2024-2025學(xué)年湖南省邵陽(yáng)某中學(xué)高三（上）月考數(shù)學(xué)試卷（8月份）（含答案）

2024-2025學(xué)年湖南省邵陽(yáng)二中高三（上）月考

數(shù)學(xué)試卷（8月份）

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的。

1.若非空集合力，B滿足AuB,U為全集，則下列集合中表示空集的是（）

A.AnBC.AnBD.XnB

2.sin40°(tanl0°-6)=()

，1CY入<3一<3

A.--B.-1C___2_

?2D--T

3.已知函數(shù)y=+1）的定義域是[2,4],則函數(shù)9。）=1般2）的定義域?yàn)椋ǎ?/p>

A.(2,3)B.(2,3]C.(2,3)U(3,6]D.(2,3)U(3,4]

4.下列求導(dǎo)數(shù)計(jì)算錯(cuò)誤的是（）

A.（》=-爰B.（gy=^

7

C.（xZnx）=1+InxD.（tanxY=32K

5.蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾（/.Napier,1550-1617）發(fā)明的對(duì)數(shù)及對(duì)數(shù)表（如表），為當(dāng)時(shí)的天文學(xué)家處理“大

數(shù)”的計(jì)算大大縮短了時(shí)間.即就是任何一個(gè)正實(shí)數(shù)N可以表示成N=ax10n（l<a<10,nGZ）,則

IgN=n+lga（0Wlga<l）,這樣我們可以知道N的位數(shù).已知正整數(shù)是35位數(shù)，則M的值為（）

N23451112131415

igN0.300.480.600.701.041.081.111.151.18

A.3B.12C.13D.14

6.一家商店使用一架兩臂不等長(zhǎng)的天平稱(chēng)黃金.一位顧客到店里購(gòu)買(mǎi)10g黃金，售貨員先將5g的祛碼放在天

平左盤(pán)中，取出一些黃金放在天平右盤(pán)中使天平平衡；再將5g的祛碼放在天平右盤(pán)中，再取出一些黃金放

在天平左盤(pán)中使天平平衡；最后將兩次稱(chēng)得的黃金交給顧客.你認(rèn)為顧客購(gòu)得的黃金（）

附：依據(jù)力矩平衡原理，天平平衡時(shí)有WliL=瓶2乙2，其中根1，爪2分別為左右盤(pán)中物體質(zhì)量，。1，乙2分別

為左右橫梁臂長(zhǎng).

A.等于10gB.小于10gC.大于10gD.不確定

7.如圖，在△ABC中，已知4B=2,AC=5,^BAC=60°,BC、AC邊上的兩條中線AM,BN相交于點(diǎn)

P,則NMPN的余弦值為()

.4<9102<91?<91「4<91

AFBFC.—D-^-

8.已知直線y=kx+b是曲線y=x2-(a+1)的切線，也是曲線y=alnx-1的切線，則k的最大值是()

二、多選題：本題共3小題，共15分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。

1

9.已知函數(shù)/(%)=§/一％一1,則()

A./(%)有一個(gè)零點(diǎn)

B"(x)的極小值為-1

C./Q)的對(duì)稱(chēng)中心為(0,1)

D.直線y=-x-1是曲線y=/(%)的切線

10.設(shè)點(diǎn)。是△ZBC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，。是平面上一個(gè)定點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的有()

A.若而=(|屈+|ZC),則。是BC邊上靠近B的三等分點(diǎn)

B.若同=B(,，B+ACeR且2豐0),則直線an經(jīng)過(guò)△ABC的垂心

\AB\cosB|i4c|cosc

C.若前=%樂(lè)+曠前，且x,y&R,x+y=則△BCD是△ABC面積的一半

D.若平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)P滿足加=瓦？+4(儡+儡)，(2€/?且；170),則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過(guò)△ABC的外

心

11.設(shè)函數(shù)g(%)=sinojx(a)>0)向左平移9個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)/'(%),已知/(%)在［0,2兀］上有且只有5個(gè)零

bCO

點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是()

A.f(x)的圖象關(guān)于直線x=另寸稱(chēng)

B.在(0,2兀)上，方程f(x)=1的根有3個(gè)，方程/(久)=-1的根有2個(gè)

C"(x)在(0*)上單調(diào)遞增

D.3的取值范圍是S5

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.出入相補(bǔ)是指一個(gè)平面(或立體)圖形被分割成若干部分后面積(或體積)的總和保持不變，我國(guó)漢代數(shù)學(xué)

家構(gòu)造弦圖，利用出入相補(bǔ)原理證明了勾股定理，我國(guó)清代的梅文鼎、李銳、華萌芳、何夢(mèng)瑤等都通過(guò)出

入相補(bǔ)原理創(chuàng)造了不同的面積證法證明了勾股定理.在下面兩個(gè)圖中，若=BC=a(bNa)，AB=

c,圖中兩個(gè)陰影三角形的周長(zhǎng)分別為4,12,則怨的最小值為.

圖1圖2。

13.某時(shí)鐘的秒針端點(diǎn)4到時(shí)鐘的中心點(diǎn)。的距離為5cm,秒針均勻地繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn).當(dāng)時(shí)間t=0時(shí)，點(diǎn)4與鐘

面上標(biāo)"12"的點(diǎn)B重合，將力，B兩點(diǎn)的距離d(cm)表示成t(s)的函數(shù)，則&=,其中te[0,60].

14.如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方形A8CD中，E為力B的中點(diǎn)，P點(diǎn)在正方形內(nèi)(口(

含邊界)，S.\AP\=\AB\./\

①若|而|=|同I，則而?前的值是;\/\><f

②若向量左=4而+〃萬(wàn)，貝D+〃的最小值為./\\

四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。

15.(本小題12分)

在△ABC中，內(nèi)角2,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且(12s譏B—si?vlcosC)b=asinCcosB.

(1)求?的值；

(2)若a=6,點(diǎn)。是線段BC上的一點(diǎn)，^CAD=/.BAD,DA=DC,求cosC的值.

16.(本小題12分)

如圖所示，正方形44/1。與矩形4BCD所在平面互相垂直，AB=24。=2,點(diǎn)E為2B的中點(diǎn).

(1)求證：BQ〃平面

(2)在線段AB上是否存在點(diǎn)M,使二面角/-MC-D的平面角的大小為J?若存在，求出AM的長(zhǎng)；若不存

在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

17.(本小題12分)

已知函數(shù)/(久)=孑一a(l-x+Inx),其導(dǎo)函數(shù)為/'(x).

(1)若/(久)在(1,+8)不是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(2)若/(%)20在(1,+8)恒成立，求實(shí)數(shù)a的最小整數(shù)值.(e2~7.39)

18.(本小題12分)

已知函數(shù)/'(x)=x\x-a\+2.

(1)當(dāng)a=2時(shí)，求/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)若女1，x2e[0,2],使|f(%i)-/(久2)1>2,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

19.(本小題12分)

如果數(shù)列｛an｝滿足：a1+a2,+。3+…+an—0且|a)J+|。21+1。31+…+=l(n23,neN*),則稱(chēng)

｛廝｝為n階“歸化”數(shù)列.

(1)若某3階“歸化"數(shù)列｛a"是等差數(shù)列，且單調(diào)遞增，寫(xiě)出該數(shù)列的各項(xiàng)；

(2)若某11階“歸化”數(shù)列｛an｝是等差數(shù)列，求該數(shù)列的通項(xiàng)公式；

(3)若｛4?｝為?1階"歸化"數(shù)列,求證a1+^a2+^a3+---+^an<^—

參考答案

l.D

2.5

3.2

4.B

5.C

6.C

7.4

8.F

9.ABD

10.ABC

11.CD

12.1+苧

13.lOsin^

oU

14」

22

15.解：(1)因?yàn)?12sinB—sinAcosC)b=asinCcosB,

由正弦定理得—sinAcosC)sinB=sinAsinCcosB,

所以12SE2B=sinAsinCcosB+sinAcosCsinB=sinA(sinCcosB+cosCsinB)

=sinAsin(B+C)=sinAsinfji-4)=sin2A.

即12s勿2B=sin2i4,

由正弦定理得12b2=。2,

又a>0、b>0,貝心=衛(wèi)或2=一校(舍去).

所以2=￡

a6

(2)因?yàn)镹OW=NB4D,設(shè)△ABC中BC邊上的高為h,

11

所以*=社也竺史竺竺=亨，所以些=也，

s4ADC^AD-ACsin^CAD拜出CD

設(shè)黎=器=?、?gt;。>

由a=6,-=—,BD+CD=BC=6,

a6

所以6=貝！JZB=BD=CD=,

1+m1+m

在小ABC中，由余弦定理得cosC=次+CB2TB2=(C)2+61”W,

2CA-CB2x<3x6

設(shè)AC的中點(diǎn)為E,連接DE,

如圖所示，由DA=DC,貝UDEiac,

在RtACED中，cosC=母=母；㈣,

所以在處"2=(門(mén))2+62-(門(mén)一)2

12―2x73x6

解得m=3或m=-4(舍去)，

所以cosC=—?

16.解：（1）證明：?.?平面44也DJ_平面4BCD,平面A4也Dn平面4BCD=4D,

DD11AD,DD]u平面

DD11平面A8CD,

則以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC,DA所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。-

xyz,

則D(0,0,0),C(0,2,0),4(1,0,1),心(0,0,1),5(1,2,0),F(l,l,0),

.?.西=(1,0,1)，加=(1,1,0)，

設(shè)平面4DE的法向量為為=(久1，%,zi),

則的,斗i+zi=。,

(n7?DE=%I+YI=0

令汽i=1,解得yi=-1,Zi=-1,

=（L-1,—1），

又西=(-1,-2,1),

BD]?溫=0，即BD]1再，

又BD[u平面&DE,

BDi〃平面&DE.

(2)假設(shè)在線段4B上存在點(diǎn)M,使二面角A—MC—。的大小為全

設(shè)M（l,y0,0）（0<2）,

則祝=（一1,2—%，0），庠=（0,2,-1）.

設(shè)平面的一個(gè)法向量為商=（%2，y2，Z2），

則（荻亞，即（而?祝=一%2+、2（2—yo）=0,

[底1D]dI底-DrC=2y2—z2=0

令丫2=1，解得％2=2-Vo，Z2=2,

???厄=（2_yo，L2）,

又平面MCD的一個(gè)法向量為氏方=(0,0,-1)，

冗_(dá)___?------->________2__________/2

??回取I

?cos-=|cos<n2?>2222

同而Ij（2-y0）+l+2

即據(jù)—4yo+1=0,

解得M）=2—或y（）=2+舍去）,

此時(shí)AM=2-73.

???在線段4B上存在點(diǎn)M,使二面角A-MC-。的平面角的大小為今

此時(shí)4M=2

17.解：(1)[⑴—a(—1+3

_(x—l)ex+ax(x—1)_(X—D(T+a)

==工'

因?yàn)?(%)在(1,+8)不是單調(diào)函數(shù)，所以「(%)在(1,+8)有變號(hào)零點(diǎn).

因?yàn)?>0恒成立，令g(x)=9+a,則g(x)在(1,+8)有變號(hào)零點(diǎn).

因?yàn)間'(x)=&老>。，所以g。)在(1,+8)單調(diào)遞增，

因?yàn)間(l)=e+a,當(dāng)％->+8時(shí)，g(%)t+8,

只需e+a<0,即a<—e,

所以實(shí)數(shù)Q的取值范圍是(-8,-e).

(2)令0(%)=1—%+lnx(x>1),

因?yàn)?(x)=i-l<0在(1,+8)恒成立,

所以0(%)在(1,+8)單調(diào)遞減，

所以0(%)<0⑴=0.

所以/(%)>0?a>——

'''x—x^；+xlnx.

ex

vmw-x_%2+xlnx，

QX.

貝！Jzn'Q)=---------n(x—x2+xlnx—1+2x—Inx—1)

(%—x2+xlnx)z

=;~2：、2(久一l)(ln久一”+2),

(%—xz+xln%)

令1i(x)=Inx—%+2,則〃(%)=；—1V0在(1,+8)恒成立,

所以/l(%)在(1,+8)單調(diào)遞減.

因?yàn)榫?1)=1>0,h(4)=ln4-2<0,

所以h(%)有唯一零點(diǎn)%o,且％0E(1,4),In%。=-2=勺)？？=靖。.

當(dāng)%E(I,%。)時(shí)，h(x)>0,即m'(X)>0,

所以??1(%)在(1,&)單調(diào)遞增；

當(dāng)％6(%。,+8)時(shí)，ft(x)<0,即??/(%)<0,

所以根(%)在(%0,+8)單調(diào)遞減.

e%o

所以根(久)?^=小("。)=云而扃

2

____?-7.39,

%0一好+%0(%0—2)

所以實(shí)數(shù)a的最小整數(shù)值為-7.

18.解:(1)當(dāng)a=2時(shí),f(x)=x\x-2\+2=\/；^+2,%>2

%22時(shí),f(x)單調(diào)遞增,

x<2時(shí)，/(x)在(-8,1)上單調(diào)遞增，在(1,2)上單調(diào)遞減，

所以/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-叫l(wèi))<2,+oo),

(2)3X1(X2e[0,2],使|f(%i)-/(x2)|>2,

所以/G2)lmax>2,

即/'(X)max—f(%)min>2,

①當(dāng)a22時(shí)，/(%)=—x2+ax+2,對(duì)稱(chēng)軸％二*

(i)當(dāng)1W與W2即2<a<4時(shí)，f(x)max=f?=J+2,

/(Omin=f(0)=2,

所以f6)-f(0)=9>2,

所以a>2H.或a<-2-\Z-2,

因?yàn)?<a<4,所以2涯<a<4,

(ii)當(dāng)與>2即a>4時(shí)，f(%)max=/(2)=2a-2,

/Wmin=/(O)=2,

所以f(2)—/(0)=2a—4>2,

a>3,

因?yàn)閍>4,所以a>4),

②當(dāng)a<0時(shí),f(x)=x2-ax+2,對(duì)稱(chēng)軸久=^<0,

所以好x)max=f⑵=6-2a,

/Wmin=7(0)=2,

所以f(2)-f(0)=4-2a>2,

a<1,

所以a<0,

③當(dāng)0<a<2時(shí)，f(x)=|-F+a：：2>°

I—ax+2,a<x<2

因?yàn)閒(%)min=f(。)=f(2)=2,

因?yàn)楣?lt;1，

所以「倒不可能是函數(shù)的最大值，

所以/(%)max=/⑵=6-2a,

所以/(2)-/(0)=4-2。>2,

所以0<a<1,

綜上所述：a的取值范圍是(一8,1)u(2，^,+8).

19.解：(1)設(shè)的,a2,%成公差為廠的等差數(shù)列，顯然廠>0,

則由的+%+的=0得3al+3r=0,

所以一%=r>0,

所以的<0,

所以劭=%+7=0，%=+27=—%>0,

1

由I。/++\as\=1得-2al=1,解得的=2-

所以數(shù)列-為所求3階“歸化”數(shù)列.

(2)設(shè)等差數(shù)列的,a2,a3,由1的公差為d,

因?yàn)榈?g