北京市海淀區(qū)2022-2023學年九年級上學期期中數(shù)學試卷(含答案)

2022-2023學年北京市海淀區(qū)九年級（上）期中數(shù)學試卷一、選擇題（共16分，每題2分）1．（2分）圍棋起源于中國，古代稱之為“弈”，至今已有4000多年的歷史．2017年5月，世界圍棋冠軍柯潔與人工智能機器人AlphaGo進行圍棋人機大戰(zhàn)．截取首局對戰(zhàn)棋譜中的四個部分，由黑白棋子擺成的圖案是中心對稱的是（）A． B． C． D．2．（2分）如圖，香港特別行政區(qū)標志紫荊花圖案繞中心旋轉(zhuǎn)n°后能與原來的圖案互相重合，則n的最小值為（）A．45 B．60 C．72 D．1443．（2分）用配方法解關于x的一元二次方程x2﹣2x﹣5＝0，配方正確的是（）A．（x﹣1）2＝4 B．（x+1）2＝4 C．（x+1）2＝6 D．（x﹣1）2＝64．（2分）將拋物線y＝﹣3x2平移，得到拋物線y＝﹣3（x﹣1）2﹣2，下列平移方式中，正確的是（）A．先向左平移1個單位，再向上平移2個單位 B．先向左平移1個單位，再向下平移2個單位 C．先向右平移1個單位，再向上平移2個單位 D．先向右平移1個單位，再向下平移2個單位5．（2分）如圖，AB是半圓O的直徑，點C，D在半圓O上．若∠ABC＝50°，則∠BDC的度數(shù)為（）A．120° B．130° C．140° D．150°6．（2分）已知函數(shù)y＝﹣（x﹣2）2的圖象上有A（﹣1，y1），B（1，y2），C（4，y3）三點，則y1，y2，y3的大小關系（）A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y1＜y2 D．y3＜y2＜y17．（2分）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象如圖所示，則下列選項中不正確的是（）A．a(chǎn)＜0 B．c＞0 C．0＜﹣＜1 D．a(chǎn)+b+c＜08．（2分）四位同學在研究二次函數(shù)y＝ax2+bx+3（a≠0）時，甲同學發(fā)現(xiàn)函數(shù)圖象的對稱軸是直線x＝1；乙同學發(fā)現(xiàn)3是一元二次方程ax2+bx+3＝0（a≠0）的一個根；丙同學發(fā)現(xiàn)函數(shù)的最大值為4；丁同學發(fā)現(xiàn)當x＝2時，y＝5，已知這四位同學中只有一位同學發(fā)現(xiàn)的結論是錯誤的，則該同學是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁二、填空題（共16分，每題2分）9．（2分）點A（2，3）與點B關于原點對稱，則B點的坐標．10．（2分）請寫出一個開口向上且經(jīng)過（0，1）的拋物線的解析式．11．（2分）已知﹣1是關于x的一元二次方程x2+kx﹣3＝0的一個根，則k＝．12．（2分）如圖，在⊙O中，OC⊥AB，∠ADC＝32°，則∠OBA的度數(shù)是．13．（2分）關于x的一元二次方程ax2+bx+＝0有兩個相等的實數(shù)根，寫出一組滿足條件的實數(shù)a，b的值：a＝，b＝．14．（2分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝ax2+bx+c的對稱軸為直線x＝2，與x軸的一個交點為（1，0），則關于x的方程ax2+bx+c＝0的解為．15．（2分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，△CDE可以看作是△AOB經(jīng)過若干次圖形的變化（平移、軸對稱、旋轉(zhuǎn)）得到的，寫出一種由△AOB得到△CDE的過程：．16．（2分）如圖，AB是⊙O的直徑，弦MN∥AB，分別過M，N作AB的垂線，垂足為C，D．以下結論：①AC＝BD；②＝；③若四邊形MCDN是正方形，則MN＝AB；④若M為的中點，則D為OB中點；所有正確結論的序號是．三、解答題（共68分，第17題8分，18題4分，19-24題，每題5分，第25-26題，每題6分，第27-28題，每題7分）17．（8分）解下列方程（1）x2﹣6x﹣16＝0；（2）x（2x﹣5）＝4x﹣10．18．（4分）已知：如圖，△ABC繞某點按一定方向旋轉(zhuǎn)一定角度后得到△A1B1C1，點A，B，C分別對應點A1，B1，C1．（1）根據(jù)點A1和B1的位置確定旋轉(zhuǎn)中心是點．（2）請在圖中畫出△A1B1C1．19．（5分）已知：A，B是直線l上的兩點．求作：△ABC，使得點C在直線l上方，且∠ACB＝150°．作法：①分別以A，B為圓心，AB長為半徑畫弧，在直線l下方交于點O；②以點O為圓心，OA長為半徑畫圓；③在劣弧上任取一點C（不與A，B重合），連接AC，BC．△ABC就是所求作的三角形．（1）使用直尺和圓規(guī)，依作法補全圖形（保留作圖痕跡）；（2）完成下面的證明．證明：在優(yōu)弧上任取一點M（不與A，B重合），連接AM，BM，OA，OB．∵OA＝OB＝AB，∴△OAB是等邊三角形．∴∠AOB＝60°．∵A，B，M在⊙O上，∴∠AMB＝∠AOB（）（填推理的依據(jù)）．∴∠AMB＝30°．∵四邊形ACBM內(nèi)接于⊙O，∴∠AMB+∠ACB＝180°（）（填推理的依據(jù)）．∴∠ACB＝150°．20．（5分）如圖，D是等邊三角形ABC內(nèi)一點，將線段AD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段AE，連接CD，BE．（1）求證：△AEB≌△ADC；（2）連接DE，若∠ADC＝105°，求∠BED的度數(shù)．21．（5分）一圓柱形排水管的截面如圖所示，已知排水管的半徑為1m，水面寬AB為1.6m．由于天氣干燥，水管水面下降，此時排水管水面寬變?yōu)?.2m，求水面下降的高度．22．（5分）已知關于x的方程3x2﹣（a﹣3）x﹣a＝0（a＞0）．（1）求證：方程總有兩個不相等的實數(shù)根；（2）若方程有一個根大于2，求a的取值范圍．23．（5分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y1＝x2+bx+c經(jīng)過點A（﹣2，0），B（﹣1，3）．（1）求拋物線的解析式；（2）求拋物線的頂點C的坐標；（3）設過B，C兩點的直線解析式為y2＝mx+n，直接寫出當y1＞y2時自變量x的取值范圍．24．（5分）某公司以每件40元的價格購進一種商品，在銷售過程中發(fā)現(xiàn)這種商品每天的銷售量y（件）與每件的銷售單價x（元）滿足一次函數(shù)關系：y＝﹣2x+140（x＞40）．（1）當x＝50時，總利潤為元；（2）若設總利潤為w元，則w與x的函數(shù)關系式是；（3）若每天的銷售量不少于38件，則銷售單價定為多少元時，此時利潤最大，最大利潤是多少？25．（6分）某公園在人工湖里建造一道噴泉拱門，工人在垂直于湖面的立柱上安裝噴頭，從噴頭噴出的水柱的形狀可以看作是拋物線的一部分．安裝后，通過測量獲得如下數(shù)據(jù)，噴頭高出湖面3米，在距立柱水平距離為d米的地點，水柱距離湖面高度為h米．d（米）0.501.001.502.002.503.00h（米）3.754.003.753.001.750請解決以下問題：（1）在網(wǎng)格中建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼担鶕?jù)已知數(shù)據(jù)描點，并用平滑的曲線連接；（2）結合表中所給數(shù)據(jù)或所畫圖象，直接寫出水柱最高點距離湖面的高度；（3）求h關于d的函數(shù)表達式；（4）公園希望游船能從噴泉拱門下穿過，已知游船的寬度約為2米，游船的平頂棚到湖面的高度約為1米，從安全的角度考慮，要求游船到立柱的水平距離不小于1米，頂棚到水柱的豎直距離也不小于1米．工人想只通過調(diào)整噴頭距離湖面的高度（不考慮其他因素）就能滿足上述要求，請通過計算說明應如何調(diào)整．26．（6分）在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝x2﹣4x+m+2的頂點在x軸上．（1）求拋物線的表達式；（2）點Q是x軸上一點，①若在拋物線上存在點P，使得∠POQ＝45°，求點P的坐標．②拋物線與直線y＝1交于點E，F(xiàn)（點E在點F的左側），將此拋物線在點E，F(xiàn)（包含點E和點F）之間的部分沿x軸向左平移n個單位后得到的圖象記為G，若在圖象G上存在點P，使得∠POQ＝45°，求n的取值范圍．27．（7分）四邊形ABCD是正方形，將線段CD繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)2α（0°＜α＜45°），得到線段CE，連接DE，過點B作BF⊥DE交DE的延長線于F，連接BE．（1）依題意補全圖1；（2）直接寫出∠FBE的度數(shù)；（3）連接AF，用等式表示線段AF與DE的數(shù)量關系，并證明．28．（7分）對于平面直角坐標系xOy中第一象限內(nèi)的點P（x，y）和圖形W，給出如下定義：過點P作x軸和y軸的垂線，垂足分別為M，N，若圖形W中的任意一點Q（a，b）滿足a≤x且b≤y，則稱四邊形PMON是圖形W的一個覆蓋，點P為這個覆蓋的一個特征點．例：已知A（1，2），B（3，1），則點P（5，4）為線段AB的一個覆蓋的特征點．（1）已知點C（2，3），①在P1（1，3），P2（3，3），P3（4，4）中，是△ABC的覆蓋特征點的為；②若在一次函數(shù)y＝mx+5（m≠0）的圖象上存在△ABC的覆蓋的特征點，求m的取值范圍．（2）以點D（2，4）為圓心，半徑為1作圓，在拋物線y＝ax2﹣5ax+4（a≠0）上存在⊙D的覆蓋的特征點，直接寫出a的取值范圍．

2022-2023學年北京市海淀區(qū)九年級（上）期中數(shù)學試卷參考答案與試題解析一、選擇題（共16分，每題2分）1．（2分）圍棋起源于中國，古代稱之為“弈”，至今已有4000多年的歷史．2017年5月，世界圍棋冠軍柯潔與人工智能機器人AlphaGo進行圍棋人機大戰(zhàn)．截取首局對戰(zhàn)棋譜中的四個部分，由黑白棋子擺成的圖案是中心對稱的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)中心對稱圖形的概念對各選項分析判斷即可得解．【解答】解：A、是中心對稱圖形，故本選項符合題意；B、不是中心對稱圖形，故本選項不合題意；C、不是中心對稱圖形，故本選項不合題意；D、不是中心對稱圖形，故本選項不合題意．故選：A．2．（2分）如圖，香港特別行政區(qū)標志紫荊花圖案繞中心旋轉(zhuǎn)n°后能與原來的圖案互相重合，則n的最小值為（）A．45 B．60 C．72 D．144【分析】該圖形被平分成五部分，因而每部分被分成的圓心角是72°，并且圓具有旋轉(zhuǎn)不變性，因而旋轉(zhuǎn)72度的整數(shù)倍，就可以與自身重合．【解答】解：該圖形被平分成五部分，旋轉(zhuǎn)72°的整數(shù)倍，就可以與自身重合，故n的最小值為72．故選：C．3．（2分）用配方法解關于x的一元二次方程x2﹣2x﹣5＝0，配方正確的是（）A．（x﹣1）2＝4 B．（x+1）2＝4 C．（x+1）2＝6 D．（x﹣1）2＝6【分析】常數(shù)項移到方程的左邊，兩邊都加上1配成完全平方式即可得出答案．【解答】解：∵x2﹣2x﹣5＝0，∴x2﹣2x＝5，則x2﹣2x+1＝5+1，即（x﹣1）2＝6，故選：D．4．（2分）將拋物線y＝﹣3x2平移，得到拋物線y＝﹣3（x﹣1）2﹣2，下列平移方式中，正確的是（）A．先向左平移1個單位，再向上平移2個單位 B．先向左平移1個單位，再向下平移2個單位 C．先向右平移1個單位，再向上平移2個單位 D．先向右平移1個單位，再向下平移2個單位【分析】找到兩個拋物線的頂點，根據(jù)拋物線的頂點即可判斷是如何平移得到．【解答】解：∵y＝﹣3x2的頂點坐標為（0，0），y＝﹣3（x﹣1）2﹣2的頂點坐標為（1，﹣2），∴將拋物線y＝﹣3x2向右平移1個單位，再向下平移2個單位，可得到拋物線y＝﹣3（x﹣1）2﹣2．故選：D．5．（2分）如圖，AB是半圓O的直徑，點C，D在半圓O上．若∠ABC＝50°，則∠BDC的度數(shù)為（）A．120° B．130° C．140° D．150°【分析】根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可解決問題．【解答】解：∵AB是直徑，∴∠ACB＝90°，∵∠ABC＝50°，∴∠A＝90°﹣50°＝40°，∴∠BDC的度數(shù)為：180°﹣40°＝140°故選：C．6．（2分）已知函數(shù)y＝﹣（x﹣2）2的圖象上有A（﹣1，y1），B（1，y2），C（4，y3）三點，則y1，y2，y3的大小關系（）A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y1＜y2 D．y3＜y2＜y1【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可以判斷y1、y2、y3的大小關系，從而可以解答本題．【解答】解：∵y＝﹣（x﹣2）2，∴該函數(shù)開口向下，對稱軸為直線x＝2，∵該函數(shù)圖象上有A（﹣1，y1）、B（1，y2）、C（4，y3）三點，|2﹣1|＜|4﹣2|＜|2+1|，∴y2＞y3＞y1，故選：B．7．（2分）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象如圖所示，則下列選項中不正確的是（）A．a(chǎn)＜0 B．c＞0 C．0＜﹣＜1 D．a(chǎn)+b+c＜0【分析】由拋物線的開口方向判定a的取值范圍，由拋物線于y軸的交點判定c的取值范圍，根據(jù)對稱軸的位置即可判定的取值范圍，由拋物線中，x＝1時的函數(shù)值即可判定a+b+c的取值范圍．【解答】解：A、拋物線的開口向下，∴a＜0，故正確；B、拋物線與y軸交于正半軸，∴c＞0，故正確；C、拋物線的對稱軸在y軸的右邊，在直線x＝1的左邊，∴，故正確；D、從圖象可以看出，當x＝1時，對應的函數(shù)值在x軸的上方，∴a+b+c＞0，故錯誤．故選：D．8．（2分）四位同學在研究二次函數(shù)y＝ax2+bx+3（a≠0）時，甲同學發(fā)現(xiàn)函數(shù)圖象的對稱軸是直線x＝1；乙同學發(fā)現(xiàn)3是一元二次方程ax2+bx+3＝0（a≠0）的一個根；丙同學發(fā)現(xiàn)函數(shù)的最大值為4；丁同學發(fā)現(xiàn)當x＝2時，y＝5，已知這四位同學中只有一位同學發(fā)現(xiàn)的結論是錯誤的，則該同學是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【分析】分別根據(jù)四個人的信息得到相應的關系式，依次假設不對時，其它三個條件是否同時成立；【解答】解：對稱軸是直線x＝1時，b＝﹣2a①；3是一元二次方程ax2+bx+3＝0（a≠0）的一個根時，3a+b+1＝0②；函數(shù)的最大值為4時，b2＝﹣4a③；當x＝2時，y＝5時，2a+b﹣1＝0④；當甲不對時，由②和④聯(lián)立a＝﹣2，b＝5，不滿足③，故不成立；當乙不對時，由①和③聯(lián)立a＝﹣1，b＝2，不滿足④，故不成立；當丙不對時，由②和④聯(lián)立a＝﹣2，b＝5，不滿足①，故不成立；當丁不對時，由①和③聯(lián)立a＝﹣1，b＝2，成立；故選：D．二、填空題（共16分，每題2分）9．（2分）點A（2，3）與點B關于原點對稱，則B點的坐標（﹣2，﹣3）．【分析】直接利用關于原點對稱點的性質(zhì)進而得出答案．【解答】解：點A（2，3）與點B關于原點對稱，則B點的坐標：（﹣2，﹣3）．故答案為：（﹣2，﹣3）．10．（2分）請寫出一個開口向上且經(jīng)過（0，1）的拋物線的解析式y(tǒng)＝x2+x+1（答案不唯一）．【分析】開口向上，只要二次項系數(shù)為正數(shù)即可，經(jīng)過點（0，1），說明常數(shù)項c＝1．【解答】解：依題意，滿足題意的拋物線解析式為y＝x2+x+1等，答案不唯一．故本題答案為：y＝x2+x+1等．11．（2分）已知﹣1是關于x的一元二次方程x2+kx﹣3＝0的一個根，則k＝﹣2．【分析】把x＝﹣1代入方程x2+kx﹣3＝0得1﹣k﹣3＝0，然后解關于k的方程．【解答】解：把x＝﹣1代入方程x2+kx﹣3＝0得1﹣k﹣3＝0，解得k＝﹣2．故答案為﹣2．12．（2分）如圖，在⊙O中，OC⊥AB，∠ADC＝32°，則∠OBA的度數(shù)是26°．【分析】根據(jù)垂徑定理，可得＝，∠OEB＝90°，根據(jù)圓周角定理，可得∠3，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，可得答案．【解答】解：連接AO，如圖：由OC⊥AB，得＝，∠OEB＝90°．∴∠2＝∠3．∵∠2＝2∠1＝2×32°＝64°．∴∠3＝64°，在Rt△OBE中，∠OEB＝90°，∴∠B＝90°﹣∠3＝90°﹣64°＝26°，故答案為；26°．13．（2分）關于x的一元二次方程ax2+bx+＝0有兩個相等的實數(shù)根，寫出一組滿足條件的實數(shù)a，b的值：a＝4，b＝2．【分析】由于關于x的一元二次方程ax2+bx+＝0有兩個相等的實數(shù)根，得到a＝b2，找一組滿足條件的數(shù)據(jù)即可．【解答】關于x的一元二次方程ax2+bx+＝0有兩個相等的實數(shù)根，∴Δ＝b2﹣4×a＝b2﹣a＝0，∴a＝b2，當b＝2時，a＝4，故b＝2，a＝4時滿足條件．故答案為：4，2．14．（2分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝ax2+bx+c的對稱軸為直線x＝2，與x軸的一個交點為（1，0），則關于x的方程ax2+bx+c＝0的解為x＝1或x＝3．【分析】根據(jù)拋物線的軸對稱性質(zhì)得到拋物線與x軸的另一個交點坐標，由此求得關于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根．【解答】解：∵拋物線y＝ax2+bx+c的對稱軸為直線x＝2，與x軸的一個交點為（1，0），∴拋物線與x軸的另一個交點坐標為（3，0），∴關于x的方程ax2+bx+c＝0的解為x＝1或x＝3，故答案為：x＝1或x＝3．15．（2分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，△CDE可以看作是△AOB經(jīng)過若干次圖形的變化（平移、軸對稱、旋轉(zhuǎn)）得到的，寫出一種由△AOB得到△CDE的過程：將△AOB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°，再沿x軸向右平移一個單位．【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，平移的性質(zhì)即可得到由△OCD得到△AOB的過程．【解答】解：將△AOB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°，再沿x軸向右平移一個單位得到△CDE，故答案為：將△AOB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°，再沿x軸向右平移一個單位16．（2分）如圖，AB是⊙O的直徑，弦MN∥AB，分別過M，N作AB的垂線，垂足為C，D．以下結論：①AC＝BD；②＝；③若四邊形MCDN是正方形，則MN＝AB；④若M為的中點，則D為OB中點；所有正確結論的序號是①②④．【分析】①②正確，證明Rt△OMC≌Rt△OND（HL），可得結論．③錯誤，證明AB＝MN，可得結論．④正確，證明△OBN是等邊三角形，可得結論．【解答】解：連接OM、ON，如圖，∵MC⊥AB、ND⊥AB，∴∠OCM＝∠ODN＝90°，∵MN∥AB，∴∠CMN+∠MCD＝180°，∴∠CMN＝90°，∴四邊形CMND是矩形，∴CM＝DN，在Rt△OMC和Rt△OND中，，∴Rt△OMC≌Rt△OND（HL），∴OC＝OD，∠COM＝∠DON，∴＝，故②正確，∵OA＝OB，OD＝OD，∴AC＝BD，故①正確，當四邊形MCDN是正方形時，CM＝2OC，∴OM＝OC，∴AB＝2OM＝2OC＝MN，故③錯誤，若M是的中點，連接BN，∴∠AOM＝∠MON＝∠BON＝60°，∵ON＝OB，∴△ONB是等邊三角形，∵ND⊥OB，∴OD＝DB，故④正確．故答案為：①②④．三、解答題（共68分，第17題8分，18題4分，19-24題，每題5分，第25-26題，每題6分，第27-28題，每題7分）17．（8分）解下列方程（1）x2﹣6x﹣16＝0；（2）x（2x﹣5）＝4x﹣10．【分析】（1）利用求根公式法求解即可；（2）移項后，利用提公因式法將方程的左邊因式分解后求解可得．【解答】解：（1）x2﹣6x﹣16＝0；∵a＝1，b＝﹣6，c＝﹣16，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4×1×（﹣16）＝36+64＝100＞0，∴x＝＝＝3±5，∴x1＝8，x2＝﹣2；（2）x（2x﹣5）＝4x﹣10，x（2x﹣5）﹣（4x﹣10）＝0，x（2x﹣5）﹣2（2x﹣5）＝0，則（2x﹣5）（x﹣2）＝0，∴2x﹣5＝0或x﹣2＝0，解得x1＝，x2＝2．18．（4分）已知：如圖，△ABC繞某點按一定方向旋轉(zhuǎn)一定角度后得到△A1B1C1，點A，B，C分別對應點A1，B1，C1．（1）根據(jù)點A1和B1的位置確定旋轉(zhuǎn)中心是點O1．（2）請在圖中畫出△A1B1C1．【分析】（1）分別作AA1、BB1的中垂線m、n，兩者的交點即為所求；（2）作出點C繞點O1順時針旋轉(zhuǎn)90°所得對應點，再首尾順次連接即可得．【解答】解：（1）如圖，根據(jù)點A1和B1的位置確定旋轉(zhuǎn)中心是點O1，故答案為：O1．（2）如圖所示，△A1B1C1即為所求．19．（5分）已知：A，B是直線l上的兩點．求作：△ABC，使得點C在直線l上方，且∠ACB＝150°．作法：①分別以A，B為圓心，AB長為半徑畫弧，在直線l下方交于點O；②以點O為圓心，OA長為半徑畫圓；③在劣弧上任取一點C（不與A，B重合），連接AC，BC．△ABC就是所求作的三角形．（1）使用直尺和圓規(guī)，依作法補全圖形（保留作圖痕跡）；（2）完成下面的證明．證明：在優(yōu)弧上任取一點M（不與A，B重合），連接AM，BM，OA，OB．∵OA＝OB＝AB，∴△OAB是等邊三角形．∴∠AOB＝60°．∵A，B，M在⊙O上，∴∠AMB＝∠AOB（在同圓中，一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半）（填推理的依據(jù)）．∴∠AMB＝30°．∵四邊形ACBM內(nèi)接于⊙O，∴∠AMB+∠ACB＝180°（圓內(nèi)接四邊形對角互補）（填推理的依據(jù)）．∴∠ACB＝150°．【分析】（1）根據(jù)題意補全圖形；（2）根據(jù)畫圖過程得出△OAB是等邊三角形，則∠AOB＝60°，根據(jù)圓周角定理得出∠AMB＝30°，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)即可得解．【解答】解：（1）如下圖即為所求，（2）證明：在優(yōu)弧上任取一點M（不與A，B重合），連接AM，BM，OA，OB，∵OA＝OB＝AB，∴△OAB是等邊三角形，∴∠AOB＝60°，∵A，B，M在⊙O上，∴∠AMB＝∠AOB（在同圓中，一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半），∴∠AMB＝30°，∵四邊形ACBM內(nèi)接于⊙O，∴∠AMB+∠ACB＝180°（圓內(nèi)接四邊形對角互補），∴∠ACB＝150°．故答案為：在同圓中，一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半；圓內(nèi)接四邊形對角互補．20．（5分）如圖，D是等邊三角形ABC內(nèi)一點，將線段AD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段AE，連接CD，BE．（1）求證：△AEB≌△ADC；（2）連接DE，若∠ADC＝105°，求∠BED的度數(shù)．【分析】（1）由等邊三角形的性質(zhì)知∠BAC＝60°，AB＝AC，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知∠DAE＝60°，AE＝AD，從而得∠EAB＝∠DAC，再證△EAB≌△DAC可得答案；（2）由∠DAE＝60°，AE＝AD知△EAD為等邊三角形，即∠AED＝60°，繼而由∠AEB＝∠ADC＝105°可得．【解答】解：（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，∴∠BAC＝60°，AB＝AC．∵線段AD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段AE，∴∠DAE＝60°，AE＝AD．∴∠BAD+∠EAB＝∠BAD+∠DAC．∴∠EAB＝∠DAC．在△EAB和△DAC中，∵，∴△EAB≌△DAC（SAS）．（2）如圖，∵∠DAE＝60°，AE＝AD，∴△EAD為等邊三角形．∴∠AED＝60°，∵△EAB≌△DAC∴∠AEB＝∠ADC＝105°．∴∠BED＝45°．21．（5分）一圓柱形排水管的截面如圖所示，已知排水管的半徑為1m，水面寬AB為1.6m．由于天氣干燥，水管水面下降，此時排水管水面寬變?yōu)?.2m，求水面下降的高度．【分析】先根據(jù)垂徑定理求得AM、CN，然后根據(jù)勾股定理求出OM、ON的長，即可得出結論．【解答】解：如圖，下降后的水面寬CD為1.2m，連接OA，OC，過點O作ON⊥CD于N，交AB于M．∴∠ONC＝90°．∵AB∥CD，∴∠OMA＝∠ONC＝90°．∵AB＝1.6，CD＝1.2，∴AM＝AB＝0.8，CN＝CD＝0.6，在Rt△OAM中，∵OA＝1，∴OM＝＝0.6．同理可得ON＝0.8，∴MN＝ON﹣OM＝0.2（米）．答：水面下降了0.2米．22．（5分）已知關于x的方程3x2﹣（a﹣3）x﹣a＝0（a＞0）．（1）求證：方程總有兩個不相等的實數(shù)根；（2）若方程有一個根大于2，求a的取值范圍．【分析】（1）先求出△的值，再根據(jù)根的情況與判別式△的關系即可得出答案；（2）利用因式分解法求得方程的兩個根，根據(jù)有一個根大于2，得出不等式解答即可．【解答】（1）證明：Δ＝（a﹣3）2﹣4×3×（﹣a）＝（a+3）2．∵a＞0，∴（a+3）2＞0．即Δ＞0．∴方程總有兩個不相等的實數(shù)根．（2）解：3x2﹣（a﹣3）x﹣a＝0，（3x﹣a）（x+1）＝0，解得x1＝﹣1，x2＝．∵方程有一個根大于2，∴＞2．∴a＞6．23．（5分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y1＝x2+bx+c經(jīng)過點A（﹣2，0），B（﹣1，3）．（1）求拋物線的解析式；（2）求拋物線的頂點C的坐標；（3）設過B，C兩點的直線解析式為y2＝mx+n，直接寫出當y1＞y2時自變量x的取值范圍．【分析】（1）通過待定系數(shù)法求解．（2）根據(jù)圖象拋物線在直線上方時x的取值范圍求解．【解答】解：（1）將A（﹣2，0），B（﹣1，3）代入y1＝x2+bx+c得，解得，∴y1＝x2+6x+8．（2）∵y1＝x2+6x+8＝（x+3）2﹣1，∴拋物線頂點C的坐標為（﹣3，﹣1）．（4）如圖，可得x＜﹣3或x＞﹣1時，y1＞y2．24．（5分）某公司以每件40元的價格購進一種商品，在銷售過程中發(fā)現(xiàn)這種商品每天的銷售量y（件）與每件的銷售單價x（元）滿足一次函數(shù)關系：y＝﹣2x+140（x＞40）．（1）當x＝50時，總利潤為400元；（2）若設總利潤為w元，則w與x的函數(shù)關系式是w＝﹣2x2+220x﹣5600；（3）若每天的銷售量不少于38件，則銷售單價定為多少元時，此時利潤最大，最大利潤是多少？【分析】（1）根據(jù)題意先求出當x＝50時的銷售量，再求出利潤即可；（2）每件進價是40元，銷售單價為x元，則每件利潤為（x﹣40）元，從而根據(jù)利潤等于每件的利潤乘以銷售量可得w關于x的函數(shù)關系式；（3）每天的銷售量不少于38件，可得不等式，解得x的取值范圍，將（2）中所得的二次函數(shù)寫成頂點式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)及自變量的取值范圍可得答案．【解答】解：（1）當x＝50時，銷售量為y＝﹣2×50+140＝40（件），利潤為：（50﹣40）×40＝400（元），故答案為：400；（2）由題意得：w＝y(tǒng)?（x﹣40）＝（﹣2x+140）（x﹣40）＝﹣2x2+220x﹣5600，∴w與x的函數(shù)關系式為w＝﹣2x2+220x﹣5600（x＞40），故答案為：w＝﹣2x2+220x﹣5600；（3）∵y≥38，∴﹣2x+140≥38，解得：x≤51．∵w＝﹣2x2+220x﹣5600＝﹣2（x﹣55）2+450，∴對稱軸為x＝55，拋物線開口向下，∴當x≤55時，w隨x的增大而增大，∵x≤51，∴當x＝51時，w有最大值，最大值為：﹣2×512+220×51﹣5600＝418．∴銷售單價定為51元時，利潤最大，最大利潤是418元．25．（6分）某公園在人工湖里建造一道噴泉拱門，工人在垂直于湖面的立柱上安裝噴頭，從噴頭噴出的水柱的形狀可以看作是拋物線的一部分．安裝后，通過測量獲得如下數(shù)據(jù)，噴頭高出湖面3米，在距立柱水平距離為d米的地點，水柱距離湖面高度為h米．d（米）0.501.001.502.002.503.00h（米）3.754.003.753.001.750請解決以下問題：（1）在網(wǎng)格中建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，根?jù)已知數(shù)據(jù)描點，并用平滑的曲線連接；（2）結合表中所給數(shù)據(jù)或所畫圖象，直接寫出水柱最高點距離湖面的高度；（3）求h關于d的函數(shù)表達式；（4）公園希望游船能從噴泉拱門下穿過，已知游船的寬度約為2米，游船的平頂棚到湖面的高度約為1米，從安全的角度考慮，要求游船到立柱的水平距離不小于1米，頂棚到水柱的豎直距離也不小于1米．工人想只通過調(diào)整噴頭距離湖面的高度（不考慮其他因素）就能滿足上述要求，請通過計算說明應如何調(diào)整．【分析】（1）根據(jù)對應點畫圖象即可；（2）由圖象可得答案；（3）利用待定系數(shù)法可得關系式；（4）設水槍高度向上調(diào)整m米，設平移后二次函數(shù)關系式為h′＝﹣（d﹣1）2+4+m，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得答案．【解答】解：（1）如圖，（2）水柱最高點距離湖面的高度是4米；（3）由圖象可得，頂點（1，4），設二次函數(shù)的關系式為h＝a（d﹣1）2+4，把（2，3）代入可得a＝﹣1，所以h＝﹣（d﹣1）2+4；（4）設水槍高度向上調(diào)整m米，設平移后二次函數(shù)關系式為h′＝﹣（d﹣1）2+4+m，當d＝1+2＝3時，h′＝﹣4+4+m＝m，∴m≥2，答：水槍高度至少向上調(diào)整2米．26．（6分）在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝x2﹣4x+m+2的頂點在x軸上．（1）求拋物線的表達式；（2）點Q是x軸上一點，①若在拋物線上存在點P，使得∠POQ＝45°，求點P的坐標．②拋物線與直線y＝1交于點E，F(xiàn)（點E在點F的左側），將此拋物線在點E，F(xiàn)（包含點E和點F）之間的部分沿x軸向左平移n個單位后得到的圖象記為G，若在圖象G上存在點P，使得∠POQ＝45°，求n的取值范圍．【分析】（1）利用二次函數(shù)的性質(zhì)結合拋物線的頂點坐標在x軸上，可得出關于m的一元一次方程，解之即可得出結論；（2）①作直線y＝x，交拋物線y＝x2﹣4x+4于點P，聯(lián)立直線OP與拋物線的表達式成方程組，通過解方程組即可求出點P的坐標；②利用二次函數(shù)圖象上點的坐標特征可求出點E，F(xiàn)的坐標，分點P，Q在y軸右側及點P，Q在y軸左側兩種情況考慮：（i）當點P，Q在y軸右側時，由拋物線y＝x2﹣4x+4與直線y＝x交于點（1，1），可得出當1≤3﹣n≤3時，圖象G上存在點P使得∠POQ＝45°，解不等式組即可求出n的取值范圍；（ii）當點P，Q在y軸左側時，同①可得出，拋物線y＝x2+4x+4與直線y＝﹣x交于點（﹣1，﹣1）或（﹣4，﹣4），進而可得出當﹣1≤3﹣n≤1時，圖象G上存在點P使得∠POQ＝45°，解不等式組即可求出n的取值范圍．綜上，此題得解．【解答】解：（1）∵拋物線y＝x2﹣4x+m+2的頂點在x軸上，∴＝0，解得：m＝2，∴拋物線的表達式為y＝x2﹣4x+4．（2）①作直線y＝x，交拋物線y＝x2﹣4x+4于點P，如圖1所示．聯(lián)立直線OP及拋物線的表達式成方程組，得：，解得：，，∴點P的坐標為（1，1）或（4，4）．②當y＝1時，x2﹣4x+4＝1，解得：x1＝1，x2＝3，∴點E的坐標為（1，1），點F的坐標為（3，1）．分兩種情況考慮：（i）當點P，Q在y軸右側時，∵拋物線y＝x2﹣4x+4與直線y＝x交于點（1，1），∴當1≤3﹣n≤3時，圖象G上存在點P，使得∠POQ＝45°，∴，解得：0≤n≤2；（ii）當點P，Q在y軸左側時，同①可得出，拋物線y＝x2+4x+4與直線y＝﹣x交于點（﹣1，﹣1）或（﹣4，﹣4），∴當﹣1≤3﹣n≤1時，圖象G上存在點P，使得∠POQ＝45°，∴，解得：2≤n≤4．綜上所述：若在圖象G上存在點P，使得∠POQ＝45°，n的取值范圍為0≤n≤4．27．（7分）四邊形ABCD是正方形，將線段CD繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)2α（0°＜α＜45°），得到線段CE，連接DE，過點B作BF⊥DE交DE的延長線于F，連接BE．（1）依題意補全圖1；（2）直接寫出∠FBE的度數(shù)；（3）連接AF，用等式表示線段AF與DE的數(shù)量關系，并證明．【分析】（1）按照題中的表述畫出