2024-2025學(xué)年江蘇省蘇州市高三（上）期初數(shù)學(xué)試卷（含答案）

2024-2025學(xué)年江蘇省蘇州市高三(上)期初數(shù)學(xué)試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的。

1.已知i是虛數(shù)單位，則平等于()

A.1+2iB.1—2.iC.-1+2iD.-1—2i

2.已知集合A={x|2<%<6},B={x\x2—4x<0},則/八B=()

A.(0,6)B.(4,6)

C.[2,4)D.(—8,0)U[2,+8)

3.將函數(shù)/(%)=s譏%的圖象先向左平移A個單位，再將所得圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)變?yōu)?/p>

原來的得到函數(shù)y=g(x)的圖象,則混)=()

A.一挈B.1C.WD.-1

22

4.已知向量2=b=(x-2,x2),則"x=-2"是"之〃3"的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

5.“綠水青山就是金山銀山”的理念深入人心，人民群眾的生態(tài)環(huán)境獲得感、幸福感、安全感不斷提升.某

校高一年級舉行環(huán)保知識競賽，共500人參加，若參賽學(xué)生成績的第60百分位數(shù)是80分，則關(guān)于競賽成績

不小于80分的人數(shù)的說法正確的是()

A,至少為300人B.至少為200人C.至多為300人D.至多為200人

6.已知正四棱錐的側(cè)面積是底面積的2倍，則該正四棱錐側(cè)棱和底面所成角的余弦值為()

A.乎B.|C.塔D.理

7.已知函數(shù)/(*)=e*+e(x-a-l)(e為自然對數(shù)的底數(shù))，g(x)=InQe")-a的零點(diǎn)分別為久i，冷，貝吟的

最大值為()

12

A.eB.-eC.1D.e-

8.在平面直角坐標(biāo)系汽。y中，A,B為雙曲線C：/-y2=1右支上兩點(diǎn)，若45=6,貝!J/8中點(diǎn)橫坐標(biāo)的最

小值為()

A.2^/2B.回C.絆D.v

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。

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2

9.已知二項(xiàng)式（x+國）6的展開式，貝|J（）

A.二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第3項(xiàng)B.常數(shù)項(xiàng)為第5項(xiàng)

C.展開式中含久3的項(xiàng)為60爐D.展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為64

10.如圖，已知直線4是小6之間的一定點(diǎn)，4到h的距離4E=1,4到&的距離4。=2.B,C分別

A.若a=30°,AB1AC,貝ijAB=2

B.若AB1AC,則△ABC面積的最小值為2

C.若△ABC為等邊三角形，則tcma=§

D.若4BAC=60。，則++京的最大值為1

Zi￡>/IC

111

11.若數(shù)列｛aj滿足：ai=l,對VTH,ri6N*有^---=7+1成立.則（）

un+mwnum

A1

A.^2024—2024

B.3nEN*,使得a'+超+...+W+i>§

C.對VnGN*,都有a1+做+的+-■-+冊>ln（n+1）

D.對VTIGN*,都有效+的+。4+…+。九+1<In（71+1）

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若B=30°,b=E，c=2,則a=.

13.已知直線/：（2/c+1）%-4一1=0（其中/c為常數(shù)），圓。：%2+y2=8,直線/與圓。相交于4B兩點(diǎn),

則長度最小值為.

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14.如圖，線段力D,BC相交于0,且AB,AD,BC,CD長度構(gòu)成集合

{1,5,9,嗎，^ABO=/.DC0=90°,貝收的取值個數(shù)為.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題13分)

2024年7月26日第33屆夏季奧林匹克運(yùn)動會在法國巴黎開幕，為了保證奧運(yùn)賽事的順利組織和運(yùn)行，以及

做好文化交流、信息咨詢、觀眾引導(dǎo)等多方面的工作，每項(xiàng)比賽都需要若干名志愿者參加服務(wù)，每名志愿

者可服務(wù)多個項(xiàng)目.8月7日100米跨欄、200米、400米、800米、1500米、5000米比賽在法蘭西體育場舉

行.

(1)志愿者湯姆可以在以上6個項(xiàng)目中選擇3個參加服務(wù)，求湯姆在選擇200米服務(wù)的條件下，選擇1500米服

務(wù)的概率；

(2)為了調(diào)查志愿者參加服務(wù)的情況，從僅參加1個項(xiàng)目的志愿者中抽取了10名同學(xué)，其中6名參加5000米

服務(wù)，4名參加800米服務(wù).現(xiàn)從這10名同學(xué)中再選3名同學(xué)做進(jìn)一步調(diào)查.將其中參加800米服務(wù)的人數(shù)記作

X,求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

16.(本小題15分)

如圖，在三棱錐。-ABC中，△ABC是以4B為斜邊的等腰直角三角形，△4BD是邊長為2的正三角形，E為

4D的中點(diǎn)，F(xiàn)為DC上一點(diǎn)，且平面BEF1平面4BD.

(1)求證：AD1平面BEF；

(2)若平面力BC，平面4BD,求平面BEF與平面BCD夾角的余弦值.

B

C

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17.(本小題15分)

已知函數(shù)/'(x)=sinx+ex-4x,e為自然對數(shù)的底數(shù)，函數(shù)g(x)=x3-ax+3.

(1)若/(X)在(。，1)處的切線也是9。)的切線，求實(shí)數(shù)a的值；

(2)求/(X)在(-兀，+8)上的零點(diǎn)個數(shù).

18.(本小題17分)

在平面直角坐標(biāo)系"Oy中，橢圓,+，=l(a>b>0)的離心率為岑，A為橢圓左頂點(diǎn)，已知點(diǎn)P(l,2),且

直線尸4的斜率為5過點(diǎn)M(t,0)作直線/交橢圓于B,C兩點(diǎn)(B在x軸上方，C在%軸下方)，設(shè)PB,PC兩直線分

別交橢圓于另一點(diǎn)D,E(B,E分別在線段PD,PC上).

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)當(dāng)t=l時，若的勺斜率小于零，且APBC的面積為求證：乙BMD=LDPC；

(3)若存在實(shí)數(shù)九使得而=4沆，求此時直線DC的斜率.

19.(本小題17分)

如果數(shù)列5｝滿足點(diǎn)+iWa/n+25GN*),則稱之為凸數(shù)列.現(xiàn)給定函數(shù)八支)及凸數(shù)列｛a』它們滿足以下

兩個條件：

<CLyi<CLn+1；

②對Vn>2,有|/(a“)—/(冊+1)|三斗廝―廝+ilw1/(廝_1)—/(冊)1(2為正常數(shù)).

(1)若數(shù)列｛勾｝滿足勾>1，與+1=3%+抒且數(shù)列&｝滿足cn=1喂早，請判斷&｝是否為凸數(shù)列，并

說明理由；

(2)若|/a)—/a)|=2,求證:求2色+1-七1>18；

(3)對任何大于等于2的正整數(shù)。，且iWj,求證：I/Q)一/(切|Wa一磯

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參考答案

1.0

2.C

3.4

4.2

5.D

6.D

7.C

8.4

9.BC

10.BCD

11.ACD

12.373

13.24

14.6

15.解：(1)設(shè)“湯姆選擇中有200米服務(wù)”為事件4“湯姆選擇中有500米服務(wù)”為事件B,

則PG)=1=pP(4B)=登=￡

湯姆在選擇200米服務(wù)的條件下，選擇1500米服務(wù)的概率為：

(2)X的值可能為0,1,2,3,

P(X=0)=鬻=：,

P(X=1)=甯=1，

P(X=2)=看=樂

P(X=3)=譽(yù)=表，

X的分布列為:

X0123

1131

P

621030

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￡(X)=0X|+1X|+2XA+3X^=|.

16.解：(1)證明：因?yàn)槠矫?EF1平面A8D,平面BEFC平面ABD=BE,

因?yàn)椤?BC為正三角形，E為2。中點(diǎn)，

所以AD1BE,又力Du平面ABD,

所以4。1平面BEF；

(2)取力B中點(diǎn)0,連接C。，D0,

因?yàn)椤?BC為正三角形，△ABC是以力B為斜邊的等腰直角三角形，

則D。1AB,CO1AB,

因?yàn)槠矫鍭BC1平面48。，平面ABCC平面力BD=AB,

貝UD。1平面ABC,

即。。1AB,DO1CO,

即。C,0A,。。兩兩垂直，

以040C,。。為空間基底，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，

則4(0,1,0),B(0-1,0),C(l,0,0),0(0,0,?

所以阮=(1,1,0),麗=(0,1,4)，

設(shè)平面BCD的法向量為元1=(x,y,z),

川(麗?可=0nly+A/3Z=0，

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令x=1,則y--1,z=字，

即蔡=(1,一1,爭，

因?yàn)锳D1平面BEF,

則前=(0,-1,避)為平面BEF的一個法向量，

設(shè)平面平面BEF與平面BCD夾角為仇

則cos。=\^s{n,AD)\=|而兩|=\J^\、，

即平面BEF與平面BCD夾角的余弦值為工|L

17.解:(l)f'(x)=cosx+ex—4,則，(0)=cosO+e°—4=—2,

所以切線方程為y=-2x+l,

又g'O)=3x2-a,設(shè)直線y=-2%+1與y=g(久)圖象的切點(diǎn)為(久o，yo),

則已變U二2~-2久+V解得{度機(jī)

(久0—(ZXQ十D——乙10十—。

(2)/'(%)=cosx+ex—4,

當(dāng)一7T<%<0時，cosx<1,ex<1,/'(%)<0,所以函數(shù)/(%)單調(diào)遞減，

所以/(%)>/(0)=1,此時函數(shù)"%)無零點(diǎn)；

當(dāng)%>0時，設(shè)八(%)=cosx+ex-4,則"(%)=—sinx+ex>0,九(%)單調(diào)遞增，即/'(%)單調(diào)遞增,

r(0)=-2,尸(2)=cos2+e2-4>0,

因止匕/'(%)在(0,+8)即(0,2)在上有唯一零點(diǎn)，記零點(diǎn)為租，gp/^m)=0,

在(0師)上,/'(%)<0,/(%)單調(diào)遞減，在o,+8)上,廣(X)>0,/(%)單調(diào)遞增，又

/(0)=1>0,/(I)=sinl+e—4<0,/(2)=sin2+e2—4>0,=e7r—4兀>0,

所以/(%)在(0,1)有一個零點(diǎn)，在(1,兀)上有一個零點(diǎn).

綜上所述，/(%)在(一兀，+8)上有2個零點(diǎn).

18.解：(1)因?yàn)?為橢圓左頂點(diǎn),則4(一見0),又尸(1,2),

所以3=e=多

解得a=2,又離心率e=?=殍，

則c=避,b2=a2—c2=1,

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為q+川=1；

(2)證明：由題意可知M(l,0),設(shè)直線BC：y=/c(x-l)(fc<0),

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(y=/c(x—1)

聯(lián)立|史+y2=i,化簡得(1+4女2)%2—8/^2%+4女2-4=0(*),j=16(3fc2+1)>0,

設(shè)BOi,yi)CO：2,y2)，則均+%2=]；晨2,尤1%2=工,

因?yàn)椤鱌8C的面積為S=1-PM?四-亞|=|尤1-冷1，

又ZFl=+犯)2—4巧犯=，(泮前—4.祟麥Y，

化簡得：64k4—43^-21=0,則上2=1,又k<0,所以k=—1,

則(*)方程即為5久2-8%=0,又B在x軸上方，C在x軸下方，

所以8(0,1),。。,一|),

由于所以1PD,

根據(jù)對稱性可以得到。(一1),

所以DC1PM,因此M為△PBC的垂心，設(shè)。M與PC交于點(diǎn)N,

所以P,B,M,N四點(diǎn)共圓，貝lUBMD=ADPC；

(3)若存在實(shí)數(shù)九使得旗=4比，貝|有BE〃。配

所以麗=4而，~PE=XPC,

由題意可知，AG(0,1),設(shè)。(%2沙2)，。。3,乃)，

由麗=；1而得8(入3+1-尢的3+2-2/1),又B,。均在橢圓上，

、停+達(dá)=1

所以‘色叱產(chǎn)"+。乃+2—22)2=f

八八件+黃=1

2

上式變形為&(q+y|)+A(1-A)X3+(l-A^+4A(1-A)y3+4(1-A)=1

2

所以久3+生平+42(1—2)乃+4(1—4)2=1-A,

化簡得2&3+16Ay3+13-212=0,

同理可得2丘2+16Ay2+13-214=0,

即直線DC：2Ax+162y+13-21Z=0,

所以DC的斜率為J

o

19.解：(1)因?yàn)榛?gt;1,6+i=[(bn+第,

n+1

SChlr—]，"+1+1—+嬴)+1—]n/”+—n/?^-

所以j+i—ln^+Li—In藜1尹―In(…)-2E2-2cn,

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因?yàn)镃”*0,所以數(shù)列｛4｝為等比數(shù)列，

所以成+1=0%+2,符合凸數(shù)列要求，即數(shù)列｛0｝為凸數(shù)列.

（2）證明：因?yàn)?<an<an+i，所以冊+iW）斯<+2<即、即+上，

月斤以a九+1—CLfi<CLn+2—a九+1f又>因?yàn)椋?。?lt;Q九+1，

2

所以|冊+1<10n+2-冊+11，且，（。2）-/（。3）1<^\a2-a3\<|/（ai）-/（a2）