2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之立體幾何初步

2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)熱搜題速遞之立體幾何初步（2024年7月）

選擇題（共10小題）

1.已知三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)在球O的球面上，F(xiàn)A=PB=PC,AABC是邊長為2的正三角形，E,

廠分別是A8的中點(diǎn)，/CEF=90°,則球。的體積為（）

A.8V6TTB.4V6nC.2V6TTD.V6TT

2.已知A,8是球。的球面上兩點(diǎn)，ZAOB=90°,C為該球面上的動(dòng)點(diǎn)，若三棱錐。-ABC體積的最

大值為36,則球。的表面積為（）

A.361TB.64nC.144itD.256n

3.已知直三棱柱ABC-AiBiCi中，ZABC=120°,AB=2,BC=CCi=l,則異面直線ABi與2。所成

角的余弦值為（）

V3V15V10V3

A.—B.-----C.-----D.—

2553

4.設(shè)A,B,C,。是同一個(gè)半徑為4的球的球面上四點(diǎn)，△ABC為等邊三角形且面積為9,,則三棱錐

D-ABC體積的最大值為（）

A.12V3B.18V3C.24V3D.54百

5.如圖，在下列四個(gè)正方體中，A,B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，M,N,Q為所在棱的中點(diǎn)，則在這四個(gè)正

方體中，直線AB與平面不平行的是(

6.已知A,B,C為球。的球面上的三個(gè)點(diǎn)，若OO1的面積為4n,AB=BC=

AC=OOi,則球。的表面積為（）

A.64nB.48TCC.36KD.32n

7.體積為8的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球面的表面積為（）

32

A.12TTB.-^-7iC.8iiD.4n

8.某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為（）

D.1

9.已知圓柱的高為1,它的兩個(gè)底面的圓周在直徑為2的同一個(gè)球的球面上，則該圓柱的體積為（

7T

D.

4

10.某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的表面積是（

D.5

二.填空題（共5小題）

11.已知三棱錐S-ABC的所有頂點(diǎn)都在球。的球面上，SC是球。的直徑.若平面SCAJ_平面SCB,SA

=AC,SB=BC,三棱錐S-ABC的體積為9,則球。的表面積為.

12.已知圓錐的底面半徑為1,母線長為3,則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為.

13.已知一個(gè)正方體的所有頂點(diǎn)在一個(gè)球面上，若這個(gè)正方體的表面積為18,則這個(gè)球的體積

為______________________

14.如圖，三棱錐中，42=47=2。=8=3,AO=BC=2,點(diǎn)、M,N分別是AD,BC的中點(diǎn),

則異面直線AN,CM所成的角的余弦值是

—

C

15.如圖，圓形紙片的圓心為O,半徑為50",該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O.。、E、尸為圓。

上的點(diǎn)，4DBC,/XECA,AMB分別是以BC,CA,AB為底邊的等腰三角形.沿虛線剪開后，分別

以BC,CA,48為折痕折起△OBC,△ECA,AMB,使得。、E、尸重合，得到三棱錐.當(dāng)△ABC的

邊長變化時(shí)，所得三棱錐體積(單位：。/)的最大值為.

16.如圖，在四棱錐尸-ABC。中，AB//CD,且NBAP=/CZ)P=90°.

(1)證明：平面E48_L平面B4D；

8

(2)PA=PD=AB=DC,ZAP￡>=90°,且四棱錐尸-ABC。的體積為？求該四棱錐的側(cè)面積.

17.如圖，在三棱錐A-BCD中，平面平面BC。，AB=AD,。為8。的中點(diǎn).

(1)證明：OALCD-,

(2)若△0。)是邊長為1的等邊三角形，點(diǎn)E在棱AD上，DE=2EA,且二面角E-BC-D的大小為

45°,求三棱錐A-8CO的體積.

18.如圖，已知三棱錐A-8PC中，AP±PC,AC±BC,M為A8中點(diǎn)，。為尸8中點(diǎn)，且△PMB為正三

角形.

(1)求證：0M〃平面APC；

(2)求證：平面A8C_L平面APC；

(3)若BC=4,AB=20,求三棱錐Q-BCM的體積.

19.如圖，四邊形A3C。為菱形，G為AC與的交點(diǎn)，BEX5??ABCD.

(I)證明：平面AEC_L平面BED；

V6

(II)若NA8C=120°,AE±EC,三棱錐E-AC。的體積為石，求該三棱錐的側(cè)面積.

20.如圖，四棱錐P-ABC。中，側(cè)面E4D為等邊三角形且垂直于底面ABC。，AB=BC^^AD,/BAD=

ZABC=9Q°.

(1)證明：直線BC〃平面BW；

(2)若△PCD面積為2?,求四棱錐尸-ABC。的體積.

2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)熱搜題速遞之立體幾何初步(2024年7月)

參考答案與試題解析

一.選擇題(共10小題)

1.已知三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)在球O的球面上，PA=PB=PC,AABC是邊長為2的正三角形，E,

廠分別是B4,的中點(diǎn)，ZCEF=90°,則球。的體積為()

A.8V6TTB.4V6TTC.2V6TTD.V6it

【考點(diǎn)】球的體積和表面積.

【專題】數(shù)形結(jié)合；分割補(bǔ)形法；空間位置關(guān)系與距離.

【答案】D

【分析】由題意畫出圖形，證明三棱錐尸-ABC為正三棱錐，且三條側(cè)棱兩兩互相垂直，再由補(bǔ)形法求

外接球球。的體積.

【解答】解：如圖，

由以=尸8=PC,△ABC是邊長為2的正三角形，可知三棱錐尸-A8C為正三棱錐,

則頂點(diǎn)尸在底面的射影O1為底面三角形的中心，連接8。1并延長，交AC于G,

則AC_LBG,XPOiXAC,POiHBG=Oi,可得AC_L平面P8G,貝UP8_LAC,

,:E,P分別是E4,A2的中點(diǎn)，J.EF//PB,

又/CEF=90°,BPEFLCE,：.PB±CE,得？8，平面朋C,

則PB_LE4,PB1PC,又三棱錐P-ABC是正三棱錐，

正三棱錐P-ABC的三條側(cè)棱兩兩互相垂直，

把三棱錐補(bǔ)形為正方體，則正方體外接球即為三棱錐的外接球，

其直徑為D=y/PA2+PB2+PC2=(PA2+PB2+PB2+PC2+PA2+PC2)

=J~(AB2+BC2+AC2)=J*(22+22+22)=瓜

半徑為手,則球O的體積為孑兀x(~)3=遍兀.

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查多面體外接球體積的求法，考查空間想象能力與思維能力，考查計(jì)算能力，是中檔題.

2.已知A,2是球。的球面上兩點(diǎn)，90°,C為該球面上的動(dòng)點(diǎn)，若三棱錐。-ABC體積的最

大值為36,則球O的表面積為（）

A.36nB.64TTC.144TTD.256n

【考點(diǎn)】球的體積和表面積.

【專題】計(jì)算題；空間位置關(guān)系與距離.

【答案】C

【分析】當(dāng)點(diǎn)C位于垂直于面AO8的直徑端點(diǎn)時(shí)，三棱錐0-ABC的體積最大，利用三棱錐0-ABC

體積的最大值為36,求出半徑，即可求出球。的表面積.

【解答】解：如圖所示，當(dāng)點(diǎn)C位于垂直于面AOB的直徑端點(diǎn)時(shí)，三棱錐0-A2C的體積最大，設(shè)球

。的半徑為R，止匕時(shí)yO-ABC=yC-AOB=^xJxR2XR=裊3=36,故R=6,則球。的表面積為軌不

3zo

=144TU,

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查球的半徑與表面積，考查體積的計(jì)算，確定點(diǎn)C位于垂直于面AOB的直徑端點(diǎn)時(shí),

三棱錐O-ABC的體積最大是關(guān)鍵.

3.已知直三棱柱481。中，ZABC=120°,AB=2,BC=CCi=l,則異面直線ABi與8cl所成

角的余弦值為（）

V3V15V10V3

A.—B.-----C.-----D.—

2553

【考點(diǎn)】異面直線及其所成的角.

【專題】數(shù)形結(jié)合；定義法；空間角.

【答案】c

【分析】【解法一】設(shè)加、N、尸分別為A3,821和B1C1的中點(diǎn)，得出A31、BC1夾角為MN和NP夾

角或其補(bǔ)角；根據(jù)中位線定理，結(jié)合余弦定理求出AC、MQ,MP和NMNP的余弦值即可.

【解法二】通過補(bǔ)形的辦法，把原來的直三棱柱變成直四棱柱，解法更簡潔.

【解答】解：【解法一】如圖所示，設(shè)M、N、P分別為A8,881和BiCi的中點(diǎn),

則A81、8cl夾角為MN和NP夾角或其補(bǔ)角

71

（因異面直線所成角為（0,-]）,

可知MN=

NP=普G=與；

作5C中點(diǎn)Q,則△尸QM為直角三角形;

"：PQ=1,MQ=|AC,

△ABC中，由余弦定理得

AC2=AB2+BC2-2AB-BC-cosZABC

i

=4+1-2X2X1X（一日

=7,

：.AC=V7,

在△MQP中，MP=yjMQ2+PQ2=孚;

在△PMN中，由余弦定理得

MN2+NP2-PM2Vio

cos/MNP=

2MN,NP

71

又異面直線所成角的范圍是（0,-],

Vio

.".ABi與BCi所成角的余弦值為

【解法二】如圖所示,

z>,

AB

補(bǔ)成四棱柱ABC。-ALBICIP,求/BCLD即可；

BCi=V2,BD=V22+l2-2x2x1xcos60°=b,

CiD=V5,

2

；.BCI2+BD=C。，

.,.ZDBCI=90",

故選：c.

【點(diǎn)評】本題考查了空間中的兩條異面直線所成角的計(jì)算問題，也考查了空間中的平行關(guān)系應(yīng)用問題,

是中檔題.

4.設(shè)A,B,C,。是同一個(gè)半徑為4的球的球面上四點(diǎn)，△ABC為等邊三角形且面積為9遮，則三棱錐

ABC體積的最大值為（）

A.12V3B.18V3C.24VlD.54V3

【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺的體積.

【專題】計(jì)算題；數(shù)形結(jié)合；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間位置關(guān)系與距離.

【答案】B

【分析】求出等邊△ABC的邊長，畫出圖形，判斷。的位置，然后求解即可.

【解答】解：△ABC為等邊三角形且面積為9/，可得上XT1B2=9?,解得AB=6,

4

球心為。，三角形A8C的外心為O,顯然。是O'。的延長線與球的交點(diǎn)，如圖：

O'C—'x字x6=2v00'—^42—(2V3)2=2,

則三棱錐O-ABC高的最大值為：6,

則三棱錐D-A3C體積的最大值為：二x-x63=18遍.

34

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查球的內(nèi)接多面體，棱錐的體積的求法，考查空間想象能力以及計(jì)算能力.

5.如圖，在下列四個(gè)正方體中，A,B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，M,N,Q為所在棱的中點(diǎn)，則在這四個(gè)正

方體中，直線AB與平面MAQ不平行的是()

【考點(diǎn)】直線與平面平行.

【專題】證明題；數(shù)形結(jié)合；數(shù)形結(jié)合法；空間位置關(guān)系與距離.

【答案】A

【分析】利用線面平行判定定理可知從C、。均不滿足題意，從而可得答案.

【解答】解：對于選項(xiàng)2,由于結(jié)合線面平行判定定理可知8不滿足題意;

對于選項(xiàng)C,由于結(jié)合線面平行判定定理可知C不滿足題意；

對于選項(xiàng)由于A8〃N。，結(jié)合線面平行判定定理可知。不滿足題意；

所以選項(xiàng)A滿足題意，

故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查空間中線面平行的判定定理，利用三角形中位線定理是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方

法的積累，屬于中檔題.

6.已知A,B,C為球。的球面上的三個(gè)點(diǎn)，為△ABC的外接圓.若的面積為4n,AB=BC=

AC=OOi,則球。的表面積為（）

A.64nB.48nC.367rD.32n

【考點(diǎn)】球的體積和表面積.

【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)形結(jié)合法；空間位置關(guān)系與距離；直觀想象.

【答案】A

【分析】畫出圖形，利用已知條件求出然后求解球的半徑，即可求解球的表面積.

【解答】解：由題意可知圖形如圖：。。1的面積為4m可得。1A=2,則

33V3

—AOi=ABsin60°,—AO——AB,

221y2

.?.AB=BC=AC=00i=2g,

外接球的半徑為：R=Ja。/+。。/=%

球。的表面積：4X-n：X42=64,n:.

【點(diǎn)評】本題考查球的內(nèi)接體問題，球的表面積的求法，求解球的半徑是解題的關(guān)鍵.

7.體積為8的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球面的表面積為（）

32

A.12TTB.-^-TTC.8nD.4it

【考點(diǎn)】球的體積和表面積.

【專題】計(jì)算題；方程思想；綜合法；球.

【答案】A

【分析】先通過正方體的體積，求出正方體的棱長，然后求出球的半徑，即可求出球的表面積.

【解答】解：正方體體積為8,可知其邊長為2,

正方體的體對角線為44+4+4=2V3,

即為球的直徑，所以半徑為舊，

所以球的表面積為4?！?V3)2=12-n.

故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查學(xué)生的空間想象能力，體積與面積的計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題.

8.某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為()

正視圖惻視圖

【考點(diǎn)】棱錐的體積.

【專題】計(jì)算題；空間位置關(guān)系與距離；立體幾何.

【答案】A

【分析】由已知中的三視圖可得：該幾何體是一個(gè)以俯視圖為底面的三棱錐，進(jìn)而可得答案.

【解答】解：由已知中的三視圖可得：該幾何體是一個(gè)以俯視圖為底面的三棱錐，

棱錐的底面面積XIX1=|,

高為1,

故棱錐的體積丫=義5h=!，

DO

故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查的知識點(diǎn)是由三視圖，求體積和表面積，根據(jù)已知的三視圖，判斷幾何體的形狀是解

答的關(guān)鍵.

9.已知圓柱的高為1,它的兩個(gè)底面的圓周在直徑為2的同一個(gè)球的球面上，則該圓柱的體積為（）

37171

A.ITB.—C.,D.-

44

【考點(diǎn)】圓柱的體積.

【專題】計(jì)算題；方程思想；定義法；立體幾何.

【答案】B

【分析】推導(dǎo)出該圓柱底面圓周半徑廠=小2一（扔=乎,由此能求出該圓柱的體積.

【解答】解：.圓柱的高為1,它的兩個(gè)底面的圓周在直徑為2的同一個(gè)球的球面上，

該圓柱底面圓周半徑r=J12一（32=苧，

.?.該圓柱的體積:V=Sh=nX（^）2x1=^.

【點(diǎn)評】本題考查面圓柱的體積的求法，考查圓柱、球等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、

空間想象能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題.

10.某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的表面積是（）

1

正（主）視圖側(cè)（左）視圖

俯視圖

A.2+V5B.4+V5C.2+2星D.5

【考點(diǎn)】由三視圖求面積、體積.

【專題】空間位置關(guān)系與距離.

【答案】C

【分析】根據(jù)三視圖可判斷直觀圖為：面ABC,AC^AB,E為中點(diǎn)，EA=2,EC=EB=1,

OA=1,BC^AEO,AC=V5,OE=而，判斷幾何體的各個(gè)面的特點(diǎn)，計(jì)算邊長，求解面積.

【解答】解：根據(jù)三視圖可判斷直觀圖為：

OA_L面ABC,AC=AB,E為BC中點(diǎn)，

EA=2,EC=EB=1,04=1,

可得AE_LBC,BC±OA,

由直線與平面垂直的判定定理得：面AEO,AC=?0E=V5

SAABC=2x2X2=2,SAOAC=SAOAB=]x巡xl=-y.

SABCO=；x2xV5=V5.

故該三棱錐的表面積是2+2V5,

故選：C.

O

B

【點(diǎn)評】本題考查了空間幾何體的三視圖的運(yùn)用，空間想象能力，計(jì)算能力，關(guān)鍵是恢復(fù)直觀圖，得出

幾何體的性質(zhì).

填空題（共5小題）

11.已知三棱錐S-ABC的所有頂點(diǎn)都在球。的球面上，SC是球。的直徑.若平面SCA_L平面SCB,SA

=AC,SB=BC,三棱錐S-ABC的體積為9,則球。的表面積為36n.

【考點(diǎn)】球的體積和表面積；球內(nèi)接多面體.

【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；空間位置關(guān)系與距離.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】判斷三棱錐的形狀，利用幾何體的體積，求解球的半徑，然后求解球的表面積.

【解答】解:三棱錐S-ABC的所有頂點(diǎn)都在球0的球面上,SC是球0的直徑，若平面SCAL平面SCB,

SA^AC,SB=BC,三棱錐S-ABC的體積為9,

可知三角形SBC與三角形SAC都是等腰直角三角形，設(shè)球的半徑為r,

,11

可得一x-x2rxrxr—9,解得r—3.

32

球。的表面積為：4,1x^=3671.

故答案為：361T.

【點(diǎn)評】本題考查球的內(nèi)接體，三棱錐的體積以及球的表面積的求法,考查空間想象能力以及計(jì)算能力.

V2

12.已知圓錐的底面半徑為1,母線長為3,則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為—n.

3

【考點(diǎn)】球的體積和表面積.

【專題】數(shù)形結(jié)合；分析法；球；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】易知圓錐內(nèi)半徑最大的球應(yīng)為圓錐的內(nèi)切球，作圖，求得出該內(nèi)切球的半徑即可求出球的體積.

【解答】解：因?yàn)閳A錐內(nèi)半徑最大的球應(yīng)該為該圓錐的內(nèi)切球，

如圖，圓錐母線3s=3,底面半徑BC=1,

則其高SC=yjBS2-BC2=2V2,

不妨設(shè)該內(nèi)切球與母線BS切于點(diǎn)D,

,ODBC

令A(yù)OD=OC=r,由則一=一,

OSBS

巡

2

【點(diǎn)評】本題考查圓錐內(nèi)切球，考查球的體積公式，數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題.

97r

13.已知一個(gè)正方體的所有頂點(diǎn)在一個(gè)球面上，若這個(gè)正方體的表面積為18,則這個(gè)球的體積為3.

【考點(diǎn)】球的體積和表面積.

【專題】方程思想；定義法；空間位置關(guān)系與距離.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】根據(jù)正方體和球的關(guān)系，得到正方體的體對角線等于直徑，結(jié)合球的體積公式進(jìn)行計(jì)算即可.

【解答】解：設(shè)正方體的棱長為。，

:這個(gè)正方體的表面積為18,

6a2—18,

則a2—3,即a-A/3,

...一個(gè)正方體的所有頂點(diǎn)在一個(gè)球面上，

正方體的體對角線等于球的直徑，

即百°=2幾

即R=2，

43

--

則球的體積32

97r

故答案為：—

【點(diǎn)評】本題主要考查空間正方體和球的關(guān)系，利用正方體的體對角線等于直徑，結(jié)合球的體積公式是

解決本題的關(guān)鍵.

14.如圖，三棱錐A-8CD中，AB=AC=BD=CD=3,AD=BC=2,點(diǎn)N分別是A。，8c的中點(diǎn),

7

則異面直線AN,CM所成的角的余弦值是；

-

【考點(diǎn)】異面直線及其所成的角.

【專題】空間角.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】連結(jié)N￡>,取ND的中點(diǎn)為：E,連結(jié)ME說明異面直線AN,CM所成的角就是NEMC通過解

三角形，求解即可.

【解答】解：連結(jié)N。，取的中點(diǎn)為：E,連結(jié)ME,則異面直線AN,CM所成的角就

是NEMC,

,:AN=2五,

：.ME=V2=EN,MC=2y[2,

又?/ENLNC,：.EC=y/EN2+NC2=V3,

?cosZEMC-E-EC?_2+8—3_7

2EM-MC_2x72x272-8-

7

故答案為：—

【點(diǎn)評】本題考查異面直線所成角的求法，考查空間想象能力以及計(jì)算能力.

15.如圖，圓形紙片的圓心為。，半徑為5c〃z,該紙片上的等邊三角形ABC的中心為。.D、E、尸為圓。

上的點(diǎn)，△DBC,A￡CA,AMB分別是以BC,CA,AB為底邊的等腰三角形.沿虛線剪開后，分別

以8C,CA,A8為折痕折起△O3C,△ECA,/XFAB,使得。、E、產(chǎn)重合，得到三棱錐.當(dāng)△ABC的

邊長變化時(shí)，所得三棱錐體積(單位：CW?)的最大值為45的3.

【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺的體積.

【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線中的最值與范圍問題.

【答案】4V15C7723.

【分析】法一：由題，連接0。，交BC于點(diǎn)G,由題意得OOL8C,0G=^-BC,設(shè)。G=x,則BC=

2V3x,DG=5-x,三棱錐的高h(yuǎn)=V25-10%,求出S&ABC=3遮野,V=與S^BCxh=V3-V25x4-10x5,

令/(x)=25尤4-10尤5,xe(0,1),f'(x)=100欠3-50/,f(x)W/(2)=80,由此能求出體積最

大值.

法二：設(shè)正三角形的邊長為x,貝I]OG=|x^x=^x,FG=SG=5-^-x,SO=h=yJSG2-GO2=

J(5-殺尸—(殺尸=Js(5-*比)，由此能求出三棱錐的體積的最大值.

金,DH—5—看,從而V=/x第x(2x)2*

法三:連接OD,交BC于H,設(shè)BC=2x,則0<2x<5百,OH=

](5—含2_(言)2,由此能求出三棱錐的體積最大值.

【解答】解法一：由題意，連接OO,交BC于點(diǎn)、G,由題意得。OG=^-BC,

即OG的長度與BC的長度成正比,

設(shè)OG=x,則BC=2A,DG=5-x,

三棱錐的高h(yuǎn)=VDG2-OG2=72s—10x+/—/=V25-10x,

22

ShABC=筵x苧x(2-\/3x)=3V3X,

則v=打fBex/i=V3x2XV25-10%=V3-V25x4-10x5,

令/(x)=25x4-1(1?,xe(0,|),f'(無)=1001-5(1?,

令，(無)>0,即尤4-z4WO,解得xW2,

則/(%)'(2)=80,

V<V3xV80-4VT5czn3,；.體積最大值為4V15cm3.

故答案為：4V15czn3.

解法工如圖，設(shè)正三角形的邊長為羽則。G^x字人殺,

:.FG=SG=5-3,

6

SO=h=yJSG2-GO2=J(5-得x)2-/x)2=15(5一亭x),

1

三棱錐的體積V=(SUBC?h

=Ixx%2x15(5—學(xué)x)=彎,4_條,

令b3=5彳4—字尤5,則b，(乂)=20*3—%4,

x4

令〃(x)=0,則4x3-=0,解得了=4\后,

75

3

：.vmax=臂x48xV5-4=4V15(cm).

故答案為：4V15cm3.

C

解法三：連接。。，交BC于H,如圖,

x

,DH=5-后

=旦x?x?x?x--^j=(10A/3-4%)

435,10痕1

<W,辰

=4V15,

當(dāng)x=2百時(shí)，取“=

...體積最大值為4V15cm3.

故答案為：4VB

D

【點(diǎn)評】本題考查三棱錐的體積的最大值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系、函數(shù)性

質(zhì)、導(dǎo)數(shù)等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、空間想象能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與

轉(zhuǎn)化思想，是中檔題.

三.解答題(共5小題)

16.如圖，在四棱錐P-ABC。中，AB//CD,且N8AP=NC￡)P=90°.

(1)證明：平面融B_L平面叢。；

8

(2)若P4=PO=AB=DC,ZAPD=90°,且四棱錐P-ABC。的體積為？求該四棱錐的側(cè)面積.

【考點(diǎn)】平面與平面垂直；棱柱、棱錐、棱臺的側(cè)面積和表面積.

【專題】證明題；數(shù)形結(jié)合；數(shù)形結(jié)合法；空間位置關(guān)系與距離.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】(1)推導(dǎo)出AB_LB4，CD±PD,從而AB_LP。，進(jìn)而A3_L平面E4D由此能證明平面E43_L

平面PAD.

(2)設(shè)B4=PD=AB=r)C=a,取中點(diǎn)0,連結(jié)P0,則POXJftffiABCD,>AD=夜a,PO=^~a,

o

由四棱錐尸-ABC。的體積為3求出a=2,由此能求出該四棱錐的側(cè)面積.

【解答】證明：(1):在四棱錐P-ABC。中，/BAP=/CDP=90°,

J.ABLPA,CDLPD,

又AB〃C。，：.AB±PD,

,：PAnPD=P,平面抬。，

平面B4B,平面平面B4Z).

解：(2)設(shè)以=PZ)=AB=OC=a,取A。中點(diǎn)。，連結(jié)尸。，

'：PA=PD=AB=DC,ZAPD=90°,平面B4BJ_平面也。，

：.PO±J^^ABCD,且PD=7a2+a2=伍,PO=^a,

g

???四棱錐P~ABCD的體積為J,

由平面B4。，ABLAD,

.1

**,Vp-A8C0=3Xs四邊形ABCDXP。

1An.p.nc1/7T1o8

=WxABxADxPO=可xaxV2ax-^-a==可，

解得。=2,：.PA=PD=AB=DC=2,AD=BC=2y/2,PO=V2,

:.PB=PC=vm=2V2,

...該四棱錐的側(cè)面積：

S側(cè)=S△碗

=^xPAxPD+ixPAxAB+ixPDxDC+^xBCxPB2-&2

2222\v27

+++XV8—2

=6+2?

【點(diǎn)評】本題考查面面垂直的證明，考查四棱錐的側(cè)面積的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位

置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、空間想象能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)

化思想，是中檔題.

17.如圖，在三棱錐A-8。中，平面42￡>_L平面BCD,AB=AD,。為BD的中點(diǎn).

(1)證明：OA±CD；

(2)若△0。)是邊長為1的等邊三角形，點(diǎn)E在棱A。上，DE=2EA,且二面角E-BC-。的大小為

45°,求三棱錐A-8C。的體積.

【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺的體積；直線與平面垂直.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間角；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】(1)利用等腰三角形中線就是高，得至UAOL8。，然后利用面面垂直的性質(zhì)，得到AOL平面

BCD,再利用線面垂直的性質(zhì)，即可證明A0_LCD；

(2)方法一：建立合適的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)A(0,0,t),利用待定系數(shù)法求出平面的法向量，由

向量的夾角公式求出f的值，然后利用錐體的體積公式求解即可.

方法二：利用幾何法求出二面角E-BC-。的平面角，然后利用錐體的體積公式求解即可.

【解答】解：(1)證明：因?yàn)锳8=A。，。為8。的中點(diǎn)，所以AO_LB。，

又平面ABD_L平面BCD,平面A8OC平面AOu平面ABD,

所以AO_L平面BCD,又CDu平面BQ),

所以AO_LC。；

(2)方法一：

取。。的中點(diǎn)R因?yàn)椤鱋CO為正三角形，所以CF，。。，

過。作OM"CF與BC交于點(diǎn)M,則OWJ_OD,

所以。M,OD,OA兩兩垂直，

以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)M,OD,。4所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示,

則8(0,-1,0),C卷,[0),D(0,1,0),

設(shè)A(0,0,力，貝氏0,y),

-?

因?yàn)椤?1_平面BCD,故平面BCD的一個(gè)法向量為04=(0,0,t),

設(shè)平面BCE的法向量為￡=Q,y,z),

34令

又盛=(孚,-

，

-，-

2(O3

fV3^3

一k%+77y=n0

所以由n-BC=0得122

4

n-BE=0（科+寺=n0

令x=用,則y=-l,z=I，故n=（遮，-1,

因?yàn)槎娼荅-BC-。的大小為45°,

—>\n-OA\2V2

所以|cosOi,0A>\=~―

\n\\OA\

解得f=l，所以。4=1,

又SAOCD=*xlxlx5=乎，所以SABCO=苧，

故匕-BCD=[ABCD,%x亭x1=造.

方法二：

過E作跖，B。，交BD于點(diǎn)、F,過尸作FGLBC于點(diǎn)G,連結(jié)EG,

由題意可知，EF//AO,又AO_L平面8CD1

所以所_1_平面BCD,又BCu平面BCD,

所以E7LLBC,又BCLFG,FGCEF=F

所以8C_L平面EFG,又EGu平面EFG,

所以BC±EG,

則/EG尸為二面角E-BC-。的平面角，即NEGP=45°,

又CD=DO=OB=OC=\,

所以/BOC=120°,則/OCB=/O8C=30°,

故/BCD=90°,

所以FG//CD,

DEDFEF2

因?yàn)橥?/p>

0D40-3

219

貝!)40=/F,09=毋，DF=

BFGF1+1

所以而貝”GF=^=

22

所以EP=GF=g,貝!MO=^EF=1,

所以VA-BCD=oS^BCD'A。=京x5xV3x1x1='v-

【點(diǎn)評】本題考查了面面垂直和線面垂直的性質(zhì)，在求解有關(guān)空間角問題的時(shí)候，一般要建立合適的空

間直角坐標(biāo)系，將空間角問題轉(zhuǎn)化為空間向量問題，屬于中檔題.

18.如圖，已知三棱錐A-BPC中，AP±PC,AC±BC,M為A8中點(diǎn)，。為尸8中點(diǎn)，且為正三

角形.

(1)求證：0M〃平面APC；

(2)求證：平面ABC_L平面APC；

(3)若BC=4,AB=20,求三棱錐D-BCM的體積.

【考點(diǎn)】直線與平面平行；平面與平面垂直；棱柱、棱錐、棱臺的體積.

【專題】空間位置關(guān)系與距離.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】(1)要證。M〃平面APC,只需證明(因?yàn)锳Pu面APC)即可.

(2)在平面ABC內(nèi)直線AP_L8C,BCYAC,即可證明8仁1_面APC,從而證得平面48cl,平面APC；

(3)因?yàn)?C=4,48=20,求出三棱錐的高，即可求三棱錐。-2CM的體積.

【解答】證明：(/)由已知得，是AABP的中位線

：.MD//AP'：MD^APC,APc?APC

：.MD//\^APC；

(〃):△PMB為正三角形，。為尸8的中點(diǎn)

：.MD±PB,：.AP±PBX"^AP±PC,PBCiPC^P

：.AP1^PBC(6分)VBCcjSPBCJ.APLBC

XVBCXAC,ACHAP=A：.BC±^APC,

：8Cu面ABC.,.平面ABC_L平面APC；

(HI)由題意可知，三棱錐A-BPC中，APLPC,ACLBC,M為AB中點(diǎn)，。為尸8中點(diǎn)，且△PMB

為正三角形.

BC=4,AB=20,MB=10,DM=543,尸8=10,PC=”00—16=2后,

：.MD是三棱錐D-BCM的高，SABCD=^X4X2何X1=2421,

-11

■,-VM-DBC=與Sh=掾x5V3x2舊=10V7.

B

【點(diǎn)評】本題考查直線與平面的平行，三棱錐的體積，平面與平面垂直的判定，是中檔題.

19.如圖，四邊形ABC。為菱形，G為AC與的交點(diǎn)，BEX5??ABCD.

(I)證明：平面AEC_L平面8￡?；

V6

(II)若NA8C=120°,AE±EC,三棱錐E-AC。的體積為飛■,求該三棱錐的側(cè)面積.

【考點(diǎn)】平面與平面垂直；棱柱、棱錐、棱臺的側(cè)面積和表面積.

【專題】空間位置關(guān)系與距離.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】(I)根據(jù)面面垂直的判定定理即可證明：平面AECL平面8即；

(II)根據(jù)三棱錐的條件公式，進(jìn)行計(jì)算即可.

【解答】證明：(I)..?四邊形ABC。為菱形，

：.AC±BD,

平面ABC。，

：.AC±BE,

則AC_L平面BED,

：ACu平面AEC,

平面AEC_L平面BED；

解：(II)設(shè)AB=x,在菱形ABC。中，由NABC=120°,得AG=GC=%,GB=GDJ

,：BEmABCD,

C.BELBG,則AEBG為直角三角形，

：.EG=^AC=AG=個(gè)，

貝ijBE=y/EG2-BG2=孝x,

?三棱錐E-ACD的體積V=^x^AC-GD-BE=第/=去

3Z3

解得x=2,即A5=2,

VZABC=120°,

：.AC1=AB2+BC1-2AB?BCcosABC=4+4-2x2X2X(-1)=12,

即AC-V12=2-/3,

在三個(gè)直角三角形EA4,EBD,E3C中，斜邊AE=EC=E。，

?：AE±EC,.?.△EAC為等腰三角形，

則AE2+￡C2=AC2=12,

即2A序=12,

.?.AE2=6,

貝ijAE=V6,

，從而得AE=EC=ED=V6,

-11

/.AEAC的面積S=^xEA-EC=^xV6x46=3,

在等腰三角形EAD中，過E作EF1AD于F,

則AE=V6,AF=^AD=jx2=1,

貝!]￡/=J(V6)2-l2=V5,

1

AEAZ)的面積和△￡<?￡)的面積均為x2xV5=V5,

故該三棱錐的側(cè)面積為3+2V5.

【點(diǎn)評】本題主要考查面面垂直的判定，以及三棱錐體積的計(jì)算，要求熟練掌握相應(yīng)的判定定理以及體

積公式.

20.如圖，四棱錐P-ABCD中，側(cè)面外。為等邊三角形且垂直于底面ABCQ,AB=BC=^AD,ZBAD=

ZABC=90°.

（1）證明：直線BC〃平面BW；

【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺的體積；直線與平面平行.

【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間位置關(guān)系與距離；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】（1）利用直線與平面平行的判定定理證明即可.

（2）利用已知條件轉(zhuǎn)化求解幾何體的線段長，然后求解幾何體的體積即可.

【解答】（1）證明：四棱錐P-ABC。中，VZBAD=ZABC=90°.J.BC//AD,平面E4D,

平面PAD,

直線〃平面E4D；

（2）解：四棱錐尸-ABC。中，側(cè)面陰。為等邊三角形且垂直于底面A8CD,

設(shè)。是AD的中點(diǎn)，貝UPOLBC,

而POu面PAD,面PADn面ABCD=BC,

所以PO±^ABCD,

A2=BC=%￡）,ZBAD=ZABC=90°.設(shè)AD=2x,

則A8=BC=x,CD=V2x,連接OC,設(shè)CD的中點(diǎn)為E,連接OE,

則0E=庠x,P0=V3x,PE=y/PO2+OE2=畢，

ZV2

1

△PCD面積為2b，可得：-PE-CD=2小,

2

即：工xg久?A/LC=2仍，解得尤=2,尸。=2次.

1111

則Vp-ABCD="x.(BC+AD)XABXPO=1x^x(2+4)x2x2V3=4瓜

【點(diǎn)評】本題考查直線與平面平行的判定定理的應(yīng)用，幾何體的體積的求法，考查空間想象能力以及計(jì)

算能力.

考點(diǎn)卡片

1.球內(nèi)接多面體

【知識點(diǎn)的認(rèn)識】

1、球內(nèi)接多面體的定義：多面體的頂點(diǎn)都在球面上，且球心到各頂點(diǎn)的距離都是半徑.球內(nèi)接多面體也

叫做多面體外接球.

球外切多面體的定義：球面和多面體的各個(gè)面都相切，球心到各面的距離都是球的半徑.球外切多面體也

叫做多面體內(nèi)切球

2、研究球與多面體的接、切問題主要考慮以下幾個(gè)方面的問題：

(1)球心與多面體中心的位置關(guān)系；

(2)球的半徑與多面體的棱長的關(guān)系；

(3)球自身的對稱性與多面體的對稱性；

(4)能否做出軸截面.

3、球與多面體的接、切中有關(guān)量的分析：

(1)球內(nèi)接正方體：球和正方體都是中心對稱和軸對稱圖形，設(shè)球的半徑為r,正方體的棱長為a,貝！I：

①球心就是正方體的中心，球心在正方體的體對角線的中點(diǎn)處；

②正方體的四個(gè)頂點(diǎn)都在球面上；

③軸截面就是正方體的對角面；

④在軸截面上，含有一個(gè)球的大圓和正方體的棱、面對角線、體對角線，且構(gòu)造一個(gè)直角三角形；

⑤球半徑和正方體棱長的關(guān)系：r=空°.=

2.棱柱、棱錐、棱臺的側(cè)面積和表面積

【知識點(diǎn)的認(rèn)識】

側(cè)面積和全面積的定義：

(1)側(cè)面積的定義：把柱、錐、臺的側(cè)面沿著它們的一條側(cè)棱或母線剪開，所得到的展開圖的面積，就

是空間幾何體的側(cè)面積.

(2)全面積的定義：空間幾何體的側(cè)面積與底面積的和叫做空間幾何體的全面積.

柱體、錐體、臺體的表面積公式(c為底面周長，場為高，h