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文檔簡介
三年真題
io照列
目制魯港。絹施留
考點三年考情(2022-2024)命題趨勢
2023年全國I卷、2024年全國II卷
2023年新課標(biāo)全國I卷數(shù)學(xué)真題
2022年高考全國乙卷數(shù)學(xué)(文)真題
考點1:等差數(shù)列基本2023年高考全國甲卷數(shù)學(xué)(文)真題
量運算2023年高考全國乙卷數(shù)學(xué)(理)真題
2024年高考全國甲卷數(shù)學(xué)(文)真題
2024年高考全國甲卷數(shù)學(xué)(理)真題
2023年高考全國乙卷數(shù)學(xué)(文)真題
2023年全國U卷、2023年天津卷
2023年高考全國甲卷數(shù)學(xué)(理)真題
考點2:等比數(shù)列基本
2022年高考全國乙卷數(shù)學(xué)(理)真題
量運算
2023年高考全國甲卷數(shù)學(xué)(文)真題
2023年高考全國乙卷數(shù)學(xué)(理)真題
2024年北京高考數(shù)學(xué)真題
考點3:數(shù)列的實際應(yīng)2023年北京高考數(shù)學(xué)真題
用2022年新高考全國II卷數(shù)學(xué)真題高考對數(shù)列的考查相對穩(wěn)定,考
2022年高考全國乙卷數(shù)學(xué)(理)真題查內(nèi)容、頻率、題型、難度均變
化不大.等差數(shù)列、等比數(shù)列以
考點4:數(shù)列的最值問2022年高考全國甲卷數(shù)學(xué)(理)真題
選填題的形式為主,數(shù)列通項問
題2022年新高考北京數(shù)學(xué)高考真題
題與求和問題以解答題的形式為
2024年高考全國甲卷數(shù)學(xué)(文)真題主,偶爾出現(xiàn)在選擇填空題當(dāng)中,
考點5:數(shù)列的遞推問2024年新課標(biāo)全國II卷數(shù)學(xué)真題常結(jié)合函數(shù)、不等式綜合考查.
題(蛛網(wǎng)圖問題)2022年新高考浙江數(shù)學(xué)高考真題
2023年北京高考數(shù)學(xué)真題
2022年新高考浙江數(shù)學(xué)高考真題
考點6:等差數(shù)列與等
2022年新高考全國II卷數(shù)學(xué)真題
比數(shù)列的綜合應(yīng)用
2024年北京高考數(shù)學(xué)真題
2022年新高考北京數(shù)學(xué)高考真題
考點7:數(shù)列新定義問
2024年上海夏季高考數(shù)學(xué)真題
題
2023年北京卷、2024年北京卷
2024年高考全國甲卷數(shù)學(xué)(理)真題
考點8:數(shù)列通項與求2024年天津高考數(shù)學(xué)真題
和問題2023年高考全國甲卷數(shù)學(xué)(理)真題
2022年新高考天津數(shù)學(xué)高考真題
2023年天津高考數(shù)學(xué)真題
考點9:數(shù)列不等式
2023年全國II卷、2022年全國I卷
曾窟饗綴。闔滔運溫
考點1:等差數(shù)列基本量運算
1.(2023年新課標(biāo)全國I卷數(shù)學(xué)真題)設(shè)等差數(shù)列{。“}的公差為d,且d>l.令b“=3~,記S,,Z分別
an
為數(shù)列{4},{2}的前〃項和.
(1)若3a2=3%+/,尾+n=21,求{?!埃耐椆?;
⑵若低}為等差數(shù)列,且%-%=99,求小
【解析】(1),/3tz2=3^+6Z3,3d=ax+2d,解得q=d,
/.S3=3a2=3(%+d)=6d,
—=。+導(dǎo)?3
9
/.號+4=6dH—=21,
d
即2屋一7"3=0,解得d=3或d(舍去),
2
/.an=%+(〃一1)?d=3〃.
(2)???{4}為等差數(shù)列,
12212
二.2b2—bx+b3,即一=--1----,
即一3%d+2d之=。,解得%=d或%=2d,
?/J>1,「.〃〃>(),
又“-心9=99,由等差數(shù)列性質(zhì)知,99”99%=99,即%。-怎=1,
255010
「?。50=1,即〃50—〃50-2550=0,解得〃50=51或〃50=—5。(舍去)
〃50
當(dāng)。i=2d時,%0=4+49d=51d=51,解得[=1,與d>l矛盾,無解;
當(dāng)q=d時,%0=4+49d=50d=51,解得d=
綜上,d丁
2.(2022年高考全國乙卷數(shù)學(xué)(文)真題)記S“為等差數(shù)列{%}的前〃項和.若2s3=3星+6,則公差”=
【答案】2
【解析】由2邑=3$2+6可得2(4+%+%)=3(q+%)+6,化簡得2/=q+出+6,
即2(%+2d)=2q+d+6,解得d=2.
故答案為:2.
3.(2023年高考全國甲卷數(shù)學(xué)(文)真題)記S”為等差數(shù)列{%}的前"項和.若出+%=10,%%=45,則S$=
()
A.25B.22C.20D.15
【答案】C
【解析】方法一:設(shè)等差數(shù)列{%}的公差為d,首項為生,依題意可得,
%+。6=4+d+0i+5d=10,即4+3d=5,
又能仆=(4+3d)(q+7d)=45,解得:d=l,a1=2,
Sx4
所以S5=5^+-^-xJ=5x2+10=20.
故選:C.
方法二:出+。6=24=1°,44=45,所以。4=5,%=9,
從而〃="二幺=1,于是-d=5-I=4,
8-4
所以S5=5a3=20.
故選:C.
4.(2023年高考全國乙卷數(shù)學(xué)(理)真題)已知等差數(shù)列{4}的公差為年,集合S={cosaJ〃eN*},若
S={〃,/?},則出2=()
A.-1B.--C.0D.工
【答案】B
2兀2it2冗
【解析】依題意,等差數(shù)列{%/中,??=fl1+(?-l)-y=y?+(fl1-y),
2元2元
顯然函數(shù)y=cos[《_〃+?-石)]的周期為3,而“eN"即cost?"最多3個不同取值,又
{cos%|〃£N*}={a,b},
貝lj在cosax,cosa2,cosa3中,cosax=cosa2wcosa3或cosaxwcosa2=cosa3,
27r9ITTT
于是有cos0=cos(^+—),即有0+(0+—)=2kjt,keZ,解得6=kji--,keZ,
LLt、r1r-r1/1兀、r/7兀、41T7T717T1
所以《eZ,ab=cos(E--)cos-—)+—J=-cos(E7--)cosk7n=-coskucosy.
故選:B
5.(2024年高考全國甲卷數(shù)學(xué)(文)真題)已知等差數(shù)列{凡}的前〃項和為S“,若Sg=l,則4+%=()
72
A.-2B.-C.1D.-
39
【答案】D
【解析】方法一:利用等差數(shù)列的基本量
QXQ
由$9=1,根據(jù)等差數(shù)列的求和公式,S9=9q+;一d=l=9%+36d=1,
22
又%+%=q+2d+q+6d—2al+Sd=~(9q+36d)=—.
故選:D
方法二:利用等差數(shù)列的性質(zhì)
根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì),al+a9=a3+a7,由品=1,根據(jù)等差數(shù)列的求和公式,
品=9(%;%)=9(%;%)=],故生+%=:
故選:D
方法三:特殊值法
一12
不妨取等差數(shù)列公差"=。,則品=1=94=>%=§,則。3+%=2。1=§.
故選:D
6.(2024年高考全國甲卷數(shù)學(xué)(理)真題)記S“為等差數(shù)列{氏}的前〃項和,已知S5=S1°,%=1,則%=
()
77
B.C.D.
3311
【答案】B
【解析】由Ho—Ss=〃6+%+。8+〃9+%0=5%=0,則〃8=0,
則等差數(shù)列{叫的公差〃=青馬=一3,故%=%一44=1-4*[£|=:
故選:B.
7.(2023年高考全國乙卷數(shù)學(xué)(文)真題)記S,,為等差數(shù)列{4}的前,項和,已知出=11,,。=40.
(1)求{4}的通項公式;
⑵求數(shù)列{同}的前〃項和
【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為小
%=q+d=ll
at+d=114=13
由題意可得inxQ,解得
S10=10a1+^—d=402al+9d=8d=—2
所以q=13-2(“—1)=15-2”,
叱15-2嘰2,
(2)因為S“=
2
令4=15-2〃>0,解得且〃eN*,
當(dāng)〃07時,則可得<=聞+|。2卜1■⑷=4+^^----+?=S"=14八一";
當(dāng)〃28時,貝ij見<。,可得7;=聞+|%|+…+,/=(%+/+…+%)一(%+???+“〃)
222
=S7-(Sn-S7)=2S7-S?=2(14x7-7)-(1477-M)=M-14?+98:
14n—n2,n<7
綜上所述:T=
nn2—14n+98,n>8
8.(2024年新課標(biāo)全國II卷數(shù)學(xué)真題)記S“為等差數(shù)列{凡}的前"項和,若4+g=7,34+%=5,則
Ho
【答案】95
ci,+2d+d+3d—7q=-4
【解析】因為數(shù)列冊為等差數(shù)列,則由題意得3(q+d)+q+4d=5,解得
d=3
1f)xQ
貝I]Ho=10%+^—6?=10X(-4)+45X3=95.
故答案為:95.
q
9.(2023年新課標(biāo)全國I卷數(shù)學(xué)真題)記S"為數(shù)列{4}的前〃項和,設(shè)甲:{〃“}為等差數(shù)列;乙:{、}為
n
等差數(shù)列,則()
A.甲是乙的充分條件但不是必要條件
B.甲是乙的必要條件但不是充分條件
C.甲是乙的充要條件
D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件
【答案】C
【解析】方法1,甲:{4}為等差數(shù)列,設(shè)其首項為4,公差為d,
l?-n(n-l)7S”n-1ddS,
貝(JS=/Z]H----------d,=Q]H--------d7——n+a.----n+\
nIn2212n+1n2
因此{、}為等差數(shù)列,則甲是乙的充分條件;
n
反之,乙:{&}為等差數(shù)列,即辿-「電「電na,—S
s5+1常日為常數(shù)‘設(shè)為
nn+1nn(n+l)
na.-S”,
即EMT—則s“=Ff〃(〃+i),有322,
兩式相減得:an=nan+i—(n_l)a〃-2tn,即為+「%=2z,對〃=1也成立,
因此{%}為等差數(shù)列,則甲是乙的必要條件,
所以甲是乙的充要條件,C正確.
方法2,甲:{4}為等差數(shù)列,設(shè)數(shù)列{?!埃氖醉梼?nèi),公差為d,即S,=叫+W4,
則&=q+12d+因止匕{邑}為等差數(shù)列,即甲是乙的充分條件;
n222n
反之,乙:{-4為等差數(shù)列,即T—J=o,j=S]+5—1)。,
nn+1nn
即Sn=nS]+n(n-1)D,Sn_r=(n-l)Sl+(n-l)(n-2)D,
當(dāng)“22時,上兩式相減得:Sn-Sn_i=Sl+2(n-l)D,當(dāng)”=1時,上式成立,
于是%=<71+2(77-1)0,又4+1-。"=%+2"。-皿+2(〃-1)。]=2£)為常數(shù),
因此{4}為等差數(shù)列,則甲是乙的必要條件,
所以甲是乙的充要條件.
故選:C
考點2:等比數(shù)列基本量運算
10.(2023年新課標(biāo)全國II卷數(shù)學(xué)真題)記S“為等比數(shù)列{4}的前〃項和,若邑=-5,§6=2電,則Sg=().
A.120B.85C.-85D.-120
【答案】C
【解析】方法一:設(shè)等比數(shù)列{%}的公比為9,首項為4,
若q=T,貝”4=。*5,與題意不符,所以--1;
若9=1,則&=6%=3x2%=3S2wO,與題意不符,所以
由邑=一5,$6=21邑可得,%(MJ,止dl=21x&S①,
l-q1-q1-q
由①可得,1+/+/=21,解得:q2=4,
所以工:)=)x(l+</)=_5x(+16)=-85.
故選:C.
方法二:設(shè)等比數(shù)列{%}的公比為4,
因為$4=-5,56=21S2,所以qw-l,否則邑=。,
從而,$2,S’-邑,'-S’,$8-$6成等比數(shù)列,
5
所以有,(-5-S29)=邑(2電+5),解得:$2=-1或$2=“
當(dāng)邑=-1時,S2,S4-S2,S6-S4,Ss-S6,即為一1,一4,一164+21,
易知,&+21=-64,即\=-85;
當(dāng)s。=a時,=4+%+%+%=(4+%乂1+q-)=(1+)邑>o,
與$4=-5矛盾,舍去.
故選:C.
11.(2023年高考全國甲卷數(shù)學(xué)(理)真題)設(shè)等比數(shù)列{%}的各項均為正數(shù),前w項和S“,若%=1,工=5$3-4,
貝”4=()
A.—B.—C.15D.40
88
【答案】C
【解析】由題知1+4+d+/+爐=5(1+[+/)-4,
即q3+q4=4q+4q?,即/+/_4g_4=0,即(q—2)(q+l)(q+2)=0.
由題知4>0,所以9=2.
所以S4=l+2+4+8=15.
故選:C.
12.(2023年天津高考數(shù)學(xué)真題)已知數(shù)列{叫的前n項和為S“,若q=2,an+l=2Sn+2(neN*),則%=()
A.16B.32C.54D.162
【答案】C
【解析】當(dāng)"22,〃wN*時,an=2Sn_{+2,所以4田-q,=2a“,即%=3a”,
當(dāng)〃=1時,%=2S〃+2=2ax+2=6=3%,
所以數(shù)列{4}是首項為2,公比為3的等比數(shù)列,
貝!Ja4==54.
故選:C.
13.(2022年高考全國乙卷數(shù)學(xué)(理)真題)已知等比數(shù)列{。“}的前3項和為168,a2-a5=^,則6=()
A.14B.12C.6D.3
【答案】D
【解析】設(shè)等比數(shù)列{%}的公比為4應(yīng)片0,
若q=l,則0-%=。,與題意矛盾,
所以#1,
[a,=96
〃見+口
則E?1+2d3=----1--------=168,f解得1,
a2-a5=%q-%q=42L2
所以〃6=3.
故選:D.
14.(2023年高考全國甲卷數(shù)學(xué)(文)真題)記S〃為等比數(shù)列{4}的前〃項和.若8s6=7$3,則{〃〃}的公比
為.
【答案】-1
【解析】若4=1,
則由8s6=7$3得8-6%=7?3%,則%=0,不合題意.
所以#1.
當(dāng)4W1時,因為8s6=7S3,
所以8Mj6)=7.M1-0,
\-q\-q
即8-(l_q6)=7.0_/),即8.0+q3)(i_q3)=7.0_q3),即8?+q3)=7,
解得4=-;.
故答案為:
15.(2023年高考全國乙卷數(shù)學(xué)(理)真題)已知{%}為等比數(shù)列,a2a4a5=。3。6,a9aio=-8>貝4%=.
【答案】-2
【解析】設(shè){%}的公比為q(qH。),則a2%%=。3a6=%小%4,顯然4,片。,
則為=/,即//=q2,貝ljqq=l,因為°9%()=-8,貝IJ弓犬.q'=一8,
貝!Jq15=(^5)3=-8=(-2)3,貝1]]=_2,貝I]%=%q-q5=q5=-1,
故答案為:-2.
考點3:數(shù)列的實際應(yīng)用
16.(2024年北京高考數(shù)學(xué)真題)漢代劉歆設(shè)計的“銅嘉量”是命、合、升、斗、斛五量合一的標(biāo)準(zhǔn)量器,其
中升量器、斗量器、斛量器的形狀均可視為圓柱.若升、斗、斛量器的容積成公比為10的等比數(shù)列,底面直
徑依次為65mm,325mm,325mm,且斛量器的高為230mm,則斗量器的高為mm,升量器的高為—
mm.
57.5/—
【答案】23
【解析】設(shè)升量器的高為4,斗量器的高為生(單位都是mm),則
故色=23mm,/&=mm.
故答案為:23mm,坐mm.
17.(2023年北京高考數(shù)學(xué)真題)我國度量衡的發(fā)展有著悠久的歷史,戰(zhàn)國時期就已經(jīng)出現(xiàn)了類似于祛碼的、
用來測量物體質(zhì)量的“環(huán)權(quán)”.已知9枚環(huán)權(quán)的質(zhì)量(單位:銖)從小到大構(gòu)成項數(shù)為9的數(shù)列{%},該數(shù)列
的前3項成等差數(shù)列,后7項成等比數(shù)列,且4=1,%=12,%=192,則%=;數(shù)列{0}所有項的
和為.
【答案】48384
【解析】方法一:設(shè)前3項的公差為d,后7項公比為4>0,
/192”
貝M4=-=77=16,且q>0,可得4=2,
a512
貝%=l+2d=,即l+2d=3,可得d=l,
q"
空1:可得%=3,%=%/=48,
出c63(1-27)
仝2:q+%+L+%=l+2+3+3x2+…+3x2,=3+;21=384
方法二:空1:因為{q,},3WaW7為等比數(shù)列,則始=生4=12x192=482,
且4>。,所以%=48;
2
又因為城=。3a7,則%=&=3;
空2:設(shè)后7項公比為q>0,則[2=%=4,解得q=2,
a3
r,曰3(%+%)-aq3-192x2,匚0”
r9=O1
可%+/+。3=----------------------=6,%+/+色+&+%+4+%=-----------------------=331,)y\以
21-q1-2
%+%+L+Q9=6+381—生=384.
故答案為:48;384.
18.(2022年新高考全國H卷數(shù)學(xué)真題)圖1是中國古代建筑中的舉架結(jié)構(gòu),A4',BB',CC',DZ>是桁,相鄰
桁的水平距離稱為步,垂直距離稱為舉,圖2是某古代建筑屋頂截面的示意圖.其中耳他是舉,
1
OR,DG,CB「BA是相等的步,相鄰桁的舉步之比分別為加=0.5,—^=k盜=&端=k3.已知3片,片
UD]ZJCqCz?!£>AJ
成公差為0.1的等差數(shù)列,且直線Q4的斜率為0.725,則%3=()
4
A
【解析】設(shè)。2=。。1=。旦=%=1,則CG=%,B4=G,AA=%,
—-DD,+CC+BB.+AA八
依題意,有《_0?2=仁,/-01=左2,且小。a
UD]++DA]
所以竺吟為H25,故-0.9,
故選:D
19.(2022年高考全國乙卷數(shù)學(xué)(理)真題)嫦娥二號衛(wèi)星在完成探月任務(wù)后,繼續(xù)進(jìn)行深空探測,成為我
國第一顆環(huán)繞太陽飛行的人造行星,為研究嫦娥二號繞日周期與地球繞日周期的比值,用到數(shù)列也〃}:
]
]Z?=l+
112=1+3%+一■,…,依此類推,其中4cN*(左=1,2,…).則()
47=1+—,2
a
xa?H----
a2
a3
A.bx<b5B.b3<bsC.b6<b2D.b4<by
【答案】D
【解析】[方法一]:常規(guī)解法
因為4EN*(左=1,2,…),
1—1>-----1----
所以%<%+一,/"+1,得到白>打,
a.1al十——
a2
11
cc—>aH--------;__
xb>b
同理?2%+-'-,可得與<4,\3
a3
1111
->----------p-應(yīng)+py------------
又因為%+p%+—%+p,
%-------03%H-----
%%
故%<。4,&>仇;
以此類推,可得4>4>々>為>…,氏,故A錯誤;
印>2>4,故B錯誤;
11
%%+—得b2Vb6,故C錯誤;
a3+----
11
?i+------J—>?i+---------1—
?2+-----「4+…-----廠,得。4<方7,故D正確.
。3---。6---
a4%
[方法二]:特值法
=,
不妨設(shè)%,=1,則,=2必=彳,b3=-,b4=-,b5=—,b6=—,b7=—,b8T7
,DJo1J34
&<偽故D正確.
考點4:數(shù)列的最值問題
2q
20.(2022年高考全國甲卷數(shù)學(xué)(理)真題)記,為數(shù)列加“}的前”項和.已知」%+”=2%+1.
n
(1)證明:{4}是等差數(shù)列;
(2)若%,四,的成等比數(shù)列,求S”的最小值.
2s
【解析】(1)因為一-+n=2a+l,gp2S+n2=2na+n@,
nnnn
當(dāng)2時,2sl+(〃—l)2=2(〃一I)%7+(n-l)@,
①—②得,2S〃+*—2S〃_]—(〃—1)=+〃一—1),
即2(1fl+2〃-1=2rle1n—2(〃-1)+1,
即2(〃—1)4一2(〃一1)4_1=2(〃-1),所以%且TIGN*,
所以{%}是以1為公差的等差數(shù)列.
(2)[方法一]:二次函數(shù)的性質(zhì)
由⑴可得。4=%+3,〃7=%+6,%=。1+8,
又〃4,。7,。9成等比數(shù)列,所以%2=%,。9,
即(4+6)2=(1+3)?+8),解得%=-12,
所以-一",所以s-⑵
所以,當(dāng)〃=12或〃=13時,(5^)^=-78.
[方法二]:【最優(yōu)解】鄰項變號法
由(1)可得。4=%+3,%=q+6,%=。1+8,
又。4,。7,。9成等比數(shù)列,所以%2=%?。9,
即(4+6)2=(%+3>(4+8),解得%=-12,
所以?!?〃-13,即有<。2<…V%2<°,%3=0.
則當(dāng)〃=12或〃=13時,(5.)*=—78.
【整體點評】(2)法一:根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出S”的最小值,適用于可以求出S,的表達(dá)式;
法二:根據(jù)鄰項變號法求最值,計算量小,是該題的最優(yōu)解.
21.(2022年新高考北京數(shù)學(xué)高考真題)設(shè){q}是公差不為0的無窮等差數(shù)列,則“{4}為遞增數(shù)列”是“存
在正整數(shù)N。,當(dāng)〃>N0時,%>0”的()
A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件
C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件
【答案】C
【解析】設(shè)等差數(shù)列{%}的公差為d,則1片0,記區(qū)為不超過尤的最大整數(shù).
若{。,}為單調(diào)遞增數(shù)列,則d>0,
若生20,則當(dāng)2時,>Gj>0;若%<0,則=卬+(n-l)d,
由1”>。可得〃>1—十,取乂=1一十+1,則當(dāng)“〉乂時,an>0,
所以,“也}是遞增數(shù)列”="存在正整數(shù)乂,當(dāng)時,見>0";
若存在正整數(shù)N。,當(dāng)“AN。時,a?>0,取上eN*且無>乂,ak>0,
彳段設(shè)d<0,令?!?以+(力一女)d<??傻米笠惶枺襨-4〉k,
當(dāng)w>k4+1時,an<0,與題設(shè)矛盾,假設(shè)不成立,則d>0,即數(shù)列{%}是遞增數(shù)列.
所以,“{4}是遞增數(shù)列”="存在正整數(shù)N。,當(dāng)〃〉N。時,4>0”.
所以,"{〃“}是遞增數(shù)列”是“存在正整數(shù)乂,當(dāng)〃〉N。時,%>0”的充分必要條件.
故選:C.
考點5:數(shù)列的遞推問題(蛛網(wǎng)圖問題)
22.(2024年高考全國甲卷數(shù)學(xué)(文)真題)已知等比數(shù)列{4}的前"項和為S“,且2s“=3q”「3.
⑴求{4“}的通項公式;
⑵求數(shù)列{S'}的前”項和.
【解析】(1)因為2s“=3a”+「3,故2S,T=34-3,
所以2%=3a?+1-3a?(?>2)即5an=3a用故等比數(shù)列的公比為q=}
5
故24
(2)由等比數(shù)列求和公式得s“二3,5丫3
2{3)~2
所以數(shù)列⑸}的前“項和
T?=sl+s2+s3+-+s?
23.(2024年新課標(biāo)全國H卷數(shù)學(xué)真題)已知雙曲線。:/-9=加(加>。),點爪5,4)在。上,k為常數(shù),
0<k<l.按照如下方式依次構(gòu)造點月(〃=2,3,...):過匕―作斜率為%的直線與C的左支交于點,令尸“為
關(guān)于y軸的對稱點,記P?的坐標(biāo)為(乙,%).
⑴若次=—,求/,%;
(2)證明:數(shù)歹(]{%-%}是公比為界的等比數(shù)列;
(3)設(shè)S“為△月上+2的面積,證明:對任意正整數(shù)〃,S.=S…
【解析】(1)
由已知有機=52-42=9,故C的方程為尤2一V=%
當(dāng)次=g時,過耳(5,4)且斜率為g的直線為>=號,與犬-丁=9聯(lián)立得到/一廠/J=9.
解得x=-3或x=5,所以該直線與C的不同于丹的交點為2(-3,0),該點顯然在C的左支上.
故£(3,0),從而%=3,j2=0.
(2)由于過匕(x,,%)且斜率為左的直線為了=左口-%)+%,與尤2-9=9聯(lián)立,得到方程
爐-(3-尤“)+%)2=9.
展開即得(1一公卜2-2左(%-/卜一(>“一心)2-9=0,由于匕(%,%)已經(jīng)是直線>=左口一七)+%和
V-y=9的公共點,故方程必有一根苫=尤”.
從而根據(jù)韋達(dá)定理,另一根x=2二%一心)_2仔“一斗;Ex”,相應(yīng)的
i-k21-k2
y=k(x-xrl)+yn=y;產(chǎn)“
所以該直線與C的不同于pn的交點為Q?12機??;;也,%+?;;2您],而注意到Qn的橫坐標(biāo)亦可通過
\\—K1—k.
一(%一句)_9
韋達(dá)定理表示為,故。"一定在C的左支上.
(1-陰匕
%+左2%-2左匕「
所以4"+:'31-k2,
這就得到%+1=x"+Ex/ky“y“+k2y,_2kx“
y
n+1i-k2
%+k2x“2ky”%+Ey“-2日“
所以無用
l-k2l-k2
一X"+k2x"+2kX"笫+3%+2外“l(fā)+/+2g、
一\-k2\-k2-\-k2("%卜]_八%%>
再由X;-y;=9,就知道玉-y產(chǎn)。,所以數(shù)歹!]{%-%}是公比為界的等比數(shù)列.
1-K,
(3)方法一:先證明一個結(jié)論:對平面上三個點U,V,W,若討=(a,b),UW=(c,d),貝=g|ad-bc|.
(若。,匕W在同一條直線上,約定£皿=0)
證明:=!|[7v|?|W|sinUV,(7W=||[7v|?|[7w|yjl-cos2UV,UW
、2
=JJ"+力2)卜2+筋)―+萬行
=^a2c2+a2d2+b2c2+b2d2-a2c2-b2d2-labcd
——2d2+Z7%2-2abcd——J(ad-be)——\ud—6d.
證畢,回到原題.
x“+/%―2@.y“+Ey“-2hc,
由于上一小問已經(jīng)得到無用,yi=
1-Fn+\-k2
2
*"+入,201y"+k、2”l+k-2k1-k
故x“+i+y,+i=
l-k21一尸l-k21+k
再由x;一才=9,就知道為+y產(chǎn)0,所以數(shù)列卜+為}是公比為詈的等比數(shù)歹!J.
所以對任意的正整數(shù)機,都有
yn+myn^n+m
=5(%-%)(%+,”+%+,”)—](%.+y“)(x“+,“-yn+m)
而又有Pn+iP?=(一(七+1一%),一(笫+「")),Pn+lPn+2=(無“+2一%+1,%+2一%+1),
故利用前面已經(jīng)證明的結(jié)論即得
X
S"=SAP,P”、P*=;K%+1-X")(%+2-%+1)+(%+11%)(尤"+2-n+\)|
X
=|(%+1一%)(券+2—券+1)一(yn+l~%)(X"+2—n+1)|
=[5+1%+2-%+1無“+2)+(無“%+1-XA+1)-(%笫+2-笫/+2)|
_19fl-k1+左)9fl-k1+左)911—左)[1+2)]
-22Ll+l-b:lJ+2Ll+l_b:lJ_2[Li+lJ-ll^JJ
這就表明S”的取值是與〃無關(guān)的定值,所以S〃=S〃M.
x?=2
方法二:由于上一小問已經(jīng)得到+1—;2=y.+k%:2kxlt,
,一乂“+丘-2ky,y+k2y-2kx.l+k2-2k,、1-k
故心+y…-rpn+—nrpn
再由x;-y;=9,就知道西+y尸0,所以數(shù)歹U{居+為}是公比為m的等比數(shù)歹l].
所以對任意的正整數(shù)優(yōu),都有
yn+m-Vn^n+m
XX
~((nn+m~>〃笫)+(%〃/+加一V〃七葉相))一]((%〃%〃+〃?—>〃%+加)一(%〃%+機-V〃/+加))
=XX
~(n~yn)(n+rn+yn+m)一(當(dāng)+%)(當(dāng)+加一”+祖)
、、玨/白天19,1—%\+k
這就得到35f+2%=5巾-1Tl=%%+1—%玉+1,
//
,9(1-k
以及加為+3-"“+3=],1+A.=%%+2一%%+2?
兩式相減,即得(x“+2%+3-%+2%+3)—(居+1%+3-%+1%+3)=(招為+1一%%+1)一(先%+2—%%+2).
XXX
移項得到Xn+2yn+3-y?n+2-無“+1%+3+XA+1=y?+2n+3-nyn+2-笫+1當(dāng)+3+無“%+1.
故(%+3-%)(七+2一%+1)=(%+2-%+J(X"+3一%)?
而匕匕+3=(%+3一%%+3—'£+1匕+2=(%+2-%+1,%+2—%+1)-
所以9+3和2/+2平行,這就得到%MJ"小曲,即S“=S心
24.(2022年新高考浙江數(shù)學(xué)高考真題)已知數(shù)列{4}滿足q=1,%包=%-3片(附eN*),貝ij()
57
A.2<IO。%。。<—B.~<IOC)。]。。<3C.3<IOC)。]。。<—
7
D.-<100a1()0<4
【答案】B
【解析】???1=1,易得出=:£(。,1),依次類推可得見?0,l)
(
由題意‘%二叩一1鏟/即Z1TE3TZ1+10,
?J____11)1
an+lan3—4〃3,
1111111——〉」,(〃22)
即1丁3,
^^3(^23〃4/3
1111
累加可得1即丁尸2)32),
(總,(〃冽,即5(,Woo〈詈3,
1]
<—=+(n>2)
3_33(n+l)
又4+13-4
n+2
?±_J_1--<第+,],(〃23),
?2a\31nJ
累加可得:-捫+/-+力,(心),
———1<33+-|-1+-1+?.-+<33+-1|-x4+-x96|<39,
?1003(2231003(26
即;<40,q00>[,即100%)0>:;
%oo4UL
綜上:—<lOOc(loo<3.
故選:B.
1,
25.(2023年北京高考數(shù)學(xué)真題)已知數(shù)列{凡}滿足氏+1=型,-6)3+6(〃=1,2,3,…),則()
A.當(dāng)q=3時,{%}為遞減數(shù)列,且存在常數(shù)MW0,使得4>河恒成立
B.當(dāng)%=5時,{%}為遞增數(shù)列,且存在常數(shù)MW6,使得?!埃技雍愠闪?/p>
C.當(dāng)囚=7時,{%}為遞減數(shù)列,且存在常數(shù)V>6,使得恒成立
D.當(dāng)q=9時,{4}為遞增數(shù)列,且存在常數(shù)M>0,使得凡<加恒成立
【答案】B
1O1O
【解析】法1:因為%=a(?!?6)'+6,故%-6=a(a,-6),
對于A,若4=3,可用數(shù)學(xué)歸納法證明:?!?6W-3即%W3,
證明:當(dāng)〃=1時,。1-6=-34-3,此時不等關(guān)系%K3成立;
設(shè)當(dāng)〃=左時,4-64—3成立,
則為+i—6=;(以―6)3E1—54,—,故見+i—6W—3成立,
由數(shù)學(xué)歸納法可得%43成立.
而an+\~an=~(an~6)^--6)=(%-6);(4-6『一1
1295
-(??-6)"-1>--1=->0,a?-6<0,故見+「%<。,故。用<%,
故{%}為減數(shù)列,注意,M-6V-3<0
1、a/1Q
故見+i-6=Z(%-6)=(<??-6)x-(a?-6)'<-(a?-6),結(jié)合為+J-6<0,
所以6-4+i](6,故6-%23電,故6+|46-3弓,
若存在常數(shù)MWO,使得〃“>加恒成立,貝>M,
<QYi6-M
故2_吃>2,故〃<10g9二一,故q
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