2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 階段滾動(dòng)檢測（五）

階段滾動(dòng)檢測（五）

120分鐘150分

一、選擇題:本題共8小題,每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.（2024?武漢模擬）過點(diǎn)（1,0）且與直線x+2/2=0垂直的直線方程為（）

A.x-2y-l=0B.x-2y+l=0

C.2x-y-2^0D.2x+y-l=0

【解析】選C.由直線x+2產(chǎn)2=0可得其斜率為［則與其垂直的直線斜率為2,

故過點(diǎn)（1,0）且與直線x+2y-2=0垂直的直線方程為7=201）,即:2%-3-2=0.

2.（2024?湛江模擬）漢代初年成書的《淮南萬畢術(shù)》記載:“取大鏡高懸，置水盆于

下，則見四鄰矣.”這是中國古代人民利用平面鏡反射原理的首個(gè)實(shí)例，體現(xiàn)了傳統(tǒng)

文化中的數(shù)學(xué)智慧.在平面直角坐標(biāo)系無。伊中,一條光線從點(diǎn)（-2,0）射出，經(jīng)y軸反

射后的光線所在的直線與圓爐+產(chǎn)2%-2尸0相切,則反射光線所在直線的斜率

為（）

A,-1B.-1或1

C.lD.2

【解析】選C.易知(-2,0)關(guān)于V軸的對稱點(diǎn)為(2,0),

由平面鏡反射原理，反射光線所在的直線過(2,0)且與該圓相切，

將圓x2+y2-2x-2y=0化簡后可得(+1)2+01)2=2,所以圓心為(1,1),

易知(2,0)在該圓上，所以(2,0)即為切點(diǎn)

n1

因此圓心與切點(diǎn)連線與反射光線垂直，設(shè)反射光線所在直線的斜率為左，即1彳

L.—V

X仁-1,解得仁1.

2222

3.(2024?鹽城模擬)已知圓(9i：x+y-2x-3=0和圓O2:x+y-2y-l=0相交于4夕兩點(diǎn),

則弦松的長為()

A.2"B.2^5C.4D.2

【解析】選A.由題意知圓。1:x2+y2-2x-3=0,

即圓Q:①1)2+產(chǎn)4,圓心為Oi園0)泮徑。=2,

22

圓。2：%2+產(chǎn)2產(chǎn)1=0,即圓O2:X+0-1)=2,

圓心為。2(。」),半徑廠2=、/2

則為-廠2＜。1。2|=71^7=々＜片+廠2,即兩圓相交，

將圓0:爐+產(chǎn)一2%-3=0和圓。2：爐+儼-2產(chǎn)1=0的方程相減，

可得直線48的方程為x-y+l^Q,

則Q(l,0)到直線％-尹1=0的距離為多、倒，

故弦"的長為畫=2".

22

4.過雙曲線。鼻—=1（心0力＞0）的右頂點(diǎn)力作一條漸近線的平行線，交另一條漸近

ab

線于點(diǎn)PAOAP的面積為=（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），離心率為2,則點(diǎn)A到漸近線的距離

為（）

*BgC.|D.1

【解析】選A.雙曲線的右頂點(diǎn)為4（4,0）,雙曲線的漸近線方程為嚴(yán)小，由對稱性,

不妨令過A的直線與y^x平行，則該直線方程為y^x-a）,

b

y=a（x-a）

出,b，

,y二中

a

解得x=）

1y=-5

即尸總，

貝USxcu尸

又6=|=2,。2+/=。2,解彳導(dǎo)a=l,b=F，

所以點(diǎn)41,0倒?jié)u近線產(chǎn)土班的距離為?

222

.，X/1+（73）

圓02)2+8-3)2=1交于A,B兩點(diǎn)，則即1=()

A.|B.fD.等

22,2,2,

【解析】選D.由由導(dǎo)守扛1/5,解得%2,

aaaa

所以雙曲線的一條漸近線不妨取尸2%,

則圓心(2,3)到漸近線的距離小公駕，所以弦長四|=2O=^.

A/2+1y

6.已知直線Zi：4x-3y+6=0和直線12：x=2拋物線y=4%上一動(dòng)點(diǎn)P到直線h和12

距離之和的最小值是()

A.*lB.2C.yD.3

【解析】選D.由題可知x=-l是拋物線產(chǎn)=4%的準(zhǔn)線，設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為E則

尸(1,0),

所以動(dòng)點(diǎn)P到h的距離等于P到尸-1的距離加1,即動(dòng)點(diǎn)P到h的距離等于

|尸巧+1.

所以動(dòng)點(diǎn)P到直線h和直線12的距離之和的最小值為焦點(diǎn)F到直線h-Ax-

3尹6=0的距離加1,

即其最小值是也歲+1=3.

7.（2024?重慶模擬）橢圓。:1+勺1（4>6>0）的左右焦點(diǎn)為點(diǎn)P為橢圓上不在

ab

坐標(biāo)軸上的一點(diǎn)，點(diǎn)MN滿足MP,2ON=OP+若四邊形MONP的周長

等于4b,則橢圓C的離心率e=（）

A.|B.fC.f

【解析】選C,因?yàn)槟嫠渣c(diǎn)M為線段用的中點(diǎn)

因?yàn)?ON=OP+赤2,所以O(shè)N-OP=OF2-ON,

即PN=亞2,所以點(diǎn)N為線段PF2的中點(diǎn)，

又因?yàn)辄c(diǎn)o為線段FR的中點(diǎn)，

_11

所以（W〃0B且。M弓PBIQN〃勿1且|沖弓。碎，

所以四邊形MONP的周長為FPI+FBI，

又因?yàn)辄c(diǎn)P為橢圓上不在坐標(biāo)軸上的一點(diǎn)，所以|Pp|+|PB|=2a,

h1

所以2a=46,即在，

故橢圓c的離心率位

8.(2024?貴陽模擬)我們通常稱離心率為亍的橢圓為“黃金橢圓”，稱離心率為

手的雙曲線為“黃金雙曲線”，則下列說法正確的是()

A.正A43C中刀不分別是ABAC的中點(diǎn)，則以B,C為焦點(diǎn)，且過D,E的橢圓是“黃

金橢圓”

B.已知ABCDEF為正六邊形，則以4。為焦點(diǎn)，且過B,C,E,F的雙曲線是“黃金雙

曲線”

C.“黃金橢圓”上存在一點(diǎn)，該點(diǎn)與兩焦點(diǎn)的連線互相垂直

D.“黃金雙曲線”的實(shí)半軸長，一個(gè)焦點(diǎn)到一條漸近線的距離,半焦距能構(gòu)成等比數(shù)

列

【解析】選D.對于A,以BC的中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系如圖所示，設(shè)A45C

22

的邊長為2,以B,C為焦點(diǎn)，且過D,E的橢圓方程設(shè)為J+『l(Ab>0),所以8尸

ab

小,橢圓的離心率為薩匹胃阿一木：「4-1，故A錯(cuò)誤；

對于B,以AD的中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系如圖所示，設(shè)正六邊形ABCDEF的

22

邊長為2,|40|=4,|切=2也以/Q為焦點(diǎn)，且過民。石尸的雙曲線方程設(shè)為==

ab

=1(心。6。),離心率為|蒲如上3+1,故B錯(cuò)誤；

22

對于C,設(shè)黃金橢圓”的方程為十:1(46>0)橢圓上的點(diǎn)RxoM，焦點(diǎn)*(-c,0),

ab

B(c,O),由可得第=按(1-一),PJ=(-c-%o,-yo),PF2=(C-x0,-y0),

aba

又因?yàn)椤包S金橢圓”的離心率

2

所以針=(與與母"《2'‘心無「詬2=Gc-Xo)(c-Xo)+yj=%：+yjc2=b2(l_j)+%%

22r-

C%3-A/5L

c2=~y0+q2-2c2^^—%7：+(在-2)q2>0,

a/u

所以“黃金橢圓”上不存在一點(diǎn)，與兩焦點(diǎn)的連線互相垂直.故C錯(cuò)誤.

22

對于D設(shè)，黃金雙曲線”的方程為\-勺1（心0力＞0）,實(shí)半軸長為凡一個(gè)焦點(diǎn)到一條

ab

漸近線的距離為A半焦距為C,因?yàn)殡x心率，暫步2一四=°2_42_絲=（與1）24,2_

與&2:0,

所以b2^ac,a,b,c成等比數(shù)列.故D正確.

【加練備選】

（2024?武漢模擬）已知a,b￡R,ab＜0,函數(shù)加（:尸奴+3eR）.若｛s-/）＜s）5y（s+。依次

成等比數(shù)列,則平面。砂上的點(diǎn)（sJ）的軌跡是（）

A.直線和焦點(diǎn)在x軸的橢圓

B.直線和焦點(diǎn)在y軸的橢圓

C.直線和焦點(diǎn)在X軸的雙曲線

D.直線和焦點(diǎn)在歹軸的雙曲線

【解析】選D.由題意可知加1加s+/尸小)]2,

即[a(s-/)2+b][q(s+/)2+b]=(qs2+6)2,

又寸其整理變形：(。$2+。/2+6-2as/)(as2+a/2+b+2qs0=(as2+b)2,

(as2+at2+b)2-(2ast)2-(as2+b)2=Q,

(2a52+a/2+2Z?)aZ2-4a252/2=0,

區(qū)2(-24盧+4產(chǎn)+2與=0,

因?yàn)閍b<0,所以片0或-2as2+q產(chǎn)+26=0,

22

即D或

a-a

所以點(diǎn)(SJ)的軌跡為直線和焦點(diǎn)在〉軸的雙曲線

二、選擇題:本題共3小題,每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有

多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分,部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知直線Z]：4x+3y-2=0,Z2:(m+2)x+(m-l)y-5m-l=0(m￡即則()

A.直線4過定點(diǎn)(2,3)

B.當(dāng)加=10時(shí)〃Z2

C當(dāng)m=-l時(shí)

D.當(dāng)/1〃/2時(shí),兩直線//2之間的距離為3

【解析】選ABD.，2：(加+2)x+(加-1?-5加-1=0(加GR)變形為m(x+y-5)+2.x-y-1=0,

由SU2二2則乜；擔(dān)此直線h過定點(diǎn)(2,3),故A正確；

當(dāng)加=10時(shí),/i：4x+3y-2=012：12x+9y-51=0,

所以_L乙故v兩-DJ.直線平行，故B正確；

當(dāng)m=-\時(shí)Ji：4x+3y-2=0,/2：%-2y+4=0,

因?yàn)?xl+3x(-2)M,故兩直線不垂直，故C錯(cuò)誤；

當(dāng)。〃^時(shí)廁滿足勺上彳^上了廨得加二電此時(shí)h：4x+3y-2=0,/2:12x+9y-

51=0,即4x+3吐17=0,則兩直線間的距離為上乎3,故D正確.

10.(2024?西安模擬)已知圓。:好+儼=4直線/:加%+町+3=0,則下列說法正確的

是()

A.當(dāng)n=#m用時(shí)直線I的傾斜角為需

B.當(dāng)加="=1時(shí)直線I與圓O相交

C.圓。與圓E:(x-2)2+O-3)2=l相離

D.當(dāng)m^Q,n=-l時(shí),過直線I上任意一點(diǎn)P作圓O的切線，則切線長的最小值為3

【解析】選AC.對于A:當(dāng)n=y/3m^Q時(shí)直線I為mx+平my+3=0,

所以直線的斜率為-十-胃，

設(shè)傾斜角為%則tana=$

STT

因?yàn)閍e(0,兀］，所以打=不故A正確；

對于B:當(dāng)m=n=T時(shí)直線I為x+y+3=0,

由爐+產(chǎn)=4,可得:圓心0(0,0),半徑尸2,

所以圓心到直線I的距離

所以圓與直線相離，故B錯(cuò)誤；

對于C:因?yàn)閳AE:(x-2)2+(y-3)2=l,

所以圓心夙2,3),半徑滅=1,

因?yàn)椤Ｔ?"!?=/喬什穴=3,

所以兩圓相離，故C正確；

對于D:當(dāng)加=0,片-1時(shí)，直線I為產(chǎn)3,過直線I上任意一點(diǎn)P作圓O的切線，設(shè)切

點(diǎn)為Q,

則切線長|尸。|=J|PO/一廠2=加0._4

所以當(dāng)|夕。|取得最小值時(shí),|尸。|最小,

因?yàn)辄c(diǎn)P在直線Z:y=3上，

所以當(dāng)時(shí)，。目最小，此時(shí)|ORmin=3,

所以|PQ|min=j3%=祁，故D錯(cuò)誤.

11.（2024?海南模擬）已知橢圓C:*=l（a>b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為孔尸2,上頂

ab

點(diǎn)為離心率為4,M,N為C上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)（與C的頂點(diǎn)不重合）,

則（）

22

AC的方程為？+，1

c145

B.-----+---->彳

叫|叫「2

C.AMNF2的面積隨周長變大而變大

1

D.直線5M和BN的斜率乘積為定值萬

【解析】選AD.由題易知人也，沁,2+。2=膽解得折2,故橢圓方程為尹今

=1,故A正確；

連接〃FI,SNFI,NF2,由橢圓對稱性知MFiNF2為平行四邊

形l+INFi|=|MFi|+|許|=24=4,

MF4

14141141\2\IMFII

-----H-----=-----H------r-----+----}(\MF|+|A/F|)=-(1+4+-----H-------)

4V|MF||MF|AI]11122177

\MF^\NF1\\MF1\\MF2\124、\MF±\\MF2\

51/|MF2|4|MFJ9

>—+—x2--------

一44J|M七||M&|乎

當(dāng)且僅當(dāng)m8lW，|4"2|=|時(shí)等號成立，故B錯(cuò)誤；

對選項(xiàng)c：由選項(xiàng)B可知:|詔|+|淅2|=M^+R^=4,

設(shè)Mx3),則。加舊+.4(1-y)+y：=j4-y1,AMNF2的面積為2sA0MF

=2*2*必用=4皿，

由對稱性,不妨設(shè)M在第一象限，故隨乃的增大而減小,△"△叫的面積隨為

的增大而增大，

即△跖陽的面積隨周長變大而變小,c錯(cuò)誤；

對選項(xiàng)D:設(shè)則N(-X1,-%),

又5(0,")，所以kBM-kBN^----------

X1-X1%]

22

因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，結(jié)合選項(xiàng)C,%；=4-2yj,所以kBM左3后一丁=-2,故D正確

,xi

三、填空題:本題共3小題,每小題5分，共15分.

12.(2024?長沙模擬)已知圓4N+63)2=1,過動(dòng)點(diǎn)P作圓A的切線PB(B為切點(diǎn)),

使得『引=、回,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為.

答案：爐+&-3)2=4

【解析】設(shè)尸(可),由|尸引=收得田砰=3,則N+峰一3)2一1=3,即N+(y-3)2=4.

13.(2024?茂名模擬)已知拋物線。:儼=8%的焦點(diǎn)為凡直線/i12均過點(diǎn)少分別交拋

物線C于A,BQ,E四點(diǎn),若直線16斜率乘積的絕對值為8,則當(dāng)直線/2的斜率為

時(shí)/4+1。弱的值最小，最小值為.

答案:±2退18

【解析】由題意，拋物線Cy=8x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為網(wǎng)2,0）,

設(shè)直線11的方程為嚴(yán)左G-2）,

聯(lián)立方程1=2"]一2），

y=8%,

整理得磔2_（%+8.+4%=0,

設(shè)4（%必）乃（%2/2）,。（%3必）及%4沙4）,

2

+88

所以|/引=%1+、2￥=—―+4^+8,

2

.____4k?+8Q

設(shè)直線，2的斜率為左2,同理可得區(qū)因=修+%4+〃=——+4=-+8,

k2k2

oooo

可得|48|+|DJE,|=^+8+—+8=^+—+16,

k[k；k[

又由依?初=8得依引+|QE|=16+4+NN16+8X2X?*16+8X2X918,

KK

匕k2\I2\0

當(dāng)且僅當(dāng)?shù)膢=|月=2"時(shí)，等號成立,

所以叫+|。月的最小值為18,此時(shí)隹1=2也后=±2也

14.（2024福州模擬）光線從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出，被橢圓反射后會(huì)經(jīng)過橢圓的另

一個(gè)焦點(diǎn);光線從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出，被雙曲線反射后的反射光線等效于從

另一個(gè)焦點(diǎn)射出，如圖1,一個(gè)光學(xué)裝置由有公共焦點(diǎn)為、B的橢圓「與雙曲線

。構(gòu)成/與。的離心率之比為3:4,現(xiàn)一光線從左焦點(diǎn)3發(fā)出,依次經(jīng)Q與「

反射，又回到了點(diǎn)為，歷時(shí)6秒;若將裝置中的。去掉，如圖2,此光線從點(diǎn)孔發(fā)出,

經(jīng)r兩次反射后又回到了點(diǎn)兒歷時(shí)/2秒廁戶_______.

rl

答案：8

【解析】由橢圓定義得5尸1|+區(qū)尸2|=24①,”2中碎=2。2②,①-②

得招尸1|+|4"|+|麻訃⑷^尸/尸1|+|/尸1|+|氏4|=2竹2a2,

即的周長為2a「2a2,

由橢圓定義知△CDp的周長為4句,

因?yàn)楣饩€的速度相同，且雙曲線與橢圓共焦點(diǎn),

4al222

所^T=2a2a—

乙cX]一乙c^221]

1-1-4

aie2

【方法規(guī)律】本題解答的關(guān)鍵是注意到光線的速度相同，且雙曲線與橢圓共焦

點(diǎn),利用橢圓和雙曲線的定義求解兩個(gè)三角形的周長由此即可順利得解.

四、解答題:本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步

驟.

15.（13分）（2024?資陽模擬）已知OO的圓心為坐標(biāo)原點(diǎn),OO上的點(diǎn)到直線l:x+y-

2&=0的距曷的最小值為1.

⑴求。。的方程；

【解析】（1）由題意,Oo的圓心0（0,0）到直線/:%+產(chǎn)2g=0的距離^=7===2,

設(shè)。。的半徑為廣，

則。O上的點(diǎn)到直線I距離的最小值為dE-r,

由2-尸1,解得尸1,

所以。O的方程為爐+產(chǎn)=1.

⑵過點(diǎn)。（4,2）作OO的兩條切線，切點(diǎn)分別為4A求四邊形OAPB的面積.

【解析】（2）由題可知民連接OR

1

則四邊形OAPB的面積5=21尸0戶2*于1義|4|=『4

叉O尸產(chǎn)=42+22=20,

則\PA|=J|OPf一0/420一1=眄

所以四邊形OAPB的面積5=719.

16.（15分）（2024?武漢模擬）已知點(diǎn)M22）在拋物線。:儼=22助＞0）的準(zhǔn)線上，過點(diǎn)

M作直線I與拋物線C交于A,B兩點(diǎn),斜率為2的直線與拋物線交于AQ兩點(diǎn).

（1）求拋物線。的標(biāo)準(zhǔn)方程；

P

【解析】⑴拋物線。：聲22加>0）的準(zhǔn)線方程為2-

依題意專-2,解得p=4,

所以拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為儼=8工

（2）①求證:直線BD過定點(diǎn)N;

②若ZU5N的面積為S,且滿足SS20G，求直線I斜率的取值范圍.

【解析】⑵①設(shè)4alM）,夕（%2,歹2）,。（%3,為）,顯然AB不垂直于y軸，設(shè)直線AB方程

為x+2=m(y-2),

x+2=m(y-2),

由

,y2=8%,

消去x得:產(chǎn)-8加y+16（加+1）=0,

由zf=64m2-64(m+1)>0,

/日]-羽「1+

知m<2或m>JITP2=8加,歹必=16(加+1),

2

1Vo-y.Vo-ViQ

即乃在42-8,直線AD的斜率卜析一]]2.v+v=2,即為tX3=4,

oo

同理直線BD的斜率強(qiáng)）=直線BD的方程為J-J2=v+v（/%2）,

十+十

整理得&2+為）產(chǎn)8（%-%2）+7282+為）,

即偽抄3）產(chǎn)舐用血+,+及外

又y；=8%2,于是02+為）V=8x+y*3,

由巾+為=4及271+2為=丁42-16,

得丁93=2&2+g)-24,

則任2力3)尸8X+2°2+歹3)-24,

因此直線AD:&2+為)8-2尸8(%-3)過定點(diǎn)M3,2),

所以直線BD過定點(diǎn)N(3,2).

②顯然MN//x?,S/^ABN^S/^BNM-S[yI-J21I-JV21-64(m+1)

=201m2.m一1S20祁，則0<m2-m-l<5,

解得-23加<三口或字<相掇,而直線I斜率的心

A/5+1,1-1,51

貝MIUL'-2―<任工或§二上(一一，

所以直線I斜率的取值范圍是(-年U點(diǎn)號).

17.(15分X2024?新余模擬)如圖，橢圓。。+。1伍9>0)和圓。:%2+產(chǎn)=爐,已知橢圓

ab

C的離心率為竽直線匹-2=0與圓O相切.

（1）求橢圓。的標(biāo)準(zhǔn)方程;

【解析】⑴直線"^-27-m=0與圓O相切，

172x0-2x0-y61

NJ解一上

由橢圓的離心率*

2

解得心9橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為營+儼=1;

（2）橢圓C的上頂點(diǎn)為民即是圓O的一條直徑，所不與坐標(biāo)軸重合，直線5反

區(qū)與橢圓C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為PQ求ABPQ的面積的最大值.

【解析】（2）由題意知直線5旦8。的斜率存在且不為Q,BP±BQ,

不妨設(shè)直線BP的斜率為左（左＞0）,則直線BP的方程為y^kx+l.

-18k

(y=kx+1

9k2+1（%=0

由卜221得后或｛）V

卜+y=11-97=

-18kl-9k2

所以口999

9k+19fc+1

2

18kk-9

用代替匕得Q（

k2+9?k2+9),

?

29/c-118k

則尸21+k2,

9k+19k+1

18fc

畋『(。-冷)2+(1+啟2-^-41+I?,S^\PB\'\BQ\^-

ABPQ9fc2+l

1

------718162k(l+/)162(fc+fc3)162(^+fc)

.41+后=72479'

l+j(9+/c2)(l+9kz)9/c4+82fcz+99kQ2+82+J

k

、1

設(shè)k+~fi,

162〃_162162_27

貝！J^/\BPQ.c/,,264—I648

8O2Q+9(〃-2Q)9/z+y2y

當(dāng)且僅當(dāng)9〃=?,即左+卜/號,即產(chǎn)2時(shí)取等號,

〃rt33

27

所以(SA0P0)max-

【加練備選】

22發(fā)]

（2024?合肥模擬）已知橢圓氏1（Ab>0）,離心率為目，點(diǎn)（平耳在橢圓上.

ab乙乙

⑴求E的方程；

【解析】（1）由題意再,與+=1,解得。=2乃=1,

a2a4b

2

則E的方程為*2=1.

⑵過K（-1,0）作互相垂直的兩條直線11與，2,設(shè)A交E于A,B兩點(diǎn)12交E于CQ

兩點(diǎn)HB,CD的中點(diǎn)分別為MN.探究:△。肱V與的面積之比是否為定值?

若是,請求出定值;若不是，請說明理由.

【解析】（2）/\。肱V與△處的面積之比為定值,定值為4,理由如下:

設(shè)直線AB的方程：%=叼-1么(%1J1),5(%2"),

討論:①當(dāng)加邦,且加丹1時(shí),

，%=my-1

聯(lián)立%22,

匕+y=i

2

可得（加2+4）92-2加y-3=0,/=l6加2+48>0,貝Uy1+y2=-^——:

771+4

所以州產(chǎn)現(xiàn)尸加加1=加1=~^-,所以

m+4m+4m+4m+4m+4

1

設(shè)直線8的方程:XR-1,

A2

.一1Te--4m-m

同理可得N（2一廠2）

4m+14m+1

-mm

4m2+1m2+45m

所以底滬■............-x(加加,且加W±l),

2A42.

-4m4m-1

2一+-2

4m+1m+4

所以直線肱絲；言丁(x七叫之),即產(chǎn)京(|x+l),

4

所以直線肱V恒過定點(diǎn)T(-1,0)；

____4

②當(dāng)加=±1時(shí)，不妨設(shè)直線左尸+以2：尸工］可發(fā)現(xiàn)MV口軸，且MV過r(--,o),

4

③當(dāng)加=0時(shí)，直線MN依然過7(-亨0),但無法形成三角形.

4

綜上，直線ACV恒過點(diǎn)T(--,0),

1

設(shè)點(diǎn)O,K到直線〃N的距離分別是九力沁平竺寫唱T:r4-

^△KMN-\MN\xd22\K1\D

18.(17分)(2023?新高考〃卷)在雙曲線C中0為坐標(biāo)原點(diǎn)左焦點(diǎn)為(-2依,0),離

心率為小.

⑴求。的方程；

__22

【解析】⑴由題意C=2而,則4=2尸=16,雙曲線C的方程為?±=1.

(2)記C的左、右頂點(diǎn)分別為4H2,過點(diǎn)5(-4,0)的直線與C的左支交于M,N兩

點(diǎn)9Af在第一象限，直線MA1與NA?父于尸，證明:尸在定直線上.

【解析】(2)方法一:設(shè)過點(diǎn)B的直線為尸/4Mxi㈤,聯(lián)立雙曲線得("-

32148

1)歹2-320+48=0廁歹巾2:一姑乃「一，

4t-14t-1

y-yx-xy-Vox-xx-xx-x

設(shè)直線設(shè)1直1線股2：仔」o，聯(lián)立消去y得(f+Al加=(Jo

+1)乃,代入根與系數(shù)的關(guān)系得產(chǎn)-1,即。在直線尸-1上.

方法二:①當(dāng)l±y軸時(shí),不符合題意.

'x=ty-4,

②設(shè)直線/：X=少4，MXl,%),N(X2,y2),尸aoM，聯(lián)立方程組x2y2則(421)儼一

口R二1，

32夕+48=0,

’4產(chǎn)-1^0,

因?yàn)橹本€與雙曲線的左支有兩個(gè)交點(diǎn)，即，4>0,

,y02<°，

rm32t48

則為+為小,物小

又因?yàn)镸A.與M42相交于點(diǎn)P,

九為

+2乙+2,%()-2y^x-2)y(ty-6)ty^-6ytyy-6(y+y)+6y

則2t22112t22

y:-3.即x0=-

%2x0+2y2(X1+2)y2(ty1-2)ty^y2-2y2ty^y2-2y2

5

%。-2x2-2

1,

所以點(diǎn)P在定直線X--1上.

方法三:設(shè)過點(diǎn)B的直線為產(chǎn)恤?+4),M%1M),N(X2M，聯(lián)立雙曲線得(4次2)%2_8左2%_

77

cm.i-16(1+fc)5

16-16左~=0,貝Uxi+x2=/i》2=-----;一，所以對毛+不⑴+壯尸-4,

4-fc4-fc/

559

即(%1與)(%2.廣(*),

設(shè)直線防(W■，設(shè)直線.:六二，聯(lián)立消去y