專題06一元二次方程根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系（知識點(diǎn)考點(diǎn)串編）-2021-2022學(xué)年八年級數(shù)學(xué)下學(xué)期核心考點(diǎn)(滬科版)

專題06一元二次方程根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系【思維導(dǎo)圖】?知識點(diǎn)一：根的判別式【技巧】根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與△＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：①當(dāng)△＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；②當(dāng)△＝0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；③當(dāng)△＜0時，方程無實數(shù)根．上面的結(jié)論反過來也成立．◎考點(diǎn)1根據(jù)判別式判斷根的情況例．（2021·四川涪城·一模）?知識點(diǎn)一：根的判別式【技巧】根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與△＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：①當(dāng)△＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；②當(dāng)△＝0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；③當(dāng)△＜0時，方程無實數(shù)根．上面的結(jié)論反過來也成立．◎考點(diǎn)1根據(jù)判別式判斷根的情況A．有兩個不相等的實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根C．沒有實數(shù)根 D．無法確定【答案】A【解析】【分析】先求出Δ的值，再判斷出其符號即可．【詳解】解：∵Δ=（3）24×1×(1)=13＞0，∴方程有兩個不相等的實數(shù)根．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查的是根的判別式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的情況與判別式Δ的關(guān)系：（1）Δ＞0?方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）Δ=0?方程有兩個相等的實數(shù)根；（3）Δ＜0?方程沒有實數(shù)根．練習(xí)1．（2021·四川涼山·模擬預(yù)測）關(guān)于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣2kx+k﹣6＝0有兩個實數(shù)根，則k的取值范圍是（）A．k≥0 B．k≥0且k≠2 C．k≥ D．k≥且k≠2【答案】D【解析】【分析】根據(jù)一元二次方程有兩個實數(shù)根，可知k2≠0，b24ac≥0，求出k的取值范圍．【詳解】解：根據(jù)題意得k﹣2≠0且b24ac＝(﹣2k)2﹣4(k﹣2)(k﹣6)≥0，解得且k≠2，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，注意一元二次方程ax2+bx+c=0成立的條件是a≠0．練習(xí)2．（2021·廣東·東莞市光明中學(xué)九年級期中）一元二次方程的根的情況是（

）A．有兩個不相等的實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根C．只有一個實數(shù)根 D．沒有實數(shù)根【答案】A【解析】【分析】根據(jù)一元二次方程的判別式進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：∵，∴原方程有兩個不相等的實數(shù)根．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程(為常數(shù))的根的判別式，理解根的判別式對應(yīng)的根的三種情況是解題的關(guān)鍵．當(dāng)時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)時，方程沒有實數(shù)根．練習(xí)3．（2021·湖北荊門·模擬預(yù)測）小剛在解關(guān)于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）時，只抄對了a＝1，b＝3，解出其中一個根是．他核對時發(fā)現(xiàn)所抄的比原方程的值小2．則原方程的根的情況是（）A．不存在實數(shù)根 B．有兩個不相等的實數(shù)根C．有一個根是x＝﹣1 D．有兩個相等的實數(shù)根【答案】A【解析】【分析】首先利用已知的a、b，以及解出的一個根，求出c，再根據(jù)“所抄的比原方程的值小2”得出正確的c值，最終利用根的判別式判斷根的情況即可．【詳解】解：小剛在解關(guān)于的方程時，只抄對了，，解出其中一個根是，，解得：，故原方程中，則，則原方程的根的情況是不存在實數(shù)根．故選：A．【點(diǎn)睛】本題重點(diǎn)考查的是一元二次方程中根的判別式的應(yīng)用，熟練掌握一元二次方程中的運(yùn)算，以及判別式的運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．◎◎考點(diǎn)2根據(jù)根的情況求參數(shù)例．（2022·海南海口·九年級期末）若關(guān)于x的方程（k為常數(shù)）有兩個相等的實數(shù)根，則k的值為（

）A．﹣4 B．4 C． D．【答案】D【解析】【分析】根據(jù)方程x2x+k=0有兩個相等的實數(shù)根，則根的判別式△=b24ac=0，從而列關(guān)于k的方程求解即可．【詳解】解：∵方程有兩個相等的實數(shù)根，∴△=b2?4ac=（1）24k=0，解得：k=．故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的根的判別式，當(dāng)一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，則根的判別式為0．練習(xí)1．（2022·甘肅蘭州·九年級期末）已知關(guān)于x的一元二次方程(k－1)x2－2x＋1＝0有兩個實數(shù)根，則k的取值范圍是（

）A．k≤2 B．k≤2 C．k≥2 D．k≤2且k≠1【答案】D【解析】【分析】根據(jù)方程有兩個實數(shù)根則，再結(jié)合二次項系數(shù)，即可得到關(guān)于k的一元一次不等式組，解不等式組即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程有實數(shù)根，∴，解得：且．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了根的判別式，根據(jù)根的判別式，結(jié)合二次項系數(shù)不為0，得出關(guān)于k的一元一次不等式組是解題的關(guān)鍵．練習(xí)2．（2021·四川省榮縣中學(xué)校九年級期中）若關(guān)于x的方程無實數(shù)根，則一次函數(shù)的圖象不經(jīng)過的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)關(guān)于的方程無實數(shù)根求出的取值范圍，再判斷出一次函數(shù)的圖象經(jīng)過的象限即可．【詳解】解：關(guān)于的方程無實數(shù)根，△，解得，，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過一、二、四象限，不經(jīng)過第三象限．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是一次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟知一次函數(shù)的圖象當(dāng)，時在一、二、四象限．練習(xí)3．（2021·廣東·河源市第二中學(xué)一模）若關(guān)于x的一元二次方程有實數(shù)根，則實數(shù)k的取值范圍是（

）A． B． C．且 D．且【答案】C【解析】【分析】根據(jù)一元二次方程根的判別式，即可求得．【詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程有實數(shù)根，∴且，解得且，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根的判別式，注意二次項系數(shù)不為零是解決本題的關(guān)鍵?知識點(diǎn)二：根與系數(shù)關(guān)系【技巧】根與系數(shù)的關(guān)系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根時，x1+x2=?ba，x1x2=ca．例．（2022·湖北·武漢七一華源中學(xué)九年級階段練習(xí)）關(guān)于x的方程ax2+bx+c＝0有兩個不相等的實根x1?知識點(diǎn)二：根與系數(shù)關(guān)系【技巧】根與系數(shù)的關(guān)系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根時，x1+x2=?ba，x1x2A．1 B．2 C．4 D．6【答案】D【解析】【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出x1+x2=，由x2=2x1得出3x1=，即x1=，可解出x2，由兩根之積x1x2=可得c=，代入代數(shù)式即可得到4b3ac==4b=（b3）2+6，從而求得4b3ac的最大值是6．【詳解】解：∵關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0有兩個不相等的實根x1、x2，∴x1+x2=，x1x2=，∵x2=2x1，∴3x1=，即x1=，∴x2=，∴==，∴9ac=2b2，∴c=∴4b3ac=4b3a?=4b=（b3）2+6，∵＜0，∴4b3ac的最大值是6，故選：D．【點(diǎn)睛】此題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是根據(jù)兩根之和和兩根之積，找到a、b、c之間的關(guān)系，再代入所求的式子運(yùn)用配方法配方求出最大值．練習(xí)1．（2022·山東·周村二中九年級開學(xué)考試）已知一元二次方程x2﹣3x+1＝0的兩根為x1，x2，則x12﹣5x1﹣2x2的值為（）A．﹣7 B．﹣3 C．2 D．5【答案】A【解析】【分析】由題意得，，將變形為，進(jìn)行計算即可得．【詳解】解：∵一元二次方程x2﹣3x+1＝0的兩根為x1，x2，∴，，∴，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握根與系數(shù)的關(guān)系，將進(jìn)行變形．練習(xí)2．（2022·四川省安岳中學(xué)九年級開學(xué)考試）關(guān)于x的一元二次方程x2+mx+3＝0有兩個實數(shù)根x1＝1，x2＝n，則代數(shù)式（m+n）2020的值為（）A．1 B．0 C．32020 D．72020【答案】A【解析】【分析】