高中數(shù)學(xué) 第一章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用單元綜合檢測（A）新人教A版選修2-2

第一章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用(A)(時(shí)間：120分鐘滿分：150分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分)1．已知曲線y＝x2＋2x－2在點(diǎn)M處的切線與x軸平行，則點(diǎn)M的坐標(biāo)是()A．(－1,3)B．(－1，－3)C．(－2，－3)D．(－2,3)2．函數(shù)y＝x4－2x2＋5的單調(diào)減區(qū)間為()A．(－∞，－1)及(0,1)B．(－1,0)及(1，＋∞)C．(－1,1)D．(－∞，－1)及(1，＋∞)3．函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，在x＝－3時(shí)取得極值，則a等于()A．2B．3C．4D．54．已知函數(shù)f(x)＝ax3－x2＋x－5在(－∞，＋∞)上既有極大值，也有極小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A．a(chǎn)>eq\f(1,3)B．a(chǎn)≥eq\f(1,3)C．a(chǎn)<eq\f(1,3)且a≠0D．a(chǎn)≤eq\f(1,3)且a≠05．一物體在變力F(x)＝5－x2(力單位：N，位移單位：m)作用下，沿與F(x)成30°方向作直線運(yùn)動(dòng)，則由x＝1運(yùn)動(dòng)到x＝2時(shí)F(x)作的功為()A.eq\r(3)JB.eq\f(2\r(3),3)JC.eq\f(4\r(3),3)JD．2eq\r(3)J6．設(shè)曲線y＝xn＋1(n∈N*)在(1,1)處的切線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為xn，則log2010x1＋log2010x2＋…＋log2010x2009的值為()A．－log20102009B．－1C．(log20102009)－1D．17．已知函數(shù)f(a)＝?eq\o\al(a,0)sinxdx，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))))等于()A．1B．1－cos1C．0D．cos1－18．函數(shù)f(x)＝2x3－3x2－12x＋5在[0,3]上的最大值和最小值分別是()A．5，－15B．5，－4C．－4，－15D．5，－169．如果圓柱的軸截面周長為定值4，則圓柱體積的最大值為()A.eq\f(8,27)πB.eq\f(16,27)πC.eq\f(8,9)πD.eq\f(16,9)π10．曲線y＝sinx，y＝cosx與直線x＝0，x＝eq\f(π,2)所圍成的平面區(qū)域的面積為()A．(sinx－cosx)dxB．2(sinx－cosx)dxC．(cosx－sinx)dxD．2(cosx－sinx)dx11．用力把彈簧從平衡位置拉長10cm，此時(shí)用的力是200N，變力F做的功W為()A．5JB．10JC．20JD．40J12.已知f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)圖象如圖所示，那么f(x)的圖象最有可能是圖中的()題號(hào)123456789101112答案二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)13．已知函數(shù)f(x)＝－x3＋ax在區(qū)間(－1,1)上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．14．若a＝sinxdx，b＝?eq\o\al(1,0)cosxdx，則a與b的關(guān)系是________．15．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P在曲線C：y＝x3－10x＋3上，且在第二象限內(nèi)，已知曲線C在點(diǎn)P處的切線斜率為2，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為______________．16．由曲線y＝x2，y＝x，y＝3x所圍成的圖形面積為________．三、解答題(本大題共6小題，共70分)17．(10分)設(shè)函數(shù)f(x)＝2x3－3(a＋1)x2＋6ax＋8，其中a∈R.已知f(x)在x＝3處取得極值．(1)求f(x)的解析式；(2)求f(x)在點(diǎn)A(1,16)處的切線方程．18．(12分)設(shè)鐵路AB長為50，BC⊥AB，且BC＝10，為將貨物從A運(yùn)往C，現(xiàn)在AB上距點(diǎn)B為x的點(diǎn)M處修一公路至C，已知單位距離的鐵路運(yùn)費(fèi)為2，公路運(yùn)費(fèi)為4.(1)將總運(yùn)費(fèi)y表示為x的函數(shù)；(2)如何選點(diǎn)M才使總運(yùn)費(fèi)最??？19.(12分)設(shè)函數(shù)f(x)＝lnx＋ln(2－x)＋ax(a＞0)．(1)當(dāng)a＝1時(shí)，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若f(x)在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，1))上的最大值為eq\f(1,2)，求a的值．20．(12分)要設(shè)計(jì)一容積為V的有蓋圓柱形儲(chǔ)油罐，已知側(cè)面的單位面積造價(jià)是底面造價(jià)的一半，蓋的單位面積造價(jià)又是側(cè)面造價(jià)的一半．問儲(chǔ)油罐的半徑r和高h(yuǎn)之比為何值時(shí)造價(jià)最省？21.(12分)若函數(shù)f(x)＝ax3－bx＋4，當(dāng)x＝2時(shí)，函數(shù)f(x)有極值－eq\f(4,3).(1)求函數(shù)的解析式；(2)若方程f(x)＝k有3個(gè)不同的根，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．22．(12分)已知函數(shù)f(x)＝ax3－eq\f(3,2)x2＋1(x∈R)，其中a>0.(1)若a＝1，求曲線y＝f(x)在點(diǎn)(2，f(2))處的切線方程；(2)若在區(qū)間[－eq\f(1,2)，eq\f(1,2)]上，f(x)>0恒成立，求a的取值范圍．答案1．B[∵f′(x)＝2x＋2＝0，∴x＝－1.f(－1)＝(－1)2＋2×(－1)－2＝－3.∴M(－1，－3)．]2．A[y′＝4x3－4x＝4x(x2－1)，令y′<0得x的范圍為(－∞，－1)∪(0,1)，故選A.]3．D[f′(x)＝3x2＋2ax＋3.由f(x)在x＝－3時(shí)取得極值，即f′(－3)＝0，即27－6a＋3＝0，∴a＝5.]4．C[f′(x)＝3ax2－2x＋1，函數(shù)f(x)在(－∞，＋∞)上有極大值，也有極小值，等價(jià)于f′(x)＝0有兩個(gè)不等實(shí)根，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a≠0，,Δ＝4－12a>0.))解得a<eq\f(1,3)且a≠0.]5．C[由于F(x)與位移方向成30°角．如圖：F在位移方向上的分力F′＝F·cos30°，W＝?eq\o\al(2,1)(5－x2)·cos30°dx＝eq\f(\r(3),2)?eq\o\al(2,1)(5－x2)dx＝eq\f(\r(3),2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5x－\f(1,3)x3))|eq\o\al(2,1)＝eq\f(\r(3),2)×eq\f(8,3)＝eq\f(4\r(3),3)(J)．]6．B[∵y′|x＝1＝n＋1，∴切線方程為y－1＝(n＋1)(x－1)，令y＝0，得x＝1－eq\f(1,n＋1)＝eq\f(n,n＋1)，即xn＝eq\f(n,n＋1).所以log2010x1＋log2010x2＋…＋log2010x2009＝log2010(x1·x2·…·x)＝log2010(eq\f(1,2)·eq\f(2,3)·…·eq\f(2009,2010))＝log2010eq\f(1,2010)＝－1.]7．B[∵f(a)＝(－cosx)|eq\o\al(a,0)＝1－cosa，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝1－coseq\f(π,2)＝1，∴f(1)＝1－cos1.]8．A9．A[設(shè)圓柱橫截面圓的半徑為R，圓柱的高為h，則2R＋h＝2.∵V＝πR2h＝πR2(2－2R)＝2πR2－2πR3，∴V′＝2πR(2－3R)＝0.令V′＝0，則R＝0(舍)或R＝eq\f(2,3).經(jīng)檢驗(yàn)，R＝eq\f(2,3)時(shí)，圓柱體積最大，此時(shí)h＝eq\f(2,3)，Vmax＝π·eq\f(4,9)·eq\f(2,3)＝eq\f(8,27)π.]10．D[如圖所示，兩陰影部分面積相等，所示兩陰影面積之和等于0<x<eq\f(π,4)陰影部分面積的2倍．故選D.]11．B[設(shè)F(x)＝kx，則200＝k·0.1，∴k＝2000，∴W＝?eq\o\al(0.1,0)2000xdx＝1000x2|eq\o\al(0.1,0)＝10(J)．]12．A[∵(－∞，－2)時(shí)，f′(x)<0，∴f(x)為減函數(shù)；同理f(x)在(－2,0)上為增函數(shù)，(0，＋∞)上為減函數(shù)．]13．a(chǎn)≥3解析由題意應(yīng)有f′(x)＝－3x2＋a≥0，在區(qū)間(－1，1)上恒成立，則a≥3x2，x∈(－1,1)恒成立，故a≥3.14．a(chǎn)<b解析∵a＝－cosx|＝－cos2，b＝sinx|eq\o\al(1,0)＝sin1.又∵－cos2＝cos(π－2)＝sin(2－eq\f(π,2))．在單位圓中利用三角函數(shù)線估算可知a<b.15．(－2,15)解析設(shè)P(x0，y0)(x0<0)，由題意知：y′|x＝x0＝3xeq\o\al(2,0)－10＝2，∴xeq\o\al(2,0)＝4.又∵P點(diǎn)在第二象限內(nèi)，∴x0＝－2，∴y0＝15.∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為(－2,15)．16.eq\f(13,3)17．解(1)f′(x)＝6x2－6(a＋1)x＋6a.∵f(x)在x＝3處取得極值，∴f′(3)＝6×9－6(a＋1)×3＋6a＝0，解得a＝3.∴f(x)＝2x3－12x2＋18x＋8.(2)A點(diǎn)在f(x)上，由(1)可知f′(x)＝6x2－24x＋18，f′(1)＝6－24＋18＝0，∴切線方程為y＝16.18．解(1)依題意，鐵路AM上的運(yùn)費(fèi)為2(50－x)，公路MC上的運(yùn)費(fèi)為4eq\r(100＋x2)，則由A到C的總運(yùn)費(fèi)為y＝2(50－x)＋4eq\r(100＋x2)(0≤x≤50)．(2)y′＝－2＋eq\f(4x,\r(100＋x2))(0≤x≤50)．令y′＝0，解得x1＝eq\f(10,\r(3))，x2＝－eq\f(10,\r(3))(舍)．當(dāng)0≤x<eq\f(10,\r(3))時(shí)，y′<0，當(dāng)50≥x>eq\f(10,\r(3))時(shí)，y′>0.故當(dāng)x＝eq\f(10,\r(3))時(shí)，y取得最小值，即當(dāng)在距離點(diǎn)B為eq\f(10\r(3),3)時(shí)的點(diǎn)M處修筑公路至C時(shí)總運(yùn)費(fèi)最?。?9．解函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,2)，f′(x)＝eq\f(1,x)－eq\f(1,2－x)＋a.(1)當(dāng)a＝1時(shí)，f′(x)＝eq\f(－x2＋2,x2－x)，所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，eq\r(2))，單調(diào)遞減區(qū)間為(eq\r(2)，2)．(2)當(dāng)x∈(0,1]時(shí)，f′(x)＝eq\f(2－2x,x2－x)＋a＞0，即f(x)在(0,1]上單調(diào)遞增，故f(x)在(0,1]上的最大值為f(1)＝a，因此a＝eq\f(1,2).20．解由V＝πr2h，得h＝eq\f(V,πr2).設(shè)蓋的單位面積造價(jià)為a，則儲(chǔ)油罐的造價(jià)M＝aπr2＋2a·2πrh＋4a·πr2＝5aπr2＋eq\f(4aV,r)，M′＝10aπr－eq\f(4aV,r2)，令M′＝0，解得r＝eq\r(3,\f(2V,5π))，∴經(jīng)驗(yàn)證，當(dāng)r＝eq\r(3,\f(2V,5π))時(shí)，函數(shù)取得極小值，也是最小值，此時(shí)，h＝eq\f(V,πr2)＝eq\r(3,\f(25V,4π)).∴當(dāng)eq\f(r,h)＝eq\f(\r(3,\f(2V,5π)),\r(3,\f(25V,4π)))＝eq\f(2,5)時(shí)，儲(chǔ)油罐的造價(jià)最省．21．解f′(x)＝3ax2－b.(1)由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f′2＝12a－b＝0,f2＝8a－2b＋4＝－\f(4,3)))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,3),b＝4))，故所求函數(shù)的解析式為f(x)＝eq\f(1,3)x3－4x＋4.(2)由(1)可得f′(x)＝x2－4＝(x－2)(x＋2)，令f′(x)＝0，得x＝2或x＝－2.當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：x(－∞，－2)－2(－2,2)2(2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)eq\f(28,3)－eq\f(4,3)因此，當(dāng)x＝－2時(shí)，f(x)有極大值eq\f(28,3)，當(dāng)x＝2時(shí)，f(x)有極小值－eq\f(4,3)，所以函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x3－4x＋4的圖象大致如右圖所示．若f(x)＝k有3個(gè)不同的根，則直線y＝k與函數(shù)f(x)的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，所以－eq\f(4,3)<k<eq\f(28,3).22．解(1)當(dāng)a＝1時(shí)，f(x)＝x3－eq\f(3,2)x2＋1，f(2)＝3.f′(x)＝3x2－3x，f′(2)＝6，所以曲線y＝f(x)在點(diǎn)(2，f(2))處的切線方程為y－3＝6(x－2)，即y＝6x－9.(2)f′(x)＝3ax2－3x＝3x(ax－1)．令f′(x)＝0，解得x＝0或x＝eq\f(1,a).以下分兩種情況討論：①若0<a≤2，則eq\f(1,a)≥eq\f(1,2).