全國自考公共課線性代數(shù)(經(jīng)管類)模擬試卷16(題后含答案及解析)

全國自考公共課線性代數(shù)（經(jīng)管類）模擬試卷16(題后含答案及解析)題型有：1.單項選擇題2.填空題3.計算題4.證明題單項選擇題在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填寫在題后的括號內(nèi)。錯選、多選或未選均無分。1．設(shè)A，B為n階方陣，則下列各式一定成立的是()A．(A+B)2=A2+2AB+B2B．(A+B)2=A2+AB+BA+B2C．(A+B)(A-B)=A-B2D．(A-B)(A+B)=A2一B2正確答案：B解析：矩陣乘法不滿足交換律．2．設(shè)A為n階方陣，E為n階單位矩陣，若A2=E，則一定有()A．r(A-E)=0B．r(A+E)=0C．r(A)=nD．r(A)＜n正確答案：C解析：由(A—E)(A+E)=O得A2=E，由于A2=E，故|A2|=|A|2=1，|A|≠0，A可逆，所以r(A)=n．3．下列矩陣中不是初等方陣的是()A．B．C．D．正確答案：C解析：初等方陣即由單位矩陣E經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣．4．非齊次線性方程組Ax=β中，A和增廣矩陣A的秩都等于4，A是4×6矩陣，則()A．無法確定方程組是否有解B．方程組無解C．方程組有無窮多組解D．方程組有惟一組解正確答案：C解析：由于方程組的系數(shù)矩陣和增廣矩陣的秩相同，方程組必有解。又因為方程組的未知數(shù)個數(shù)等于6，而系數(shù)陣的秩等于4，因此方程組有無窮多組解．5．下列命題正確的是()A．Ax=b有無窮多解，則Ax=0僅有零解B．Ax=b有無窮多解，則Ax=0有非零解C．Ax=0有非零解，則Ax=b有無窮多解D．Ax=0僅有零解，則Ax=b有唯一解正確答案：B解析：齊次方程Ax=0一定有解，而非齊次方程Ax=b不一定有解，因此C和D都不一定成立．Ax=b有無窮多解，Ax=0有非零解，故選B.填空題請在每小題的空格中填上正確答案。錯填、不填均無分。6．設(shè)3階方陣A=(α1，α2，α3)，其中αi(i=1，2，3)為A的列向量，若|B|=|α1+2α2，α2+3α3，α3|=8，則|A|=________．正確答案：8解析：|B|=|α1+2α2，α2+3α3，α3|=|α1+2α2，α2，α3|=|α1，α2，α3|=|A|=8．7．已知四階行列式D的第一行元素依次為1，3，0，一2，第三行元素對應(yīng)的代數(shù)余子式依次為8，k，一7，10，則k=_________．正確答案：4解析：根據(jù)代數(shù)余子性質(zhì)8+3k一20=0得k=4．8．3階方陣A的行列式|A|=一3，則|一2A|=_________．正確答案：24解析：|一2A|=(一2)3.|A|=一8×(-3)=24．9．設(shè)A為三階可逆陣，，則A*=_________．正確答案：解析：10．設(shè)2階實對稱矩陣A的兩個特征值分別為一2，一3，則矩陣為__________定矩陣，|A|=______，多項式f(x)=x2一1，則|f(A)|=________．正確答案：負，6，24解析：由于A的兩特征值一2，一3均小于0，則A為負定矩陣．|A|=一2×(一3)=6．f(A)的特征值f(一2)=3,f(一3)=8，則|f(A)|=3×8=24．11．設(shè)A為3階方陣，|A|=3，則其行列式|3A|=_________．正確答案：34解析：|3A|=33.|A|=34．12．齊次線性方程組正確答案：k(3，一2，1)T，其中k為任意常數(shù)解析：原方程．以z為自由變量，基礎(chǔ)解系為(3，一2，1)T，則=k(3，一2，1)T，k為常數(shù)．13．設(shè)A，B都為n階對稱矩陣，則AB也為對稱矩陣的充要條件為________．正確答案：AB=BA解析：A，B為n階對稱矩陣，則AT=A，BT=B，因為AB也是對稱矩陣．(AB)T=BTAT=BA=AB，故A，B都為n階對稱矩陣，則AB也為對稱矩陣的充要條件為AB=BA.14．設(shè)，γ=一2α-β，則α+β一3γ=________．正確答案：解析：15．若矩陣．則二次型xTAx=_________．正確答案：x12+2x22+5x32+2x1x2—4x2x3解析：因為．所以由二次型的定義可知f(x)=x12+2x22+5x32+2x1x2—4x2x3．計算題16．計算行列式正確答案：17．已知先用初等行變換化為行最簡形，再用初等列變換將其化為等價標準形．正確答案：A的行最簡形和其等價標準形都是18．求矩陣的秩和列向量組的極大無關(guān)組，并用其表示向量組中其余向量．正確答案：設(shè)A=(α1，α2，α3，α4)，(α1，α2，α3，α4)=所以r(A)=3，α1，α2，α3為向量組的一個極大無關(guān)組，且α4=α1一α2+α3．19．已知向量組α1=(1，一1，2，4)T，α2=(0，3，1，2)T，α3=(3，0，7，14)T，α4=(1，一2，2，0)T，α5=(2，1，5，10)T．求此向量組的一個極大無關(guān)組，并把其余向量用該極大無關(guān)組線性表出．正確答案：(α1，α2，α3，α4，α5)=所以α1,α2，α4是一個極大線性無關(guān)組，且α5=2α1+α2+0α4，α3=3α1+α2+0α4．20．已知矩陣相似，求x，y．正確答案：由于A，A相似，所以它們的行列式和跡相同，即21．設(shè)求一個正交矩陣P，使得p-1AP為對角矩陣．正確答案：矩陣的特征多項式為得A的特征值為λ1=1，λ2=2，λ3=5．對于特征值λ1=1，求解方程組(E—A)x=0，得到一個特征向量對于特征值λ2=2，求解方程組(2E—A)x=0，得到一個特征向量對于特征值λ3=5，求解方程組(5E—A)x=0，得到一個特征向量因為特征值不相等，則ξ1，ξ2，ξ3正交，將ξ1，ξ2，ξ3單位化得令P=(p1,p2，p3)=則有P-1AP=