專題02絕對值壓軸題(最值與化簡)專項講練-2022-2023學(xué)年七年級數(shù)學(xué)上冊重難題型全歸納及技巧提升專項精練(北師大版)(原卷版+解析)

專題02絕對值壓軸題（最值與化簡）專項講練專題1.最值問題最值問題一直都是初中數(shù)學(xué)中的最難點，但也是高分的必須突破點，需要牢記絕對值中的最值情況規(guī)律，解題時能達(dá)到事半功倍的效果。題型1.兩個絕對值的和的最值【解題技巧】目的是在數(shù)軸上找一點x，使x到a和b的距離和的最小值：分類情況（的取值范圍）圖示取值情況當(dāng)時無法確定當(dāng)時的值為定值，即為當(dāng)無法確定結(jié)論：式子在時，取得最小值為。例1.（2021·珠海市初三二模）閱讀下面材料：數(shù)軸是數(shù)形結(jié)合思想的產(chǎn)物．有了數(shù)軸以后，可以用數(shù)軸上的點直觀地表示實數(shù)，這樣就建立起了“數(shù)”與“形”之間的聯(lián)系．在數(shù)軸上，若點，分別表示數(shù)，，則，兩點之間的距離為．反之，可以理解式子的幾何意義是數(shù)軸上表示實數(shù)與實數(shù)3兩點之間的距離．則當(dāng)有最小值時，的取值范圍是（）A．或 B．或 C． D．變式1．（2022·江蘇蘇州·七年級階段練習(xí)）同學(xué)們都知道，|5－（－2）|表示5與－2之差的絕對值，實際上也可理解為5與－2兩數(shù)在數(shù)軸上所對的兩點之間的距離．試探索：（1）求|5－（－2）|＝_______．（2）找出所有符合條件的整數(shù)x，使得|x＋5|＋|x－2|＝7這樣的負(fù)整數(shù)是_____________．（3）由以上探索猜想對于任何有理數(shù)x，|x－3|＋|x－6|是否有最小值？如果有寫出最小值，如果沒有說明理由．例2.（2022·河南·鄭州外國語中學(xué)七年級期末）數(shù)軸是一個非常重要的數(shù)學(xué)工具，它使數(shù)和數(shù)軸上的點建立起對應(yīng)關(guān)系，揭示了數(shù)與點之間的內(nèi)在聯(lián)系，它是“數(shù)形結(jié)合”的基礎(chǔ)．例如：從“形”的角度看：可以理解為數(shù)軸上表示3和1的兩點之間的距離；可以理解為數(shù)軸上表示3與﹣1的兩點之間的距離．從“數(shù)”的角度看：數(shù)軸上表示4和﹣3的兩點之間的距離可用代數(shù)式表示為：4-（-3）．根據(jù)以上閱讀材料探索下列問題：(1)數(shù)軸上表示3和9的兩點之間的距離是；數(shù)軸上表示2和﹣5的兩點之間的距離是；（直接寫出最終結(jié)果）(2)①若數(shù)軸上表示的數(shù)x和﹣2的兩點之間的距離是4，則x的值為；②若x為數(shù)軸上某動點表示的數(shù)，則式子的最小值為．變式2.（2022?思明區(qū)校級期末）同學(xué)們都知道|5﹣（﹣2）|表示5與（﹣2）之差的絕對值，也可理解為5與﹣2兩數(shù)在數(shù)軸上所對的兩點之間的距離，試探索：（1）求|5﹣（﹣2）|＝．（2）找出所有符合條件的整數(shù)x，使得|x+5|+|x﹣2|＝7成立的整數(shù)是．（3）由以上探索猜想，對于任何有理數(shù)x，|x﹣3|+|x﹣6|是否有最小值？如果有，寫出最小值；如果沒有，說明理由．題型2.兩個絕對值的差的最值【解題技巧】目的是在數(shù)軸上找一點x，使x到a和b的距離差的最大值和最小值：分類情況（的取值范圍）圖示取值情況當(dāng)時的值為定值，即為—當(dāng)時當(dāng)?shù)闹禐槎ㄖ?，即為結(jié)論：式子在時，取得最小值為；在時，取得最大值。例1.（2022·浙江·溫州七年級開學(xué)考試）代數(shù)式|x﹣1|﹣|x+2|的最大值為a，最小值為b，下列說法正確的是（）A．a(chǎn)＝3，b＝0B．a(chǎn)＝0，b＝﹣3C．a(chǎn)＝3，b＝﹣3D．a(chǎn)＝3，b不存在變式1．（2022·上海七年級期中）代數(shù)式，當(dāng)時，可化簡為______；若代數(shù)式的最大值為與最小值為，則的值______．例2.（2022·湖北十堰·七年級期中）設(shè)﹣1≤x≤3，則|x﹣3|﹣|x|+|x+2|的最大值與最小值之和為__．變式2．（2022·湖北武漢·七年級期中）我們知道，的幾何意義是數(shù)軸上表示數(shù)a的點與原點的距離，一般地，點A，B在數(shù)軸上分別表示數(shù)a，b，那么A，B之間的距離可表示為|a-b|，請根據(jù)絕對值的幾何意義并結(jié)合數(shù)軸解答下列問題：（1）數(shù)軸上的數(shù)x與1所對應(yīng)的點的距離為__，數(shù)x與-1所對應(yīng)的點的距離為__；（2）求的最大值；（3）直接寫出的最大值為______．題型3.多個絕對值的和的最值【解題技巧】最小值規(guī)律：①當(dāng)有兩個絕對值相加：若已知，的最小值為，且數(shù)的點在數(shù)，的點的中間；②當(dāng)有三個絕對值相加：若已知，的最小值為，且數(shù)的點與數(shù)的點重合；③當(dāng)有（奇數(shù)）個絕對值相加：，且，則取中間數(shù)，即當(dāng)時，取得最小值為；④當(dāng)有（偶數(shù)）個絕對值相加：，且，則取中間段，即當(dāng)時，取得最小值為。例1.（2022·天津初一月考）若是有理數(shù)，則的最小值是________．變式1．（2022?武侯區(qū)校級月考）|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣2014|的最小值為，此時x的取值為．例2.（2022·北京市第四十四中學(xué)七年級期中）閱讀下面一段文字：在數(shù)軸上點A，B分別表示數(shù)a，b．A，B兩點間的距離可以用符號表示，利用有理數(shù)減法和絕對值可以計算A，B兩點之間的距離．例如：當(dāng)a＝2，b＝5時，＝5－2＝3；當(dāng)a＝2，b＝－5時，＝＝7；當(dāng)a＝－2，b＝－5時，＝＝3，綜合上述過程，發(fā)現(xiàn)點A、B之間的距離＝（也可以表示為）．請你根據(jù)上述材料，探究回答下列問題：（1）表示數(shù)a和－2的兩點間距離是6，則a＝；（2）如果數(shù)軸上表示數(shù)a的點位于－4和3之間，則＝（3）代數(shù)式的最小值是．（4）如圖，若點A，B，C，D在數(shù)軸上表示的有理數(shù)分別為a，b，c，d，則式子的最小值為（用含有a，b，c，d的式子表示結(jié)果）變式2.（2022?龍泉驛區(qū)期中）我們知道，在數(shù)軸上，|a|表示數(shù)a到原點的距離．進(jìn)一步地，點A，B在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a，b，那么A，B兩點之間的距離就表示為|a﹣b|；反過來，|a﹣b|也就表示A，B兩點之間的距離．下面，我們將利用這兩種語言的互化，再輔助以圖形語言解決問題．例，若|x+5|＝2，那么x為：①|(zhì)x+5|＝2，即|x﹣（﹣5）|＝2．文字語言：數(shù)軸上什么數(shù)到﹣5的距離等于2．②圖形語言：③答案：x為﹣7和﹣3．請你模仿上題的①②③，完成下列各題：（1）若|x+4|＝|x﹣2|，求x的值；①文字語言：②圖形語言：③答案：（2）|x﹣3|﹣|x|＝2時，求x的值：①文字語言：②圖形語言：③答案：（3）|x﹣1|+|x﹣3|＞4．求x的取值范圍：①文字語言：②圖形語言：③答案：（4）求|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+|x﹣4|+|x﹣5|的最小值．①文字語言：②圖形語言：③答案：課后專項訓(xùn)練：1．（2021·湖北武漢·七年級階段練習(xí)）式子|x﹣3|+|x+4|有最小值，其最小值是___．1．（2021·安徽蕪湖·七年級期中）觀察下列每對數(shù)在數(shù)軸上的對應(yīng)點間的距離,3與5,4與﹣2,﹣4與3,﹣1與﹣5.并回答下列各題:(1)數(shù)軸上表示4和﹣2兩點間的距離是;表示﹣1和﹣5兩點間的距離是.(2)若數(shù)軸上的點A表示的數(shù)為x,點B表示的數(shù)為﹣3.①數(shù)軸上A、B兩點間的距離可以表示為(用含x的代數(shù)式表示);②如果數(shù)軸上A、B兩點間的距離為|AB|=1,求x的值.(3)直接寫出代數(shù)式的最小值為.3．（2022·山東·濟南市七賢中學(xué)七年級階段練習(xí)）閱讀下列材料并解決有關(guān)問題：我們知道|x|＝，現(xiàn)在我們可以用這個結(jié)論來化簡含有絕對值的代數(shù)式，如化簡代數(shù)式|x+1|+|x﹣2|時，可令x+1＝0和x﹣2＝0，分別求得x＝﹣1，x＝2（稱﹣1，2分別叫做|x+1|與|x﹣2|的零點值．）在有理數(shù)范圍內(nèi)，零點值x＝﹣1和x＝2可將全體有理數(shù)分成不重復(fù)且不遺漏的如下3種情況：（1）當(dāng)x＜﹣1時，原式＝﹣（x+1）﹣（x﹣2）＝﹣2x+1；（2）當(dāng)﹣1≤x≤2時，原式＝x+1﹣（x﹣2）＝3；（3）當(dāng)x＞2時，原式＝x+1+x﹣2＝2x﹣1．綜上所述，原式＝．通過以上閱讀，請你解決以下問題：（1）分別求出|x+2|和|x﹣4|的零點值；（2）化簡代數(shù)式|x+2|+|x﹣4|；（3）求方程：|x+2|+|x﹣4|＝6的整數(shù)解；（4）|x+2|+|x﹣4|是否有最小值？如果有，請直接寫出最小值；如果沒有，請說明理由．4．（2022·四川·九年級專題練習(xí)）我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚說過“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微”；數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問題的重要思想方法．例如，代數(shù)式的幾何意義是數(shù)軸上所對應(yīng)的點與2所對應(yīng)的點之間的距離；因為，所以的幾何意義就是數(shù)軸上所對應(yīng)的點與所對應(yīng)的點之間的距離．發(fā)現(xiàn)問題：代數(shù)式的最小值是多少？探究問題：如圖，點分別表示的是，2，，．∵的幾何意義是線段與的長度之和，∴當(dāng)點在線段上時，；當(dāng)點在點的左側(cè)或點的右側(cè)時，∴的最小值是3．解決問題：(1)的最小值是；(2)利用上述思想方法解不等式：(3)當(dāng)為何值時，代數(shù)式的最小值是2．5．（2022·河北唐山·七年級期末）閱讀下面的材料：我們知道，在數(shù)軸上，表示有理數(shù)a對應(yīng)的點到原點的距離，同樣的道理，表示有理數(shù)a對應(yīng)的點到有理數(shù)2對應(yīng)的點的距離，例如，，表示數(shù)軸上有理數(shù)5對應(yīng)的點到有理數(shù)2對應(yīng)的點的距離是3．請根據(jù)上面的材料解答下列問題：(1)數(shù)軸上有理數(shù)對應(yīng)的點到有理數(shù)3對應(yīng)的點的距離是_______；(2)表示有理數(shù)a對應(yīng)的點與有理數(shù)_______對應(yīng)的點的距離；如果，那么有理數(shù)a的值是_______；(3)如果，那么有理數(shù)a的值是_______．(4)代數(shù)式的最小值是_________，此時有理數(shù)a可取的整數(shù)值有______個．6．（2022·四川·石室初中七年級階段練習(xí)）閱讀下面材料：點、在數(shù)軸上分別表示實數(shù)、，、兩點之間的距離表示為，當(dāng)、兩點中有一點在原點時，不妨設(shè)在原點，如圖1，，當(dāng)、兩點都不在原點時，①如圖2，點、都在原點的右邊；②如圖3，點、都在原點的左邊，③如圖4，點、在原點的兩邊，；綜上，數(shù)軸上、兩點之間的距離．回答下列問題：（1）數(shù)軸上表示和的兩點之間的距離是_____，數(shù)軸上表示和的兩點和之間的距離是______，如果，那么為______．（2）若表示一個有理數(shù)，則當(dāng)在什么范圍內(nèi)時，有最小值？請寫出的范圍及的最小值．（3）若表示一個有理數(shù)，則當(dāng)在什么范圍內(nèi)時，有最小值？請寫出的范圍及的最小值．圖1圖2圖3圖47．（2022·吉林省第二實驗學(xué)校七年級階段練習(xí)）數(shù)軸上表示數(shù)的點與原點的距離叫做數(shù)的絕對值，記作．?dāng)?shù)軸上表示數(shù)的點與表示數(shù)的點的距離記作．如表示數(shù)軸表示數(shù)3的點與表示數(shù)5的點的距離，表示數(shù)軸上表示數(shù)3的點與表示數(shù)的點的距離，表示數(shù)軸上表示數(shù)的點與表示數(shù)的點的距離，表示數(shù)軸上表示數(shù)的點與表示數(shù)3的點的距離．根據(jù)以上材料回答下列問題：（將結(jié)果直接填寫在答題卡相應(yīng)位置，不寫過程）（1）若，則______，若，則______；（2）若，則能取到的最小值是______，最大值是______；（3）若，則能取到的最大值是______；（4）關(guān)于的式子的取值范圍是______．8．（2022·四川·雅安中學(xué)七年級期中）閱讀下面材料并解決有關(guān)問題：我們知道：|x|＝，現(xiàn)在我們可以用這一結(jié)論來化簡含有絕對值的代數(shù)式，如化簡代數(shù)式|x+1|+|x﹣2|時，可令x+1＝0和x﹣2＝0，分別求得x＝﹣1，x＝2（稱﹣1，2分別為|x+1|與|x﹣2|的零點值）．在實數(shù)范圍內(nèi)，零點值x＝﹣1和x＝2可將全體實數(shù)分成不重復(fù)且不遺漏的如下3種情況：①x＜﹣1；②﹣1≤x＜2；③x≥2．從而化簡代數(shù)式|x+1|+|x﹣2|可分以下3種情況：①當(dāng)x＜﹣1時，原式＝﹣（x+1）﹣（x﹣2）＝﹣2x+1；②當(dāng)﹣1≤x＜2時，原式＝x+1﹣（x﹣2）＝3；③當(dāng)x≥2時，原式＝x+1+x﹣2＝2x﹣1；綜上討論，原式＝通過以上閱讀，請你解決以下問題：（1）當(dāng)x＜2時，|x﹣2|＝；（2）根據(jù)材料中的方法化簡代數(shù)式|x+2|+|x﹣4|；（寫出解答過程）（3）直接寫出|x﹣1|﹣4|x+1|的最大值．9．（2022·重慶梁平·七年級期末）結(jié)合數(shù)軸與絕對值的知識回答下列問題：(1)數(shù)軸上表示6和2的兩點之間的距離為______；表示－1和2兩點之間的距離為______；一般地，數(shù)軸上表示數(shù)m和數(shù)n的兩點之間的距離等于，如果表示數(shù)a和－1的兩點之間的距離是3，那么a＝______．(2)若數(shù)軸上表示數(shù)a的點位于－5與3之間，求的值；(3)當(dāng)x＝______時，的值最小，最小值為______．10．（2022·浙江杭州·七年級期末）點A、B在數(shù)軸上分別表示實數(shù)a、b，A、B兩點之間的距離表示為AB，在數(shù)軸上A、B兩點之間的距離．利用數(shù)軸，根據(jù)數(shù)形結(jié)合思想，回答下列問題：（1）數(shù)軸上表示2和6兩點之間的距離是_______，數(shù)軸上表示1和-2的兩點之間的距離為______；（2）數(shù)軸上表示x和1兩點之間的距離為________，數(shù)軸上表示x和-3兩點之同的距離為____．（3）的最小值為_______．的最小值為_____．（4）的最大值為_______．11．（2022·全國·七年級課時練習(xí)）的最小值是（

）A．1 B．1010 C．1021110 D．202012．（2022·四川·成都七中萬達(dá)學(xué)校七年級階段練習(xí)）（1）閱讀下面材料：點A、B在數(shù)軸上分別表示實數(shù)a，b，A、B兩點之間的距離表示為|AB|，當(dāng)A、B兩點中有一點在原點時，不妨設(shè)點A在原點，如圖甲，|AB|﹣|OB|＝|b|＝|a﹣b|；當(dāng)A、B兩點都不在原點時，①如圖乙，點A、B都在原點的右邊，|AB|＝|OB|﹣|OA|＝|b|﹣|a|＝b﹣a＝|a﹣b|；②如圖丙，點A、B都在原點的左邊，|AB|＝|OB|﹣|OA|＝|b|﹣|a|＝﹣b﹣（﹣a）＝|a﹣b|；③如圖丁，點A、B在原點的兩邊，|AB|＝|OA|+|OB|＝|a|+|b|＝a+（﹣b）＝|a﹣b|．綜上，數(shù)軸上A、B兩點之間的距離|AB|＝|a﹣b|．（2）回答下列問題：①數(shù)軸上表示2和﹣5的兩點之間的距離是，數(shù)軸上表示x和﹣1的兩點分別是點A和B，則A，B之間的距離是，如果|AB|＝2，那么x＝．②當(dāng)|x+1|+|x﹣2|取最小值時，令T＝|x2﹣3|﹣2，則T的最大值＝；當(dāng)|x+1|﹣|x﹣2|取最大值時，x的取值范圍為；當(dāng)|x+1|+|x﹣2|＝5時，x的值為．③求代數(shù)式|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣19|的最小值．13．（2022·四川·渠縣第三中學(xué)七年級期中）認(rèn)真閱讀下面的材料，完成有關(guān)問題：材料：在學(xué)習(xí)絕對值時，老師教過我們絕對值的幾何含義，如|5-3|表示5、3在數(shù)軸上對應(yīng)的兩點之間的距離，|5+3|=|5-（-3）|，所以|5+3|表示5、-3在數(shù)軸上對應(yīng)的兩點之間的距離，|5|=|5-0|，所以|5|表示5在數(shù)軸上對應(yīng)的點到原點的距離，一般地，點A、B在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a、b，那么A、B之間的距離可表示為|a-b|．（1）點A、B、C在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)x、-2、1，那么A到B的距高與A到C的距離之和可表示為________．（用含絕對值的式子表示）（2）利用數(shù)軸探究：①找出滿足|x-3|+|x+1|=6的x的所有值是_______．②設(shè)|x-3|+|x+1|=p，當(dāng)x的値取在不小-1且不大于3的范圍時，P的值是不變的，而且是p的最小，這個最小值是_______，當(dāng)x的值取在_______的范圍時，|x|+|x-2|取得最小值，這個最小值是_______（3）求|x-3|+|x-2|+|x+1|的最小值為______，此時x的值為_______．（4）求|x-1|+|x-2|+|x-3|+．．．．．．+|x-2019|的最小值，并求此時x的取值范國（要求寫解答過程）14．（2022·福建·晉江市七年級期中）數(shù)軸上表示數(shù)的點與原點的距離叫做數(shù)的絕對值，記作．?dāng)?shù)軸上表示數(shù)的點與表示數(shù)的點距離記作，如表示數(shù)軸上表示數(shù)3的點與表示數(shù)5的點的距離，表示數(shù)軸上表示數(shù)3的點與表示數(shù)的點的距離，表示數(shù)軸上表示數(shù)的點與表示數(shù)3的點的距離．根據(jù)以上材料回答一列問題：(1)若，則______．若，則_____．(2)若，則能取到的最小值是______，最大值是______．(3)當(dāng)，求的最大值和最小值．15．（2022·北京平谷·七年級期末）閱讀完成問題：數(shù)軸上，已知點A、B、C．其中，C為線段AB的中點：(1)如圖，點A表示的數(shù)為-1，點B表示的數(shù)為3，則線段AB的長為，C點表示的數(shù)為;（2）若點A表示的數(shù)為-1，C點表示的數(shù)為2，則點B表示的數(shù)為;（3）若點A表示的數(shù)為t，點B表示的為t+2，則線段AB的長為,若C點表示的數(shù)為2，則t=;（4）點A表示的數(shù)為，點B表示的為，C點位置在-2至3之間（包括邊界點），若C點表示的數(shù)為，則++的最小值為,++的最大值為.專題2.絕對值化簡問題絕對值化簡分為已知范圍的絕對值化簡與無范圍的絕對值化簡兩類，屬于重點題型，考卷中會經(jīng)常出現(xiàn)它的身影，且易錯，屬于必掌握類型。希望通過本專題讓大家熟練掌握這兩類壓軸題。題型1.已知范圍的絕對值化簡【解題技巧】已知范圍的絕對值化簡步驟：①判斷絕對值符號里式子的正負(fù)；兩數(shù)相減：大的數(shù)-小的數(shù)＞0，轉(zhuǎn)化到數(shù)軸上：右-左＞0；小的數(shù)-大的數(shù)＜0，轉(zhuǎn)化到數(shù)軸上：左-右＜0.兩數(shù)相加：正數(shù)＋正數(shù)＞0，轉(zhuǎn)化到數(shù)軸上：原點右側(cè)兩數(shù)相加＞0；負(fù)數(shù)＋負(fù)數(shù)＜，轉(zhuǎn)化到數(shù)軸上：原點左側(cè)兩數(shù)相加＜0；正數(shù)＋負(fù)數(shù)：取絕對值較大數(shù)的符號，轉(zhuǎn)化到數(shù)軸上：原點兩側(cè)兩數(shù)相加，取離原點遠(yuǎn)的符號.②將絕對值符號改為小括號：若正數(shù)，絕對值前的正負(fù)號不變（即本身）；若負(fù)數(shù)，絕對值前的正負(fù)號改變（即相反數(shù)）.③去括號：括號前是“＋”，去括號，括號內(nèi)不變；括號前是“－”，去括號，括號內(nèi)各項要變號.④化簡.例1.（2022·湖南長沙·七年級期末）有理數(shù)a、b、c在數(shù)軸上位置如圖，則的值為（

）．A． B． C．0 D．變式2.（2022·河南周口·七年級期末）有理數(shù)，在數(shù)軸上對應(yīng)的位置如圖所示，那么代數(shù)式的值是(

)A．-1 B．1 C．3 D．-3例2.（2021·長郡集團(tuán)郡維學(xué)校初一月考）如果++=-1，那么+++的值為（）A． B． C．0 D．不確定變式2．（2022·內(nèi)蒙古赤峰·七年級期中）、、是有理數(shù)且，則的值是（

）A． B．3或 C．1 D．或1題型2.未知范圍的絕對值化簡【解題技巧】絕對值的性質(zhì)：①正數(shù)的絕對值是它本身，即；②0的絕對值是0，即；③負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，即；④絕對值具有非負(fù)性，即。例1.（2022?新都區(qū)校級月考）已知x為有理數(shù)，且|x﹣3|＝2x+3，則x的值為．變式1．（2022·河北·七年級期中）若a、b、c是有理數(shù)，|a|＝3，|b|＝10，|c|＝5，且a，b異號，b，c同號，求a﹣b﹣（﹣c）的值．變式2．（2021·江蘇·九年級）已知，求．例2.（2022·福建福州·七年級期末）閱讀材料：我們把絕對值符號內(nèi)含有未知數(shù)的方程叫做“含有絕對值的方程”．如：|x|＝2，|2x﹣1|＝3，…都是含有絕對值的方程．怎樣求含有絕對值的方程的解呢？基本思路是：含有絕對值的方程→不含有絕對值的方程．我們知道，由|x|＝2，可得x＝2或x＝﹣2．【例】解方程：|2x﹣1|＝3．我們只要把2x﹣1看成一個整體就可以根據(jù)絕對值的意義進(jìn)一步解決問題．解：根據(jù)絕對值的意義，得2x﹣1＝3或2x﹣1＝﹣3．解這兩個一元一次方程，得x＝2或x＝﹣1．根據(jù)以上材料解決下列問題：(1)解方程：|3x﹣2|＝4；(2)拓展延伸：解方程|x﹣2|＝|3x+2|．變式3．（2022·湖北咸寧·七年級期末）閱讀下列材料，回答問題：“數(shù)形結(jié)合”的思想是數(shù)學(xué)中一種重要的思想．例如：在我們學(xué)習(xí)數(shù)軸的時候，數(shù)軸上任意兩點，A表示的數(shù)為a，B表示的數(shù)為b，則A，B兩點的距離可用式子（表示，例如：5和的距離可用或表示．(1)【知識應(yīng)用】我們解方程時，可用把看作一個點x到5的距離，則該方程可看作在數(shù)軸上找一點P（P表示的數(shù)為x）與5的距離為2，所以該方程的解為或所以，方程的解為___（直接寫答案，不離過程）．(2)【知識拓展】我們在解方，可以設(shè)A表示數(shù)5，B表示數(shù)，P表示數(shù)x，該方程可以看作在數(shù)軸上找一點P使得，因為，所以由可知，P在線段AB上都可，所以該方程有無數(shù)解，x的取值范圍是．類似的，方程的___（填“唯一”或“不唯一”），x的取值是___，（“唯一”填x的值，“不唯一”填x的取值范圍）；(3)【拓展應(yīng)用】解方程課后專項訓(xùn)練：1．（2021·成都市泡桐樹中學(xué)七年級期中）點A，B在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a、b，A、B兩點之間的距離表示為AB，在數(shù)軸上A、B兩點之間的距離，若x是一個有理數(shù)，且，則__________．2．（2022·四川廣元·七年級期末）已知有理數(shù)a、b在數(shù)軸上表示的點如圖所示，化簡|b﹣a|﹣|a+2b|+|﹣a﹣b|＝（）A．a(chǎn) B．﹣a﹣4b C．3a+2b D．a(chǎn)﹣2b3．（2021·湖北黃岡·七年級期中）有理數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的位置如圖所示，則|c﹣a|+|a+b|+|b﹣c|＝（）A．2a B．﹣2b C．2c D．2b4．（2022·廣東河源·七年級期末）有理數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的位置如圖所示，若m＝|a＋b|﹣|b﹣1|﹣|a﹣c|，則m＝____．5．（2021·河南安陽·七年級期中）已知：是最小的正整數(shù)，且、滿足，請回答問題：(1)請直接寫出、、的值：__________，__________，__________；(2)點為一動點，其對應(yīng)的數(shù)為，點在0到2之間運動時（即時），請化簡式子：（請寫出化簡過程）．6．（2021·廣東·深圳市高級中學(xué)七年級期末）如圖，已知a、b、c在數(shù)軸上的位置．（1）a+b0，abc0，0．填（“＞”或“＜”）（2）如果a、c互為相反數(shù)，求＝．（3）化簡：|b+c|﹣2|a﹣b|﹣|b﹣c|．7．（2021·廣東·廣州市真光中學(xué)七年級期中）如圖，點A和B表示的數(shù)分別為a和b，若c是絕對值最小的數(shù)，d是最大的負(fù)整數(shù)．（1）在數(shù)軸上表示c＝，d＝．（2）若|x+3|＝2，則x的值是多少？（3）若﹣1＜x＜0，化簡：|x﹣b|+|x+a|+|c﹣x|．8．（2022·四川成都·七年級期末）有理數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的位置如圖所示，則|a+c|-|a-b|+|b+c|=__________．9．（2021·河北省衡水中學(xué)初一期中）有理數(shù)a，b在數(shù)軸上對應(yīng)的位置如圖所示，那么代數(shù)式的值是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．210．（2022·上海楊浦·期中）若a，b各表示一個有理數(shù)，且，則算式的可能值有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個11．（2022·山東日照·七年級期末）有理數(shù)a，b，c在數(shù)軸上對應(yīng)的點的位置如圖所示，其中，則下列各式：①；②；③；④，正確的有（

）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個12．（2022·全國·七年級）如圖，點A、B、C在數(shù)軸上表示的數(shù)分別為a、b、c，且OA+OB＝OC，則下列結(jié)論中，①abc＜0；②a（b+c）＞0；③a﹣c＝b；④．其中正確的是___.（填序號）13．（2021·四川成都·七年級期中）a，b，c在數(shù)軸上的位置如圖所示：(1)求_______(2)、、c在數(shù)軸上的位置如圖所示，則：化簡：；(3)求的最大值，并求出此時x的范圍．14．（2022·全國·七年級）請利用絕對值的性質(zhì)，解決下面問題：(1)已知a，b是有理數(shù)，當(dāng)a＞0時，則＝_______；當(dāng)b＜0時，則＝_______．(2)已知a，b，c是有理數(shù)，a+b+c＝0，abc＜0，求的值．(3)已知a，b，c是有理數(shù)，當(dāng)abc≠0時，求的值．15.（2021·安徽安慶市·七年級期末）“分類討論”是一種重要數(shù)學(xué)思想方法，下面是運用分類討論的數(shù)學(xué)思想解決問題的過程，請仔細(xì)閱讀，并解答題目后提出的四個問題．例：三個有理數(shù)，，滿足，求的值．解：由題意得，，，三個有理數(shù)都為正數(shù)或其中一個為正數(shù)，另兩個為負(fù)數(shù)．①當(dāng)，，都是正數(shù)，即，，時，則：，②當(dāng)，，有一個為正數(shù)，另兩個為負(fù)數(shù)時，設(shè)，，，則：．綜上，的值為3或-1．請根據(jù)上面的解題思路解答下面的問題：（1）已知，，且，求的值；（2）已知，是有理數(shù)，當(dāng)時，求的值．（3）已知，，是有理數(shù)，，，求．16．（2021·長郡集團(tuán)郡維學(xué)校初一月考）如果++=-1，那么+++的值為（）A． B． C．0 D．不確定17．（2021·山西晉中·七年級期中）閱讀材料：數(shù)軸是學(xué)習(xí)有理數(shù)的一種重要工具，任何有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點表示，這樣能夠運用數(shù)形結(jié)合的思想解決一些問題例如：數(shù)軸上表示5的點與表示2的點之間的距離為|5﹣2|＝3，數(shù)軸上表示5的點與表示﹣2的點之間的距離為|5﹣（﹣2）|＝7[理解]（1）如圖，在數(shù)軸上，點A表示的數(shù)是，點B表示的數(shù)是，A，B兩點之間的距離．（2）|﹣8﹣（﹣6）|＝2，它在數(shù)軸上的意義為表示的點與表示的點之間的距離為2[歸納]（3）在數(shù)軸上，點A表示有理數(shù)a，點B表示有理數(shù)b，則A，B兩點之間的距離可表示為．[應(yīng)用]（4）若|x﹣2|＋|x＋4|＝10，則滿足條件的x的值為．18．（2021·河南·開封市祥符區(qū)集慧初級中學(xué)七年級期中）當(dāng)|a|＝5，|b|＝7，且|a＋b|＝﹣（a＋b），則a＋b的值為（

）A．﹣12 B．﹣2或﹣12 C．2或﹣12 D．﹣2專題02絕對值壓軸題（最值與化簡）專項講練專題1.最值問題最值問題一直都是初中數(shù)學(xué)中的最難點，但也是高分的必須突破點，需要牢記絕對值中的最值情況規(guī)律，解題時能達(dá)到事半功倍的效果。題型1.兩個絕對值的和的最值【解題技巧】目的是在數(shù)軸上找一點x，使x到a和b的距離和的最小值：分類情況（的取值范圍）圖示取值情況當(dāng)時無法確定當(dāng)時的值為定值，即為當(dāng)無法確定結(jié)論：式子在時，取得最小值為。例1.（2021·珠海市初三二模）閱讀下面材料：數(shù)軸是數(shù)形結(jié)合思想的產(chǎn)物．有了數(shù)軸以后，可以用數(shù)軸上的點直觀地表示實數(shù)，這樣就建立起了“數(shù)”與“形”之間的聯(lián)系．在數(shù)軸上，若點，分別表示數(shù)，，則，兩點之間的距離為．反之，可以理解式子的幾何意義是數(shù)軸上表示實數(shù)與實數(shù)3兩點之間的距離．則當(dāng)有最小值時，的取值范圍是（）A．或 B．或 C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意將可以理解為數(shù)軸上表示實數(shù)x與實數(shù)-2的距離，實數(shù)x與實數(shù)5的距離，兩者的和，分三種情況分別化簡，根據(jù)解答即可得到答案.【解析】方法一：代數(shù)法（借助零點分類討論）當(dāng)x<-2時，=（-2-x）+（5-x）=3-2x；當(dāng)時，=（x+2）+（5-x）=7；當(dāng)x>5時，=（x+2）+（x-5）=2x-3；∴有最小值，最小值為7，此時，故選：D.方法二：幾何法（根據(jù)絕對值的幾何意義）可以理解為數(shù)軸上表示實數(shù)x與實數(shù)-2的距離，實數(shù)x與實數(shù)5的距離，兩者的和，通過數(shù)軸分析反現(xiàn)當(dāng)時，有最小值，最小值為7?！军c睛】此題考查依據(jù)絕對值的性質(zhì)化簡絕對值，正確理解題意，得到表示的意義，再利用分類思想解答問題.變式1．（2022·江蘇蘇州·七年級階段練習(xí)）同學(xué)們都知道，|5－（－2）|表示5與－2之差的絕對值，實際上也可理解為5與－2兩數(shù)在數(shù)軸上所對的兩點之間的距離．試探索：（1）求|5－（－2）|＝_______．（2）找出所有符合條件的整數(shù)x，使得|x＋5|＋|x－2|＝7這樣的負(fù)整數(shù)是_____________．（3）由以上探索猜想對于任何有理數(shù)x，|x－3|＋|x－6|是否有最小值？如果有寫出最小值，如果沒有說明理由．【答案】（1）7；（2）﹣5、﹣4、﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2；（3）最小值是3【分析】（1）根據(jù)題目中的式子和絕對值可以解答本題；（2）分別討論當(dāng)x＞2時，當(dāng)﹣5≤x≤2時，當(dāng)x＜﹣5時去絕對值進(jìn)行求解即可；（3）同（2）利用分類討論的思想進(jìn)行求解即可．【詳解】解：（1）|5﹣（﹣2）|＝|5+2|＝7．故答案為：7；（2）當(dāng)x＞2時，|x+5|+|x﹣2|＝x+5+x﹣2＝7，解得：x＝2與x＞2矛盾，故此種情況不存在；當(dāng)﹣5≤x≤2時，|x+5|+|x﹣2|＝x+5+2﹣x＝7，故﹣5≤x≤2時，使得|x+5|+|x﹣2|＝7，故使得|x+5|+|x﹣2|＝7的整數(shù)是﹣5、﹣4、﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2；當(dāng)x＜﹣5時，|x+5|+|x﹣2|＝﹣x﹣5+2﹣x＝﹣2x+3＝7，得x＝﹣5與x＜﹣5矛盾，故此種情況不存在．故答案為：﹣5、﹣4、﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2；（3）|x﹣3|+|x﹣6|有最小值，最小值是3．理由如下：當(dāng)x＞6時，|x﹣3|+|x﹣6|＝x﹣3+x﹣6＝2x﹣9＞3；當(dāng)3≤x≤6時，|x﹣3|+|x﹣6|＝x﹣3+6﹣x＝3；當(dāng)x＜3時，|x﹣3|+|x﹣6|＝3﹣x+6﹣x＝9﹣2x＞3．故|x﹣3|+|x﹣6|有最小值，最小值是3．【點睛】本題考查了數(shù)軸、絕對值，解答本題的關(guān)鍵是明確數(shù)軸的特點和絕對值，利用數(shù)軸和分類討論的數(shù)學(xué)思想解答．例2.（2022·河南·鄭州外國語中學(xué)七年級期末）數(shù)軸是一個非常重要的數(shù)學(xué)工具，它使數(shù)和數(shù)軸上的點建立起對應(yīng)關(guān)系，揭示了數(shù)與點之間的內(nèi)在聯(lián)系，它是“數(shù)形結(jié)合”的基礎(chǔ)．例如：從“形”的角度看：可以理解為數(shù)軸上表示3和1的兩點之間的距離；可以理解為數(shù)軸上表示3與﹣1的兩點之間的距離．從“數(shù)”的角度看：數(shù)軸上表示4和﹣3的兩點之間的距離可用代數(shù)式表示為：4-（-3）．根據(jù)以上閱讀材料探索下列問題：(1)數(shù)軸上表示3和9的兩點之間的距離是；數(shù)軸上表示2和﹣5的兩點之間的距離是；（直接寫出最終結(jié)果）(2)①若數(shù)軸上表示的數(shù)x和﹣2的兩點之間的距離是4，則x的值為；②若x為數(shù)軸上某動點表示的數(shù)，則式子的最小值為．【答案】(1)6，7；(2)①－6或2；②4【分析】（1）直接根據(jù)數(shù)軸上兩點之間的距離求解即可；（2）①根據(jù)數(shù)軸上兩點之間的距離公式列絕對值方程，然后解方程即可；②由于所給式子表示x到－1和3的距離之和，當(dāng)x在－1和3之間時和最小，故只需求出－1和3的距離即可．(1)解：數(shù)軸上表示3和9的兩點之間的距離是｜9－3｜=6，數(shù)軸上表示2和﹣5的兩點之間的距離是｜2－（－5）｜=7，故答案為：6，7；(2)解：①根據(jù)題意，得：｜x－(－2)｜=4，∴｜x+2｜=4，∴x+2=－4或x+2=4，解得：x=－6或x=2，故答案為：－6或2；②∵表示x到－1和3的距離之和，∴當(dāng)x在－1和3之間時距離和最小，最小值為｜－1－3｜=4，故答案為：4．【點睛】本題考查數(shù)軸上兩點之間距離，會靈活運用數(shù)軸上兩點之間的距離解決問題是解答的關(guān)鍵．變式2.（2022?思明區(qū)校級期末）同學(xué)們都知道|5﹣（﹣2）|表示5與（﹣2）之差的絕對值，也可理解為5與﹣2兩數(shù)在數(shù)軸上所對的兩點之間的距離，試探索：（1）求|5﹣（﹣2）|＝．（2）找出所有符合條件的整數(shù)x，使得|x+5|+|x﹣2|＝7成立的整數(shù)是．（3）由以上探索猜想，對于任何有理數(shù)x，|x﹣3|+|x﹣6|是否有最小值？如果有，寫出最小值；如果沒有，說明理由．【分析】（1）直接去括號，再按照去絕對值的方法去絕對值就可以了．（2）要x的整數(shù)值可以進(jìn)行分段計算，令x+5＝0或x﹣2＝0時，分為3段進(jìn)行計算，最后確定x的值．（3）根據(jù)（2）方法去絕對值，分為3種情況去絕對值符號，計算三種不同情況的值，最后討論得出最小值．【解答】解：（1）原式＝|5+2|＝7故答案為：7；（2）令x+5＝0或x﹣2＝0時，則x＝﹣5或x＝2當(dāng)x＜﹣5時，∴﹣（x+5）﹣（x﹣2）＝7，﹣x﹣5﹣x+2＝7，x＝5（范圍內(nèi)不成立）當(dāng)﹣5＜x＜2時，∴（x+5）﹣（x﹣2）＝7，x+5﹣x+2＝7，7＝7，∴x＝﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1當(dāng)x＞2時，∴（x+5）+（x﹣2）＝7，x+5+x﹣2＝7，2x＝4，x＝2，x＝2（范圍內(nèi)不成立）∴綜上所述，符合條件的整數(shù)x有：﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2；故答案為：﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2；（3）由（2）的探索猜想，對于任何有理數(shù)x，|x﹣3|+|x﹣6|有最小值為3．【點評】本題主要考查了去絕對值和數(shù)軸相聯(lián)系的綜合試題以及去絕對值的方法和去絕對值在數(shù)軸上的運用，難度較大，去絕對值的關(guān)鍵是確定絕對值里面的數(shù)的正負(fù)性．題型2.兩個絕對值的差的最值【解題技巧】目的是在數(shù)軸上找一點x，使x到a和b的距離差的最大值和最小值：分類情況（的取值范圍）圖示取值情況當(dāng)時的值為定值，即為—當(dāng)時當(dāng)?shù)闹禐槎ㄖ?，即為結(jié)論：式子在時，取得最小值為；在時，取得最大值。例1.（2022·浙江·溫州七年級開學(xué)考試）代數(shù)式|x﹣1|﹣|x+2|的最大值為a，最小值為b，下列說法正確的是（）A．a(chǎn)＝3，b＝0B．a(chǎn)＝0，b＝﹣3C．a(chǎn)＝3，b＝﹣3D．a(chǎn)＝3，b不存在【答案】C【分析】分三種情況：當(dāng)x≥1時；當(dāng)-2＜x＜1時；當(dāng)x≤-2時；進(jìn)行討論可求代數(shù)式|x-1|-|x+2|的值，即可求出a與b的值．【詳解】解：當(dāng)x≥1時，|x﹣1|﹣|x+2|＝x﹣1﹣x﹣2＝﹣3；當(dāng)﹣2＜x＜1時，|x﹣1|﹣|x+2|＝﹣（x﹣1）﹣（x+2）＝﹣2x﹣1；當(dāng)x≤﹣2時，|x﹣1|﹣|x+2|＝﹣（x﹣1）+（x+2）＝3．∵代數(shù)式|x﹣1|﹣|x+2|的最大值為a，最小值為b，∴a＝3，b＝﹣3．故選：C．【點睛】考查了絕對值，如果用字母a表示有理數(shù)，則數(shù)a絕對值要由字母a本身的取值來確定：①當(dāng)a是正有理數(shù)時，a的絕對值是它本身a；②當(dāng)a是負(fù)有理數(shù)時，a的絕對值是它的相反數(shù)-a；③當(dāng)a是零時，a的絕對值是零．注意分類思想的運用．變式1．（2022·上海七年級期中）代數(shù)式，當(dāng)時，可化簡為______；若代數(shù)式的最大值為與最小值為，則的值______．【答案】

3

-9【分析】當(dāng)時，可得x-1＜0，x+2＜0，利用絕對值的性質(zhì)即可化簡，分別化簡當(dāng)時以及當(dāng)x＞1時，根據(jù)當(dāng)時，，求出a，b即可．【詳解】解：當(dāng)時，x-1＜0，x+2＜0，∴，當(dāng)時，，當(dāng)x＞1時，∵當(dāng)時，，∴代數(shù)式的最大值為3，最小值為-3，∴a=3，b=-3，∴ab=-9，故答案為：3，-9．【點睛】本題主要考查了絕對值的化簡，解題的關(guān)鍵是對x進(jìn)行分類討論，再化簡代數(shù)式．例2.（2022·湖北十堰·七年級期中）設(shè)﹣1≤x≤3，則|x﹣3|﹣|x|+|x+2|的最大值與最小值之和為__．【答案】8.5．【分析】先根據(jù)-1≤x≤3，確定x-3與x+2的符號，再對x的符號進(jìn)行討論即可．【詳解】∵﹣1≤x≤3，當(dāng)﹣1≤x≤0時，|x﹣3|﹣|x|+|x+2|＝3﹣x+x+x+2＝+5，最大值為5，最小值為4.5；當(dāng)0≤x≤3時，|x﹣3|﹣|x|+|x+2|＝3﹣x﹣x+x+2＝﹣+5，最大值為5，最小值為3.5，∴最大值與最小值之和為8.5；故答案為：8.5．【點睛】本題考查絕對值的化簡，掌握求絕對值的法則以及分類討論的思想方法，是解題的關(guān)鍵．變式2．（2022·湖北武漢·七年級期中）我們知道，的幾何意義是數(shù)軸上表示數(shù)a的點與原點的距離，一般地，點A，B在數(shù)軸上分別表示數(shù)a，b，那么A，B之間的距離可表示為|a-b|，請根據(jù)絕對值的幾何意義并結(jié)合數(shù)軸解答下列問題：（1）數(shù)軸上的數(shù)x與1所對應(yīng)的點的距離為__，數(shù)x與-1所對應(yīng)的點的距離為__；（2）求的最大值；（3）直接寫出的最大值為______．【答案】（1）|x-1|，|x+1|；（2）2；（3）20【分析】（1）根據(jù)題意即可列式解答；（2）由x的取值范圍分三種情況：①當(dāng)x≤-1時，②當(dāng)-1≤x≤1時，③當(dāng)x≥1時，分別化簡絕對值，再計算整式的值即可得到答案；（3）根據(jù)（2）得到規(guī)律，依次進(jìn)行計算即可．【詳解】（1）由題意得到：數(shù)軸上的數(shù)x與1所對應(yīng)的點的距離為，數(shù)x與-1所對應(yīng)的點的距離為，故答案為：，；（2）表示x到1之間的距離，表示x到-1之間的距離，①當(dāng)x≤-1時，=1-x，=-1-x，∴=（-1-x）-（1-x）=-2；②當(dāng)-1≤x≤1時，=1-x，=x+1，∴=（x+1）-（1-x）=2x≤2；③當(dāng)x≥1時，=x-1，=x+1，∴=（x+1）-（x-1）=2，∴的最大值為2（3）由（2）知：的最大值為2，由此可得：的最大值為4，的最大值是6，的最大值是8，∴的最大值是2+4+6+8=20【點睛】此題考查有理數(shù)的計算，絕對值的性質(zhì)，數(shù)軸上兩點間的距離公式．題型3.多個絕對值的和的最值【解題技巧】最小值規(guī)律：①當(dāng)有兩個絕對值相加：若已知，的最小值為，且數(shù)的點在數(shù)，的點的中間；②當(dāng)有三個絕對值相加：若已知，的最小值為，且數(shù)的點與數(shù)的點重合；③當(dāng)有（奇數(shù)）個絕對值相加：，且，則取中間數(shù)，即當(dāng)時，取得最小值為；④當(dāng)有（偶數(shù)）個絕對值相加：，且，則取中間段，即當(dāng)時，取得最小值為。例1.（2022·天津初一月考）若是有理數(shù)，則的最小值是________．【答案】509040【分析】首先判斷出|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+…+|x﹣2018|就是求數(shù)軸上某點到2、4、6、…、2018的距離和的最小值；然后根據(jù)某點在a、b兩點之間時，該點到a、b的距離和最小，當(dāng)點x在2與2018之間時，到2和2018距離和最??；當(dāng)點在4與2016之間時，到4和2016距離和最?。弧?，所以當(dāng)x=1010之間時，算式|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+…+|x﹣2018的值最小，據(jù)此求出|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+…+|x﹣2018|最小值是多少即可．【解析】根據(jù)絕對值得幾何意義分析，知當(dāng)x=1010時，算式|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+…+|x﹣2018的值最小，最小值是：（2018﹣2）+（2016﹣4）+（2014﹣6）+…+（1010-1010）＝2016+2012+2008+…+0＝（2016+0）×505÷2＝2016×505÷2＝509040∴|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+…+|x﹣2018|的最小值是509040．【點睛】此題主要考查了絕對值的幾何意義：|x|表示數(shù)軸上表示x的點到原點之間的距離，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：|x-a|表示數(shù)軸上表示x的點到表示a的點之間的距離．變式1．（2022?武侯區(qū)校級月考）|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣2014|的最小值為，此時x的取值為．解：原式可轉(zhuǎn)化為在數(shù)軸上找一個點到1，2，3，…，2014對應(yīng)的點的距離和最小，故當(dāng)1007≤x≤1008時，距離和最小，可取x＝1007，則此時距離和為：1006+1005+1004+…+0+1+2+…+1006+1007＝2×（1+2+3+…+1006）+1007＝1014049，即原式的最小值為1014049；當(dāng)x＝1008時，最小值也為1014049，故1007≤x≤1008．例2.（2022·北京市第四十四中學(xué)七年級期中）閱讀下面一段文字：在數(shù)軸上點A，B分別表示數(shù)a，b．A，B兩點間的距離可以用符號表示，利用有理數(shù)減法和絕對值可以計算A，B兩點之間的距離．例如：當(dāng)a＝2，b＝5時，＝5－2＝3；當(dāng)a＝2，b＝－5時，＝＝7；當(dāng)a＝－2，b＝－5時，＝＝3，綜合上述過程，發(fā)現(xiàn)點A、B之間的距離＝（也可以表示為）．請你根據(jù)上述材料，探究回答下列問題：（1）表示數(shù)a和－2的兩點間距離是6，則a＝；（2）如果數(shù)軸上表示數(shù)a的點位于－4和3之間，則＝（3）代數(shù)式的最小值是．（4）如圖，若點A，B，C，D在數(shù)軸上表示的有理數(shù)分別為a，b，c，d，則式子的最小值為（用含有a，b，c，d的式子表示結(jié)果）【答案】（1）4和-8；（2）7；（3）2；（4）【分析】（1）根據(jù)題意可得：，解出即可求解；（2）根據(jù)題意可得：，從而得到，進(jìn)而得到＝a＋4，＝3－a，即可求解；（3）根據(jù)題意可得：當(dāng)a＝2時，代數(shù)式存在最小值，化簡即可求解；（4）根據(jù)題意可得：原式表示對應(yīng)點到對應(yīng)的點的距離之和，從而得到當(dāng)時，有最小值，即可求解．【詳解】解：（1）根據(jù)題意得：，∴或，解得：或-8；（2）∵表示數(shù)a的點位于－4和3之間，∴，∴，∴＝a＋4，＝3－a，∴＝a＋4＋3－a＝7；（3）當(dāng)a＝2時，代數(shù)式存在最小值，∴＝1＋0＋1＝2.所以，最小值是2；（4）根據(jù)題意得：，∴原式表示對應(yīng)點到對應(yīng)的點的距離之和，如圖所示，∴當(dāng)時，有最小值，∴原式．【點睛】本題主要考查了絕對值得幾何意義，數(shù)軸上兩點間的距離，利用數(shù)形結(jié)合思想解答是解題的關(guān)鍵．變式2.（2022?龍泉驛區(qū)期中）我們知道，在數(shù)軸上，|a|表示數(shù)a到原點的距離．進(jìn)一步地，點A，B在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a，b，那么A，B兩點之間的距離就表示為|a﹣b|；反過來，|a﹣b|也就表示A，B兩點之間的距離．下面，我們將利用這兩種語言的互化，再輔助以圖形語言解決問題．例，若|x+5|＝2，那么x為：①|(zhì)x+5|＝2，即|x﹣（﹣5）|＝2．文字語言：數(shù)軸上什么數(shù)到﹣5的距離等于2．②圖形語言：③答案：x為﹣7和﹣3．請你模仿上題的①②③，完成下列各題：（1）若|x+4|＝|x﹣2|，求x的值；①文字語言：②圖形語言：③答案：（2）|x﹣3|﹣|x|＝2時，求x的值：①文字語言：②圖形語言：③答案：（3）|x﹣1|+|x﹣3|＞4．求x的取值范圍：①文字語言：②圖形語言：③答案：（4）求|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+|x﹣4|+|x﹣5|的最小值．①文字語言：②圖形語言：③答案：【分析】運用數(shù)形結(jié)合思想：圖一圖二圖三圖四【解答】解：（1）文字語言：數(shù)軸上什么數(shù)到﹣4的距離等于到2的距離．圖形語言：答案：x＝﹣1．（2）文字語言：數(shù)軸上什么數(shù)到3的距離比到原點（0）的距離大2．圖形語言：答案：x=12（3）文字語言：數(shù)軸上什么數(shù)到1的距離和它到3的距離大于4．圖形語言：答案：x＞4，x＜0．（4）文字語言：數(shù)軸上什么數(shù)到1，2，3，4，5距離之和最小值．圖形語言：答案：6．【點評】本題主要考查了絕對值的性質(zhì)以及利用數(shù)形結(jié)合求解問題．課后專項訓(xùn)練：1．（2021·湖北武漢·七年級階段練習(xí)）式子|x﹣3|+|x+4|有最小值，其最小值是___．【答案】7【分析】|x﹣3|+|x+4|表示在數(shù)軸上表示數(shù)x的點到表示數(shù)3與表示數(shù)﹣4的距離之和，因此當(dāng)x在3與﹣4之間時，這個距離之和最小，最小值為3與﹣4之間的距離7．【詳解】解：|x﹣3|+|x+4|表示在數(shù)軸上表示數(shù)x的點到表示數(shù)3的點與表示數(shù)﹣4的點的距離之和，因此當(dāng)﹣4≤x≤3時，這兩個距離之和就是表示數(shù)3的點與表示數(shù)﹣4的點之間的距離，為7，即：|x﹣3|+|x+4|＝7，當(dāng)x＜﹣4或x＞3時，這兩個距離之和都會大于表示數(shù)3的點與表示數(shù)﹣4的點的距離，即：|x﹣3|+|x+4|＞7，∴當(dāng)﹣4≤x≤3時，|x﹣3|+|x+4|有最小值，最小值是7．故答案為：7．【點睛】本題考查了絕對值的幾何意義．解題的關(guān)鍵是明確數(shù)軸表示數(shù)的意義和方法，理解數(shù)軸上兩點距離的計算方法是正確計算的前提．1．（2021·安徽蕪湖·七年級期中）觀察下列每對數(shù)在數(shù)軸上的對應(yīng)點間的距離,3與5,4與﹣2,﹣4與3,﹣1與﹣5.并回答下列各題:(1)數(shù)軸上表示4和﹣2兩點間的距離是;表示﹣1和﹣5兩點間的距離是.(2)若數(shù)軸上的點A表示的數(shù)為x,點B表示的數(shù)為﹣3.①數(shù)軸上A、B兩點間的距離可以表示為(用含x的代數(shù)式表示);②如果數(shù)軸上A、B兩點間的距離為|AB|=1,求x的值.(3)直接寫出代數(shù)式的最小值為.【答案】（1）6

4

（2）①丨x+3丨

②-2或者-4

（3）5【分析】距離一定是個非負(fù)數(shù)．【詳解】（1）數(shù)軸上表示4和﹣2兩點間的距離是6；表示﹣1和﹣5兩點間的距離是4.（2）距離是個非負(fù)數(shù)，故值一定要加絕對值．令丨x-(-3)丨=1，解得：x=-2或者-4（3）當(dāng)時，代數(shù)式的最小值為當(dāng)時，代數(shù)式的最小值為5當(dāng)時，代數(shù)式的最小值綜合以上，可知代數(shù)式的最小值為5.【點睛】本題考察數(shù)軸的相關(guān)知識和絕對值的運用．3．（2022·山東·濟南市七賢中學(xué)七年級階段練習(xí)）閱讀下列材料并解決有關(guān)問題：我們知道|x|＝，現(xiàn)在我們可以用這個結(jié)論來化簡含有絕對值的代數(shù)式，如化簡代數(shù)式|x+1|+|x﹣2|時，可令x+1＝0和x﹣2＝0，分別求得x＝﹣1，x＝2（稱﹣1，2分別叫做|x+1|與|x﹣2|的零點值．）在有理數(shù)范圍內(nèi)，零點值x＝﹣1和x＝2可將全體有理數(shù)分成不重復(fù)且不遺漏的如下3種情況：（1）當(dāng)x＜﹣1時，原式＝﹣（x+1）﹣（x﹣2）＝﹣2x+1；（2）當(dāng)﹣1≤x≤2時，原式＝x+1﹣（x﹣2）＝3；（3）當(dāng)x＞2時，原式＝x+1+x﹣2＝2x﹣1．綜上所述，原式＝．通過以上閱讀，請你解決以下問題：（1）分別求出|x+2|和|x﹣4|的零點值；（2）化簡代數(shù)式|x+2|+|x﹣4|；（3）求方程：|x+2|+|x﹣4|＝6的整數(shù)解；（4）|x+2|+|x﹣4|是否有最小值？如果有，請直接寫出最小值；如果沒有，請說明理由．【答案】（1）﹣2，4分別為|x+2|和|x﹣4|的零點值；（2）當(dāng)x＜﹣2時，﹣2x+2；當(dāng)﹣2≤x＜4時，6；當(dāng)x≥4時，2x﹣2；（3）整數(shù)解為：﹣2，﹣1，0，1，2，3，4；（4）有，|x+2|+|x﹣4|的最小值是6．【分析】（1）根據(jù)題中所給材料，求出零點值；（2）將全體實數(shù)分成不重復(fù)且不遺漏的三種情況解答；（3）由|x+2|+|x-4|=6，得到-2≤x≤4，于是得到結(jié)果；（4）|x+2|+|x-4|有最小值，通過x的取值范圍即可得到結(jié)果．【詳解】（1）∵|x+2|和|x﹣4|的零點值，可令x+2＝0和x﹣4＝0，解得x＝﹣2和x＝4，∴﹣2，4分別為|x+2|和|x﹣4|的零點值．（2）當(dāng)x＜﹣2時，|x+2|+|x﹣4|＝﹣2x+2；當(dāng)﹣2≤x＜4時，|x+2|+|x﹣4|＝6；當(dāng)x≥4時，|x+2|+|x﹣4|＝2x﹣2；（3）∵|x+2|+|x﹣4|＝6，∴﹣2≤x≤4，∴整數(shù)解為：﹣2，﹣1，0，1，2，3，4．（4）|x+2|+|x﹣4|有最小值，∵當(dāng)x＝﹣2時，|x+2|+|x﹣4|＝6，當(dāng)x＝4時，|x+2|+|x﹣4|＝6，∴|x+2|+|x﹣4|的最小值是6．【點睛】本題考查了絕對值，解題的關(guān)鍵是能根據(jù)材料所給信息，找到合適的方法解答．4．（2022·四川·九年級專題練習(xí)）我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚說過“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微”；數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問題的重要思想方法．例如，代數(shù)式的幾何意義是數(shù)軸上所對應(yīng)的點與2所對應(yīng)的點之間的距離；因為，所以的幾何意義就是數(shù)軸上所對應(yīng)的點與所對應(yīng)的點之間的距離．發(fā)現(xiàn)問題：代數(shù)式的最小值是多少？探究問題：如圖，點分別表示的是，2，，．∵的幾何意義是線段與的長度之和，∴當(dāng)點在線段上時，；當(dāng)點在點的左側(cè)或點的右側(cè)時，∴的最小值是3．解決問題：(1)的最小值是；(2)利用上述思想方法解不等式：(3)當(dāng)為何值時，代數(shù)式的最小值是2．【答案】(1)6(2)或(3)或【分析】(1)根據(jù)絕對值的幾何意義，可知當(dāng)x所對應(yīng)的點在4和-2之間時有最小值，再結(jié)合數(shù)軸可求解．(2)根據(jù)絕對值的幾何意義，可知當(dāng)x所對應(yīng)的點在-3左邊或1右邊時成立，再結(jié)合數(shù)軸可求解．(3)設(shè)A表示-a，B表示3，P表示x，根據(jù)絕對值的幾何意義可知當(dāng)P點在AB之間時有最小值，即AB的長，可先求出a的值，再結(jié)合數(shù)軸求出x的值．(1)設(shè)A表示的數(shù)為4，B表示的數(shù)為-2，P表示的數(shù)為x，∴表示數(shù)軸上的點P到4的距離，用線段PA表示，表示數(shù)軸上的點P到-2的距離，用線段PB表示，∴的幾何意義表示為PA+PB，當(dāng)P在線段AB上時取得最小值為AB，且線段AB的長度為6，∴的最小值為6．故答案為：6．(2)設(shè)A表示-3，B表示1，P表示x，∴線段AB的長度為4，則，的幾何意義表示為PA+PB，∴不等式的幾何意義是PA+PB＞AB，∴P不能在線段AB上，應(yīng)該在A的左側(cè)或者B的右側(cè)，即不等式的解集為或．故答案為：或．(3)設(shè)A表示-a，B表示3，P表示x，則線段AB的長度為，的幾何意義表示為PA+PB，當(dāng)P在線段AB上時PA+PB取得最小值，∴∴或，即或；故答案為：或．【點睛】本題屬于一個閱讀型題目，主要考查了絕對值的幾何意義，結(jié)合數(shù)軸利用數(shù)形結(jié)合的方法解題是解題的關(guān)鍵．5．（2022·河北唐山·七年級期末）閱讀下面的材料：我們知道，在數(shù)軸上，表示有理數(shù)a對應(yīng)的點到原點的距離，同樣的道理，表示有理數(shù)a對應(yīng)的點到有理數(shù)2對應(yīng)的點的距離，例如，，表示數(shù)軸上有理數(shù)5對應(yīng)的點到有理數(shù)2對應(yīng)的點的距離是3．請根據(jù)上面的材料解答下列問題：(1)數(shù)軸上有理數(shù)對應(yīng)的點到有理數(shù)3對應(yīng)的點的距離是_______；(2)表示有理數(shù)a對應(yīng)的點與有理數(shù)_______對應(yīng)的點的距離；如果，那么有理數(shù)a的值是_______；(3)如果，那么有理數(shù)a的值是_______．(4)代數(shù)式的最小值是_________，此時有理數(shù)a可取的整數(shù)值有______個．【答案】(1)12；(2)5，3或7；(3)0或7；(4)5，6．【分析】（1）根據(jù)題意可知，數(shù)軸上有理數(shù)對應(yīng)的點到有理數(shù)3對應(yīng)的點的距離是，計算即可；（2）根據(jù)題意進(jìn)行解題即可；（3）式子代表的a對應(yīng)的點到1的距離與到6的距離的和為7，找到對應(yīng)的點即可；（4）代數(shù)式的最小值在數(shù)軸上1與6之間，最小值為5，符合條件的值有6個．(1)解：由題意得，=12，故答案為：12．(2)表示有理數(shù)a對應(yīng)的點與有理數(shù)5對應(yīng)的點的距離；，表示到5所對應(yīng)的點距離為2的點，即為：3或7．故答案為：5；3或7．(3)表示：a對應(yīng)的點到1的距離與到6的距離的和為7，從數(shù)軸上觀察得出a的值為：0或7，故答案為：0或7．(4)代數(shù)式表示的是a對應(yīng)的點到1的距離與到6的距離的和，最小值為1到6的距離，最小值為5，符合條件的整數(shù)值在1到6之間，共6個．故答案為：5，6．【點睛】本題主要考查的數(shù)材料閱讀理解能力，考查知識點為絕對值的幾何意義，靈活運用其幾何意義是解題的關(guān)鍵．6．（2022·四川·石室初中七年級階段練習(xí)）閱讀下面材料：點、在數(shù)軸上分別表示實數(shù)、，、兩點之間的距離表示為，當(dāng)、兩點中有一點在原點時，不妨設(shè)在原點，如圖1，，當(dāng)、兩點都不在原點時，①如圖2，點、都在原點的右邊；②如圖3，點、都在原點的左邊，③如圖4，點、在原點的兩邊，；綜上，數(shù)軸上、兩點之間的距離．回答下列問題：（1）數(shù)軸上表示和的兩點之間的距離是_____，數(shù)軸上表示和的兩點和之間的距離是______，如果，那么為______．（2）若表示一個有理數(shù)，則當(dāng)在什么范圍內(nèi)時，有最小值？請寫出的范圍及的最小值．（3）若表示一個有理數(shù)，則當(dāng)在什么范圍內(nèi)時，有最小值？請寫出的范圍及的最小值．圖1圖2圖3圖4【答案】（1）；；或；（2）；；（3）；．【分析】（1）根據(jù)數(shù)軸上兩點間的距離=兩個數(shù)之差的絕對值，算出即可；（2）|x+1|+|x-3|的最小值，意思是x到-1的距離與到3的距離之和最小，那么x應(yīng)在-1和2之間的線段上．（3）參考閱讀材料，寫出代數(shù)式表示的意義即可.【詳解】（1）數(shù)軸上表示和兩點之間的距離為數(shù)軸上表示和的兩點和之間的距離為，，故或，或．（2）代數(shù)式表示數(shù)軸上一點到，兩點的距離的和，可知有最小值為．（3）代數(shù)式表示到，兩點的距離，可知取值范圍，有最小值為．【點睛】本題主要考查了數(shù)軸和絕對值，掌握數(shù)軸上兩點間的距離=兩個數(shù)之差的絕對值．7．（2022·吉林省第二實驗學(xué)校七年級階段練習(xí)）數(shù)軸上表示數(shù)的點與原點的距離叫做數(shù)的絕對值，記作．?dāng)?shù)軸上表示數(shù)的點與表示數(shù)的點的距離記作．如表示數(shù)軸表示數(shù)3的點與表示數(shù)5的點的距離，表示數(shù)軸上表示數(shù)3的點與表示數(shù)的點的距離，表示數(shù)軸上表示數(shù)的點與表示數(shù)的點的距離，表示數(shù)軸上表示數(shù)的點與表示數(shù)3的點的距離．根據(jù)以上材料回答下列問題：（將結(jié)果直接填寫在答題卡相應(yīng)位置，不寫過程）（1）若，則______，若，則______；（2）若，則能取到的最小值是______，最大值是______；（3）若，則能取到的最大值是______；（4）關(guān)于的式子的取值范圍是______．【答案】（1）0；；（2）；2；（3）；（4）．【分析】（1）根據(jù)絕對值的幾何意義和中點公式即可分別得出結(jié)論；（2）根據(jù)絕對值的幾何意義可得原等式表示數(shù)軸上表示的點到2和兩點距離和為3，再根據(jù)2到-1的距離恰為3即可得出結(jié)論；（3）根據(jù)絕對值的幾何意義分類討論，分別畫出數(shù)軸即可得出結(jié)論；（4）根據(jù)絕對值的幾何意義分類討論，分別畫出數(shù)軸即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）表示數(shù)軸上表示的點到表示1和的距離相等，∴．表示數(shù)軸上表示的點到表示2和距離相等∴故答案為：0；；（2）表示的意義是數(shù)軸上表示的點到2和兩點距離和為3．由2到-1的距離恰為3，可得，因此最大值為2，最小值為，故答案為：；2；（3）．表示意義是數(shù)軸上表示的點與表示2的點的距離比表示的點與表示的距離多3，當(dāng)時，由數(shù)軸可得，此時符合題意，的最大值為；當(dāng)-1＜x≤2時，由數(shù)軸可得，此時不符合題意；當(dāng)x＞2時，由數(shù)軸可得，此時不符合題意；故答案為：；（4）表示的意義是數(shù)軸上表示的點到2和兩點距離和當(dāng)時，由數(shù)軸可得，＞2－（-1）=3；當(dāng)-1≤x≤2時，由數(shù)軸可得，=2－（-1）=3；當(dāng)x＞2時，由數(shù)軸可得，＞2－（-1）=3；；綜上：當(dāng)時，最小值為3．故答案為：．【點睛】此題考查的是絕對值與數(shù)軸，掌握絕對值的幾何意義是解決此題的關(guān)鍵．8．（2022·四川·雅安中學(xué)七年級期中）閱讀下面材料并解決有關(guān)問題：我們知道：|x|＝，現(xiàn)在我們可以用這一結(jié)論來化簡含有絕對值的代數(shù)式，如化簡代數(shù)式|x+1|+|x﹣2|時，可令x+1＝0和x﹣2＝0，分別求得x＝﹣1，x＝2（稱﹣1，2分別為|x+1|與|x﹣2|的零點值）．在實數(shù)范圍內(nèi)，零點值x＝﹣1和x＝2可將全體實數(shù)分成不重復(fù)且不遺漏的如下3種情況：①x＜﹣1；②﹣1≤x＜2；③x≥2．從而化簡代數(shù)式|x+1|+|x﹣2|可分以下3種情況：①當(dāng)x＜﹣1時，原式＝﹣（x+1）﹣（x﹣2）＝﹣2x+1；②當(dāng)﹣1≤x＜2時，原式＝x+1﹣（x﹣2）＝3；③當(dāng)x≥2時，原式＝x+1+x﹣2＝2x﹣1；綜上討論，原式＝通過以上閱讀，請你解決以下問題：（1）當(dāng)x＜2時，|x﹣2|＝；（2）根據(jù)材料中的方法化簡代數(shù)式|x+2|+|x﹣4|；（寫出解答過程）（3）直接寫出|x﹣1|﹣4|x+1|的最大值．【答案】（1）2-x；（2）；（3）2【分析】（1）根據(jù)題中材料，直接化簡即可得解；（2）根據(jù)題中所給材料，求出0點值，將全體實數(shù)分成不重復(fù)且不遺漏的三種情況解答．（3）分、、分別化簡，結(jié)合x的取值范圍確定代數(shù)式值的范圍，從而求出代數(shù)式的最大值.【詳解】（1）根據(jù)題意，得當(dāng)x＜2時，|x﹣2|＝-（x﹣2）=2-x；（2）令求得當(dāng)時，原式=；當(dāng)時，原式=；當(dāng)時，原式=；綜上討論，原式=（3）當(dāng)時，原式=，當(dāng)時，原式=，，當(dāng)時，原式=，則|x﹣1|﹣4|x+1|的最大值為2.【點睛】本題是一道材料分析題，要求同學(xué)們能根據(jù)材料所給信息，找到合適的方法解答．9．（2022·重慶梁平·七年級期末）結(jié)合數(shù)軸與絕對值的知識回答下列問題：(1)數(shù)軸上表示6和2的兩點之間的距離為______；表示－1和2兩點之間的距離為______；一般地，數(shù)軸上表示數(shù)m和數(shù)n的兩點之間的距離等于，如果表示數(shù)a和－1的兩點之間的距離是3，那么a＝______．(2)若數(shù)軸上表示數(shù)a的點位于－5與3之間，求的值；(3)當(dāng)x＝______時，的值最小，最小值為______．【答案】(1)4，3，2或?4；(2)8；(3)0，9【分析】（1）根據(jù)絕對值的性質(zhì)列式計算即可；（2）去絕對值即可求出答案；（3）根據(jù)絕對值的幾何意義分析得出x的值，進(jìn)而計算即可．(1)解：數(shù)軸上表示6和2的兩點之間的距離為4；表示－1和2兩點之間的距離為3；∵表示數(shù)a和?1的兩點之間的距離是3，∴|a?（?1）|＝3，解得a＝2或?4，故答案為：4，3，2或?4；(2)∵表示數(shù)a的點位于－5與3之間，∴；(3)由絕對值的幾何意義可知：的值就是數(shù)軸上表示數(shù)x的點到0的距離與到－4的距離和到5的距離之和，∴當(dāng)x＝0時，的值最小，最小值為9．【點睛】本題考查了絕對值的性質(zhì)和絕對值的幾何意義，正確理解數(shù)軸上表示數(shù)m和數(shù)n的兩點之間的距離等于是解題的關(guān)鍵．10．（2022·浙江杭州·七年級期末）點A、B在數(shù)軸上分別表示實數(shù)a、b，A、B兩點之間的距離表示為AB，在數(shù)軸上A、B兩點之間的距離．利用數(shù)軸，根據(jù)數(shù)形結(jié)合思想，回答下列問題：（1）數(shù)軸上表示2和6兩點之間的距離是_______，數(shù)軸上表示1和-2的兩點之間的距離為______；（2）數(shù)軸上表示x和1兩點之間的距離為________，數(shù)軸上表示x和-3兩點之同的距離為____．（3）的最小值為_______．的最小值為_____．（4）的最大值為_______．【答案】（1）4，3；（2）|x-1|,

|x+3|;（3）7,

10;（4）2【分析】（1）直接代入公式即可;（2）根據(jù)數(shù)軸上兩點間的距離公式計算即可；（3）可知x對應(yīng)點在對應(yīng)-3和4的點之間時|x+3|+|x-4|的值最小;當(dāng)-2≤x≤1時，|x-1|+|x+2|+|x-3|+|x+4|值最小;（4）分3種情況討論，|x-1|-|x-3|的值最大.【詳解】解：（1）6﹣2=4,

1-(-2)=3所以,數(shù)軸上表示2和6兩點之間的距離是4,數(shù)軸上表示1和-2的兩點之間的距離為3；答案為:4,3;（2）根據(jù)兩點間距離公式可知:數(shù)軸上表示x和1兩點之間的距離為|x-1|,數(shù)軸上表示x和-3兩點之間的距離為|x+3|故答案為:|x-1|,|x+3|;(3)x+3=0,x-4=0,解得x=-3,x=4；當(dāng)x＜-3時，|x+3|+|x-4|=-x-3-x+4=-2x+1＞7當(dāng)-3≤x≤4時，|x+3|+|x-4|=x+3+4-x=7當(dāng)x＞4時，|x+3|+|x-4|=x+3+x-4=2x-1＞7x對應(yīng)點在點-4和3之間時的任意一點,|x-3|+|x+4|的最小值為7；同理,分5種情況說明：當(dāng)x＜-4時，原式=-4x-2＞14當(dāng)-4≤x＜-2時，原式=-2x+6,10≤原式≤14當(dāng)-2≤x≤1時，原式=10,當(dāng)1＜x≤3時，原式=2x+8,

10＜原式≤14當(dāng)x＞3時，原式=4x+2＞14由此可得，當(dāng)-2≤x≤1時原式值最小，最小值是10，∴當(dāng)-2≤x≤1時，|x-1|+|x+2|十|x-3|+|x+4|的最小值為10,故答案為:7,10;(4)∵x-1=0,x-3=0∴x=1,或x=3∴當(dāng)x≤1時，|x-1|-|x-3|=1-x-(3-x)=-2，當(dāng)x≥3時，|x-1|-|x-3|=x-1-(x-3)=2當(dāng)1＜x＜3時，|x-1|-|x-3|=x-1-(3-x)=2x-4,-2＜2x-4＜2∴當(dāng)x≥3時，|x-1|-|x-3|最大，最大值是2故答案為:2【點睛】此題主要考查了絕對值、數(shù)軸等知識，用幾何方法借助數(shù)軸來求解，非常直觀，,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的優(yōu)點.11．（2022·全國·七年級課時練習(xí)）的最小值是（

）A．1 B．1010 C．1021110 D．2020【答案】C【分析】x為數(shù)軸上的一點，|x-1|+|x-2|+|x-3|+…|x-2021|表示：點x到數(shù)軸上的2021個點（1、2、3、…2021）的距離之和，進(jìn)而分析得出最小值為：|1011-1|+|1011-2|+|1011-3|+…|1011-2021|求出即可．【詳解】解：在數(shù)軸上，要使點x到兩定點的距離和最小，則x在兩點之間，最小值為兩定點為端點的線段長度（否則距離和大于該線段）；所以：當(dāng)1≤x≤2021時，|x-1|+|x-2021|有最小值2020；當(dāng)2≤x≤2020時，|x-2|+|x-2020|有最小值2018；…當(dāng)x=1011時，|x-1011|有最小值0．綜上，當(dāng)x=1011時，|x-1|+|x-2|+|x-3|+…|x-2021|能夠取到最小值，最小值為：|1011-1|+|1011-2|+|1011-3|+…|1011-2021|=1010+1009+…+0+1+2+…+1010=1011×1010=1021110．故選：C．【點睛】本題考查了絕對值的性質(zhì)以及利用數(shù)形結(jié)合求最值問題，利用已知得出x=1011時，|x-1|+|x-2|+|x-3|+…|x-2021|能夠取到最小值是解題關(guān)鍵．12．（2022·四川·成都七中萬達(dá)學(xué)校七年級階段練習(xí)）（1）閱讀下面材料：點A、B在數(shù)軸上分別表示實數(shù)a，b，A、B兩點之間的距離表示為|AB|，當(dāng)A、B兩點中有一點在原點時，不妨設(shè)點A在原點，如圖甲，|AB|﹣|OB|＝|b|＝|a﹣b|；當(dāng)A、B兩點都不在原點時，①如圖乙，點A、B都在原點的右邊，|AB|＝|OB|﹣|OA|＝|b|﹣|a|＝b﹣a＝|a﹣b|；②如圖丙，點A、B都在原點的左邊，|AB|＝|OB|﹣|OA|＝|b|﹣|a|＝﹣b﹣（﹣a）＝|a﹣b|；③如圖丁，點A、B在原點的兩邊，|AB|＝|OA|+|OB|＝|a|+|b|＝a+（﹣b）＝|a﹣b|．綜上，數(shù)軸上A、B兩點之間的距離|AB|＝|a﹣b|．（2）回答下列問題：①數(shù)軸上表示2和﹣5的兩點之間的距離是，數(shù)軸上表示x和﹣1的兩點分別是點A和B，則A，B之間的距離是，如果|AB|＝2，那么x＝．②當(dāng)|x+1|+|x﹣2|取最小值時，令T＝|x2﹣3|﹣2，則T的最大值＝；當(dāng)|x+1|﹣|x﹣2|取最大值時，x的取值范圍為；當(dāng)|x+1|+|x﹣2|＝5時，x的值為．③求代數(shù)式|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣19|的最小值．【答案】①7，|x+1|，﹣3或1；②﹣1，x2，﹣2或3；③90【分析】①根據(jù)兩點間的距離公式可求數(shù)軸上表示2和-5的兩點之間的距離，同理也求數(shù)軸上表示x和-1的兩點之間的距離，再根據(jù)兩點間的距離公式列出方程可求x；②求|x+1|+|x﹣2|的取最小值時，意思是x到-1的距離與到2的距離之和最小，那么x應(yīng)在-1和2之間的線段上，x取0，因此T最大為1，當(dāng)|x+1|+|x﹣2|取最大值以及|x+1|+|x﹣2|＝5時，可分x<-1，-1≤x≤2，x>2三類情況列式進(jìn)行討論；③根據(jù)材料當(dāng)x到1的距離等于x到19的距離時，代數(shù)式|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣19|取最小值，代入計算即可得出結(jié)果．【詳解】解：①數(shù)軸上表示2和﹣5的兩點之間的距離是|2﹣（﹣5）|＝7，數(shù)軸上表示x和﹣1的兩點分別是點A和B，則A，B之間的距離是|x+1|，如果|AB|＝2，那么x+1＝±2，x＝﹣3或1．②當(dāng)|x+1|+|x﹣2|取最小值時，x的取值范圍是﹣1≤x≤2，T＝|x2﹣3|﹣2，當(dāng)T要取最大值時，|x2﹣3|取最大值，，，|x2﹣3|最大值為3，因此T的最大值是1．當(dāng)|x+1|﹣|x﹣2|取最大值時，可分x＜﹣1，﹣1≤x≤2，x＞2三類情況進(jìn)行討論，當(dāng)x＜﹣1時，原式＝﹣x﹣1+x﹣2＝﹣3．當(dāng)﹣1≤x≤2時，原式＝x+1+x﹣2＝2x﹣1．當(dāng)x＞2時，原式＝x+1﹣x+2＝3．∴當(dāng)|x+1|﹣|x﹣2|取最大值時，x的取值范圍為x2．當(dāng)|x+1|+|x﹣2|＝5時，可分x＜﹣1，﹣1≤x≤2，x＞2三類情況進(jìn)行討論，當(dāng)x＜﹣1時，方程可化為﹣x﹣1﹣x+2＝5，解得x＝﹣2．當(dāng)﹣1≤x≤2時，方程可化為x+1+2﹣x＝3．當(dāng)x＞2時，方程可化為x+1+x﹣2＝5，解得x＝3．綜上x的值為﹣2或3．③根據(jù)材料當(dāng)x到1的距離等于x到19的距離時，可知x＝10時，代數(shù)式|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣19|取最小值，最小值為9+8+7+．．．+1+0+1+2+3+．．．+9，＝（1+2+3+．．．+9）×2，＝×2，＝90．故答案為：①7，|x+1|，﹣3或1；②﹣1，x2，﹣2或3；③90．【點睛】本題考查了數(shù)軸、絕對值等，比較綜合，涉及的核心知識點為：數(shù)軸上兩點間的距離＝兩個數(shù)之差的絕對值．13．（2022·四川·渠縣第三中學(xué)七年級期中）認(rèn)真閱讀下面的材料，完成有關(guān)問題：材料：在學(xué)習(xí)絕對值時，老師教過我們絕對值的幾何含義，如|5-3|表示5、3在數(shù)