=W(ZBAC+ZDAC)=45°,

VZBAE=ZDAF=22.5°,ZB=ZD=90°,AB=AD,

AABAE^ADAF(ASA),

ABE=DF,AE=AF,

,.?CB=CD,

???CE=CF,

AAAEF,ACEF都是等腰三角形，

故答案為：45,AAEF,AEFC,AABC,AADC.

(2)解：結(jié)論：PQ=BP+DQ.

AADQ^AABT(SAS),

???AT=AQ,NDAQ=NBAT,

VZPAQ=45°,

NPAT=NBAP+NBAT=ZBAP+ZDAQ=45°,

???NPAT=NPAQ=45°,

VAP=AP,

AAPAT^APAQ(SAS),

???PQ=PT,

?.?PT=PB+BT=PB+DQ,

???PQ=BP+DQ.

故答案為：PQ=BP+DQ.

(3)解：如圖3中,

Q

圖3

:四邊形ABCD是正方形，

.?.ZABM=ZACQ=ZBAC=45°,AC=V2AB,

?.,ZBAC=ZPAQ=45°,

AZBAM=ZCAQ,

.'.△CAQ^ABAM,

?絲-絲-正

??一—V乙，

BMAB

故答案為：V2.

圖4

VZBAD=90°,NMAN=45°,

.\ZDAN+ZBAM=45O,

???NDAN=NBAR,

AZBAM+ZBAR=45°,

AZMAR=ZMAN=45°,

?.?AR=AN,AM=AM,

AAAMR^AAMN(SAS),

ARM=MN,

???ND=NABR=NABD=45°,

.'.ZRBM=90°,

ARM2=BR2+BM2,

VDN=BR,MN=RM,

.\BM2+DN2=MN2.

【試題解析】(1)利用翻折變換的性質(zhì)可得NEAF=45°,證明4BAE之ADAF(ASA),推出

BE=DF,AE=AF,可得結(jié)論.

(2)結(jié)論：PQ=BP+DQ.如圖2中，延長(zhǎng)CB到T,使得BT=DQ.證明△PATgZ\PAQ(SAS),

可得結(jié)論.

COACr

(3)證明△CAQs^BAM,可得——=一=V2.

BMAB

(4)如圖4中，將AADN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABR,連接RM.證明△AMRg^AMN

(SAS),ZRBM=90°,可得結(jié)論.

【命題意圖】幾何綜合題；推理能力.

【命題方向】一般設(shè)置為壓軸題型，考查學(xué)生的綜合探究與推理能力

【得分要點(diǎn)】如圖1,在正方形ABCD中，點(diǎn)E,F分別在邊BC,CD上，/EAF=45。，

連結(jié)EF,貝U：

(1)EF=BE+DF;

(2)如圖2,過點(diǎn)A作AGLEF于點(diǎn)G,貝IAG=AD;

(3)如圖3,連結(jié)BD交AE于點(diǎn)H,連結(jié)FH.貝I]FH_LAE.

(1)如圖4,將4ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到4ADI證明.

圖4

則/IAF=NEAF=45°,AI=AE,

所以△AEFs^AIF(SAS),

所以EF=IF=DI+DF=BE+DF.

(2)因?yàn)椤鰽EFs^AIF,AG±EF,AD±IF,所以AG=AD.

(3)由/HAF=/HDF=45?？傻肁,D,F,H四點(diǎn)共圓,

從而/AHF=180。一/ADF=90。，即FH_LAE.

1.(2021?湖北襄樊模擬)如圖1和圖2,四邊形ABCD中，已知AD=DC,/ADC=90°,點(diǎn)

E、F分別在邊AB、BC上，ZEDF=45°.

(1)觀察猜想：如圖1,若NA、/DCB都是直角，把4DAE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至ADCG,

使AD與DC重合，易得EF、AE、CF三條線段之間的數(shù)量關(guān)系,直接寫出它們之間的關(guān)系式EF

=AE+CF；

(2)類比探究：如圖2,若/A、/C都不是直角，則當(dāng)NA與/C滿足數(shù)量關(guān)系ZA+Z

DCF=180°時(shí),EF、AE、CF三條線段仍有(1)中的關(guān)系，并說明理由；

(3)解決問題：如圖3,在AABC中，NBAC=90°,AB=AC=2/，點(diǎn)D、E均在邊BC上，

且/DAE=45°,若BD=1,求AE的長(zhǎng).

圖1圖2

圖1

??,把4DAE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至ADCG,使AD與DC重合，

???DE=DG,NDAE=NCDG,AE=CG,NA=NDCG=90°,

VZDCB=90°,

.?.ZDCB+ZDCG=180°

???B、C、G共線，

VZADC=90°,ZEDF=45°,

???NADE+NFDC=45°,

.,.ZFDC+ZCDG=45°,

即NEDF=NGDF=45°,

在AEDF和4GDF中，

DF=DF

ZEDF=/GAF,

DE=DG

.,.△EDF^AGDF(SAS),

???EF=GF,

VAE=CG,

???EF=GF=CF+CG=AE+CF,

故答案為：EF=AE+CF；

(2)當(dāng)NA+NDCF=180°時(shí)，EF、AE、CF三條線段仍有(1)中的關(guān)系.

圖2

貝|DE=DG,ZA=ZDCG,ZADE=ZCDG,

VZA+ZDCF=180°,

.,.ZDCF+ZDCG=180°,

???B、C、G在一條直線上，

與(1)同理得，NEDF=NGDF=45°,

在AEDF和4GDF中，

DF=DF

ZEDF=/GDF,

DE=DG

.,.△EDF^AGDF(SAS),

；.EF=GF,

VAE=CG,

；.EF=GF=AE+CF；

故答案為：ZA+ZDCF=180°；

(3):△ABC中，AB=AC=2VL/BAC=90°,

；./ABC=NC=45°,

由勾股定理得：BC=>JAB2+AC2=4,

如圖3,把△AEC繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到△AFB,使AB和AC重合，連接DF.

貝l|AF=AE,ZFBA=ZC=45°,ZBAF=ZCAE,

VZDAE=45°,

/.ZFAD=ZFAB+ZBAD=ZCAE+ZBAD=ZBAC-ZDAE=90°-45°=45°,

.\ZFAD=ZDAE=45°,

在AFAD和AEAD中，

AD=AD

ZFAD=ZEAD,

AF=4E

.,.△FAD^AEAD(SAS),

.*.DF=DE,

設(shè)DE=x,則DF=x,

；BC=4,

.".BF=CE=4-1-x=3-x,

VZFBA=45°,ZABC=45°,

.?.NFBD=90°,

由勾股定理得：DF^BF^+BD2,x2=(3-x)2+l2,

2.（2021?山東臨沂模擬）某數(shù)學(xué)興趣小組開展了一次活動(dòng)，過程如下：如圖1,等腰直角

△ABC中，AB=AC,NBAC=90°,小敏將三角板中含45°角的頂點(diǎn)放在A上，斜邊從AB

邊開始繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角a,其中三角板斜邊所在的直線交直線BC于點(diǎn)D,直角邊

所在的直線交直線BC于點(diǎn)E.

（1）小敏在線段BC上取一點(diǎn)M,連接AM,旋轉(zhuǎn)中發(fā)現(xiàn)：若AD平分NBAM,則AE也平分N

MAC.請(qǐng)你證明小敏發(fā)現(xiàn)的結(jié)論；

（2）當(dāng)0。<aW45°時(shí)，小敏在旋轉(zhuǎn)中還發(fā)現(xiàn)線段BD、CE、DE之間存在如下等量關(guān)系：

BD2+CE2=DE2.同組的小穎和小亮隨后想出了兩種不同的方法進(jìn)行解決：

小穎的想法：將4ABD沿AD所在的直線對(duì)折得到AADF,連接EF（如圖2）；

小亮的想法：將4ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到AACG,連接EG（如圖3）；

請(qǐng)你從中任選一種方法進(jìn)行證明；

（3）小敏繼續(xù)旋轉(zhuǎn)三角板，請(qǐng)你繼續(xù)研究：當(dāng)135°<a<180°時(shí)（如圖4）,等量關(guān)系

BD'CE2=DE2是否仍然成立？若成立，給出證明；若不成立，說明理由.

解：(1)VZBAC=90°,NDAE=NDAM+NMAE=45°,

???NBAD+NEAC=45°.

又?.?AD平分NMAB,

NBAD=NDAM.

ZMAE=ZEAC.

???AE平分NMAC.

(2)證明小穎的方法：

???將AABD沿AD所在的直線對(duì)折得到AADF,

???AF=AB,BD=DF,NAFD=NB=45°,NBAD=NFAD.

又?.?AC=AB,

???AF=AC,

在4AEF和△AEC中，?.?AF=AC,NFAE=NCAE,AE=AE,

AAAEF^AAEC(SAS).

???CE=FE,NAFE=NC=45°.

???NDFE=NAFD+NAFE=90°.

在RtaDEF中，DF2+FE2=DE2,

ABD2+CE2=DE2.

證明小亮的方法：由旋轉(zhuǎn)知，4ABD也Z^ACG,

???BD=CG,AD=AG,NABC=NACG,NBAD=NCAG,

VZBAC=90°,NDAE=45°,

AZBAD+ZCAE=45O,

NEAG=NCAE+NCAG=NCAE+NBAD=45°=ZDAE,

VAE=AE,

AADAE^AGAE(SAS),

???DE=EG,

在RtaBAC中，AB=AC,

???NB=NACB=45°,

???NECG=NACB+NACG=NACB+NB=90°,

根據(jù)勾股定理得，EG2=CE2+CG2,

.?.BD2+CE2=DE2.

(3)當(dāng)135。<a<180°時(shí)，等量關(guān)系BD2+CE2=DE2仍然成立.

證明如下：

如圖，將4ABD沿AD所在的直線對(duì)折得到AADF.

???BD=DF,AF=AB,ZAFD=ZABD=180°-ZABC=135°,ZBAD=ZFAD.

又?.?AC=AB,

???AF=AC,

XVZCAE=90°-ZBAE

=90°-(45°-ZBAD)

=45°+ZBAD

=45°+ZFAD

=NFAE,

在4AEF和4AEC中，VAF=AC,

NFAE=NCAE,AE=AE,

.'.△AEF^AAEC(SAS).

.,.CE=FE,ZAFE=ZC=45°.

/.ZDFE=ZAFD-ZAFE=135°-45°=90°.

在RtADEF中，DF2+FE2=DE2,

.\BD2+CE2=DE2.

3.(2021?山東日照三模)(1)如圖1,在正方形ABCD中，E是AB上一點(diǎn)，點(diǎn)F是AD延長(zhǎng)

線上一點(diǎn)，且DF=BE,求證：CE=CF.

(2)如圖2,在正方形ABCD中，E是AB上一點(diǎn)，G是AD上一點(diǎn)，如果/GCE=45°,請(qǐng)你

利用(1)的結(jié)論證明：GE=BE+GD.

(3)運(yùn)用(1)(2)解答中所積累的經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)，完成下題：

如圖3,在四邊形ABCD中，AD/7BC(BOAD),ZB=90°,AB=BC=2AD,E是AB上一點(diǎn)，

且NDCE=45。，求sin/DEC的值.

圖1圖2圖3

圖1

:四邊形ABCD是正方形，

.1.BC=CD,ZB=ZCDF=90°,

又：BE=DF,

/.△CBE^ACDF(SAS),

；.