【專項(xiàng)訓(xùn)練】相似三角形五大模型+訓(xùn)練(共45題)(原卷版+解析)

【專項(xiàng)訓(xùn)練】相似三角形五大模型+訓(xùn)練（共45題）模型1：平行線模型1.如圖，在△ABC中，已知點(diǎn)D，E分別是邊AC，BC上的點(diǎn)，DE∥AB，且CE：EB＝2：3，若DE＝4，則AB等于（）A．6 B．8 C．10 D．12【變式1-1】如圖，F(xiàn)是平行四邊形ABCD的邊CD上一點(diǎn)，直線BF交AD的延長線于點(diǎn)E，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A． B． C． D．【變式1-2】如圖，已知在四邊形ABCD中，AD∥BC．E為邊CB延長線上一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)DE交邊AB于點(diǎn)F，聯(lián)結(jié)AC交DE于點(diǎn)G，且＝．（1）求證：AB∥CD；（2）如果AE2＝AG?AC，求證：＝．【變式1-3】如圖，已知AB∥EF∥CD，AC，BD相交于點(diǎn)E，EF：AB＝2：3．（1）若CE＝4，求AE的長；（2）若CD＝6，求AB的長；（3）若四邊形ABFE的面積為8，直接寫出△CEF的面積．模型2：“A”字或反“8”字模型2.如圖，△ABC中，AB＝6，AC＝4，BC＝5，點(diǎn)D，E分別在AB，AC上，AD＝2，∠AED＝∠B，則DE＝（）A． B． C．3 D．2【變式2-1】如圖，在△ABC中，∠ACD＝∠B，AD＝4，AC＝6．求BD的長．【變式2-2】如圖，在⊙O中，弦AB、CD交于點(diǎn)E．AE＞BE，若AB＝8，CE＝4，DE＝3，求AE．【變式2-3】如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)E，DB平分∠ADC，且AB2＝BE?BD．（1）求證：△ABE∽△DCE；（2）AE?CD＝BC?ED．題型3：雙垂直模型（射影定理）3.如圖，CD是Rt△ABC斜邊上的高，∠ACB＝90°，若BC＝6cm，AC＝8cm，求BD的長．【變式3-1】如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于點(diǎn)D，BD＝4，AD＝6．（1）求證△ABD∽△CAD；（2）求AC的長．【變式3-2】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D在AB上，且＝．（1）求證△ACD∽△ABC；（2）若AD＝3，BD＝2，求CD的長．【變式3-3】已知關(guān)于x的方程x2﹣2（a+b）x+c2+2ab＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，其中a、b、c為△ABC的三邊長．（1）試判斷△ABC的形狀，并說明理由；（2）若CD是AB邊上的高，AC＝2，AD＝1，求BD的長．題型4：一線三等角模型4.如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E在BC邊上，且AE⊥EF，若BE＝2，CF＝，求正方形ABCD的邊長．【變式4-1】如圖，在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點(diǎn)D、E分別在邊BC、AC上，連接AD、DE，有∠ADE＝45°．（1）證明：△BDA∽△CED．（2）若BC＝6，當(dāng)AE＝ED時(shí)，求BD的長．【變式4-2】如圖，AB＝9，AC＝8，P為AB上一點(diǎn)，∠A＝∠CPD＝∠B，連接CD．（1）若AP＝3，求BD的長；（2）若CP平分∠ACD，求證：PD2＝CD?BD．題型5：手拉手模型-旋轉(zhuǎn)相似5.已知：如圖，△ABD∽△ACE．求證：△DAE∽△BAC．【變式5-1】如圖，在△ABC與△ADE中，∠ACB＝∠AED＝90°，∠ABC＝∠ADE，連接BD、CE，求證：（1）△ABC∽△ADE（2）若AC：BC＝3：4，求BD：CE為多少【變式5-2】如圖，在△ABC與△DEC中，已知∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝6，BC＝3，CD＝5，CE＝2.5，連接AD，BE．（1）求證：△ACD∽△BCE；（2）若∠BCE＝45°，求△ACD的面積．一、解答題1．如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于點(diǎn)D，點(diǎn)E是AB上一點(diǎn)，連接DE，BD2=BC·BE.證明：△BCD∽△BDE.2．如圖，在△ABC中，D為AC邊上一點(diǎn)，BC=4，AD=6，CD=2．求證：△BCD∽△ACB．3．已知線段a，b的比例中項(xiàng)線段c=2，線段a=1，求線段b．4．一個(gè)三角形的三邊長分別為12cm，8cm，7cm，另一個(gè)三角形的三邊長分別為16cm，24cm，14cm，這兩個(gè)三角形相似嗎？為什么？5．已知：如圖，Rt△CDE中，∠ABC=∠CDE=90°，且BC與CD共線，聯(lián)結(jié)AE，點(diǎn)M為AE中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)BM，交AC于點(diǎn)G，聯(lián)結(jié)MD，交CE于點(diǎn)H（1）求證：MB=MD；（2）當(dāng)AB=BC，DC=DE時(shí)，求證：四邊形MGCH為矩形．7．已知：如圖，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，點(diǎn)D是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與B，C點(diǎn)重合），∠ADE＝45°，求證：△ABD∽△DCE；8．如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)E在AB上，且EO∥BC，已知AD=2，BC=4.求EO的長.9．如圖，AB⊥BD，CD⊥BD，AB=6cm，CD=4cm，BD=14cm，點(diǎn)P在BD上由點(diǎn)B向點(diǎn)D方向移動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P移到離點(diǎn)B多遠(yuǎn)時(shí)，△APB和△CPD相似？10．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F．求證：△DEH∽△BCA．11．如圖，點(diǎn)C、D在線段AB上，△PCD是等邊三角形，若∠APB=120°，求證：△ACP∽△PDB．12．如圖所示，已知AB∥EF∥CD，AC、BD相交于點(diǎn)E，AB=6cm，CD=12cm，求EF．13．如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O交AC于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)D，連接BE、AD交于點(diǎn)P.求證：

(1)D是BC的中點(diǎn)；

(2)△BEC∽△ADC.14．如圖．在△ABC中，E是AB的中點(diǎn)，D是AC上的一點(diǎn)，且AD：DC=2：3，BD與CE交于F，S△ABC=40，求SAEFD．15．在△ABC中，AB＝12，點(diǎn)E在AC上，點(diǎn)D在AB上，若AE＝6，EC＝4，ADDB（1）求AD的長；（2）試問DBAB16．如圖，（1）若AE：AB=，則△ABC∽△AEF；（2）若∠E=，則△ABC∽△AEF．17．如圖，點(diǎn)E在矩形ABCD的邊AD上，且∠EBC＝∠ECB．（1）求證：AE＝ED；（2）連接BD交CB于點(diǎn)F，求△BCF和△DEF的面積之比．18．閱讀材料，回答問題在邊長為1的正方形ABCD中，E是AB的中點(diǎn)，CF⊥DE，F(xiàn)為垂足．（1）△CDF與△DEA是否相似？說明理由；（2）求CF的長．19．如圖，在△ABC中，BA=BC=20cm，AC=30cm，點(diǎn)P從A出發(fā)，沿AB以4cm/s的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)；同時(shí)點(diǎn)Q從C點(diǎn)出發(fā)，沿CA以3cm/s的速度向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x（s）．（1）當(dāng)x為何值時(shí)，PQ∥BC；（2）當(dāng)△APQ與△CQB相似時(shí)，AP的長為．；（3）當(dāng)S△BCQ：S△ABC=1：3，求S△APQ：S△ABQ的值．20．如圖，DB過⊙O的圓心，交⊙O于點(diǎn)A、B，DC是⊙O的切線，點(diǎn)C是切點(diǎn)，已知∠D＝30°，DC＝3．（1）求證：△BOC∽△BCD；（2）求△BCD的周長．21．如圖，直線l1∥l2∥（1）求AC的長；（2）若BE：CF=1：3，求OB：AB.22．請(qǐng)閱讀以下材料，并完成相應(yīng)的問題：角平分線分線段成比例定理，如圖1，在△ABC中，AD平分∠BAC，則ABAC下面是這個(gè)定理的部分證明過程．證明：如圖2，過點(diǎn)C作CE∥DA．交BA的延長線于點(diǎn)E．…任務(wù)：（1）請(qǐng)按照上面的證明思路，寫出該證明過程的剩余部分；（2）如圖3，已知Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，AD平分∠BAC，求△ABD的周長．【專項(xiàng)訓(xùn)練】相似三角形五大模型+訓(xùn)練（共45題）模型1：平行線模型1.如圖，在△ABC中，已知點(diǎn)D，E分別是邊AC，BC上的點(diǎn)，DE∥AB，且CE：EB＝2：3，若DE＝4，則AB等于（）A．6 B．8 C．10 D．12【分析】由DE∥AB，則△CDE∽△CAB，利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例即可求出AB．【解答】解：∵CE：EB＝2：3，∴CE：CB＝2：5，∵DE∥AB，∴∠CDE＝∠A，∠CED＝∠B，∴△CDE∽△CAB，∴＝，∵DE＝4，∴AB＝10，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，熟記相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例是解題關(guān)鍵．【變式1-1】如圖，F(xiàn)是平行四邊形ABCD的邊CD上一點(diǎn)，直線BF交AD的延長線于點(diǎn)E，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A． B． C． D．【分析】利用平行四邊形的性質(zhì)先說明對(duì)邊平行，再利用平行線分線段成比例定理和相似三角形的性質(zhì)得結(jié)論．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴DF∥AB，ED∥BC．∵DF∥AB，∴＝，＝，△EDF∽△EAB．∴＝．故選項(xiàng)A、B、D正確；∵ED∥BC，∴△EDF∽△BCF．∴＝≠．故選項(xiàng)C錯(cuò)誤．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，掌握相似三角形的判定方法及相似三角形的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．【變式1-2】如圖，已知在四邊形ABCD中，AD∥BC．E為邊CB延長線上一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)DE交邊AB于點(diǎn)F，聯(lián)結(jié)AC交DE于點(diǎn)G，且＝．（1）求證：AB∥CD；（2）如果AE2＝AG?AC，求證：＝．【分析】（1）由AD∥BC，得到△ADG∽△CEG，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）由AE2＝AG?AC易得△AEG∽△ACE，所以∠AEG＝∠ACE＝∠DAG，可得△ADG∽△EDA，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得結(jié)論．【解答】證明：（1）∵AD∥BC，∴△ADG∽△CEG，∴＝，∵＝，∴＝，∴AB∥CD；（2）∵AE2＝AG?AC，∴＝，∵∠EAG＝∠CAE，∴△AEG∽△ACE，∴∠AEG＝∠ACE，∵AD∥BC，∴∠ACE＝∠DAG，∴∠DAG＝∠AEG，∵∠ADG＝∠EDA，∴△ADG∽△EDA，∴，即＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式1-3】如圖，已知AB∥EF∥CD，AC，BD相交于點(diǎn)E，EF：AB＝2：3．（1）若CE＝4，求AE的長；（2）若CD＝6，求AB的長；（3）若四邊形ABFE的面積為8，直接寫出△CEF的面積．【分析】（1）根據(jù)AB∥EF得到△CEF∽△CAB，接著利用相似三角形的性質(zhì)得到EF：AB＝2：3＝CE：CA，由此求出CA＝6即可求解；（2）根據(jù)AB∥EF∥CD，得到△ABE∽△CDE，接著得到AB：CD＝AE：CE，利用比例的性質(zhì)最后得到EFAE：CE＝AB：CD＝1：2即可求出AB＝3；（3）由于△CEF∽△CAB得到S△CEF：S△CAB＝＝＝，由此即可求解．【解答】解：（1）∵AB∥EF，∴△CEF∽△CAB，∴EF：AB＝2：3＝CE：CA，∵CE＝4，∴2：3＝4：CA，∴CA＝6，∴AE＝CA﹣CE＝6﹣4＝2；（2）∵AB∥EF∥CD，∴△ABE∽△CDE，∴AB：CD＝AE：CE，∵EF：AB＝2：3＝CE：CA，∴CE：EA＝2：1，∴AE：CE＝AB：CD＝1：2，而CD＝6，∴AB＝3；（3）∵△CEF∽△CAB，∴S△CEF：S△CAB＝＝＝，∴＝，∴＝，∴S△CEF＝．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練利用性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．模型2：“A”字或反“8”字模型2.如圖，△ABC中，AB＝6，AC＝4，BC＝5，點(diǎn)D，E分別在AB，AC上，AD＝2，∠AED＝∠B，則DE＝（）A． B． C．3 D．2【分析】通過∠AED＝∠B，∠A為公共角，證明△ADE∽△ACB，然后利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例求出DE的長．【解答】解：∵∠AED＝∠B，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB，∴，∴DE＝，∵AD＝2，BC＝5，AC＝4，∴DE＝＝．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例是解題的關(guān)鍵．【變式2-1】如圖，在△ABC中，∠ACD＝∠B，AD＝4，AC＝6．求BD的長．【分析】根據(jù)已知可得△ACD∽△ABC，由對(duì)應(yīng)邊成比例可得AB＝9，進(jìn)而可得BD的長．【解答】解：∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABC．∴．∵AD＝4，AC＝6，∴．∴BD＝AB﹣AD＝5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，能根據(jù)已知條件得到△ACD∽△ABC是解題關(guān)鍵．【變式2-2】如圖，在⊙O中，弦AB、CD交于點(diǎn)E．AE＞BE，若AB＝8，CE＝4，DE＝3，求AE．【分析】根據(jù)圓周角定理得到∠A＝∠D，∠C＝∠B，證明△AEC∽△DEB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，計(jì)算即可．【解答】解：由圓周角定理得：∠A＝∠D，∠C＝∠B，∴△AEC∽△DEB，∴＝，∵AB＝8，CE＝4，DE＝3，∴＝，整理得：AE2﹣8AE+12＝0，解得：AE1＝2，AE2＝6，∵AE＞BE，∴AE＝6，答：AE的長為6．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)、圓周角定理，證明△AEC∽△DEB是解題的關(guān)鍵．【變式2-3】如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)E，DB平分∠ADC，且AB2＝BE?BD．（1）求證：△ABE∽△DCE；（2）AE?CD＝BC?ED．【分析】（1）根據(jù)相似三角形的判定可得△ABE∽△DBA；所以∠BAC＝∠BDC，由此可得出△ABE∽△DCE；（2）由（1）中的相似可得出AE：DE＝BE：CE，再由∠BEC＝∠AED可得△ADE∽△BCE，所以∠EAD＝∠EBC，∠ADE＝∠BDC＝∠BCE，可得△BCD∽△ADE，進(jìn)而可得結(jié)論．【解答】證明：（1）∵AB2＝BE?BD，∴AB：BE＝BD：AB，∵∠ABE＝∠DBA，∴△ABE∽△DBA，∴∠BAC＝∠BDC，∵BD平分∠ADC，∴∠ADB＝∠BDC＝∠BAC，∴△ABE∽△DCE；（2）由（1）中相似可得，AE：DE＝BE：CE，∵∠BEC＝∠AED，∴△ADE∽△BCE，∴∠EAD＝∠EBC，∠ADE＝∠BDC＝∠BCE，∴△BCD∽△AED，∴BC：AE＝CD：ED，AE?CD＝BC?ED．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查相似三角形的性質(zhì)與安定，涉及A字型相似，8字型相似等相關(guān)內(nèi)容，熟練掌握相關(guān)判定是解題關(guān)鍵．題型3：雙垂直模型（射影定理）3.如圖，CD是Rt△ABC斜邊上的高，∠ACB＝90°，若BC＝6cm，AC＝8cm，求BD的長．【分析】根據(jù)勾股定理求出AB，根據(jù)射影定理計(jì)算即可．【解答】解：由勾股定理得，AB＝＝10，由射影定理得，BC2＝BD?AB，∴BD＝＝3.6（cm）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是勾股定理，射影定理，直角三角形中，每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項(xiàng)．【變式3-1】如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于點(diǎn)D，BD＝4，AD＝6．（1）求證△ABD∽△CAD；（2）求AC的長．【分析】（1）依據(jù)∠BAC＝90°，AD⊥BC，即可得到∠BAD＝∠C，∠ADB＝∠CDA＝90°，進(jìn)而判定△ABD∽△CAD；（2）依據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到CD的長，再根據(jù)勾股定理進(jìn)行計(jì)算，即可得出AC的長．【解答】解：（1）∵Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∴∠BAD+∠CAD＝90°，∵AD⊥BC，∴∠C+∠CAD＝90°，∴∠BAD＝∠C，又∵∠ADB＝∠CDA＝90°，∴△ABD∽△CAD；（2）∵△ABD∽△CAD，∴＝，∴AD2＝BD×CD，∴CD＝＝＝9，Rt△ACD中，AC＝＝＝3．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理的綜合運(yùn)用，在判定兩個(gè)三角形相似時(shí)，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過作平行線構(gòu)造相似三角形；或依據(jù)基本圖形對(duì)圖形進(jìn)行分解、組合；或作輔助線構(gòu)造相似三角形．【變式3-2】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D在AB上，且＝．（1）求證△ACD∽△ABC；（2）若AD＝3，BD＝2，求CD的長．【分析】（1）根據(jù)兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似解答即可；（2）根據(jù)已知易證△ACD∽△CBD，然后進(jìn)行解答即可．【解答】（1）證明：∵＝，∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABC；（2）解：∵△ACD∽△ABC，∴∠ACD＝∠B，∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∴∠A+∠ACD＝90°，∴∠ADC＝90°，∴∠ADC＝∠BDC，∵∠ACD＝∠B，∴△ACD∽△CBD，∴＝，∴＝，∴CD＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似是解題的關(guān)鍵．【變式3-3】已知關(guān)于x的方程x2﹣2（a+b）x+c2+2ab＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，其中a、b、c為△ABC的三邊長．（1）試判斷△ABC的形狀，并說明理由；（2）若CD是AB邊上的高，AC＝2，AD＝1，求BD的長．【分析】（1）根據(jù)判別式等于0可得出三邊的關(guān)系，繼而可判斷出三角形的形狀；（2）結(jié)合（1）的結(jié)論，利用射影定理即可直接解答．【解答】解：（1）∵兩根相等，∴可得：4（a+b）2﹣4（c2+2ab）＝0，∴a2+b2＝c2，∴△ABC是直角三角形；（2）由（1）可得：AC2＝AD×AB，∵AC＝2，AD＝1，∴AB＝4，∴BD＝AB﹣AD＝3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查一元二次方程的根與判別式的關(guān)系，綜合性較強(qiáng)，注意掌握射影定理的運(yùn)用．題型4：一線三等角模型4.如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E在BC邊上，且AE⊥EF，若BE＝2，CF＝，求正方形ABCD的邊長．【分析】根據(jù)同角的余角相等可得∠BAE＝∠CEF，從而證明△BAE∽△CEF，得出＝，即可解決問題．【解答】解：∵∠AEB+∠CEF＝90°，∠BAE+∠AEB＝90°，∴∠BAE＝∠CEF，又∵∠B＝∠C＝90°，∴△BAE∽△CEF，∴＝，∵AB＝BC，∴，∴，∴CE＝4，∴BC＝CE+BE＝4+2＝6，∴正方形ABCD的邊長為6．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，熟悉基本幾何模型是解題的關(guān)鍵．【變式4-1】如圖，在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點(diǎn)D、E分別在邊BC、AC上，連接AD、DE，有∠ADE＝45°．（1）證明：△BDA∽△CED．（2）若BC＝6，當(dāng)AE＝ED時(shí)，求BD的長．【分析】（1）∠B＝∠C＝45°，再根據(jù)等角的補(bǔ)角相等可證明∠ADB＝∠DEC，從而可證明兩個(gè)三角形相似；（2）由AE＝ED，得出AD垂直平分BC，求出BD的長度即可．【解答】（1）證明：∵∠AED＝∠C+∠EDC＝45°+∠EDC，而∠ADC＝∠ADE+∠EDC．∵∠ADE＝45°，∴∠ADC＝45°+∠EDC，∴∠AED＝∠ADC．∴∠DEC＝∠ADB（等角的補(bǔ)角相等）．而∠B＝∠C＝45°，∴△ABD∽△DCE．故△ABD∽△DCE得證．（2）解：當(dāng)AE＝DE時(shí)，∴∠ADE＝∠DAE，∵∠ADE＝45°，∴∠ADE＝∠DAE＝45°，∵∠BAC＝90°，∠BAD＝∠EAD＝45°，∴AD平分BAC，∴AD垂直平分BC，∴BD＝3．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式4-2】如圖，AB＝9，AC＝8，P為AB上一點(diǎn)，∠A＝∠CPD＝∠B，連接CD．（1）若AP＝3，求BD的長；（2）若CP平分∠ACD，求證：PD2＝CD?BD．【分析】（1）利用一線三等角模型證明△ACP∽△BPD，即可解答；（2）利用角平分線的性質(zhì)可得∠PCD＝∠ACP，從而可得∠PCD＝∠DPB，然后證明△CPD∽△PBD，即可解答．【解答】（1）解：∵AB＝9，AC＝3，∴BP＝AB﹣AP＝9﹣3＝6，∵∠A＝∠CPD，∠ACP+∠APC＝180°﹣∠A，∠APC+∠BPD＝180°﹣∠CPD，∴∠ACP＝∠BPD，∵∠A＝∠B，∴△ACP∽△BPD，∴＝，∴＝，∴BD＝，∴BD的長為；（2）證明：∵CP平分∠ACD，∴∠PCD＝∠ACP，∵∠ACP＝∠DPB，∴∠PCD＝∠DPB，∵∠CPD＝∠B，∴△CPD∽△PBD，∴＝，∴PD2＝CD?BD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握一線三等角模型是解題的關(guān)鍵．題型5：手拉手模型-旋轉(zhuǎn)相似5.已知：如圖，△ABD∽△ACE．求證：△DAE∽△BAC．【分析】先利用△ABD∽△ACE得到，再利用比例性質(zhì)得，加上∠DAE＝∠BAC，然后根據(jù)相似三角形的判定方法可得到結(jié)論．【解答】證明：∵△ABD∽△ACE，∴，∴，而∠DAE＝∠BAC，∴△DAE∽△BAC．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定：兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似；也考查了相似三角形的性質(zhì)．【變式5-1】如圖，在△ABC與△ADE中，∠ACB＝∠AED＝90°，∠ABC＝∠ADE，連接BD、CE，求證：（1）△ABC∽△ADE（2）若AC：BC＝3：4，求BD：CE為多少【分析】（1）根據(jù)題目給的兩組角相等即可得相似；（2）根據(jù)（1）中相似可證△AEC∽△ADB，進(jìn)而可求其相似比．【解答】解：（1）∵∠ACB＝∠AED，∠ABC＝∠ADE，∴△ABC∽△ADE；（2）∵AC：BC＝3：4，設(shè)AC＝3x，則BC＝4x，∵∠ACB＝90°，∴AB＝＝5x，∵△ABC∽△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，，∴∠EAC＝∠DAB，，∴△AEC∽△ADB，∴，即BD：CE＝5：3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握相似三角形中的“手拉手”模型是解題關(guān)鍵．【變式5-2】如圖，在△ABC與△DEC中，已知∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝6，BC＝3，CD＝5，CE＝2.5，連接AD，BE．（1）求證：△ACD∽△BCE；（2）若∠BCE＝45°，求△ACD的面積．【分析】（1）由題意可知，又∠ACD＝∠BCE，從而證明結(jié)論；（2）過A作AG⊥CD于G，則△AGC是等腰直角三角形，利用勾股定理求出AG的長，從而解決問題．【解答】（1）證明：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD+∠DCB＝∠DCB+∠BCE，∴∠ACD＝∠BCE，又∵，∴△ACD∽△BCE；（2）解：過A作AG⊥CD于G，由（1）知，∠ACD＝∠DCB＝∠BCE＝45°，∴AG＝CG，在Rt△ACG中，由勾股定理得：∴CG＝AG＝3，∴S＝＝．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，作輔助線構(gòu)造等腰直角三角形是解題的關(guān)鍵一、解答題1．如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于點(diǎn)D，點(diǎn)E是AB上一點(diǎn)，連接DE，BD2=BC·BE.證明：△BCD∽△BDE.【答案】證明：∵BD平分∠ABC，∴∠DBE=∠CBD，∵BD∴BCBD∴△BCD∽△BDE.【解析】【分析】根據(jù)角平分線的定義可得∠DBE=∠CBD，由BD2=BC?BE2．如圖，在△ABC中，D為AC邊上一點(diǎn)，BC=4，AD=6，CD=2．求證：△BCD∽△ACB．【答案】證明：∵BC=4，AD=6，CD=2，∴AC=8∴BCAC=24=12【解析】【分析】根據(jù)兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等的兩三角形相似即可判斷．3．已知線段a，b的比例中項(xiàng)線段c=2，線段a=1，求線段b．【答案】解：∵c是線段a、b的比例中項(xiàng)，∴c2∴22∴b=4.【解析】【分析】根據(jù)比例中項(xiàng)的概念結(jié)合題意可得c2=ab，將c=2、a=1代入求解可得b的值.4．一個(gè)三角形的三邊長分別為12cm，8cm，7cm，另一個(gè)三角形的三邊長分別為16cm，24cm，14cm，這兩個(gè)三角形相似嗎？為什么？【答案】解：∵7cm14cm=12，∴這兩個(gè)三角形相似【解析】【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理：三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩個(gè)三角形相似，可知這兩個(gè)三角形相似。5．已知：如圖，Rt△CDE中，∠ABC=∠CDE=90°，且BC與CD共線，聯(lián)結(jié)AE，點(diǎn)M為AE中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)BM，交AC于點(diǎn)G，聯(lián)結(jié)MD，交CE于點(diǎn)H（1）求證：MB=MD；（2）當(dāng)AB=BC，DC=DE時(shí)，求證：四邊形MGCH為矩形．【答案】證明：（1）延長BM交DE的延長線于N，如圖，∵∠ABC=∠CDE=90°，∴AB∥DN，∴BMMN=AM而點(diǎn)M為AE中點(diǎn)，∴AM=ME，∴BM=MN，∴DM為Rt△BDN的斜邊上的中線，∴MB=MD；（2）∵AB∥NE，∴ABNE=AM∵AB=BC，DC=DE，∴BD=BC+CD=AB+DE=NE+DE=DN，∴△BDN為等腰直角三角形，∴DM⊥BN，∠DBN=∠N=45°，∠BMD=90°，∵AB=BC，DC=DE，∴Rt△ABC和Rt△CDE都是等腰直角三角形，∴∠CED=∠ACB=∠45°，∴∠CED=∠N，∠ACB=∠BDM，∴CE∥BN，AC∥DM，∴四邊形MGCH為平行四邊形，而∠GMH=90°，∴四邊形MGCH為矩形．【解析】【分析】（1）延長BM交DE的延長線于N，如圖，根據(jù)平行線分線段成比例定理，由AB∥DN得到BMMN=AM（2）根據(jù)平行線分線段成比例定理，由AB∥NE得到ABNE=AM6．如圖所示，點(diǎn)D在△ABC的AB邊上，AD=2，BD=4，AC=23．求證：△ACD∽△ABC．【答案】證明：∵ADAC=223=33，AC∴ADAC=AC又∵∠A=∠A∴△ACD∽△ABC【解析】【分析】通過所給條件，得出對(duì)應(yīng)邊成比例，以及他們的夾角相等，即可證三角形相似。7．已知：如圖，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，點(diǎn)D是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與B，C點(diǎn)重合），∠ADE＝45°，求證：△ABD∽△DCE；【答案】解：∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠B=∠C=45°，∵∠B+∠BAD=∠ADC=∠ADE+∠CDE，∠B=∠ADE=45°，∴∠BAD=∠CDE，∴△ABD～△DCE．【解析】【分析】先利用等腰直角三角形的性質(zhì)可得∠B=∠C=45°，再結(jié)合∠B+∠BAD=∠ADC=∠ADE+∠CDE可得∠BAD=∠CDE，即可證明△ABD～△DCE。8．如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)E在AB上，且EO∥BC，已知AD=2，BC=4.求EO的長.【答案】解：∵AD∥BC，∴AD∵AD=2，BC=4.∴AO∴AO∵EO∥BC，∴EO∴EO=【解析】【分析】首先由AD∥BC可以推出ADBC=AOOC，再利用已知條件可以求出9．如圖，AB⊥BD，CD⊥BD，AB=6cm，CD=4cm，BD=14cm，點(diǎn)P在BD上由點(diǎn)B向點(diǎn)D方向移動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P移到離點(diǎn)B多遠(yuǎn)時(shí)，△APB和△CPD相似？【答案】解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠B=∠D=90°，∴當(dāng)ABDP=BP∵AB=6，CD=4，BD=14，∴614?BP=BP解得：BP=2或12或425即PB=2或12或425【解析】【分析】由題意得出∠B=∠D=90°，根據(jù)相似三角形的判定得出當(dāng)ABDP=BP10．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F．求證：△DEH∽△BCA．【答案】證明：∵DE⊥AB，DF⊥BC，∴∠D+∠DHE＝∠B+∠BHF＝90°而∠BHF＝∠DHE，∴∠D＝∠B，又∵∠DEH＝∠C＝90°，∴△DEH∽△BCA．【解析】【分析】△DEH與△ABC均為直角三角形，可利用等角的余角相等再求出一組銳角對(duì)應(yīng)相等即可．11．如圖，點(diǎn)C、D在線段AB上，△PCD是等邊三角形，若∠APB=120°，求證：△ACP∽△PDB．【答案】證明：∵△PCD為等邊三角形，∴∠PCD=∠PDC=60°．∴∠ACP=∠PDB=120°．∵∠APB=120°，∴∠A+∠B=60°．∵∠PDB=120°，∴∠DPB+∠B=60°．∴∠A=∠DPB．∴△ACP∽△PDB．【解析】【分析】先證明∠ACP=∠PDB=120°，然后由∠A+∠B=60°，∠DPB+∠B=60°可證明∠A=∠DPB，從而可證明△ACP∽△PDB．12．如圖所示，已知AB∥EF∥CD，AC、BD相交于點(diǎn)E，AB=6cm，CD=12cm，求EF．【答案】解：∵AB∥CD，∴CEAE∴CEAC∵AB∥EF，∴EFAB即EF6解得EF=4cm【解析】【分析】由AB∥CD，可得出對(duì)應(yīng)相等成比例，求出CE：AC的值，再利用AB∥EF，得出對(duì)應(yīng)邊成比例，就可求出EF的長。13．如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O交AC于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)D，連接BE、AD交于點(diǎn)P.求證：

(1)D是BC的中點(diǎn)；

(2)△BEC∽△ADC.【答案】證明：(1)∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC，

∵AB＝AC，∴D是BC的中點(diǎn)；

(2)∵AB是⊙O的直徑，∴∠AEB＝∠ADB＝90°，

即∠CEB＝∠CDA＝90°，

∵∠C是公共角，∴△BEC∽△ADC.【解析】【分析】考查相似三角形的判定。14．如圖．在△ABC中，E是AB的中點(diǎn)，D是AC上的一點(diǎn)，且AD：DC=2：3，BD與CE交于F，S△ABC=40，求SAEFD．【答案】解：取AD的中點(diǎn)G，并連接EG在△ABD中，E是AB的中點(diǎn)，由題知EG∥BD．又CD：DG=3：1，∴在△CEG中，CF：FE=CD：DG=3：1，∴S△DFC：S△DFE=3：1．設(shè)S△DEF=x，則S△DFC=3x，S△DEC=4x．由于AD：DC=2：3，∴S△EAD：S△ECD=2：3，∴S△EAD=23S△DEC=83x，S△ACE=83x+4x=203x，又因?yàn)镋是AB中點(diǎn)，所以S△ACE=12S△ABC=20，∴203x=20，解得x=3，即S△DEF=3，∴S△ADE=83x=8，∴S【解析】【分析】首先取AD的中點(diǎn)G，并連接EG，由中位線定理可得EG∥BD，即可得到CF：FE的值，進(jìn)而得到S△DFC：S△DFE的比值；設(shè)S△DEF=x，則S△DFC=3x，S△DEC=4x，根據(jù)AD：DC的值可求得S△EAD：S△ECD的比值，進(jìn)而用含x的代數(shù)式表示出S△EAD、S△ACE；然后結(jié)合三角形面積建立方程求得x值，即可由S四邊形AEFD=S△ADE+S△DEF，可求得答案。15．在△ABC中，AB＝12，點(diǎn)E在AC上，點(diǎn)D在AB上，若AE＝6，EC＝4，ADDB（1）求AD的長；（2）試問DBAB【答案】（1）解：設(shè)AD=x，則BD=AB-AD=（12-x）cm，x：12-x=6：4，解得x=7.2，∴AD=7.2（2）解：能，由AB＝12，AD＝365故DB＝245于是DBAB又ECAC故DBAB【解析】【分析】（1）由題意設(shè)AD=x，則BD=AB-AD=（12-x）cm，將AD、DB、AE、EC代入已知的比例式計(jì)算即可求解；

（2）由（1）中計(jì)算的AD可求得BD的長，分別計(jì)算DB：AB和EC：AC的值即可判斷。16．如圖，（1）若AE：AB=，則△ABC∽△AEF；（2）若∠E=，則△ABC∽△AEF．【答案】（1）AF：AC（2）∠B【解析】【解答】解：⑴若AE：AB=AF：AC，則△ABC∽△AEF；⑵若∠E=∠B，則△ABC∽△AEF．故答案為：AF：AC；∠B【分析】（1）找到對(duì)應(yīng)邊成比例關(guān)系，即可證相似。（2）找到對(duì)應(yīng)角相等，可證相似。17．如圖，點(diǎn)E在矩形ABCD的邊AD上，且∠EBC＝∠ECB．（1）求證：AE＝ED；（2）連接BD交CB于點(diǎn)F，求△BCF和△DEF的面積之比．【答案】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝CD，∠A＝∠CDE＝90°，∵∠EBC＝∠ECB，∴EB＝EC，∴Rt△ABE≌Rt△DCE（HL），∴AE＝ED（2）解：∵BC＝AD，AE＝ED，∴BC＝2DE，∵DE∥BC，∴△DEF∽△BCF，∴S【解析】【分析】（1）由于∠EBC＝∠ECB，ABCD是矩形，故∠DEC=∠AEB，根據(jù)“兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等且一角所對(duì)的邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等”這一定理可推出△ABE≌△DCE，則AE=DE；

（2）由于AD//BC，BD與CE相交于F，可推出△DEF∽△BCF，那么根據(jù)“相似三角形的面積比等于相似比的平方”這一性質(zhì)可得S△BCF：S△DEF=（DE：CB）2。18．閱讀材料，回答問題在邊長為1的正方形ABCD中，E是AB的中點(diǎn)，CF⊥DE，F(xiàn)為垂足．（1）△CDF與△DEA是否相似？說明理由；（2）求CF的長．【答案】（1）解：△ADE∽△FCD，理由如下：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠A=90°，AB∥CD，∴∠CDF=∠DEA．又CF⊥DE，∴∠CFD=90°，即∠CFD=∠A，因而，△ADE∽△FCD（2）解：由題意知，AD=CD=1，AE=12在直角△DEA中，有DE=AD2+AE2由（1）可得：CFAD=CDDE，則CF=AD?CD【解析】【分析】（1）利用正方形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)，由兩角法證明△ADE∽△FCD；

（2）根據(jù)勾股定理及相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例求解。19．如圖，在△ABC中，BA=BC=20cm，AC=30cm，點(diǎn)P從A出發(fā)，沿AB以4cm/s的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)；同時(shí)點(diǎn)Q從C點(diǎn)出發(fā)，沿CA以3cm/s的速度向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x（s）．（1）當(dāng)x為何值時(shí)，PQ∥BC；（2）當(dāng)△APQ與△CQB相似時(shí)，AP的長為．；（3）當(dāng)S△BCQ：S△ABC=1：3，求S△APQ：S△ABQ的值．【答案】（1）解：由題意得，PQ平行于BC，則AP：AB=AQ：AC，AP=4x，AQ=30﹣3x∴4x20=∴x=103（2）409（3）解：當(dāng)S△BCQ：S△ABC=1：3時(shí)，CQ