新高考數(shù)學一輪復習講義：基本不等式及其應用（原卷版+解析）

專題04基本不等式及其應用

【命題方向目錄】

命題方向一：基本不等式及其應用

命題方向二：直接法求最值

命題方向三：常規(guī)湊配法求最值

命題方向四：消參法求最值

命題方向五：雙換元求最值

命題方向六：“1”的代換求最值

命題方向七：齊次化求最值

命題方向八：利用基本不等式證明不等式

命題方向九：利用基本不等式解決實際問題

命題方向十：利用權方和不等式求最值

命題方向H：與a+b、/+沙2和ah有關問題的最值

uab+時）c+

命題方向十二：待定系數(shù)法求Jl最值

命題方向十三：A法求最值

【2024年高考預測】

基本不等式作為工具，常結合其他知識點進行考察，如解析幾何、函數(shù)求最值，實際應用等求范圍題

型，難度為基礎題或中檔題.

【知識點總結】

1、基本不等式：疝，—

2

(1)基本不等式成立的條件：a>0,b>0

(2)等號成立的條件：當且僅當。=〃時，等號成立.

(3)其中巴吆叫做正數(shù)a,6的算術平埋數(shù)，J法叫做正數(shù)a,b的幾何平均數(shù).

2

2、幾個重要的不等式

(1)a2+Z?2?2ab(a,beR).

(2)-+-=2(a,b同號).

ab

(3)ab?[2J(a,beR).

，八a2+b2/a+b^

以上不等式等號成立的條件均為a=b.

3、利用基本不等式求敢值

(1)已知x,y都是正數(shù)，如果積孫等于定值尸，那么當x=y時，和尤+y有最小值2丁萬

(2)已知x,y都是正數(shù)，如果和x+y等于定值S,那么當x=y時，積平有最大值

注意：利用不等式求最值應滿足三個條件“一正、二定、三相等”.

【方法技巧與總結】

1、常見求最值模型

模型一：/心+‘22V^面(〃2>0,">0),當且僅當x=、口~時等號成立；

xYm

模型二：mx-\———=m(x—a)-\——-——I-ma>2y/mn+ma(m>0,n>0),當且僅當x-a二J二時等號成

x—ax—avm

立；

模型三：一=—1—4——(a>0,c>0),當且僅當x時等號成立；

叱+法+c辦+"￡2而+b

X

模型四：尤("-向=一"一一/1(爾+"二)2=工(心。,，>。,0<尤<勺，當且僅當x="時等

mm24mm2m

號成立.

2、權方和不等式

若%>0,b->0,m>0,

則%+*++晅"(q+%+%]一成立.當勾=幾偽的時，等號成立.

以3+仇+b,x

【典例例題】

命題方向一：基本不等式及其應用

【通性通解總結】

熟記基本不等式成立的條件，合理選擇基本不等式的形式解題，要注意對不等式等號是否成立進行驗

證.

例1.(2023?全國?高三專題練習)《幾何原本》卷2的幾何代數(shù)法(以幾何方法研究代數(shù)問題)成了后世西

方數(shù)學家處理問題的重要依據(jù)，通過這一原理，很多的代數(shù)的公理或定理都能夠通過圖形實現(xiàn)證明，也稱

之為無字證明.現(xiàn)有如圖所示圖形，點尸在半圓。上，點C在直徑A3上，且。尸，設AC=。,

BC=b,則該圖形可以完成的無字證明為（）

A.~~~-4ab(a>0,b>0)B.a2+b2>2y[ab{a>0,Z?>0)

aa+b

C.<y/'ab(ci>0,Z?>0)D.<(a>0,Z?>0)

a+b

例2.（2023?全國?高三專題練習）《幾何原本》第二卷中的幾何代數(shù)法（以幾何方法研究代數(shù)問題）成了后

世西方數(shù)學家處理問題的重要依據(jù)，通過這一原理，很多代數(shù)的定理都能夠通過圖形實現(xiàn)證明，并稱之為

無字證明.現(xiàn)有如圖所示的圖形，點尸在半圓。上，且O廠，點。在直徑上運動.作CD,反交

則由/C2CD可以直接證明的不等式為（)

B.a2+b2>lab^a>0,Z?>0)

c

洋號…＞。）D.yfab<(tz>0,Z?>0)

例3.（2023?全國?高三專題練習）若非零實數(shù)a,匕滿足，＞。，則下列不等式一定成立的是（）

11

A.—>—B.a+b>2y[abC.Igd：2>1g/?2D.a3>b3

ab

變式L（2023?全國?高三專題練習）下列不等式的證明過程正確的是（）

A.若a/eR,則幺22、.=2

ab\ab

B.若1>0,貝UCOSXH——-->2,/cosx---二2

cosxVcosx

4

C.若xvO貝■+—?2

x

變式2.（2023?全國?高三對口高考）下列結論正確的是（）

A.y=x+1■有最小值2B.y=+2+G+2有最小值2

C.必<0時，y=2+f有最大值-2D.x>2時，y=x+—有最小值2

abx—2

命題方向二：直接法求最值

【通性通解總結】

直接利用基本不等式求解，注意取等條件.

例4.（2023?廣西柳州?柳州高級中學校聯(lián)考模擬預測）若。>0,b>0,a+b=2,則斗的最小值為

ab

（）

6

A.—B.JlC.1D.2

2

例5.（2023?全國?高三專題練習）己知x,ye（0,+oo）,2A,則孫的最大值為（

A9「9「3

A.—B.一C.—D.一

2824

例6.（2023?云南文山?高三馬關縣第一中學校校考階段練習）已知正數(shù)。力滿足4+2尸=1,則的最大值

變式3.（2023?全國?高三專題練習）若實數(shù)x,y滿足一+4>2=1,則孫的最大值是（）.

A.—B.-C.—D.1

428

變式4.（2023?全國?高三專題練習）已知〃>0,b>0,且4+2A=Q。，則次?的最小值是（）

A.4B.8C.16D.32

/74〃

變式5.（2。23?廣西柳州?高三柳州高級中學校聯(lián)考階段練習）若八°‘6>°,則/+了+5的最小值為

A.y/2B.2C.2V2D.4

命題方向三：常規(guī)湊配法求最值

【通性通解總結】

1、通過添項、拆項、變系數(shù)等方法湊成和為定值或積為定值的形式.

2、注意驗證取得條件.

例7.（2023?全國?高三專題練習）函數(shù)y=3x+—尤>1）的最小值是（）

x-1

A.4B.26-3

C.2A/3D.2國3

x2y

例8.（2023?全國?高三專題練習）若％>0,>>0且冗+y=孫，則;+―L的最小值為（）

x—1y-1

A.3B.5+^/^C.3+^6D.3+2^/2

例9.（2023?上海?高三專題練習）若x>l,則函數(shù)y=的最小值為.

命題方向四：消參法求最值

【通性通解總結】

消參法就是對應不等式中的兩元問題，用一個參數(shù)表示另一個參數(shù)，再利用基本不等式進行求解.解題

過程中要注意“一正，二定，三相等”這三個條件缺一不可！

3

例10.（2023?江蘇蘇州?高二統(tǒng)考期中）已知實數(shù)x,>滿足且6孫一9x+2y—4=。，貝iJ3x+y的最小

值是.

例11.（2023?江蘇蘇州?高二統(tǒng)考競賽）已知正實數(shù)a,b,c滿足2（a+6）=a6,Ka+b+c=abc,則c的

最大值為.

例12.（2023?浙江?高三專題練習）若正實數(shù)。，b滿足b+3a=2",則祟的最大值為

命題方向五：雙換元求最值

【通性通解總結】

若題目中含是求兩個分式的最值問題，對于這類問題最常用的方法就是雙換元，分布運用兩個分式的分

母為兩個參數(shù)，轉(zhuǎn)化為這兩個參數(shù)的不等關系.

1、代換變量，統(tǒng)一變量再處理.

2、注意驗證取得條件.

例13.（2023?全國?高三專題練習）己知。>0,b>0,a+2b=l,則“',+-7取到最小值為

3a+46a+3b

例14.（2。23?全國?高三專題練習）設…22且—，則5r七的最小值是----------.

命題方向六：“1”的代換求最值

【通性通解總結】

1的代換就是指湊出1,使不等式通過變形出來后達到運用基本不等式的條件，即積為定值，湊的過程

中要特別注意等價變形.

1、根據(jù)條件,湊出“1”,利用乘“1”法.

2、注意驗證取得條件.

41

例15.（2023?貴州黔東南?凱里一中?？既＃┱龜?shù)滿足一+7=1,若不等式病-8根<〃+〃恒成立，則

ab

實數(shù)加的取值范圍__________.

1?

例16.（2023?上海金山?統(tǒng)考二模）已知正實數(shù)。/滿足一+7=1,則2a+b的最小值為_________.

ab

例17.（2023?全國?高三專題練習）已知實數(shù)b>l,且3〃+2b=6,則二+三的最小值是

。一1b-l

變式6.（2023?全國?高三專題練習）若正實數(shù)a,Z?滿足a+2〃=",則次?+〃+匕的最小值為

41

變式7.（2023?全國?高三專題練習）已知乂丁都是正數(shù)，且x+y=2,則一-+一；的最小值為

x+2y+1

變式8.（2023?陜西渭南?統(tǒng)考二模）設。若￡+6=1,則工v+J的最小值是___________.

2a+1b

變式9.（2023.安徽蚌埠.統(tǒng)考三模）已知實數(shù)“>?！怠罚襎=5,則士+￡的最小值為

變式10.（2023?全國?高三專題練習）正實數(shù)滿足4a+b=4",則a+48的最小值為.

_21

變式11.（2023?天津?高三校聯(lián)考期末）已知a,6eR+M+2Z7=l,則一的最小值為_________.

a+2b+1

21

變式12.（2023?全國?高三專題練習）若三個正數(shù)％%z滿足3%+12y+2z=4,則——+-——的最小值為

x+2y3y+z

變式13.（2023?重慶?高三統(tǒng)考學業(yè)考試）已知%>1,>>0,尤+工=4,則工+y的最小值為___________.

yx-1

變式14.（2023?天津南開?高三南開中學?？茧A段練習）已知正實數(shù)%,y滿足4x+7y=4,貝|

21

——+----的最小值為_______.

x+3y2x+y

命題方向七：齊次化求最值

【通性通解總結】

齊次化就是含有多元的問題，通過分子、分母同時除以得到一個整體，然后轉(zhuǎn)化為運用基本不等式進行

求解.

例18.（2023?江蘇?高一專題練習）已知x>0,y>0,則二表,2+產(chǎn)工_2的最大值是.

例19.（2023?河南?高三信陽高中校聯(lián)考階段練習）已知實數(shù)。力>。，若a+2b=l,則學+4的最小值為

bab

（）

A.12B.2百C.673D.8

例20.（2023?天津南開?高三統(tǒng)考期中）已知正實數(shù)a,b,c滿足/-2必+9/-c=0,則或的最大值為

C

命題方向八：利用基本不等式證明不等式

【通性通解總結】

類似于基本不等式的結構的不等式的證明可以利用基本不等式去組合、分解、運算獲得證明.

例21.(2023?貴州?高三校聯(lián)考期中)已知a>0,b>0,且a+b=2.

⑴求4+b2的最小值；

⑵證明：Va+1+-Jb+1<2-J2.

例22.(2023?廣西南寧?統(tǒng)考二模)已知a,b,c均為正數(shù)，且4+2尸+3c?=4,證明:

⑴若a=c,則"4走；

2

(2)a+2b+3c42".

例23.(2023?貴州黔西??？家荒?設。，b,c均為正數(shù)，且a+b+c=l,證明：

(l)a2+&2+c2>j；

(2)03c+b3a+c3b>abc.

/h2

變式15.(2023?全國?高三專題練習)證明：如果a>l、b>l,那么—+工一28.

b-\a-1

變式16.(2023?江西?高三校聯(lián)考階段練習)已知。也。都是正數(shù)，且就c=l,證明:

(l)-+y>2^;

ab

21]____

(2)—I----1—2+d2b+J2c.

abc

命題方向九：利用基本不等式解決實際問題

【通性通解總結】

1、理解題意，設出變量，建立函數(shù)模型，把實際問題抽象為函數(shù)的最值問題.

2、注意定義域，驗證取得條件.

3、注意實際問題隱藏的條件，比如整數(shù)，單位換算等.

例24.（2023?全國?高三專題練習）某工廠的產(chǎn)值第二年比第一年的增長率是第三年比第二年的增長率

是鳥，而這兩年的平均增長率為P,在q+巴為定值的情況下，P的最大值為（用《、［表

示）

例25.（2023?全國?高三專題練習）薪春縣內(nèi)有一路段A長325米，在某時間內(nèi)的車流量y（千輛/小時）與

汽車的平均速度v（千米/小時）之間的函數(shù)關系為y=,交通部門利用大數(shù)據(jù)，采用“信號燈

V+2V+1600

流S*

不再固定長短，交通更加智能化”策略，紅燈設置時間7（秒）=路段長x近出"魯塞?、，那么在車流

平均速度（術/秒）

量最大時，路段A的紅燈設置時間為秒.

例26.（2023?全國?高三專題練習）某校生物興趣小組為開展課題研究，分得一塊面積為32m口的矩形空

地，并計劃在該空地上設置三塊全等的矩形試驗區(qū)（如圖所示）.要求試驗區(qū)四周各空0.5m,各試驗區(qū)之

間也空0.5m.則每塊試驗區(qū)的面積的最大值為m2.

變式17.（2023?上海長寧?統(tǒng)考二模）某小學開展勞動教育，欲在圍墻邊用柵欄圍城一個2平方米的矩形植

物種植園，矩形的一條邊為圍墻，如圖.則至少需要米柵欄.

變式18.（2023?全國?高三專題練習）黨的二十大報告將“完成脫貧攻堅、全面建成小康社會的歷史任務，實

現(xiàn)第一個百年奮斗目標”作為十年來對黨和人民事業(yè)具有重大現(xiàn)實意義和深遠歷史意義的三件大事之一.某

企業(yè)積極響應國家的號召，對某經(jīng)濟欠發(fā)達地區(qū)實施幫扶，投資生產(chǎn)A產(chǎn)品，經(jīng)過市場調(diào)研，生產(chǎn)A產(chǎn)品

的固定成本為200萬元，每生產(chǎn)x萬件，需可變成本/（力萬元，當產(chǎn)量不足50萬件時，

0（口=言尤3+6（）無；當產(chǎn)量不小于50萬件時，p（x）=10h+52-1360.每件A產(chǎn)品的售價為100元，通

過市場分析，生產(chǎn)的A產(chǎn)品可以全部銷售完，則生產(chǎn)該產(chǎn)品能獲得的最大利潤為萬元.

變式19.（2023?全國?高三專題練習）已知一扇形的圓心角為a（a>0）,扇形的周長是一定值C

（C>0）,當a為弧度時，該扇形面積取得最大值.

變式20.（2023?全國?高三專題練習）設計用32小的材料制造某種長方體形狀的無蓋車廂，按交通部門的

規(guī)定車廂寬度為2〃z,則車廂的最大容積是（）

A.（38-3773）nPB.16m3C.4&m3D.14m3

命題方向十：利用權方和不等式求最值

【通性通解總結】

若at>0,Z?;>0,m>0,

則能『+爛成立.當…的時’等號成立.

I0

例27.已知為正實數(shù)，若x+y=l,則上+士的最小值為

尤y

19

例28.設若a+b=2,貝1J——+—的最小值為()

a-1b

A.3+2A/2B.6C.40D.2忘

71

例29.已知實數(shù)滿足x>y>0且％+y=l,則-----+——的最小值是__________________

x+3yx-y

/b1

變式21.已知”1力>1，則—+4的最小值是______________________.

b-1a-1

變式22.已知x,y>0」+逑=1,則J2+y2的最小值是.

%y

1Q1

變式23.已知。，&ceR+且一r+初+==1,貝!Ia+b+c的最小值是.

命題方向H—：與a+b、/+。2和a。有關問題的最值

【通性通解總結】

利用基本不等式變形求解

例30.（多選題）（2023?廣東惠州?統(tǒng)考一模）若6"=2,6〃=3,則（）

b1

A.—>1B.cib<一

a4

11

C.a9+b7v—D.b—a>一

25

例31.（多選題）（2023?山東聊城?統(tǒng)考一模）設a>0,b>0,且a+2b=2,則（）

A.他的最大值為《B.a+b的最小值為1

C.的最小值為自D.二的最小值為：

5ab2

例32.（多選題）（2023?廣東深圳?深圳中學校聯(lián)考模擬預測）設。>0,b>0,滿足3a+力=1,下列說法

正確的是（）

1o1

A.湖的最大值為5B.4+；的最小值為8石

24ab

C.Y+k的最小值為:D.9a2+4匕2的最小值為1

變式24.（多選題）（2023?云南?高三云南師大附中校考階段練習）已知a>0,b>0,且2a+b=l,則下

列不等式一定成立的有（）

11,,1414、歷

A.ab〈—B.a+b>—C.—D.-------1—>3H-------

824a+lb~3

變式25.（多選題）（2023?遼寧朝陽?校聯(lián)考一模）設正實數(shù)滿足a+2b=1,則（）

A.工+J有最小值4B.a：有最大值;

C.血+四有最大值夜D.4+4〃2有最小值!

變式26.（多選題）（2023?江蘇?統(tǒng)考一模）已知正數(shù)。，人滿足曲=。+人+1,則（）

A.a+b的最小值為2+20B.而的最小值為1+及

c.1+：的最小值為2點-2D.2"+4"的最小值為16c

ab

變式27.（多選題）（2023?全國?模擬預測）若V+2孫+5/=4,尤,yeR,則（）

A./<1B.x2>2C.（x-y）2<8D.x2+3y2>2

變式28.（多選題）（2023?湖南?高三長郡中學校聯(lián)考階段練習）已知。>08>0,。+，=1,則下列結論正確

的是（）

A.+的最大值為gB.&+揚的最大值為1

4

C."+2,+2的最小值為7+46D.「二的最小值為3

ab2a+ba+2b

piab+/u*+

命題方向十二：待定系數(shù)法求x最值

4〃2++4c2

例33.（2023?全國?高三競賽）設工,兒z,w是不全為零的實數(shù)，且滿足

xy+2yz+zw<A（x2+y2+z2+w2）.則A的最小值是.

例34.（2023?全國?高三競賽）設x、y、z是不全是0的實數(shù).則三元函數(shù)/（xjz）=?孫;"的最大值

x+y+z

是.

例35.（2023?天津和平?高三耀華中學?？茧A段練習）若實數(shù)滿足2k+孫-y2=i,則x-2y

的最大值為.

oh+hr

變式29.（2。23?全國?高三專題練習）已知正數(shù)皿,則ET7的最大值為

V2+2X7

變式30.（2。23.浙江.校聯(lián)考模擬預測）已知實數(shù)x,九z不全為。，則仁吉▼的最小值是

最大值是_.

命題方向十三：△法求最值

例36.（2。23?全國?高三專題練習）若函數(shù)?。?下丁的最大值為.,最小值為6,則i=（）

A.4B.6

C.7D.8

例37.（2023?山東青島?統(tǒng)考模擬預測）已知實數(shù)。，。滿足lga+lg人=lg（a+2A）,則的最小值是

例38.（2023?全國?高三專題練習）設a,3e2>0,若1+2^=4,且的最大值是石，則彳=

變式31.（2023?江蘇?高三專題練習）若正實數(shù)滿足（2孫-l>=（5y+2Xy-2）,則x+4的最大值為

變式32.（2023?全國?高三專題練習）若x,y為實數(shù)且滿足/+/+2孫+x-y=0,試分別求x、y的最值.

【過關測試】

一、單選題

1.（2023?新疆喀什?高三統(tǒng)考期末）已知。>0*>0,且a+b=l,則/十〃的最小值為（）

A.-B.：C.1D.2

42

2.（2023?河南?校聯(lián)考模擬預測）已知正實數(shù)。，6,點”（1,4）在直線2+；=1上，則。+人的最小值為

ab

（）

A.4B.6C.9D.12

3.（2023?廣西南寧?南寧三中?？寄M預測）已知實數(shù)x,y滿足2元+y=2,則9'+2x3>的最小值為

（）

A.6夜B.4&C.372D.2立

4.（2023?廣西南寧?統(tǒng)考二模）某單位為提升服務質(zhì)量，花費3萬元購進了一套先進設備，該設備每年管

理費用為0.1萬元，已知使用x年的維修總費用為士^萬元，則該設備年平均費用最少時的年限為

27

（）

A.7B.8C.9D.10

5.（2023?重慶渝中?高三重慶巴蜀中學?？茧A段練習）已知%>0,丁>0,且孫+x-2y=4,則2x+y的最

小值是（）

A.4B.5C.7D.9

6.（2023?河南?高三校聯(lián)考階段練習）下列選項正確的是（）

ab4

A.-+->2B.x+->4

baX

D.Y+r二的最小值為J

c.sin-a+.的最小值為20

sinaX2+22

7.（2023?全國?模擬預測）己知“為非零實數(shù)，b,。均為正實數(shù)，則的最大值為（）

4a4+b2+c2

rV2nV3

A—B

-T24

8.（2023?河南開封?統(tǒng)考三模）已知a>0,b>0,且。+6=1,b,則下列不等式成立的是（）

A.y/a+^fb<V2+B.y[a+4b+V2

C.<^/2<+yjb

二、多選題

21

9.（2023?黑龍江大慶?大慶中學?？寄M預測）已知。>08>0,且為+人1,若不等式4+不之加恒成

ab

立，則加的值可以為（）

A.10B.9C.8D.7

10.（2023?山西?校聯(lián)考模擬預測）已知正實數(shù)。，b滿足4b=2,則（）

A.ab<—B.2a+16^>4C.—F—>D.y[a+2y[b>4

4ab2

H.（2023?江蘇揚州?高三統(tǒng)考開學考試）已知實數(shù)〃，b>0,2〃+/?=4,則下列說法中正確的有（）

113

A.工+；有最小值;B.。2+〃有最小值1

ab2

C.4。+28有最小值8D.Ina+lnb有最小值ln2

12.（2023?全國?模擬預測）已知％>0,y>0,且％+2y=肛.則下列選項正確的是（）

41

A.%+y的最小值為3+2血B.—+—的最小值為1

%y

yv81

C.log2x+log2（2j7）>5D.e——>e-l

X

三、填空題

4

13.（2023?貴州貴陽?校聯(lián)考模擬預測）若x>0,則x的最小值為

x+1

14.（2023?遼寧沈陽?高三校聯(lián)考學業(yè)考試）已知1<。<4,則六+一二的最小值是

4一〃a—1

15.（2023?全國?高三專題練習）函數(shù)y=x：；3（x>2）的最小值為

16.（2023?天津?統(tǒng)考二模）已知實數(shù)x、y滿足41+4孫+7/=3,則F+y2的最小值為.

四、解答題

17.（2023?全國?高三專題練習）某鄉(xiāng)鎮(zhèn)響應“綠水青山就是金山銀山”的號召，因地制宜的將該鎮(zhèn)打造成“生

態(tài)水果特色小鎮(zhèn)”.經(jīng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)：某珍惜水果樹的單株產(chǎn)量W（單位：千克）與施用肥料單位：千克）滿足

5（X2+3）,0<X<2

如下關系：卬。）=50x，肥料成本投入為10x元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工

-----,2<x?5

J+x

費）20x元.已知這種水果的市場售價大約15元/千克，且銷售暢通供不應求，記該水果單株利潤為〃x）（單

位：元）

⑴寫單株利潤/⑺（元）關于施用肥料x（千克）的關系式；

（2）當施用肥料為多少千克時，該水果單株利潤最大？最大利潤是多少？

18.（2023?寧夏銀川?銀川一中校考二模）已知函數(shù)/（x）=|x+4+|x+3a|.

（1）當a=-l時，求不等式/（“<4的解集；

⑵若的最小值為2,且（a-⑹（4+加）=:，求上+〃2的最小值.

nm

19.（2023?四川南充?高三四川省南充市高坪中學校考開學考試）已知函數(shù)〃司=卜-9卜段+3]

⑴求的最大值；

21

（2）正實數(shù)a,b滿足,+石=1,若對任意的a>03>0恒成立，求x的取值范圍.

20.（2023?河南?高三洛寧縣第一高級中學校聯(lián)考階段練習）己知a,b,c都是正數(shù)，且/+獷+°3=1,證

明：

(l)aZ?c<|；

⑵+(ac)5'

21.(2023.陜西銅川?統(tǒng)考二模)設函數(shù)〃x)=|2x-2|+|x+2].

⑴解不等式〃X)46T；

(2)令/'(x)的最小值為T,正數(shù)a,0,c滿足a+b+c=T,證明：+

abc3

22.(2023?四川遂寧?統(tǒng)考三模)已知函數(shù)/(X)=|XT|+|X+4，twR.

⑴若t=l,求不等式〃x)v8-x2的解集；

(2)已知加+〃=4,若對任意xeR,都存在m>0,”>0使得/(月=叫二0,求實數(shù)f的取值范圍.

mn

專題04基本不等式及其應用

【命題方向目錄】

命題方向一：基本不等式及其應用

命題方向二：直接法求最值

命題方向三：常規(guī)湊配法求最值

命題方向四：消參法求最值

命題方向五：雙換元求最值

命題方向六：“1”的代換求最值

命題方向七：齊次化求最值

命題方向八：利用基本不等式證明不等式

命題方向九：利用基本不等式解決實際問題

命題方向十：利用權方和不等式求最值

命題方向H'-—：與a+匕、/+/和ah有關問題的最值

命題方向十二:待定系數(shù)法求最值

命題方向十三：△法求最值

【2024年高考預測】

基本不等式作為工具，常結合其他知識點進行考察，如解析幾何、函數(shù)求最值，實際

應用等求范圍題型，難度為基礎題或中檔題.

【知識點總結】

1、基本不等式：血,巴吆

2

(1)基本不等式成立的條件：a>0,b>0

(2)等號成立的條件：當且僅當。=〃時，等號成立.

(3)其中竺叫做正數(shù)a,b的算術平堤數(shù)，J拓叫做正數(shù)a,6的幾何平均數(shù).

2

2、幾個重要的不等式

(1)a2+/?2?2ab(a,beR).

(2)-+-=2(a,b同號).

ab

(3)ab?(a,)(?,Z?GR).

，八a2+b2Ca+b^.

(4)——-——2J(?,PeR).

以上不等式等號成立的條件均為a=b.

3、利用基本不等式求敢值

(1)已知x,y都是正數(shù)，如果積犯等于定值尸，那么當x=y時，和x+y有最小值

14P

(2)已知尤，y都是正數(shù)，如果和尤+y等于定值S,那么當x=y時，積孫有最大值

-S2

4

注意：利用不等式求最值應滿足三個條件“一正、二定、三相等”.

【方法技巧與總結】

1、常見求最值模型

模型一：小+422^^藐(機>0,〃>0),當且僅當％=時等號成立；

xVm

模型二：mx-\——=m(x—a)——-—Fma>2y[mn+ma(m>0,n>0),當且僅當

x-ax-a

=時等號成立;

Vm

Y]i當且僅當彳=「時等號成

模型三:—----=---------V—產(chǎn)—(a>0,c>0)

^-+bx+cax+b+L2y[ac+b

X

立;

模型四：x(〃-如)=-*<L(〃”"〃、2=W(”0,-0,0<x<n，當且

mm24mm

僅當X=」_時等號成立.

2m

2、權方和不等式

若at>0,Z?>0,m>0,

m+lm+\

貝|吼+1++d2(4+。2+凡)成立.當a九匕的時，等號成立.

4"紛圖(偽+%+次

【典例例題】

命題方向一：基本不等式及其應用

【通性通解總結】

熟記基本不等式成立的條件，合理選擇基本不等式的形式解題，要注意對不等式等號

是否成立進行驗證.

例1.（2023?全國?高三專題練習）《幾何原本》卷2的幾何代數(shù)法（以幾何方法研究代數(shù)問

題）成了后世西方數(shù)學家處理問題的重要依據(jù)，通過這一原理，很多的代數(shù)的公理或定理

都能夠通過圖形實現(xiàn)證明，也稱之為無字證明.現(xiàn)有如圖所示圖形，點尸在半圓。上，點

C在直徑A2上，且上，Afi,設AC=。，BC=b,則該圖形可以完成的無字證明為

a+

A.^>4ab(a>0,b>0)B.a2+b2>2y[ab((2>0,Z?>0)

2

22

C.a<y[ab(a>0,Z?>0)na+ba+bn7八、

a+b

【答案】D

【解析】設ACiBCm可得圓。的半徑為一8cA八皇,

a+b,a—b

又由=—5C=--------b=------

22

在Rt_OCF中，WFC2=OC2+OF2=十]等)=^T~

因為尸OV/C,所以"J"+”?,當且僅當a=6時取等號.

2V2

故選：D.

例2.（2023?全國?高三專題練習）《幾何原本》第二卷中的幾何代數(shù)法（以幾何方法研究代

數(shù)問題）成了后世西方數(shù)學家處理問題的重要依據(jù)，通過這一原理，很多代數(shù)的定理都能

夠通過圖形實現(xiàn)證明，并稱之為無字證明.現(xiàn)有如圖所示的圖形，點P在半圓。上，且

OF±AB,點C在直徑A3上運動.作CD,他交半圓。于點D.設AC=a,BC=b,

則由FC2a）可以直接證明的不等式為（）

B.a1+b2>2ab(<a>0,Z?>0)

lab<a；”(q>0,6>0)a+b2

C.D.y[ab<(a>0,Z?>0)

a+b2

【答案】D

【解析】連接A。/。，由題知CDLAB,AD±DB,

所以ZADC+NCDB=NCDB+NCBD,即ZADC=NCaD,

因為NACD=NQCB=90，

所以"CD△DCS,

匚匚IACCD/—

所以，即CD=4ab，

/JCnC

因為AC=a,BC=b,

在2“a+ba+ba-b

所以。尸=