2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：課時作業(yè)七 函數(shù)的單調(diào)性與最值

七函數(shù)的單調(diào)性與最值

（時間：45分鐘分值:85分）

【基礎(chǔ)落實(shí)練】

1.（5分X多選題）下列函數(shù)中，在區(qū)間。D上是增函數(shù)的是（）

1

A.y=|x|B.y=x+3C.yqD.j?=-x2+4

【解析】選AB.函數(shù)產(chǎn)|與產(chǎn)4+4在（0,1）上都是減函數(shù).

2.（5分）函數(shù)人%）=坨（遙4）的單調(diào)遞增區(qū)間為（）

A.（0,+oo）B.（-oo,0）C.（2,+oo）D.（-oo,-2）

2

【解析】選c.由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知,要使人X）單調(diào)遞增，需xY二°，

%>0,

解得x>2.

3.（5分）函數(shù)加）=一一在區(qū)間［1,2］上的最大值與最小值分別是（）

X+1

111

A-9-B.5,2C.2JD.l9-

【解析】選A.因?yàn)楫a(chǎn)爐+1在（0,+到上單調(diào)遞增，且乃1,所以於在區(qū)間

X+1

［1,2］上單調(diào)遞減，所以函數(shù)1%）一一在區(qū)間［1,2］上的最大值與最小值分別是

X+1

1111

__2-%.

4.（5分）函數(shù)小戶百^,%￡（加,“］的最小值為0,則m的取值范圍是（）

A.(l,2)B.(-l,2)C.[l,2)D.[-l,2)

【解析】選D.因?yàn)槿斯ぃ┨?1+*在（-8,一1）上單調(diào)遞減，在（一1,+W上單調(diào)遞減,

人I.L人I.L

且當(dāng)工￡（加加時最小值為0,即人〃尸0,片2,所以加<片2.又函數(shù)?。┑亩x域分為

兩段7=2在（-l，+oc）上，故加N-1,綜上廣機(jī)<2.

X

-\'O

一1-1

5.（5分）已知定義在R上的函數(shù)人x）對任意（0,九）有人x）：/（-x）=0,且對22>0時,

有％X>0,設(shè)。4遂）步》?2）,臼（3）,則（）

人1-12

A.a<b<cB.b<c<aC.a<c<bD.c<b<a

【解析】選A.因?yàn)閷θ我釾G（。㈤人乃人-工尸。,所以代2）=/（2）,因?yàn)閄1,X2>O時有

f（X.）-f（X）LL

——4?>o,所以函數(shù)於）在區(qū)間（0m）上單調(diào)遞增，因?yàn)?<2<3,所以人也

］-2

）</（2）</（3），即人"）</（-2）</（3）,所以a<b<c.

6.（5分）（多選題）關(guān)于函數(shù)產(chǎn)（4.（%+1］,下列說法正確的是（）

A.在區(qū)間［-1,0］上單調(diào)遞減

B.單調(diào)遞增區(qū)間為

C.最大值為2

D.沒有最小值

【解題指南】先求出函數(shù)定義域，令片4?+1)2根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，由已知解析

式，逐項(xiàng)判斷，即可得出結(jié)果.

【解析】選ABC.由4-(%+1冶0得一3至口，

即函數(shù)尸,4-(%+的定義域?yàn)椋?3,1］.

令片4?+1)2,則片4-(%+1)2的圖象是開口向下、對稱軸為產(chǎn)-1的拋物線，

所以函數(shù)片4?+1)2在［一3,-1］上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

又產(chǎn)M單調(diào)遞增，所以尸而"7『在［3-1］上單調(diào)遞增，在口,1］上單調(diào)遞減，

故A,B正確；

Jmax=j4_(_］+I/2,

當(dāng)產(chǎn)-3時產(chǎn)J4_(_3+1)2=0,

當(dāng)X=1時產(chǎn)“-(1+1，=0,則Jmin=0,故C正確,D錯誤

7.(5分)函數(shù)尸-廣+2］中1的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間

為.

-x+2x+l,x>0,

【解析】嚴(yán)2

-x-2x+l5x<0,

-(%-1)+2,x>0,

即產(chǎn)，2

-(%+1)+2?x<0.

畫出函數(shù)圖象如圖所示,

則其單調(diào)遞增區(qū)間為和［0,1］,單調(diào)遞減區(qū)間為［-1⑼和［1,+功.

答案和［0,1］［10］和［1,+8）

8.（5分）函數(shù)危尸-x+：在［-2」］上的最大值是_______.

1

【解析】易知八%）在［-2,-寸上單調(diào)遞減，

12

即火-2）為最大值為2-^.

林室總

口木，2

9.（5分）函數(shù)產(chǎn)2x+的最小值為.

【解析】方法1（單調(diào)性法）:函數(shù)產(chǎn)2x+產(chǎn)I的定義域?yàn)椋?,+8）,因?yàn)楹瘮?shù)尸2x

與尸lI在定義域口,+8）上均單調(diào)遞增，

故廠2%+月1在［1,+8）上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)％=1時，Vmin=2+Jl_1=2,

即函數(shù)y=2x+C^l的最小值為2.

方法2（換元法）:令5工=力則侖0/=產(chǎn)+1,

所以原函數(shù)轉(zhuǎn)化為刖=2祥+什2=2（+）2+?

易知在易[0,+8）時,函數(shù)刖單調(diào)遞增,

所以當(dāng)片0時而）min=2,

故函數(shù)歹=2x+7^1的最小值為2.

答案：2

10.（10分）已知函數(shù)益）可.

（1）寫出函數(shù)1%）的定義域和值域；

【解析】⑴函數(shù)?。┑亩x域?yàn)椋〈ǎ?

9

又1工）=1+丁所以函數(shù)於）的值域?yàn)椋鹹[y#l｝.

（2）證明:函數(shù)/（x）在（0,+8）上單調(diào)遞減,并求1工）在x￡[2,8]上的最大值和最小值.

2(%2-%1)

>

又0<%1<%2,所以%1%20,%2-^1>0,

所以加1）次%2）>0,即加1）次）2）,

所以函數(shù)人%）在（0,+8）上單調(diào)遞減.

在X引2,8]上加）的最大值為42）=2,最小值為48諄

41

2

11.（10分）已知外）="+：+、e[l,+oo）.

1

⑴當(dāng)時，求函數(shù)人%）的最小值；

11

【解析】⑴當(dāng)喳時/)=x+五+2,

任取1<X1<X2,

(XX2XX

mi〃、〃、/、/11、i'2)(I2-1)

則大修)十%2)=(%1-%2)+----右-----

乙人］乙人*2乙人］入2

因?yàn)?<%1<%2,

所以修工2>1,所以2%1%2-1>0.

又Xi-X2<0,

所以於1)夕%2)<。,即於1)成切，

所以於)在口,+功上單調(diào)遞增.

7

所以於)在［1,+8)上的最小值為X1)^.

(2)若對任意工￡［l,+8)4x)>0恒成立，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【解析】(2)在區(qū)間口,+8)上/)恒成立=/+2%+心()恒成立.

2

設(shè)g(x)^x+2x+a(x>1),p］IJg(x)min>o.

又g(x)=(x+l)2+a-l,其圖象的對稱軸為X=-1,且開口向上，

所以g(x)在口,+8)上單調(diào)遞增，

所以g(x)在［1,+8)上的最小值為g⑴=3+a.

由3+A0得。>-3,所以a的取值范圍是(-3,+8).

【能力提升練】

12.(5分)(多選題)下列函數(shù)有最小值的是()

12

A，Xx)=x2+-^B./x)=2x+-

Xx

X-1I—

C4X)GTTDX^)=lg(V^+1)

,1

【解析】選AD.對于A/)=%2+學(xué)2,

X

1

當(dāng)且僅當(dāng)爐個,即％=±1時等號成立，故_A%)min=2,A正確.

X

對于B,當(dāng)x>0時，

外)=2%+：22,2%.|=4,

當(dāng)且僅當(dāng)即％=i時等號成立；

當(dāng)x<0時，式%)=2(-%)+三之2j(-%).三=4,當(dāng)且僅當(dāng)2(-%)=^,即x=-l時等號成立,

2

故加)￡4.所以加)=2%+工勺值域?yàn)?-8,一4］U［4,+功,無最小值,B錯誤

Y19

對于1-5T的值域?yàn)闊o最小值,C錯誤.

對于D,由題意可得｛口：彳，0,解得后0,

故危尸lg(m+1)的定義域?yàn)椋?,+8).

因?yàn)槭琹gU在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，片m+1在定義域［0,+8)上單調(diào)遞增，

所以加)=坨(m+1)在定義域［。,+8)上單調(diào)遞增，

則/(x)=lg(a+l)求0尸0,故人x)=lg(m+l)有最小值0,D正確.

f(x.)-f(x)

13.(5分)已知函數(shù)產(chǎn)/㈤的定義域?yàn)镽,對任意修通且％e2,都有」~冬Q-1,則

-X2

下列說法正確的是()

A.y=/a)+x是增函數(shù)

B.y=/(x)+x是減函數(shù)

C.y=/3)是增函數(shù)

D.y=/a)是減函數(shù)

【解析】選A.不妨令11<%2,所以修-工2<。，

/(%1)-/(^9)

因?yàn)閅1日/8)出%2)<