吉林市第一中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高一上期末質(zhì)量檢測(cè)試題含解析

吉林市第一中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高一上期末質(zhì)量檢測(cè)試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)和（且）的圖像可能是（）A. B.C. D.2．已知集合，下列結(jié)論成立是（）A. B.C. D.3．冪函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，則函數(shù)的值域是（）A. B.C. D.4．已知奇函數(shù)的定義域?yàn)椋鋱D象是一條連續(xù)不斷的曲線．若，則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)至少為（）A.1 B.2C.3 D.45．已知集合，集合，則（）A.0 B.C. D.6．一個(gè)多面體的三視圖分別為正方形、等腰三角形和矩形，如圖所示，則該多面體的體積為A.24cm3 B.48cm3C.32cm3 D.96cm37．已知集合A={x|x＜2}，B={x≥1}，則A∪B=（）A. B.C. D.R8．函數(shù)y=8x2-（m-1）x+m-7在區(qū)間（-∞，-]上單調(diào)遞減，則m的取值范圍為（）A. B.C. D.9．已知函數(shù)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A.的一個(gè)周期為 B.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C.的一個(gè)零點(diǎn)為 D.在區(qū)間上單調(diào)遞減10．函數(shù)y=的單調(diào)遞減區(qū)間是()A.(-∞,1) B.［1,+∞)C.(-∞,-1) D.(-1,+∞)二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．直線l與平面α所成角為60°，l∩α＝A，則m與l所成角的取值范圍是_______.12．高斯是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為，其中表示不超過(guò)x的最大整數(shù).例如：，.已知函數(shù)，若，則________；不等式的解集為_(kāi)_______.13．一個(gè)扇形的中心角為3弧度，其周長(zhǎng)為10，則該扇形的面積為_(kāi)_________14．函數(shù)的遞減區(qū)間是__________.15．函數(shù)的定義域是__________16．若，其中，則的值為_(kāi)_____三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．已知A，B，C為的內(nèi)角.（1）若，求的取值范圍；（2）求證：；（3）設(shè)，且，，，求證：18．已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，（Ⅰ）求函數(shù)在R上的解析式；（Ⅱ）若，函數(shù)，是否存在實(shí)數(shù)m使得的最小值為，若存在，求m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由19．在平面直角坐標(biāo)系中,設(shè)二次函數(shù)的圖像與兩坐標(biāo)軸有三個(gè)交點(diǎn),經(jīng)過(guò)這三點(diǎn)的圓記為(1)求圓的方程；(2)若過(guò)點(diǎn)的直線與圓相交,所截得的弦長(zhǎng)為4,求直線的方程.20．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù).（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）解關(guān)于的不等式；（3）是否存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)在區(qū)間上的取值范圍是？若存在，求出實(shí)數(shù)的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.21．已知函數(shù)，）函數(shù)關(guān)于對(duì)稱.（1）求的解析式；（2）用五點(diǎn)法在下列直角坐標(biāo)系中畫出在上的圖象；（3）寫出的單調(diào)增區(qū)間及最小值，并寫出取最小值時(shí)自變量的取值集合

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解析】利用函數(shù)的奇偶性及對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象的性質(zhì)可得.【詳解】由函數(shù)，可知函數(shù)為偶函數(shù)，函數(shù)圖象關(guān)于軸對(duì)稱，可排除選項(xiàng)AC，又的圖象過(guò)點(diǎn)，可排除選項(xiàng)D.故選：B.2、C【解析】利用集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算進(jìn)行判斷.【詳解】因?yàn)椋?，故A錯(cuò)；，故B錯(cuò)；，故D錯(cuò).故選：C3、C【解析】設(shè)，帶點(diǎn)計(jì)算可得，得到，令轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的值域求解即可.【詳解】設(shè)，代入點(diǎn)得，則，令，函數(shù)的值域是.故選：C.4、C【解析】根據(jù)奇函數(shù)的定義域?yàn)镽可得，由和奇函數(shù)的性質(zhì)可得、，利用零點(diǎn)的存在性定理即可得出結(jié)果.【詳解】奇函數(shù)的定義域?yàn)镽，其圖象為一條連續(xù)不斷的曲線，得，由得，所以，故函數(shù)在之間至少存在一個(gè)零點(diǎn)，由奇函數(shù)的性質(zhì)可知函數(shù)在之間至少存在一個(gè)零點(diǎn)，所以函數(shù)在之間至少存在3個(gè)零點(diǎn).故選：C5、B【解析】由集合的表示方法以及交集的概念求解.【詳解】由題意，集合，，∴.故選：B6、B【解析】由三視圖可知該幾何體是一個(gè)橫放的直三棱柱,利用所給的數(shù)據(jù)和直三棱柱的體積公式即可求得體積.【詳解】由三視圖可知該幾何體是一個(gè)橫放的直三棱柱,底面為等腰三角形,底邊長(zhǎng)為,底面三角形高為,所以其體積為:.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查三視圖及幾何體體積計(jì)算,認(rèn)識(shí)幾何體的幾何特征是解題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.7、D【解析】利用并集定義直接求解即可【詳解】∵集合A={x|x＜2}，B={x≥1}，∴A∪B=R.故選D【點(diǎn)睛】本題考查并集的求法，考查并集定義、不等式性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題8、A【解析】求出函數(shù)的對(duì)稱軸，得到關(guān)于m的不等式，解出即可【詳解】函數(shù)的對(duì)稱軸是,若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則，解得：m≥0，故選A【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵9、B【解析】根據(jù)周期求出f(x)最小正周期即可判斷A；判斷是否等于1或－1即可判斷是否是其對(duì)稱軸，由此判斷B；判斷否為0即可判斷C；，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性即可判斷f(x)單調(diào)性，由此判斷D.【詳解】函數(shù)，最小正周期為故A正確；，故直線不是f(x)的對(duì)稱軸，故B錯(cuò)誤；，則，∴C正確；，∴f(x)在上單調(diào)遞減，故D正確.故選：B.10、A【解析】令t＝-x2+2x﹣1，則y，故本題即求函數(shù)t的增區(qū)間，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得函數(shù)t的增區(qū)間【詳解】令t＝-x2+2x﹣1，則y，故本題即求函數(shù)t的增區(qū)間，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得函數(shù)t的增區(qū)間為（-∞，1），所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,1).故答案為A【點(diǎn)睛】本題主要考查指數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)的單調(diào)性，考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】根據(jù)直線l與平面α所成角是直線l與平面α內(nèi)所有直線成的角中最小的一個(gè)，直線l與平面α所成角的范圍，即可求出結(jié)果【詳解】由于直線l與平面α所成角為60°，直線l與平面α所成角是直線l與平面α內(nèi)所有直線成的角中最小的一個(gè)，而異面直線所成角的范圍是（0，]，直線m在平面α內(nèi)，且與直線l異面，故m與l所成角的取值范圍是.故答案為【點(diǎn)睛】本題考查直線和平面所成的角的定義和范圍，判斷直線與平面所成角是直線與平面α內(nèi)所有直線成的角中最小的一個(gè)，是解題的關(guān)鍵12、①.②.【解析】第一空：”根據(jù)“高斯函數(shù)”的定義，可得，進(jìn)而再分類討論建立方程求值即可；第二空：分類討論建立不等式求解即可.【詳解】由題意，得，當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即(舍)，綜上；當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，即，綜上，.故答案為：；.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：求解分段函數(shù)相關(guān)問(wèn)題的關(guān)鍵是“分段歸類”，即應(yīng)用分類討論思想.13、6【解析】利用弧長(zhǎng)公式以及扇形周長(zhǎng)公式即可解出弧長(zhǎng)和半徑，再利用扇形面積公式即可求解.【詳解】設(shè)扇形的半徑為，弧長(zhǎng)為，則，解得，所以，答案為6.【點(diǎn)睛】主要考查弧長(zhǎng)公式、扇形的周長(zhǎng)公式以及面積公式，屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】先求出函數(shù)的定義域，再根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性“同增異減”原則求出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間即可得出答案【詳解】解：意可知，解得，所以的定義域是，令,對(duì)稱軸是，在上是增函數(shù)，在是減函數(shù)，又在定義域上是增函數(shù)，是和的復(fù)合函數(shù)，的單調(diào)遞減區(qū)間是，故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，屬于基礎(chǔ)題15、【解析】要使函數(shù)有意義，則,解得,函數(shù)的定義域是,故答案為.16、；【解析】因?yàn)?，所以點(diǎn)睛：三角函數(shù)求值三種類型(1)給角求值：關(guān)鍵是正確選用公式，以便把非特殊角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù).(2)給值求值：關(guān)鍵是找出已知式與待求式之間的聯(lián)系及函數(shù)的差異.①一般可以適當(dāng)變換已知式，求得另外函數(shù)式的值，以備應(yīng)用；②變換待求式，便于將已知式求得的函數(shù)值代入，從而達(dá)到解題的目的.(3)給值求角：實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化為“給值求值”，先求角的某一函數(shù)值，再求角的范圍，確定角.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）證明見(jiàn)解析（3）證明見(jiàn)解析【解析】（1）根據(jù)兩角和的正切公式及均值不等式求解；（2）先證明，再由不等式證明即可；（3）找出不等式的等價(jià)條件，換元后再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性構(gòu)造不等式，利用不等式性質(zhì)即可得證.【小問(wèn)1詳解】,為銳角，，，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即.【小問(wèn)2詳解】在中，，,,.【小問(wèn)3詳解】由（2）知，令，原不等式等價(jià)為，在上為增函數(shù)，，，同理可得，，，，故不等式成立，問(wèn)題得證.【點(diǎn)睛】本題第3問(wèn)的證明需要用到，換元后轉(zhuǎn)換為，再構(gòu)造不等式是證明的關(guān)鍵，本題的難點(diǎn)就在利用函數(shù)單調(diào)性構(gòu)造出不等式.18、（Ⅰ）；（Ⅱ）存在實(shí)數(shù)使得的最小值為【解析】Ⅰ根據(jù)奇函數(shù)的對(duì)稱性進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可Ⅱ求出的表達(dá)式，利用換元法轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)，通過(guò)討論對(duì)稱軸與區(qū)間的關(guān)系，判斷最小值是否滿足條件即可【詳解】Ⅰ若，則，∵當(dāng)時(shí)，且是奇函數(shù)，∴當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，，則Ⅱ若，，設(shè)，∵，∴，則等價(jià)為，對(duì)稱軸為，若，即時(shí)，在上為增函數(shù)，此時(shí)當(dāng)時(shí)，最小，即，即成立，若，即時(shí)，在上為減函數(shù)，此時(shí)當(dāng)時(shí)，最小，即，此時(shí)不成立，若，即時(shí)，在上不單調(diào)，此時(shí)當(dāng)時(shí)，最小，即，此時(shí)在時(shí)是減函數(shù)，當(dāng)時(shí)取得最小值為，即此時(shí)不滿足條件綜上只有當(dāng)才滿足條件即存在存在實(shí)數(shù)使得最小值為【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，以及利用換元法轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)，結(jié)合一元二次函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵，綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大，有一定的難度19、(1);(2)或【解析】（1）先求得圓三個(gè)交點(diǎn)，，由和的垂直平分線得圓心，進(jìn)而得半徑；（2）易得圓心到直線的距離為1，討論直線斜率不存在和存在時(shí)，利用圓心到直線的距離求解即可.試題解析：二次函數(shù)的圖像與兩坐標(biāo)軸軸的三個(gè)交點(diǎn)分別記為(1)線段的垂直平分線為,線段的垂直平分線,兩條中垂線的交點(diǎn)為圓心,又半徑,∴圓的方程為:(2)已知圓的半徑,弦長(zhǎng)為4,所以圓心到直線的距離為1,若直線斜率不存在時(shí),即時(shí),滿足題意;當(dāng)直線斜率存在時(shí),設(shè)直線斜率存在為,直線方程為,此時(shí)直線方程為:,所以直線的方程為:或.點(diǎn)睛：直線與圓的位置關(guān)系常用處理方法：（１）直線與圓相切處理時(shí)要利用圓心與切點(diǎn)連線垂直，構(gòu)建直角三角形，進(jìn)而利用勾股定理可以建立等量關(guān)系；（２）直線與圓相交，利用垂徑定理也可以構(gòu)建直角三角形；（３）直線與圓相離時(shí)，當(dāng)過(guò)圓心作直線垂線時(shí)長(zhǎng)度最小20、（1）1（2）（3）存在，【解析】（1）根據(jù)求解并檢驗(yàn)即可；（2）先證明函數(shù)單調(diào)性得在上為增函數(shù)，再根據(jù)奇偶性與單調(diào)性解不等式即可；（3）根據(jù)題意，將問(wèn)題方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，再利用換元法，結(jié)合二次方程根的關(guān)系求解即可.【小問(wèn)1詳解】解：因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，所以，即，得.此時(shí)，，滿足.所以【小問(wèn)2詳解】解：由（1）知，，且，則.∵，∴，，∴，即，故在上增函數(shù)∴原不等式可化為，即∴，∴∴，∴原不等式的解集為【小問(wèn)3詳解】解：設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)在區(qū)間上的取值范圍是，則，即，∴方程，即有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根