【學(xué)霸滿分】2023-2024學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)重難點(diǎn)專題提優(yōu)訓(xùn)練（北師大版）專題10 難點(diǎn)探究專題：利用二次函數(shù)求面積、周長(zhǎng)最值問題之四大考點(diǎn)（解析版）

專題10難點(diǎn)探究專題：利用二次函數(shù)求面積、周長(zhǎng)最值問題之四大考點(diǎn)【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點(diǎn)一利用二次函數(shù)求面積最大值問題】 1【考點(diǎn)二利用二次函數(shù)求面積最小值問題】 13【考點(diǎn)三利用二次函數(shù)求周長(zhǎng)最大值問題】 19【考點(diǎn)四利用二次函數(shù)求周長(zhǎng)最小值問題】 28【典型例題】【考點(diǎn)一利用二次函數(shù)求面積最大值問題】例題：（23·24上·淮南·階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與軸交于、兩點(diǎn)，與軸交于，點(diǎn)在原點(diǎn)的左側(cè)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)是拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且在直線的上方．

(1)求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，使的面積最大，求出點(diǎn)的坐標(biāo)和的面積最大值．【答案】(1)；(2)點(diǎn)，的面積的最大值為．【分析】（）利用待定系數(shù)法可直接求出二次函數(shù)的解析式；（）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，然后作軸交于點(diǎn)，然后用面積和差求出關(guān)于的二次函數(shù)，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題．【詳解】（1）解：把點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式，得：解得：，∴二次函數(shù)的表達(dá)式為；（2）如圖，過點(diǎn)作軸的平行線與交于點(diǎn)，

設(shè)直線解析式為，且過點(diǎn)，點(diǎn)，∴，解得：，∴直線解析式為，設(shè)，則，∴，，當(dāng)時(shí)，面積最大，此時(shí)，點(diǎn)，的面積的最大值為．【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是要會(huì)用待定系數(shù)法求拋物線的解析式，添加輔助線使其轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)最值．【變式訓(xùn)練】1．（23·24上·大同·階段練習(xí)）綜合與探究如圖二次函數(shù)與直線交于、兩點(diǎn)，已知：、，二次函數(shù)的圖象與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)在直線上方的拋物線上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)作軸的平行線交于點(diǎn)．

(1)求直線與拋物線的解析式；(2)設(shè)四邊形的面積為，求的最大值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)，(2)的最大值為，【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式即可；（2）求出點(diǎn)坐標(biāo)，利用，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)最值即可．【詳解】（1）解：二次函數(shù)與直線交于、兩點(diǎn)，∴，解得：；，解得，∴，；（2）∵，當(dāng)時(shí)，，解得：，∴，∵、，∴，∴，設(shè)：，則：，∴，∴，即：，∴當(dāng)時(shí)，取得最大值為，此時(shí)：．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用．正確的求出函數(shù)解析式，利用數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵．2．（23·24上·中山·階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與軸相交于點(diǎn)、，與軸相交于點(diǎn)C．

(1)求拋物線的解析式；(2)求直線的解析式；(3)若點(diǎn)P為第二象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作軸，交于點(diǎn)Q，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為，的面積為S，求S關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值．【答案】(1)；(2)；(3)，4．【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可求解；（2）利用待定系數(shù)法即可求解；（3）求得，利用得到S關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）解：依題意得：，解得，∴拋物線的解析式為：；（2）解：當(dāng)時(shí)，，∴，設(shè)直線的解析式為：，代入得，解得，∴直線的解析式為：；（3）解：依題意得：，∵軸，∴，∴，∴，∵，∴當(dāng)時(shí)，的面積最大，最大面積為4．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的最值，用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)的關(guān)系式是解決問題的關(guān)鍵．3．（23·24上·邯鄲·階段練習(xí)）如圖，已知拋物線與x軸交于兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)．

(1)直接寫出拋物線的解析式：______；(2)D是第一象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(與點(diǎn)C、B不重合)，連接．設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為，的面積為S．①求S關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式及自變量的取值范圍；②當(dāng)為何值時(shí)，S有最大值，并求這個(gè)最大值．【答案】(1)(2)①；時(shí)，最大，值為【分析】（1）設(shè)拋物線的解析式為，將代入得，，計(jì)算求解，進(jìn)而可得拋物線解析式；（2）①如圖，連接，，，過作軸，交于，待定系數(shù)法求直線解析式為，則，，，根據(jù)求解，進(jìn)而可得；②由，的圖象與性質(zhì)，計(jì)算求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)拋物線的解析式為，將代入得，，解得，∴，故答案為：；（2）①解：如圖，連接，，，過作軸，交于，

設(shè)直線解析式為，將，代入得，，解得，，∴直線解析式為，∴，，，∴，整理得，，∴；②解：∵，，∴當(dāng)時(shí)，最大，值為．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用．4．（23·24上·江門·階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)為，兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)，頂點(diǎn)為D，其對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)E．

(1)求二次函數(shù)解析式及頂點(diǎn)D坐標(biāo)；(2)點(diǎn)P為第三象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，的面積記為S，求S的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)在線段上，是否存在點(diǎn)F，使為等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)，(2)的最大值是，點(diǎn)的坐標(biāo)是(3)存在，點(diǎn)F的坐標(biāo)為或或【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)為，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，可以求得該函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)題意可以得到直線的函數(shù)解析式，然后根據(jù)的面積記為，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可以得到的最大值，以及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）分、、三種情況分別求解即可．【詳解】（1）解：二次函數(shù)過，兩點(diǎn)，設(shè)二次函數(shù)解析式為，二次函數(shù)過點(diǎn)，，解得，，即二次函數(shù)解析式為；∵∴頂點(diǎn)．（2）解：設(shè)直線解析式為：，，，，解得，，直線的解析式為，過點(diǎn)作軸的垂線交于點(diǎn)，

設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，點(diǎn)在第三象限，，，當(dāng)時(shí)，，點(diǎn)．，即的最大值是，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)是．（3）解：，，①當(dāng)時(shí)，如圖，

為等腰直角三角形，，點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，同理可得：點(diǎn)，；③當(dāng)時(shí)，同理可得：點(diǎn)；故點(diǎn)的坐標(biāo)為：或或．【點(diǎn)睛】本題考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)的最值，等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理的運(yùn)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)和數(shù)形結(jié)合的思想解答，（3）問要注意分類求解，避免遺漏解．5．（23·24上·濱海新·期中）如圖，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)位于點(diǎn)的右邊），與軸交于點(diǎn)，連接，是拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．

(1)求拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式以及，兩點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)當(dāng)點(diǎn)在第四象限時(shí)，面積是否有最大值？若有，求出點(diǎn)坐標(biāo)以及最大面積；若沒有，請(qǐng)說明理由；(3)是拋物線對(duì)稱軸上任意一點(diǎn)，若以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求的值．【答案】(1)，點(diǎn)，；(2)最大為，此時(shí)點(diǎn)；(3)或或．【分析】（）由題意得，，求出代入即可求解；（）過點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則，則，從而即可求解；（）分情況討論，當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，然后由中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可求解．【詳解】（1）由題意得：，解得：，∴拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為，令，解得：，，∴點(diǎn)，；（2）有，理由：設(shè)的解析式為，∴，解得：，∴直線的解析式為，如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則，

則，則點(diǎn)，，∴，，，，由，，則，由，∴當(dāng)時(shí)，最大，為，此時(shí)點(diǎn)；（3）由（）可知：，∴設(shè)，由題意可知，當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得：，解得：；當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得：，解得：；當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得：，解得：；綜上：或或．【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)與幾何圖形的綜合，掌握待定系數(shù)法求解析式的方法，幾何圖形面積的計(jì)算方法，平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識(shí)的綜合運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．6．（23·24上·省直轄縣級(jí)單位·期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，頂點(diǎn)為．直線l與拋物線交于，兩點(diǎn)，其中點(diǎn)的坐標(biāo)為．(1)求拋物線和直線的解析式；(2)直線與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)，為線段上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)，重合），過點(diǎn)作交拋物線于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．①當(dāng)為何值時(shí)，四邊形是平行四邊形；②設(shè)的面積為，當(dāng)為何值時(shí)，最大？最大值是多少？【答案】(1)，；(2)①；②，最大值是．【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解析式即可；（2）①根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，，得到關(guān)于的方程，求解即可；②由題意可得，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）解：將、點(diǎn)、點(diǎn)代入拋物線解析式可得，解得，即拋物線為設(shè)直線l的解析式為將點(diǎn)、點(diǎn)代入得解得，即直線l的解析式為綜上：，（2）由題意可得，拋物線的對(duì)稱軸為，頂點(diǎn)則，所以點(diǎn)，，點(diǎn)①連接，如下圖：∵四邊形是平行四邊形∴，即化簡(jiǎn)可得：，解得，（舍去）即，四邊形是平行四邊形；②連接、，如下圖：由題意可得：∴∵，開口向下，對(duì)稱軸為∴當(dāng)時(shí)，面積最大，為【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及了待定系數(shù)法求解析式，二次函數(shù)與幾何的應(yīng)用，二次函數(shù)的性質(zhì)等，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，正確求得解析式．【考點(diǎn)二利用二次函數(shù)求面積最小值問題】例題：（2022秋·廣東廣州·九年級(jí)中山大學(xué)附屬中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，在矩形中，，，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AB邊向點(diǎn)B以1個(gè)單位每秒的速度移動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿邊向點(diǎn)C以2個(gè)單位每秒的速度移動(dòng)．如果P，Q兩點(diǎn)在分別到達(dá)B，C兩點(diǎn)后就停止移動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，回答下列問題：

(1)運(yùn)動(dòng)開始后第幾秒時(shí)的面積等于．(2)設(shè)五邊形的面積為S，寫出S與t的函數(shù)關(guān)系式，當(dāng)t為何值時(shí)S最小？求S的最小值．【答案】(1)秒或秒(2)，當(dāng)時(shí)，【分析】（1）設(shè)運(yùn)動(dòng)開始后第秒時(shí)的面積等于，由三角形面積公式即可求解；（2）由即可求解．【詳解】（1）解：設(shè)運(yùn)動(dòng)開始后第秒時(shí)的面積等于，由題意得，整理得：，解得：，，答：運(yùn)動(dòng)開始后第秒或秒時(shí)的面積等于．（2）解：，，，，當(dāng)時(shí)，；答：，當(dāng)時(shí)，．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程及二次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)圖形找出等量關(guān)系式，掌握二次函數(shù)最值的求法是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023·安徽合肥·合肥市第四十五中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線交x軸于，，與y軸交于點(diǎn)C．

(1)求b，c的值；(2)已知P為拋物線一點(diǎn)（不與點(diǎn)B重合），若點(diǎn)P關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)恰好在直線上，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)在（2）的條件下，平移拋物線，使其頂點(diǎn)始終在直線上，且與相交于點(diǎn)Q，求面積的最小值．【答案】(1)；(2)；(3)的最小值為．【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可求解；（2）求得直線的解析式為，設(shè)，則，解方程，即可求解；（3）由頂點(diǎn)始終在直線上，推出，由三角形面積公式得，當(dāng)取最小值時(shí)，取最小值，求得關(guān)于b的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）解：∵拋物線交x軸于，，∴，解得；（2）解：由（1）得拋物線解析式為，令，則，∴，設(shè)直線的解析式為，則，解得，∴直線的解析式為，∵點(diǎn)P關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)恰好在直線上，∴設(shè)，則，即點(diǎn)在拋物線上，∴，整理得，解得，∵點(diǎn)P不與點(diǎn)B重合，∴，；（3）解：拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，∵頂點(diǎn)始終在直線上，∴，即，由（2）知直線的方程為，∵拋物線與相交于點(diǎn)Q，

∵，∴當(dāng)取最小值時(shí)，取最小值，∵，∵，∴當(dāng)即時(shí)，的最小值為，∴的最小值為．【點(diǎn)睛】主要考查了二次函數(shù)的解析式的求法和與幾何圖形結(jié)合的綜合能力的培養(yǎng)．要會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來，利用點(diǎn)的坐標(biāo)的意義表示線段的長(zhǎng)度，從而求出線段之間的關(guān)系．2．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的圖象與坐標(biāo)軸相交于A，B，C三點(diǎn)，其中A點(diǎn)坐標(biāo)為，B點(diǎn)坐標(biāo)為，連接，．動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，在線段上以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度向點(diǎn)C做勻速運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q從B點(diǎn)出發(fā)，在線段上以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度向點(diǎn)A做勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng)，連接，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．(1)，；(2)在P，Q運(yùn)動(dòng)的過程中，當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形的面積最小，最小值為多少？(3)已知點(diǎn)M是該拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)1秒時(shí)，若要使得線段的值最小，則試求出點(diǎn)M的坐標(biāo)．【答案】(1)2，3(2)當(dāng)時(shí)，四邊形的面積最小，最小值為4(3)【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）過點(diǎn)P作軸，垂足為E，利用表示出四邊形的面積，求出t的范圍，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最值即可；（3）直接利用對(duì)稱點(diǎn)的性質(zhì)得出M點(diǎn)位置，進(jìn)而得出答案．【詳解】（1）∵二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A，B，則，解得：；故答案為：2；3；（2）令，則有，即有；∵，，，∴，，即，，∴是等腰直角三角形，∴，由點(diǎn)P、Q的運(yùn)動(dòng)可知：，，結(jié)合，可得：，即：，過點(diǎn)P作軸，垂足為H，如圖，∴，即，∴，∵當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng)，且，∴即，，∴當(dāng)時(shí)，四邊形的面積最小，最小值為4；（3）由（2）可知，當(dāng)時(shí)，可得點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，1），根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可知，點(diǎn)A，B關(guān)于對(duì)稱軸：對(duì)稱，連接，與拋物線對(duì)稱軸交于點(diǎn)M，點(diǎn)M即為所求，∵，，∴利用待定系數(shù)法可得直線的解析式為：，當(dāng)時(shí)，．即點(diǎn)M的坐標(biāo)為．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合，涉及到全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，軸對(duì)稱最值問題，用方程的思想解決問題是解本題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)三利用二次函數(shù)求周長(zhǎng)最大值問題】例題：（2023·山東東營(yíng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線過點(diǎn)，，矩形的邊在線段上（點(diǎn)B在點(diǎn)A的左側(cè)），點(diǎn)C，D在拋物線上，設(shè)，當(dāng)時(shí)，．

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)當(dāng)t為何值時(shí)，矩形的周長(zhǎng)有最大值？最大值是多少？(3)保持時(shí)的矩形不動(dòng)，向右平移拋物線，當(dāng)平移后的拋物線與矩形的邊有兩個(gè)交點(diǎn)G，H，且直線平分矩形的面積時(shí)，求拋物線平移的距離．【答案】(1)(2)當(dāng)時(shí)，矩形的周長(zhǎng)有最大值，最大值為(3)4【分析】（1）設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入即可求出該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）由拋物線的對(duì)稱性得，則，再得出，根據(jù)矩形的周長(zhǎng)公式，列出矩形周長(zhǎng)的表達(dá)式，并將其化為頂點(diǎn)式，即可求解；（3）連接A，相交于點(diǎn)P，連接，取的中點(diǎn)Q，連接，根據(jù)矩形的性質(zhì)和平移的性質(zhì)推出四邊形是平行四邊形，則，．求出時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，則，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為．∵當(dāng)時(shí)，，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為．將點(diǎn)C坐標(biāo)代入表達(dá)式，得，解得．∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為．（2）解：由拋物線的對(duì)稱性得：，∴．當(dāng)時(shí)，．∴矩形的周長(zhǎng)為．∵，∴當(dāng)時(shí)，矩形的周長(zhǎng)有最大值，最大值為．（3）解：連接，相交于點(diǎn)P，連接，取的中點(diǎn)Q，連接．

∵直線平分矩形的面積，∴直線過點(diǎn)P．．由平移的性質(zhì)可知，四邊形是平行四邊形，∴．∵四邊形是矩形，∴P是的中點(diǎn)．∴．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，∴．∴拋物線平移的距離是4．【點(diǎn)睛】本題主要考查了求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，平移的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)表達(dá)式的方法和步驟，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，矩形的性質(zhì)，以及平移的性質(zhì)．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·湖南長(zhǎng)沙·八年級(jí)?？计谀┮阎獟佄锞€（a為常數(shù)，）的圖象經(jīng)過原點(diǎn)，點(diǎn)A在拋物線上運(yùn)動(dòng)．

(1)求a的值．(2)若點(diǎn)和點(diǎn)都是這個(gè)拋物線上的點(diǎn)，且有，求t的取值范圍．(3)設(shè)點(diǎn)A位于x軸的下方且在這個(gè)拋物線的對(duì)稱軸的左側(cè)運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)A作x軸的平行線交拋物線于另一點(diǎn)D，過點(diǎn)A作軸，垂足為點(diǎn)B，過點(diǎn)D作軸，垂足于點(diǎn)C，試問四邊形的周長(zhǎng)是否存在最大值？如果存在，請(qǐng)求出這個(gè)最大值和對(duì)應(yīng)的x值，如果不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)；(2)；(3)存在，當(dāng)時(shí)，四邊形ABCD的周長(zhǎng)最大為．【分析】（1）將坐標(biāo)代入拋物線計(jì)算求值即可；（2）由的值可得拋物線解析式，從而可得，的表達(dá)式，再根據(jù)解不等式即可；（3）由可得函數(shù)的對(duì)稱軸，根據(jù)、兩點(diǎn)的對(duì)稱性設(shè)，，再由兩點(diǎn)的中點(diǎn)坐標(biāo)在對(duì)稱軸上可得的表達(dá)式；根據(jù)坐標(biāo)的定義求得四邊形周長(zhǎng)的表達(dá)式再配方即可解答；【詳解】（1）解：將原點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線可得：，，∵，∴；（2）解：把代入拋物線可得：，點(diǎn)P和點(diǎn)Q代入拋物線解析式可得：，，∵，∴，∴，∴；（3）解：由拋物線解析式可得對(duì)稱軸為，平行于軸，設(shè)且，，由拋物線的對(duì)稱性可知、兩點(diǎn)的中點(diǎn)坐標(biāo)在對(duì)稱軸上，∴，∴，∵和都和軸垂直，平行于軸，∴四邊形是矩形，由函數(shù)圖象可知點(diǎn)縱坐標(biāo)，∴四邊形的周長(zhǎng)為：，∴當(dāng)時(shí)四邊形周長(zhǎng)有最大值；【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，不等式的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，坐標(biāo)的定義等知識(shí)；掌握二次函數(shù)的對(duì)稱性是解題關(guān)鍵．2．（2023·安徽合肥·合肥壽春中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．(1)求直線和拋物線的解析式；(2)點(diǎn)是直線下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)不與點(diǎn)、重合，過點(diǎn)作軸的平行線，與直線交于點(diǎn)，連接，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．①若點(diǎn)在軸上方，當(dāng)為何值時(shí)，是等腰三角形；②若點(diǎn)在軸下方，設(shè)的周長(zhǎng)為，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，當(dāng)為何值時(shí)，的周長(zhǎng)最大，最大值是多少？【答案】(1)，(2)①當(dāng)時(shí)，是等腰三角形；②當(dāng)時(shí)，的周長(zhǎng)最大，最大值為9【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解析式；（2）①當(dāng)是等腰三角形時(shí)，判斷出只有，設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，用建立方程組求解即可；②先表示出，然后建立的周長(zhǎng)關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，確定出最大值．【詳解】（1）解：將點(diǎn)代入，得，解得，∴直線的解析式為；當(dāng)時(shí)，，∴將點(diǎn)，代入，得，解得，∴拋物線的解析式為；（2）①設(shè)，則，∵過點(diǎn)P作x軸的平行線，與直線交于點(diǎn)C，∴，∴，當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方時(shí)，，是鈍角，∴，∵是等腰三角形，∴，∵，∴，∴，∵∴，∴或（舍去），∴當(dāng)時(shí)，是等腰三角形；②當(dāng)點(diǎn)在軸下方時(shí)，，∴∵，則，點(diǎn),∴，，∵，，∴，∴當(dāng)時(shí)，p最大，最大值為9，∴當(dāng)時(shí)，的周長(zhǎng)最大，最大值為9．【點(diǎn)睛】此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，平面內(nèi)兩點(diǎn)之間的距離公式，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的周長(zhǎng)，極值的確定，解本題的關(guān)鍵是表示出的長(zhǎng)度．3．（2023春·內(nèi)蒙古赤峰·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，已知二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸分別交于、、三點(diǎn)．

(1)求二次函數(shù)的解析式；(2)在二次函數(shù)圖象位于軸上方部分有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)、，且點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，過、作軸的垂線交軸于點(diǎn)、兩點(diǎn)，當(dāng)四邊形為矩形時(shí)，求該矩形周長(zhǎng)的最大值；(3)當(dāng)矩形的周長(zhǎng)最大時(shí)，在二次函數(shù)圖象上是否存在點(diǎn)，使的面積是矩形面積的？若存在，直接寫出該點(diǎn)的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)(2)10(3)存在；，，【分析】（1）利用待定系數(shù)法解答即可；（2）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為，則點(diǎn)，利用m的代數(shù)式分別表示出矩形的邊長(zhǎng)，利用矩形的周長(zhǎng)的公式求得矩形的周長(zhǎng)，利用配方法解答即可得出結(jié)論；（3）利用（2）的結(jié)論求得點(diǎn)N的坐標(biāo)，可得點(diǎn)N與點(diǎn)A重合，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，過點(diǎn)P作軸于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E，利用含n的代數(shù)式表示出，利用，求得的面積，利用已知條件得到關(guān)于n的方程，解方程即可求得n值；再利用平行線的距離相等，當(dāng)直線向下平移個(gè)單位長(zhǎng)度時(shí)，該直線與拋物線的交點(diǎn)也滿足條件，求得平移后的直線解析式，與拋物線的解析式聯(lián)立，解方程組即可得出結(jié)論．【詳解】（1）設(shè)二次函數(shù)解析式為，∵二次函數(shù)圖象過、、三點(diǎn)，∴，解得，即二次函數(shù)解析式為．（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)，∴，，矩形的周長(zhǎng)，，∵∴當(dāng)，有最大值，最大值為10．即矩形周長(zhǎng)的最大值為10．（3）由（2）知：當(dāng)時(shí)，矩形的周長(zhǎng)有最大值，∴，∴當(dāng)矩形的周長(zhǎng)最大時(shí)，點(diǎn)N與點(diǎn)A重合，∴．∵，∴，∴，∴．設(shè)直線的解析式為，∴，解得：，∴直線的解析式為．設(shè)當(dāng)矩形的周長(zhǎng)最大時(shí)，在二次函數(shù)圖象上存在點(diǎn)P，使的面積是矩形面積的，點(diǎn)P的坐標(biāo)為，過點(diǎn)P作軸于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E，如圖，

則，∴，∴∵當(dāng)矩形的周長(zhǎng)最大時(shí)，，∴矩形面積為，∴的面積為．∴，解得：，∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為；此時(shí)，∵平行線之間的距離相等，∴當(dāng)直線向下平移個(gè)單位長(zhǎng)度時(shí)，該直線與拋物線的交點(diǎn)也滿足條件．平移后的直線的解析式為．聯(lián)立：，解得：或．∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為或．綜上，當(dāng)矩形的周長(zhǎng)最大時(shí)，在二次函數(shù)圖象上存在點(diǎn)P，使的面積是矩形面積的，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為或或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了拋物線的有關(guān)性質(zhì)，待定系數(shù)法，拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，函數(shù)的極值，一次函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，矩形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形的面積，利用點(diǎn)的坐標(biāo)表示出相應(yīng)線段的長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)四利用二次函數(shù)求周長(zhǎng)最小值問題】例題：（2023秋·安徽·九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，已知拋物線與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，若，拋物線的對(duì)稱軸為直線.

(1)求拋物線的解析式；(2)拋物線的對(duì)稱軸上有一動(dòng)點(diǎn)P，使得周長(zhǎng)最小，求出最小周長(zhǎng)．【答案】(1)(2)【分析】（1）由可得A、B的坐標(biāo)，再由對(duì)稱軸為直線，可得，再將A，B代入拋物線即可求得拋物線的解析式；（2）先判斷出點(diǎn)P是直線與拋物線對(duì)稱性的交點(diǎn)，再用待定系數(shù)法求出直線的解析式，再求得的長(zhǎng)度，最后根據(jù)三角形的周長(zhǎng)公式即可解答．【詳解】（1）解：∵，∴，將A，B代入拋物線可得：，∵拋物線的對(duì)稱軸為直線，∴，解得：，∴拋物線的解析式為．（2）解：如圖：設(shè)拋物線與x軸右交點(diǎn)為點(diǎn)C，∵，∴,∵，拋物線的對(duì)稱軸為直線，∴，即,∴∵點(diǎn)A，C關(guān)于拋物線對(duì)稱軸直線對(duì)稱，∴，∴，如圖：連接與對(duì)稱軸直線的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)P，∴最小周長(zhǎng)為．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了待定系數(shù)法、拋物線圖像的對(duì)稱性、最短距離問題等知識(shí)點(diǎn)，利用拋物線的對(duì)稱性處理最短距離問題是解本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·云南臨滄·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸為直線，點(diǎn)坐標(biāo)為，為拋物線的頂點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式．(2)為該拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．(3)當(dāng)函數(shù)的自變量滿足時(shí)，函數(shù)的最小值為3，求的值．【答案】(1)(2)當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)最小時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為(3)滿足條件的的值為或4【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)和拋物線的對(duì)稱軸求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再把，兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入求解即可；（2）連接交直線于點(diǎn)，此時(shí)的周長(zhǎng)最小，根據(jù)，兩點(diǎn)求出直線的解析式，再把代入求解，即可得出點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）分三種情況：①當(dāng)時(shí)；②當(dāng)時(shí)；③當(dāng)時(shí)；分別進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）∵點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，把點(diǎn)，代入，得，解得，∴拋物線的解析式為；（2）∵點(diǎn)，關(guān)于直線對(duì)稱，∴如圖，連接交直線于點(diǎn)，此時(shí)的周長(zhǎng)最小，令，得，∴，設(shè)直線的解析式為，代入，，得，解得，∴直線的解析式為，當(dāng)時(shí)，，∴，∴當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)最小時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為；（3）①當(dāng)時(shí)，即，此時(shí)y隨著x的增大而減小，當(dāng)時(shí)，有最小值，即，解得或（舍去）；②當(dāng)時(shí)，此時(shí)y隨著x的增大而增大，此時(shí)當(dāng)時(shí)，有最小值，即，解得或（舍去）；③當(dāng)時(shí)，此時(shí)當(dāng)時(shí)，有最小值為，不符合題意，舍去．綜上所述，滿足條件的的值為或4．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合，熟練掌握數(shù)形結(jié)合的解題方法是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）綜合與探究如圖，經(jīng)過，兩點(diǎn)的拋物線與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為．

(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)在拋物線的對(duì)稱軸上，當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)最小時(shí)，求的坐標(biāo)；(3)已知點(diǎn)在拋物線上，求時(shí)的點(diǎn)坐標(biāo)；(4)已知，請(qǐng)直接寫出能以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形的點(diǎn)坐標(biāo)．【答案】(1)(2)(3)或或(4)或或【分析】（1）將，代入，即可求解；（2）連接與對(duì)稱軸直線的交點(diǎn)為點(diǎn)，此時(shí)的周長(zhǎng)最小，設(shè)直線的解析式為，由待定系數(shù)法可得直線為，當(dāng)時(shí)即得點(diǎn)的坐標(biāo)為；（3）由得，，即知，根據(jù)，有，解得或，從而可求出的坐標(biāo)為：或或；（4）設(shè)，而，，，分三種情況：當(dāng)、為對(duì)角線時(shí)，、的中點(diǎn)重合，得，解得；當(dāng)、為對(duì)角線，有，解得；當(dāng)、為對(duì)角線，，解得．【詳解】（1）解：將，代入得：，解得，，拋物線的解析式為；（2）解：如圖所示，連結(jié)與對(duì)稱軸直線的交點(diǎn)為點(diǎn)，此時(shí)的周長(zhǎng)最小，

設(shè)直線的解析式為，將，代入得：，解得，直線為，當(dāng)時(shí)，，點(diǎn)的坐標(biāo)為．（3）解：在中，令得，解得或，，，，，，解得或，當(dāng)時(shí)，，解得，，或，當(dāng)時(shí)，，解得，，，綜上所述，的坐標(biāo)為：或或；（4）解：設(shè)，，，，當(dāng)、為對(duì)角線時(shí)，如圖：

此時(shí)、的中點(diǎn)重合，，解得，，；當(dāng)、為對(duì)角線，如圖：

，解得，，；當(dāng)、為對(duì)角線，如圖：

，解得，，，綜上所述，坐標(biāo)為或或．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，軸對(duì)稱求最短路徑，一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，待定系數(shù)法求解析式，平行四邊形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)以及平行四邊形的性質(zhì)，及分類討論思想．．3．（2023·湖南張家界·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)和點(diǎn)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)．點(diǎn)D為線段上的一動(dòng)點(diǎn)．

(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)如圖1，求周長(zhǎng)的最小值；(3)如圖2，過動(dòng)點(diǎn)D作交拋物線第一象限部分于點(diǎn)P，連接，記與的面積和為S，當(dāng)S取得最大值時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)，并求出此時(shí)S的最大值．【答案】(1)(2)(3)，【分析】（1）根據(jù)題意設(shè)拋物線的表達(dá)式為，將代入求解即可；（2）作點(diǎn)O關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)E，連接，根據(jù)點(diǎn)坐特點(diǎn)及正方形的判定得出四邊形為正方形，，連接AE，交于點(diǎn)D，由對(duì)稱性，此時(shí)有最小值為AE的長(zhǎng)，再由勾股定理求解即可；（3）由待定系數(shù)法確定直線的表達(dá)式為，直線的表達(dá)式為，設(shè)，然后結(jié)合圖形及面積之間的關(guān)系求解即可