浙教版2024-2025學年度九年級上冊數(shù)學 垂徑定理知識點分類訓練

3.3垂徑定理知識點分類訓練

班級:姓名:

考點一：垂徑定理的概念

例i.下列說法正確的是（）

A.垂直于弦的直線平分弦所對的兩條弧B.平分弦的直徑垂直于弦

C.垂直于直徑的直線平分這條直徑D.弦的垂直平分線經過圓心

變式1-1.下列說法正確的是（）

A.垂直于弦的直線平分弦所對的兩條弧

B.平分弦的直徑垂直于弦

C.垂直于直徑的弦平分這條直徑

D.過弦（不是直徑）的中點的直徑平分弦所對的兩條弧

變式1-2.下列幾個命題：①圓是軸對稱圖形；②垂直于弦的直徑平分這條弦；③平分弦

的直徑垂直于這條弦；④三點確定一個圓.其中是真命題的是（）

A.①②B.①②③C.①②④D.①②③④

考點二：垂徑定理的推論

例2.《九章算術》是人類科學史上應用數(shù)學的“算經之首”，書中記載了這樣一個問題：

“今有圓材，埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，間：徑幾何？”用現(xiàn)

在的幾何語言表達即：如圖，CD為。。的直徑，弦4B1CD于點RCE=1寸，4B=10寸,

貝UCD的長為（）

A.26寸B.13寸C.24寸D.12寸

變式2-1.如圖，點4B在。。上，直徑MN14B于點C,下列結論中不一定成立的是

()

A.AC^CBB.OC=CNc.AN=BND.AM=BM

變式2-2.如圖，AB是。。的直徑，CD是。。的弦，43100于點區(qū)則下列結論不一定

正確的是要（）

B.[BC=[BD

A.CE=EDC.OE=BED.OA=OB

考點三：利用垂徑定理求值

例3.月亮門是中國古典園林、住宅中常見的圓弧形洞門（如圖1）,因圓形如月而得

名.月亮門因其寓意美好且形態(tài)優(yōu)美，被廣泛使用.圖2是小智同學家中的月亮門示意圖,

經測量，水平跨徑4B為1.8米，水平木條和鉛錘木條CD長都為0.3米，點C恰好落在

D.L4米

變式3-1.日常生活中常見的裝飾盤由圓盤和支架組成（如圖1）,它可以看作如圖2所示

的幾何圖形.已知48=CD=7cm,4B1BD于點8,于點D,BD=14cm,

。。的半徑r=9CM,則圓盤離桌面BD最近的距離是（）

o

圖1圖2

A.4位cmB.(9-4^/2)cm(3(4^/2-2)cmD.2cm

變式3-2.如圖，在半徑為5的O。中，弦28與弦CD互相垂直，垂足為點￡,如果

D.4瓢

考點四：垂徑定理的實際應用

例4.某項目化研究小組只用一張矩形紙條和刻度尺，來測量一次性紙杯杯底的直徑.小

敏同學想到了如下方法：如圖，將紙條拉直并緊貼杯底，紙條的上下邊沿分別與杯底相交

于力、B、JD四點，然后利用刻度尺量得該紙條的寬為3.5cm,

AB=4cm,C。=3cm.請你幫忙計算紙杯杯底的直徑為（）

D.6cm

變式4-1.如圖①，是一個壁掛鐵藝盆栽，花盆外圍為圓形框架.圖②是其截面示意圖,

。為圓形框架的圓心，弦和器所圍成的區(qū)域為種植區(qū).已知4B=30,。。的半徑為

17,則種植區(qū)的最大深度為（）

圖①圖②

A.6B.7C.8D.9

變式4-2.如圖1,平底燒瓶是實驗室中使用的一種燒瓶類玻璃器皿，主要用來盛液體物質,

可以輕度受熱，如圖2,它的截面圖可以近似看作是由?！闳サ魞蓚€弓形后與矩形"BCD組

合而成的圖形，其中BCIIMN,若。。的半徑為25,AB=36,8C=14,MN=30,則該

A.20B.40C.60D.80

參考答案

考點一：垂徑定理的概念

例1.下列說法正確的是（）

A.垂直于弦的直線平分弦所對的兩條弧B.平分弦的直徑垂直于弦

C.垂直于直徑的直線平分這條直徑D.弦的垂直平分線經過圓心

【答案】D

【分析】根據(jù)垂徑定理對選項A、C進行判斷，根據(jù)垂徑定理的推論對B、D選項進行判

斷.

【詳解】解：A.垂直于弦的直徑平分弦所對的兩條弧，所以A選項錯誤；

B.平分弦（非直徑）的直徑垂直于弦，所以B選項錯誤；

C.垂直于直徑的弦被這條直徑平分，所以C選項錯誤；

D.弦的垂直平分線經過圓心，所以D選項正確.

故選：D.

變式1-1.下列說法正確的是（）

A.垂直于弦的直線平分弦所對的兩條弧

B.平分弦的直徑垂直于弦

C.垂直于直徑的弦平分這條直徑

D.過弦（不是直徑）的中點的直徑平分弦所對的兩條弧

【答案】D

【分析】根據(jù)垂徑定理及其推論，進行判斷即可.

【詳解】解：A、垂直于弦的直徑平分弦所對的兩條弧，選項錯誤；

B、平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，選項錯誤；

C、垂直于直徑的弦被直徑平分，選項錯誤；

D、過弦（不是直徑）的中點的直徑平分弦所對的兩條弧，選項正確.

故選D.

變式1-2.下列幾個命題：①圓是軸對稱圖形；②垂直于弦的直徑平分這條弦；③平分弦

的直徑垂直于這條弦；④三點確定一個圓.其中是真命題的是（）

A.①②B.①②③C.①②④D.①②③④

【答案】A

【分析】根據(jù)圓周角定理、垂徑定理及確定圓的條件，結合題意進行判斷即可.

【詳解】圓既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故①正確；

垂直于弦的直徑平分這條弦，故②正確；

平分弦的直徑垂直于弦，這個弦需要排除直徑，故③錯誤；

不在同一直線上的三點確定一個圓，故④錯誤；

綜上可得正確的是①②

故選A

考點二：垂徑定理的推論

例2.《九章算術》是人類科學史上應用數(shù)學的“算經之首”，書中記載了這樣一個問題：

“今有圓材，埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，間：徑幾何？”用現(xiàn)

在的幾何語言表達即：如圖，CD為。。的直徑，弦481CD于點RCE=1寸，48=10寸,

則以＞的長為（）

A.26寸B.13寸C.24寸D.12寸

【答案】A

【分析】此題考查了學生對垂徑定理的運用與掌握，注意利用圓的半徑，弦的一半及弦心

距所構成的直角三角形來解決實際問題，連接。4構成直角三角形，先根據(jù)垂徑定理，由

DE垂直力8得到點￡為的中點，由48=10可求出2E的長，再設出設圓。的半徑%的長

為x,表示出°E,根據(jù)勾股定理建立關于方的方程，求出方程的解即可得到x的值，即為

圓的半徑，把求出的半徑代入即可得到答案.

【詳解】解：連接。4

._AE=BE=S,

設圓。的半徑的長為x,則℃=OD=儲

■.■CE=1,

：.0E=x-1,

在直角三角形Z°E中，根據(jù)勾股定理得：

X2-(X-1)2=52,化簡得：X2-X2+2X-1=25,

即2x=26,

解得：％=13,

-.CD=26(寸).

故選：A.

變式2-1.如圖，點4B在。。上，直徑MN14B于點C,下列結論中不一定成立的是

A.AC=CBB.OC=CNc.AN=BND.AM=BM

【答案】B

【分析】本題主要考查的是垂徑定理.由題意可知"N為垂直于弦的直徑，根據(jù)垂徑定理

即可做出正確的判斷.

【詳解】解：根據(jù)"N為。。的直徑，且MN1AB,垂足為C,則MN是垂直于弦4B的直徑,

滿足垂徑定理.

M

所以MN是48的垂直平分線，

因而4C=CB,AN=BN,AM=BM,都是正確的.

所以選項B、℃=CN不一定成立.

故選：B.

變式2-2.如圖，AB是。。的直徑，CD是。°的弦，43100于點區(qū)則下列結論不一定

正確的是要（）

IIII

A.CE=EDB.BC=BDC.OE=BED.OA=OB

【答案】C

【分析】

本題考查了垂徑定理.解題的關鍵是熟練掌握垂徑定理的內容.由于4B1CD,根據(jù)垂徑定

理有=因為。4、0B都為圓的半徑，可得。4=。艮不能得

出。E=BE.

【詳解】解：「陽1皿

；.CE=ED,W=所以A選項、B選項正確，不符合題意；

只有當CD垂直平分°B時，OE=BE,所以C選項符合題意；

???。40B都為圓的半徑，

：.OA=OB,所以D選項正確，不符合題意.

故選：C.

考點三：利用垂徑定理求值

例3.月亮門是中國古典園林、住宅中常見的圓弧形洞門（如圖1）,因圓形如月而得

名.月亮門因其寓意美好且形態(tài)優(yōu)美，被廣泛使用.圖2是小智同學家中的月亮門示意圖,

經測量，水平跨徑4B為1.8米，水平木條和鉛錘木條CD長都為0.3米，點C恰好落在

。。上，則此月亮門的半徑為（）

【分析】本題考查了垂徑定理，勾股定理，矩形的判定與性質，解題的關鍵是正確作出輔

助線.過點。作于點N,過點C作CM1ON于點M,由垂徑定理得

AN=NB=%B=09,證明四邊形CDNM是矩形，得到MN=CD=0.3米，

CM=DN=BD+BN=0.3+°.9=1.2米，設該圓的半徑為r米，然后根據(jù)題意列方程組即

可求解.

【詳解】解：如圖，過點。作0N1A8于點N,過點C作CM1ON于點M,

圖2

1

則加=稗=/8=0.9米,乙OND=^CMN=9。。,

???CDLAB,

???/.CDN=90°,

???四邊形CDNM是矩形，

.?.MN=CD=0.3米，CM=DN=BD+BN=0.3+0.9=1.2米,

設該圓的半徑為丁米，

222

(ON=r-0.9

[0M2=r2-1.22

根據(jù)題意得：I°M=°N-0.3,

(ON=1.2

)r=1.5

解得：1?！?0.9,

即此月亮門的半徑為16米，

故選：C.

變式3-1.日常生活中常見的裝飾盤由圓盤和支架組成（如圖1）,它可以看作如圖2所示

的幾何圖形.已知力B=CD=7cm,AB1BD于點B,CD1BD于點D,BD=14cm,

O。的半徑丁=9cm,則圓盤離桌面8D最近的距離是（）

A.4$cmB,(9-4A/2)cmc.(4但-2)cznD.2cm

【答案】C

【分析】本題主要考查了垂徑定理、矩形的判定與性質、勾股定理等知識，正確作出輔助

線是解題關鍵.連接%、AC,過點。作OE1BD,交BD于點E,交AC于點F,交于點G,

易得四邊形4BDC、四邊形4BEF均為矩形，由垂徑定理可得力F=7cm,在中，

由勾股定理可解得。尸的長度，進而可計算的長度，然后計算圓盤離桌面BD最近的距離

即可.

【詳解】解：連接%、AC,過點。作0E1BD,交BD于點E,交4c于點憶交。。于點G,

■-AB1BD,CDLBD,

,-.AB||CD,

■：AB=CD=7cm,

???四邊形/BDC為平行四邊形，

又?,.AB1BD,

?"。=90。，

...四邊形ZBDC為矩形，

:,AC||BD,ACAB=^ABD=90°,AC=BD=14cmf

?：0E1BD,

:,0E1ACf

.AF=CF="C=7cm

由??。4=OG=r=9cm,

2222

...在Rt△Z0F中，OF=y)0A-AF=^9-7=4Mlem,

...OE1犯

./BEF=Z.CAB=乙ABD=90°,

???四邊形"BEF為矩形，

,-,FE=AB=7cm,

:OE—OF+FE=(4^/2+7)cm,

...GE=OE-OG=4^2+7—9=(4^2—2)CTTI,

即圓盤離桌面B。最近的距離是(4隹-2)CM.

故選：C.

變式3-2.如圖，在半徑為5的。。中，弦4B與弦CD互相垂直，垂足為點￡,如果

AB=CD=8,那么OE的長為()

A.3?B.3C.4D.S

【答案】A

【分析】本題考查的是正方形的判定與性質，垂徑定理的應用，勾股定理的應用，熟練的

應用垂徑定理求值是解本題的關鍵.如圖，連接℃,04過。作°"14B于4過。作

°（210。于。再利用垂徑定理求解。Q=°H=3,再證明四邊形OQEH是正方形，再利用勾

股定理可得答案.

【詳解】解：如圖，連接。G04過。作。于H,過。作OQ1CD于Q,

vOC=OA=5,

???0Q=^OC2-CQ2=3,OH=^OA2-AH2=3,

OQ=OH,

???AB1CD,OQ1CD,OH1AB,

???四邊形°QE"是正方形，

???OH=EH=3,

■■OE=^32+32=3^2.

故選A.

考點四：垂徑定理的實際應用

例4.某項目化研究小組只用一張矩形紙條和刻度尺，來測量一次性紙杯杯底的直徑.小

敏同學想到了如下方法：如圖，將紙條拉直并緊貼杯底，紙條的上下邊沿分別與杯底相交

于4、B、C、D四點，然后利用刻度尺量得該紙條的寬為3.5cm,

AB=4cm,CD=3cm.請你幫忙計算紙杯杯底的直徑為（）

D.6cm

【答案】B

【分析】本題考查垂徑定理的應用，勾股定理.由垂徑定理求出8N,CM的長，設ON=x,

由勾股定理得到/+22=（3.5-乂）2+1.52,求出久的值，得到。N的長，由勾股定理求出

。3長，即可求出紙杯的直徑長.

【詳解】解：如圖，MN1AB,MN過圓心。，連接°D,OB,

MN=3.5cm,

-AB||CD,

???MNLCDf

???CM=|C￡)=|x3=1.5(cm)|x4=2(cm)

設ON=xcm,

OM=MN—ON=(3.5—x)cm,

???OM2+MC2=OC2,ON2+BN2OB2,

■.OM2+MC2=ON2+BN2,

???(3.5-X)2+1.52=X2+22,

???x=1.5,

???ON=1.5(cm),

2222

OB=^ON+MB=^1.5+2=2.5(cm)；

紙杯的直徑為26x2=5(cm).

故選：B.

變式4-1.如圖①，是一個壁掛鐵藝盆栽，花盆外圍為圓形框架.圖②是其截面示意圖,

。為圓形框架的圓心，弦和媼所圍成的區(qū)域為種植區(qū).已知AB=30,。。的半徑為

17,則種植區(qū)的最大深度為（）

圖①圖②

A.6B.7C.8D.9

【答案】D

【分析】本題考查了圓的相關知識以及垂徑定理，如圖，作°C14B交AB于點C,交

。。于點口,連接。4然后利用勾股定理求出C