專題10正方形(考點剖析)-2018-2019學年浙江省八年級數(shù)學下學期期末必考點復習(浙教版)(原卷版+解析)

專題10正方形【考點剖析】正方形：有一組鄰邊相等，且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形.1、正方形的性質正方形除了具有平行四邊形的所有性質外，還具有矩形和菱形的所有性質，如下：①正方形的對邊平行且相等；②正方形的四條邊都相等；③正方形的四個角都是直角；④正方形的兩條對角線相等，互相垂直平分，并且每一條對角線平分一組對角；⑤對稱性：正方形是一個軸對稱圖形，它有四條對稱軸.（對稱軸是它對邊中點的連線和它的兩條對角線）2、正方形的判定正方形的判定方法：①有一組鄰邊相等的矩形是正方形；②有一個角是直角的菱形是正方形.正方形的性質【典例】例1．如圖，正方形ABCD中，點E、F、G分別為邊AB、BC、AD上的中點，連接AF、DE交于點M，連接GM、CG，CG與DE交于點N，則結論①GM⊥CM；②CD＝DM；③四邊形AGCF是平行四邊形；④∠CMD＝∠AGM中正確的有（）個．A．1 B．2 C．3 D．4例2．如圖，在正方形ABCD中，AB＝BC＝CD＝AD＝10cm，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，點E在邊AB上，且AE＝4cm，如果點P在線段BC上以2cm/秒的速度由B點向C點運動，同時，點Q在線段CD上由C點向D點運動．設運動時間為t秒．（1）若點Q與點P的運動速度相等，經過2秒后，△BPE與△CQP是否全等？請說明理由；（2）若點Q與點P的運動速度不相等，則當t為何值時，△BPE與△CQP全等？此時點Q的運動速度為多少？例3．如圖，正方形ABCD中，AB＝4，點E是對角線AC上的一點，連接DE．過點E作EF⊥ED，交AB于點F，以DE、EF為鄰邊作矩形DEFG，連接AG．（1）求證：矩形DEFG是正方形；（2）求AG+AE的值；（3）若F恰為AB中點，連接DF交AC于點M，請直接寫出ME的長．【鞏固練習】1．小華在整理平行四邊形、矩形、菱形、正方形的性質時，發(fā)現(xiàn)它們的對角線都具有同一性質是（）A．相等 B．互相垂直 C．互相平分 D．平分一組對角2．如圖，在邊長為4的正方形ABCD內取一點E，使得BE＝CE，連接ED、BD．BD與CE相交于點O，若∠EOD＝75°，則△BED的面積為（）A． B． C． D．3．如下圖，E為正方形ABCD的邊BC延長線上的點，且CE＝AC，連接AE，則∠E＝____________度．4．如圖，正方形ABCD的邊長為1，以對角線AC為邊作第二個正方形ACEF，再以對角線AE為邊作第三個正方形AEGH，如此下去第n個正方形的邊長為______．5．如圖，已知正方形ABCD的邊長為8，點O是AD上一個定點，AO＝5，點P從點A出發(fā)，以每秒1個單位長的速度，按照A→B→C→D的方向，在正方形的邊上運動，設運動的時間為t（秒），當t的值為______________________時，△AOP是等腰三角形．正方形的判定【典例】例1．在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O．要使四邊形ABCD是正方形，還需添加一組條件．下面給出了五組條件：①AB＝AD，且AC＝BD；②AB⊥AD，且AC⊥BD；③AB⊥AD，且AB＝AD；④AB＝BD，且AB⊥BD；⑤OB＝OC，且OB⊥OC．其中正確的是____________________（填寫序號）．例2．如圖，已知四邊形ABCD為正方形，AB，點E為對角線AC上一動點，連接DE，過點E作EF⊥DE．交射線BC于點F，以DE、EF為鄰邊作矩形DEFG，連接CG．①求證：矩形DEFG是正方形；②探究：CE+CG的值是否為定值？若是，請求出這個定值；若不是，請說明理由．【鞏固練習】1．在四邊形ABCD中，O是對角線AC、BD的交點，能判定這個四邊形為正方形的是（）A．AD∥BC，∠B＝∠D B．AC＝BD，AB＝CD，AD＝BC C．OA＝OC，OB＝OD，AB＝BC D．OA＝OB＝OC＝OD，AC⊥BD2．如圖，在△ABC中，點E、D、F分別在邊AB、BC、CA上，且DE∥CA，DF∥BA，下列四個判斷中，不正確的是（）A．四邊形AEDF是平行四邊形 B．如果AD＝EF，那么四邊形AEDF是矩形 C．如果AD平分∠EAF，那么四邊形AEDF是菱形 D．如果AD⊥BC且AB＝AC，那么四邊形AEDF是正方形3．如圖，正方形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，BE∥AC，CE∥DB．求證：四邊形OBEC是正方形．4．已知：如圖，在平行四邊形ABCD中，BC＝AC，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點，連接CE并延長交DA的延長線于M，連接AF并延長交BC的延長線于N．（1）求證：△ABN≌△CDM；（2）當平行四邊形ABCD的邊或角滿足什么關系時，四邊形AECF是正方形？請說明理由．專題10正方形【考點剖析】正方形：有一組鄰邊相等，且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形.1、正方形的性質正方形除了具有平行四邊形的所有性質外，還具有矩形和菱形的所有性質，如下：①正方形的對邊平行且相等；②正方形的四條邊都相等；③正方形的四個角都是直角；④正方形的兩條對角線相等，互相垂直平分，并且每一條對角線平分一組對角；⑤對稱性：正方形是一個軸對稱圖形，它有四條對稱軸.（對稱軸是它對邊中點的連線和它的兩條對角線）2、正方形的判定正方形的判定方法：①有一組鄰邊相等的矩形是正方形；②有一個角是直角的菱形是正方形.正方形的性質【典例】例1．如圖，正方形ABCD中，點E、F、G分別為邊AB、BC、AD上的中點，連接AF、DE交于點M，連接GM、CG，CG與DE交于點N，則結論①GM⊥CM；②CD＝DM；③四邊形AGCF是平行四邊形；④∠CMD＝∠AGM中正確的有（）個．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】解：∵AG∥FC且AG＝FC，∴四邊形AGCF為平行四邊形，故③正確；∴∠GAF＝∠FCG＝∠DGC，∠AMN＝∠GND在△ADE和△BAF中，∵，∴△ADE≌△BAF（SAS），∴∠ADE＝∠BAF，∵∠ADE+∠AEM＝90°∴∠EAM+∠AEM＝90°∴∠AME＝90°∴∠GND＝90°∴∠DE⊥AF，DE⊥CG．∵G點為AD中點，∴GN為△ADM的中位線，即CG為DM的垂直平分線，∴GM＝GD，CD＝CM，故②錯誤；在△GDC和△GMC中，∵，∴△GDC≌△GMC（SSS），∴∠CDG＝∠CMG＝90°，∠MGC＝∠DGC，∴GM⊥CM，故①正確；∵∠CDG＝∠CMG＝90°，∴G、D、C、M四點共圓，∴∠AGM＝∠DCM，∵CD＝CM，∴∠CMD＝∠CDM，在Rt△AMD中，∠AMD＝90°，∴DM＜AD，∴DM＜CD，∴∠DMC≠∠DCM，∴∠CMD≠∠AGM，故④錯誤．故選：B．【點睛】要證以上問題，需證CN是DN是垂直平分線，即證N點是DM中點，利用中位線定理即可，利用反證法證明④不成立即可．本題考查了正方形的性質的運用，全等三角形的判定與性質的運用及平行四邊形的性質的運用．在解答中靈活運用正方形的中點問題解決問題，靈活運用了幾何圖形知識解決問題．例2．如圖，在正方形ABCD中，AB＝BC＝CD＝AD＝10cm，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，點E在邊AB上，且AE＝4cm，如果點P在線段BC上以2cm/秒的速度由B點向C點運動，同時，點Q在線段CD上由C點向D點運動．設運動時間為t秒．（1）若點Q與點P的運動速度相等，經過2秒后，△BPE與△CQP是否全等？請說明理由；（2）若點Q與點P的運動速度不相等，則當t為何值時，△BPE與△CQP全等？此時點Q的運動速度為多少？【答案】見解析【解析】解：（1）全等．理由：由題意：BP＝CQ＝2t，當t＝2時，BP＝CQ＝4，∵AB＝BC＝10，AE＝4，∴BE＝CP＝10﹣4＝6，∵BP＝CQ，∠B＝∠C＝90°，BE＝CP，∴△BPE≌△CQP（SAS）．（2）∵P、Q運動速度不相等，∴BP≠CQ∵∠B＝∠C＝90°∴當BP＝CP，CQ＝BE時，△BPE≌△CQP，∴BP＝CPBC＝5，CQ＝BE＝6，∴當t＝5÷2（秒）時，△BPE≌△CQP，此時點Q的運動速度為6（cm/s）．【點睛】（1）由題意可得BP＝CQ，BE＝CP，由“SAS”可證△BPE≌△CQP；（2）由全等三角形的性質可得BP＝CP＝5，BE＝CQ＝6，即可求點Q的速度．本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定和性質，熟練運用全等三角形的性質解決問題是本題的關鍵．例3．如圖，正方形ABCD中，AB＝4，點E是對角線AC上的一點，連接DE．過點E作EF⊥ED，交AB于點F，以DE、EF為鄰邊作矩形DEFG，連接AG．（1）求證：矩形DEFG是正方形；（2）求AG+AE的值；（3）若F恰為AB中點，連接DF交AC于點M，請直接寫出ME的長．【答案】見解析【解析】解：（1）如圖，作EM⊥AD于M，EN⊥AB于N．∵四邊形ABCD是正方形，∴∠EAD＝∠EAB，∵EM⊥AD于M，EN⊥AB于N，∴EM＝EN，∵∠EMA＝∠ENA＝∠DAB＝90°，∴四邊形ANEM是矩形，∴∠MEN＝∠DEF＝90°，∴∠DEM＝∠FEN，∵∠EMD＝∠ENF＝90°，∴△EMD≌△ENF，∴ED＝EF，∵四邊形DEFG是矩形，∴四邊形DEFG是正方形．（2）∵四邊形DEFG是正方形，四邊形ABCD是正方形，∴DG＝DE，DC＝DA＝AB＝4，∠GDE＝∠ADC＝90°，∴∠ADG＝∠CDE，∴△ADG≌△CDE，∴AG＝CE，∴AE+AG＝AE+EC＝ACAD＝4．（3）如圖，作EH⊥DF于H．∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝4，AB∥CD，∵F是AB中點，∴AF＝FB2∴DF2，∵△DEF是等腰直角三角形，EH⊥AD，∴DH＝HF，∴EHDF，∵AF∥CD，∴AF：CD＝FM：MD＝1：2，∴FM，∴HM＝HF﹣FM，在Rt△EHM中，EM．【點睛】本題考查正方形的性質、全等三角形的判定和性質、矩形的性質和判定、解直角三角形等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造直角三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．【鞏固練習】1．小華在整理平行四邊形、矩形、菱形、正方形的性質時，發(fā)現(xiàn)它們的對角線都具有同一性質是（）A．相等 B．互相垂直 C．互相平分 D．平分一組對角【答案】C【解析】解：因為平行四邊形的對角線互相平分、正方形的對角線垂直平分且相等、矩形的對角線互相平分且相等、菱形的對角線互相垂直平分，可知正方形、矩形、菱形都具有的特征是對角線互相平分．故選：C．2．如圖，在邊長為4的正方形ABCD內取一點E，使得BE＝CE，連接ED、BD．BD與CE相交于點O，若∠EOD＝75°，則△BED的面積為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】解：如圖所示：過點E作EF⊥BC，垂足為F，作EG⊥DC，垂足為G．∵∠EOD＝75°，∠ECD+∠ODC＝∠EOD，∴∠ECD＝30°．∴∠ECB＝60°．又∵BE＝CE，∴△BCE為等邊三角形．∴EC＝BC＝4．∴EFFC＝2．∵在Rt△EGC中，∠ECG＝30°，∴EGEC＝2．∴S四邊形BDECCB?EFDC?EG4×24×2＝44．又∵S△BCDBC?DC＝8，∴△BED的面積＝（44）﹣8＝44．故選：B．3．如下圖，E為正方形ABCD的邊BC延長線上的點，且CE＝AC，連接AE，則∠E＝____________度．【答案】22.5【解析】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BAC＝∠CAD＝45°，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠E∵CE＝AC，∴∠CAE＝∠E∴∠E∠CAD＝22.5°．故答案為22.5．4．如圖，正方形ABCD的邊長為1，以對角線AC為邊作第二個正方形ACEF，再以對角線AE為邊作第三個正方形AEGH，如此下去第n個正方形的邊長為______．【答案】（）n﹣1【解析】解：∵四邊形ABCD為正方形，∴AB＝BC＝1，∠B＝90°，∴AC2＝12+12，AC同理可得：AE＝（）2，AG＝（）3…，∴第n個正方形的邊長an＝（）n﹣1．故答案為（）n﹣1．5．如圖，已知正方形ABCD的邊長為8，點O是AD上一個定點，AO＝5，點P從點A出發(fā)，以每秒1個單位長的速度，按照A→B→C→D的方向，在正方形的邊上運動，設運動的時間為t（秒），當t的值為______________________時，△AOP是等腰三角形．【答案】5或10.5或20【解析】解：∵四邊形ABCD是正方形∴AB＝BC＝CD＝AD＝8，∠D＝90°∵AO＝5，∴OD＝3若AP＝AO＝5，即t若AP＝OP，即點P在AO的垂直平分線上，∴點P在BC上，且BP＝2.5∴t若AO＝OP＝5，即點P在CD上，∴PD4∴t故答案為：5或10.5或20正方形的判定【典例】例1．在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O．要使四邊形ABCD是正方形，還需添加一組條件．下面給出了五組條件：①AB＝AD，且AC＝BD；②AB⊥AD，且AC⊥BD；③AB⊥AD，且AB＝AD；④AB＝BD，且AB⊥BD；⑤OB＝OC，且OB⊥OC．其中正確的是____________________（填寫序號）．【答案】①②③⑤【解析】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，AB＝AD，∴四邊形ABCD是菱形，又∵AC＝BD，∴四邊形ABCD是正方形，①正確；∵四邊形ABCD是平行四邊形，AB⊥AD，∴四邊形ABCD是矩形，又∵AC⊥BD，∴四邊形ABCD是正方形，②正確；∵四邊形ABCD是平行四邊形，AB⊥AD，∴四邊形ABCD是矩形，又∵AB＝AD，∴四邊形ABCD是正方形，③正確；④AB＝BD，且AB⊥BD，無法得出四邊形ABCD是正方形，故④錯誤；∵四邊形ABCD是平行四邊形，OB＝OC，∴四邊形ABCD是矩形，又∵OB⊥OC，∴四邊形ABCD是正方形，⑤正確；故答案為：①②③⑤．【點睛】由矩形、菱形、正方形的判定方法對各個選項進行判斷即可．本題考查了矩形、菱形、正方形的判定；熟記判定是解決問題的關鍵．例2．如圖，已知四邊形ABCD為正方形，AB，點E為對角線AC上一動點，連接DE，過點E作EF⊥DE．交射線BC于點F，以DE、EF為鄰邊作矩形DEFG，連接CG．①求證：矩形DEFG是正方形；②探究：CE+CG的值是否為定值？若是，請求出這個定值；若不是，請說明理由．【答案】見解析【解析】①證明：過E作EM⊥BC于M點，過E作EN⊥CD于N點，如圖所示：∵正方形ABCD，∴∠BCD＝90°，∠ECN＝45°，∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°，且NE＝NC，∴四邊形EMCN為正方形，∵四邊形DEFG是矩形，∴EM＝EN，∠DEN+∠NEF＝∠MEF+∠NEF＝90°，∴∠DEN＝∠MEF，又∠DNE＝∠FME＝90°，在△DEN和△FEM中，，∴△DEN≌△FEM（ASA），∴ED＝EF，∴矩形DEFG為正方形，②解：CE+CG的值為定值，理由如下：∵矩形DEFG為正方形，∴DE＝DG，∠EDC+∠CDG＝90°，∵四邊形ABCD是正方形，∵AD＝DC，∠ADE+∠EDC＝90°，∴∠ADE＝∠CDG，在△ADE和△CDG中，，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴AE＝CG，∴AC＝AE+CEAB24，∴CE+CG＝4是定值．【點睛】（1）作出輔助線，得到EN＝EM，然后判斷∠DEN＝∠FEM，得到△DEN≌△FEM，則有DE＝EF即可；（2）同（1）的方法證出△ADE≌△CDG得到CG＝AE，得出CE+CG＝CE+AE＝AC＝4即可．此題是四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質，矩形的性質，矩形的判定，三角形的全等的性質和判定，勾股定理，解本題的關鍵是作出輔助線，判斷三角形全等．【鞏固練習】1．在四邊形ABCD中，O是對角線AC、BD的交點，能判定這個四邊形為正方形的是（）A．AD∥BC，∠B＝∠D B．AC＝BD，AB＝CD，AD＝BC C．OA＝OC，OB＝OD，AB＝BC D．OA＝OB＝OC＝OD，AC⊥BD【答案】D【解析】解：因為對角線相等，且互相垂直平分的四邊形是正方形，故選D．2．如圖，在△ABC中，點E、D、F分別在邊AB、BC、CA上，且DE∥CA，DF∥BA，下列四個判斷中，不正確的是（）A．四邊形AEDF是平行四邊形 B．如果AD＝EF，那么四邊形AEDF是矩形 C．如果AD平分∠EAF，那么四邊形AEDF是菱形 D．如果AD⊥BC且AB＝AC，那么四邊形AEDF是正方形【答案】D【解析】解：A、因為DE∥CA，DF∥BA，所以四邊形AE