專項25概率(三大考點)(原卷版+解析)

專項25概率（三大考點）【考點1隨機事件與概率】【典例1】下列事件中，是必然事件的是（）A．通常加熱到100°C時，水沸騰 B．擲一次骰子，向上一面的點數是6 C．經過有交通信號燈的路口，遇到紅燈 D．射擊運動員射擊次，命中靶心【變式1】下列事件是必然事件的是（）A．2021年7月12日青川縣的天氣是晴天 B．從一副撲克中任意抽出一張是黑桃 C．在一個三角形中，任意兩邊之和大于第三邊 D．打開電視，正在播廣告【典例2】一個不透明的布袋中裝有1個白球和2個紅球，它們除顏色不同以外其他都相同，從布袋中任意摸出一個球是白球的概率為（）A． B． C． D．1【變式2】如圖是一個可自由轉動的轉盤，轉動轉盤一次，當轉盤停止轉動后，指針落在數字“Ⅳ”所示區(qū)域內的概率是（）A． B． C． D．【典例3】由三個正方形彼此嵌套組成一個如圖所示的圖案，其中每個內層正方形的頂點都是其外層正方形邊的中點，在該圖案上任意取點，恰好取在空白區(qū)域的概率是（）A． B． C． D．【變式3-1】（2021春?沙坪壩區(qū)校級期末）在一個不透明的盒子中裝有18個除顏色不同外，其余均相同的小球，共有白色、黃色和紅色三種顏色，若從中隨機摸出一個球為白球的概率是，為黃球的概率是，則紅球的個數為（）A．3 B．4 C．6 D．9【變式3-2】如圖，在3×3的正方形網格中，已有兩個小正方形被涂黑，再將圖中剩余的編號1﹣5的小正方形中任意一個涂黑，則3個被涂黑的正方形組成的圖案是一個軸對稱圖形的概率是（）A．1 B． C． D．【考點2用列舉法求概率】【典例4】某電視臺的一檔娛樂性節(jié)目中，在游戲PK環(huán)節(jié)，為了隨機分選游戲雙方的組員，主持人設計了以下游戲：用不透明的紅布包住三根顏色長短相同的細繩AA1、BB1、CC1，只露出它們的頭和尾（如圖所示），由甲、乙兩位嘉賓分別從紅布兩端各選兩根細繩打個結，若拿開紅布，三根細繩連成一條，則稱兩人一條心，分在同隊；否則互為反方隊員．（1）若甲嘉賓隨意打了個結，求他恰好將AA1和BB1連成一條的概率．（2）請用畫樹狀圖法或列表法，求甲、乙兩位嘉賓能分在同隊的概率．【變式4-1】如圖，湖邊建有A，B，C，D共4座涼亭，某同學計劃將這4座涼亭全部參觀一遍，從入口處進，先經過涼亭A，接下來參觀涼亭B或涼亭C（已經參觀過的涼亭，再次經過時不作停留），則最后一次參觀的涼亭為涼亭D的概率為（）A． B． C． D．【變式4-2】在今年“十一”期間，小康和小明兩家準備從華山、華陽古鎮(zhèn)，太白山三個著名景點中分別選擇一個景點旅游，他們兩家去同一景點旅游的概率是（）A． B． C． D．【變式4-3】一只不透明的袋子中裝有3個大小、質地完全相同的乒乓球，球面上分別標有數字1、2、3，攪勻后先從袋子中任意摸出1個球，記下數字后放回，攪勻后再從袋子中任意摸出1個球，記下數字．（1）第一次摸到標有偶數的乒乓球的概率是；（2）用畫樹狀圖或列表等方法求兩次都摸到標有奇數的乒乓球的概率．【典例5】為提升學生的藝術素養(yǎng)，學校計劃開設四門藝術選修課：A．書法；B．繪畫；C．樂器；D．舞蹈．為了解學生對四門功課的喜歡情況，在全校范圍內隨機抽取若干名學生進行問卷調查（每個被調查的學生必須選擇而且只能選擇其中一門）．將數據進行整理，并繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖，請結合圖中所給信息解答下列問題：（1）本次調查的學生共有人；扇形統(tǒng)計圖中∠α＝度；（2）請把條形統(tǒng)計圖補充完整；（3）學校為舉辦2021年度校園文化藝術節(jié)，決定從A．書法；B．繪畫；C．樂器；D．舞蹈四項藝術形式中選擇其中兩項組成一個新的節(jié)目形式，請用列表法或樹狀圖求出選中書法與樂器組合在一起的概率．【變式5】某校以“我最喜愛的書籍”為主題，對全校學生進行隨機抽樣調查，每個被調查的學生必須從“科普”、“繪畫”、“詩歌”、“散文”四類書籍中選擇最喜歡的一類，學校的調查結果如圖：根據圖中信息解答下列問題：（1）本次被調查的學生有人，“散文”類所對應的圓心角的度數為；（2）請補全條形統(tǒng)計圖；（3）該校共有2500名學生，根據調查結果估計該校喜歡“繪畫”的學生人數；（4）最喜愛“科普”類的4名學生中有1名女生，3名男生，現(xiàn)從4名學生中隨機抽取兩人參加學校舉辦的科普知識宣傳活動，請用列表或畫樹狀圖的方法求出所選的兩人恰好都是男生的概率．【考點3用頻率估計概率】【典例6】小明在一次用頻率估計概率的實驗中，統(tǒng)計了某一結果出現(xiàn)的頻率，并繪制了如圖所示的統(tǒng)計圖，則符合這一結果的實驗可能是（）A．從一個裝有2個白球和1個紅球的不透明袋子中任意摸出一球（小球除顏色外，完全相同），摸到紅球的概率 B．擲一枚質地均勻的硬幣，正面朝上的概率 C．從一副去掉大小王的撲克牌，任意抽取一張，抽到黑桃的概率 D．任意買一張電影票，座位號是2的倍數的概率【變式6-1】在一個不透明的口袋中裝有4個紅球，5個白球和若干個黑球，它們除顏色外其他完全相同，通過多次摸球試驗后發(fā)現(xiàn)，摸到白球的頻率穩(wěn)定在25%附近，則口袋中黑球可能有（）個．A．10個 B．11個 C．12個 D．13個【變式6-2】如圖①所示，平整的地面上有一個不規(guī)則圖案（圖中陰影部分），小明想了解該圖案的面積是多少，他采取了以下辦法：用一個面積為20cm2的長方形，將不規(guī)則圖案圍起來，然后在適當位置隨機地朝長方形區(qū)域扔小球，并記錄小球落在不規(guī)則圖案上的次數（球扔在界線上或長方形區(qū)域外不計試驗結果），他將若干次有效試驗的結果繪制成了②所示的折線統(tǒng)計圖，由此他估計不規(guī)則圖案的面積大約為（）A．6cm2 B．7cm2 C．8cm2 D．9cm21．翻開魯教版八年級下冊數學課本，恰好是45頁，這個事件是（）A．不可能事件 B．隨機事件 C．必然事件 D．無法確定2．一只螞蟻在如圖所示的樹枝上尋覓食物，假定螞蟻在每個岔路口都會隨機選擇一條路徑，則它獲取食物的概率是（）A． B． C． D．3任意擲一枚質地均勻的骰子，擲出的點數大于4的概率是（）A． B． C． D．4．一位批發(fā)商從某服裝制造公司購進60包型號為L的襯衫，由于包裝工人疏忽，在包裹中混進了型號為M的襯衫，每包混入的M號襯衫數及相應的包數如表所示．M號襯衫數13457包數207101112一位零售商從60包中任意選取一包，則包中混入M號襯衫數不超過3的概率是（）A． B． C． D．5．在擲硬幣的試驗中，正確的是（）A．老師安排每位同學回家做試驗，硬幣自由選取 B．老師安排同學回家做試驗，硬幣統(tǒng)一發(fā)（完全一樣的）．同學交來的結果，老師挑選他滿意的進行統(tǒng)計，他不滿意的就不要 C．甲做了2000次，得出正面向上的機率是46%，于是他斷定在做第2001次時，正面不會向上 D．乙認為一次一次做，速度太慢，他拿來了大量完全一樣的硬幣，隨意朝上輕輕拋出，然后統(tǒng)計正面向上的次數，這樣大大提高了速度6．甲袋中裝有2張相同的卡片，顏色分別為紅色和黃色；乙袋中裝有3張相同的卡片，顏色分別為紅色、黃色、綠色．從這兩個口袋中各隨機抽取1張卡片，取出的兩張卡片中至少有一張是紅色的概率是（）A． B． C． D．7．不透明的盒子里有3個形狀、大小、質地完全相同的小球，上面分別標記數字1、2、3，從中隨機抽出一個小球，放回后再隨機抽出1個小球，把第1次抽出的小球上的數字作為兩位數a的十位數字，第2次抽出的小球上的數字作為兩位數a的個位數字，則兩位數a是3的倍數的概率為（）A． B． C． D．8．從甲、乙、丙三人中任選兩人參加“青年志愿者”活動，甲被選中的概率為（）A． B． C． D．9．（2021春?溫江區(qū)校級期末）一個不透明的袋子里裝有黃球18個和紅球若干，小明通過多次摸球試驗后發(fā)現(xiàn)摸到紅球的頻率穩(wěn)定在0.4左右，則袋子里有紅球（）個．A．6 B．12 C．18 D．2410．一只不透明的袋中裝有除顏色外都相同的紅球、黃球、白球共50個．通過多次摸球試驗后，發(fā)現(xiàn)摸到紅球、黃球的頻率分別是0.3、0.5．則可估計袋中白球的個數是（）A．10 B．15 C．20 D．2511．現(xiàn)有分別畫有等邊三角形、正方形、平行四邊形、等腰梯形的四張相同的卡片，從中任選兩張，選出的卡片上的圖形恰好同為中心對稱圖形的概率是．12從﹣2，0，2這三個數中，任取兩個不同的數分別作為a，b的值，恰好使得關于x的方程x2+ax﹣b＝0有實數解的概率為．13．交通道路的不斷完善，帶動了旅游業(yè)的發(fā)展，某市旅游景區(qū)有A、B、C、D、E等著名景點，該市旅游部門繪制出2021年五一小長假期間旅游情況統(tǒng)計圖，根據信息解答下列問題：（1）五一小長假期間，該市旅游景區(qū)景點共接待游客50萬人，請補全條形統(tǒng)計圖．（2）根據2021年到該市旅游人數的情況，預計2022年五一小長假期間將有80萬游客選擇該市旅游，請估計有多少萬人會選擇去E景點旅游？（3）甲、乙兩個旅行團在A、B、D三個景點中任選一個景點旅游，求兩個旅行團同時選擇去同一景點的概率是多少？專項25概率（三大考點）【考點1隨機事件與概率】【典例1】下列事件中，是必然事件的是（）A．通常加熱到100°C時，水沸騰 B．擲一次骰子，向上一面的點數是6 C．經過有交通信號燈的路口，遇到紅燈 D．射擊運動員射擊次，命中靶心【答案】A【解答】解：A、通常加熱到100°C時，水沸騰，是必然事件，符合題意；B、擲一次骰子，向上一面的點數是6，是隨機事件，不符合題意；C、經過有交通信號燈的路口，遇到紅燈，是隨機事件，不符合題意；D、射擊運動員射擊次，命中靶心，是隨機事件，不符合題意；故選：A．【變式1】下列事件是必然事件的是（）A．2021年7月12日青川縣的天氣是晴天 B．從一副撲克中任意抽出一張是黑桃 C．在一個三角形中，任意兩邊之和大于第三邊 D．打開電視，正在播廣告【答案】C【解答】解：A、2021年7月12日青川縣的天氣是晴天，是隨機事件，不符合題意；B、從一副撲克中任意抽出一張是黑桃，是隨機事件，不符合題意；C、在一個三角形中，任意兩邊之和大于第三邊，是必然事件，符合題意；D、打開電視，正在播廣告，是隨機事件，不符合題意；故選：C．【典例2】一個不透明的布袋中裝有1個白球和2個紅球，它們除顏色不同以外其他都相同，從布袋中任意摸出一個球是白球的概率為（）A． B． C． D．1【答案】A【解答】解：一共有3個球，其中白球有1個，因此摸出一球是白球的概率為，故選：A．【變式2】如圖是一個可自由轉動的轉盤，轉動轉盤一次，當轉盤停止轉動后，指針落在數字“Ⅳ”所示區(qū)域內的概率是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：由題意知，指針落在數字“Ⅳ”所示區(qū)域內的概率是＝，故選：D．【典例3】由三個正方形彼此嵌套組成一個如圖所示的圖案，其中每個內層正方形的頂點都是其外層正方形邊的中點，在該圖案上任意取點，恰好取在空白區(qū)域的概率是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：觀察這個圖可知：空白區(qū)域占，故其概率等于．故選：B．【變式3-1】（2021春?沙坪壩區(qū)校級期末）在一個不透明的盒子中裝有18個除顏色不同外，其余均相同的小球，共有白色、黃色和紅色三種顏色，若從中隨機摸出一個球為白球的概率是，為黃球的概率是，則紅球的個數為（）A．3 B．4 C．6 D．9【答案】A【解答】解：根據題意知，白色球的個數為18×＝6（個），黃色球的個數為18×＝9（個），所以紅色球的個數為18﹣6﹣9＝3（個），故選：A【變式3-2】如圖，在3×3的正方形網格中，已有兩個小正方形被涂黑，再將圖中剩余的編號1﹣5的小正方形中任意一個涂黑，則3個被涂黑的正方形組成的圖案是一個軸對稱圖形的概率是（）A．1 B． C． D．【答案】B【解答】解：選擇一個正方形涂黑，使得3個涂黑的正方形組成軸對稱圖形，選擇的位置有以下幾種：1處，2處，4處，5處，選擇的位置共有4處，其概率為．故選：【考點2用列舉法求概率】【典例4】某電視臺的一檔娛樂性節(jié)目中，在游戲PK環(huán)節(jié)，為了隨機分選游戲雙方的組員，主持人設計了以下游戲：用不透明的紅布包住三根顏色長短相同的細繩AA1、BB1、CC1，只露出它們的頭和尾（如圖所示），由甲、乙兩位嘉賓分別從紅布兩端各選兩根細繩打個結，若拿開紅布，三根細繩連成一條，則稱兩人一條心，分在同隊；否則互為反方隊員．（1）若甲嘉賓隨意打了個結，求他恰好將AA1和BB1連成一條的概率．（2）請用畫樹狀圖法或列表法，求甲、乙兩位嘉賓能分在同隊的概率．【解答】解：（1）甲嘉賓隨意打了個結，有3種可能的結果，所以他恰好將AA1和BB1連成一條的概率＝；（2）畫樹狀圖為：共有9種等可能的結果，其中三根細繩連成一條的結果數為3，所以甲、乙兩位嘉賓能分在同隊的概率＝＝．【變式4-1】如圖，湖邊建有A，B，C，D共4座涼亭，某同學計劃將這4座涼亭全部參觀一遍，從入口處進，先經過涼亭A，接下來參觀涼亭B或涼亭C（已經參觀過的涼亭，再次經過時不作停留），則最后一次參觀的涼亭為涼亭D的概率為（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：根據題意畫圖如下：共有12種等可能的情況數，其中最后一次參觀的涼亭為涼亭D的有6種，則最后一次參觀的涼亭為涼亭D的概率為＝；故選：C．【變式4-2】在今年“十一”期間，小康和小明兩家準備從華山、華陽古鎮(zhèn)，太白山三個著名景點中分別選擇一個景點旅游，他們兩家去同一景點旅游的概率是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：華山、華陽古鎮(zhèn)，太白山分別用A、B、C表示，根據題意畫樹狀圖為：共有9種等可能的結果數，其中他們兩家抽到同一景點的結果數為3，所以兩家去同一景點的概率＝＝．故選：B．【變式4-3】一只不透明的袋子中裝有3個大小、質地完全相同的乒乓球，球面上分別標有數字1、2、3，攪勻后先從袋子中任意摸出1個球，記下數字后放回，攪勻后再從袋子中任意摸出1個球，記下數字．（1）第一次摸到標有偶數的乒乓球的概率是；（2）用畫樹狀圖或列表等方法求兩次都摸到標有奇數的乒乓球的概率．【解答】解：∵袋中共有3個分別標有數字1、2、3的小球，數字2為偶數，∴第一次摸到標有偶數的乒乓球的概率是．故答案為：．（2）畫樹狀圖如下：共有9種等可能的結果，其中兩次都摸到標有奇數的乒乓球的結果有：（1，1），（1，3），（3，1），（3，3），共4種，∴兩次都摸到標有奇數的乒乓球的概率為．【典例5】為提升學生的藝術素養(yǎng)，學校計劃開設四門藝術選修課：A．書法；B．繪畫；C．樂器；D．舞蹈．為了解學生對四門功課的喜歡情況，在全校范圍內隨機抽取若干名學生進行問卷調查（每個被調查的學生必須選擇而且只能選擇其中一門）．將數據進行整理，并繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖，請結合圖中所給信息解答下列問題：（1）本次調查的學生共有40人；扇形統(tǒng)計圖中∠α＝108度；（2）請把條形統(tǒng)計圖補充完整；（3）學校為舉辦2021年度校園文化藝術節(jié)，決定從A．書法；B．繪畫；C．樂器；D．舞蹈四項藝術形式中選擇其中兩項組成一個新的節(jié)目形式，請用列表法或樹狀圖求出選中書法與樂器組合在一起的概率．【解答】解：（1）本次調查的學生總人數為4÷10%＝40（人），∠α＝360°×（1﹣10%﹣20%﹣40%）＝108°．故答案為：40；108．（2）選擇C科目的人數為40×（1﹣10%﹣20%﹣40%）＝12（人），補全條形統(tǒng)計圖如下：（3）畫樹狀圖如下：共有12種等可能的結果，其中選中書法與樂器組合在一起的結果有2種，∴選中書法與樂器組合在一起的概率為．【變式5】某校以“我最喜愛的書籍”為主題，對全校學生進行隨機抽樣調查，每個被調查的學生必須從“科普”、“繪畫”、“詩歌”、“散文”四類書籍中選擇最喜歡的一類，學校的調查結果如圖：根據圖中信息解答下列問題：（1）本次被調查的學生有人，“散文”類所對應的圓心角的度數為；（2）請補全條形統(tǒng)計圖；（3）該校共有2500名學生，根據調查結果估計該校喜歡“繪畫”的學生人數；（4）最喜愛“科普”類的4名學生中有1名女生，3名男生，現(xiàn)從4名學生中隨機抽取兩人參加學校舉辦的科普知識宣傳活動，請用列表或畫樹狀圖的方法求出所選的兩人恰好都是男生的概率．【解答】解：（1）本次被調查的學生有20÷40%＝50（人），“散文”類所對應的圓心角的度數為×360°＝72°．故答案為：50；72°．（2）喜歡“繪畫”的學生人數為50﹣4﹣20﹣10＝16（人）．補全條形統(tǒng)計圖如圖所示．（3）2500＝800（人）．∴估計該校喜歡“繪畫”的學生人數有800人．（4）畫樹狀圖如下：共有12種等可能的結果，其中所選的兩人恰好都是男生的結果有6種，∴所選的兩人恰好都是男生的概率為＝．【考點3用頻率估計概率】【典例6】小明在一次用頻率估計概率的實驗中，統(tǒng)計了某一結果出現(xiàn)的頻率，并繪制了如圖所示的統(tǒng)計圖，則符合這一結果的實驗可能是（）A．從一個裝有2個白球和1個紅球的不透明袋子中任意摸出一球（小球除顏色外，完全相同），摸到紅球的概率 B．擲一枚質地均勻的硬幣，正面朝上的概率 C．從一副去掉大小王的撲克牌，任意抽取一張，抽到黑桃的概率 D．任意買一張電影票，座位號是2的倍數的概率【答案】A【解答】解：A、從一個裝有2個白球和1個紅球的不透明袋子中任意摸出一球（小球除顏色外，完全相同），摸到紅球的概率為，故此選項符合題意；B、擲一枚硬幣，出現(xiàn)正面朝上的概率為，故此選項不符合題意；C、從一副去掉大小王的撲克牌，任意抽取一張，抽到黑桃的概率＝；故此選項不符合題意；D、任意買一張電影票，座位號是2的倍數的概率不確定，故此選項不符合題意；故選：A．【變式6-1】在一個不透明的口袋中裝有4個紅球，5個白球和若干個黑球，它們除顏色外其他完全相同，通過多次摸球試驗后發(fā)現(xiàn)，摸到白球的頻率穩(wěn)定在25%附近，則口袋中黑球可能有（）個．A．10個 B．11個 C．12個 D．13個【答案】B【解答】解：設黑球個數為：x個，∵摸到白色球的頻率穩(wěn)定在25%左右，∴口袋中得到白色球的概率為25%，∴＝0.25，解得：x＝11，故黑球的個數為11個．故選：B．【變式6-2】如圖①所示，平整的地面上有一個不規(guī)則圖案（圖中陰影部分），小明想了解該圖案的面積是多少，他采取了以下辦法：用一個面積為20cm2的長方形，將不規(guī)則圖案圍起來，然后在適當位置隨機地朝長方形區(qū)域扔小球，并記錄小球落在不規(guī)則圖案上的次數（球扔在界線上或長方形區(qū)域外不計試驗結果），他將若干次有效試驗的結果繪制成了②所示的折線統(tǒng)計圖，由此他估計不規(guī)則圖案的面積大約為（）A．6cm2 B．7cm2 C．8cm2 D．9cm2【答案】B【解答】解：假設不規(guī)則圖案的面積為xcm2，由已知得：長方形面積為20cm2，根據幾何概率公式小球落在不規(guī)則圖案的概率為：，當事件A試驗次數足夠多，即樣本足夠大時，其頻率可作為事件A發(fā)生的概率估計值，故由折線圖可知，小球落在不規(guī)則圖案的概率大約為0.35，綜上：，解得：x＝7，∴不規(guī)則圖案的面積大約為7cm2，故選：B．1．翻開魯教版八年級下冊數學課本，恰好是45頁，這個事件是（）A．不可能事件 B．隨機事件 C．必然事件 D．無法確定【答案】B【解答】解：翻開魯教版八年級下冊數學課本，恰好是45頁，這個事件是隨機事件，故選：B．2．一只螞蟻在如圖所示的樹枝上尋覓食物，假定螞蟻在每個岔路口都會隨機選擇一條路徑，則它獲取食物的概率是（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：根據樹狀圖，螞蟻獲取食物的概率是＝．故選：C．3任意擲一枚質地均勻的骰子，擲出的點數大于4的概率是（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：∵任意擲一枚質地均勻的骰子，共有6種等可能的結果，且擲出的點數大于4的有2種情況，∴任意擲一枚質地均勻的骰子，擲出的點數大于4的概率是：＝．故選：A．4．一位批發(fā)商從某服裝制造公司購進60包型號為L的襯衫，由于包裝工人疏忽，在包裹中混進了型號為M的襯衫，每包混入的M號襯衫數及相應的包數如表所示．M號襯衫數13457包數207101112一位零售商從60包中任意選取一包，則包中混入M號襯衫數不超過3的概率是（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：一位零售商從60包中任意選取一包，包中混入M號襯衫數不超過3的概率＝＝．故選：C．5．在擲硬幣的試驗中，正確的是（）A．老師安排每位同學回家做試驗，硬幣自由選取 B．老師安排同學回家做試驗，硬幣統(tǒng)一發(fā)（完全一樣的）．同學交來的結果，老師挑選他滿意的進行統(tǒng)計，他不滿意的就不要 C．甲做了2000次，得出正面向上的機率是46%，于是他斷定在做第2001次時，正面不會向上 D．乙認為一次一次做，速度太慢，他拿來了大量完全一樣的硬幣，隨意朝上輕輕拋出，然后統(tǒng)計正面向上的次數，這樣大大提高了速度【答案】D【解答】解：A、應選擇相同的硬幣，在類似的條件下試驗，故錯誤，不符合題意；B、所有的試驗結果都是有可能發(fā)生，也有可能不發(fā)生的，故錯誤，不符合題意；C、在做第2001次時，正面由可能向上，也有可能向下，故錯誤，不符合題意；D、符合模擬試驗的條件，正確，符合題意．故選：D．6．甲袋中裝有2張相同的卡片，顏色分別為紅色和黃色；乙袋中裝有3張相同的卡片，顏色分別為紅色、黃色、綠色．從這兩個口袋中各隨機抽取1張卡片，取出的兩張卡片中至少有一張是紅色的概率是（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：畫樹狀圖如圖：共有6個等可能的結果，取出的兩張卡片中至少有一張是紅色的結果有4個，∴取出的兩張卡片中至少有一張是紅色的概率為＝，故選：A．7．不透明的盒子里有3個形狀、大小、質地完全相同的小球，上面分別標記數字1、2、3，從中隨機抽出一個小球，放回后再隨機抽出1個小球，把第1次抽出的小球上的數字作為兩位數a的十位數字，第2次抽出的小球上的數字作為兩位數a的個位數字，則兩位數a是3的倍數的概率為（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：畫樹狀圖得：共有9種等可能的情況，其中能被3整除的有12，21，33共3種情況，所以兩位數a是3的倍數的概率為＝，故選：A．8．從甲、乙、丙三人中任選兩人參加“青年志愿者”活動，甲被選中的概率為（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：根據題意畫圖如下：共有6種等可能的結果數，其中甲被選中的結果有4種，則甲被選中的概率為＝．故選：B．9．（2021春?溫江區(qū)校級期末）一個不透明的袋子里裝有黃球18個和紅球若干，小明通過多次摸球試驗后發(fā)現(xiàn)摸到紅球的頻率穩(wěn)定在0.4左右，則袋子里有紅球（）個．A．6 B．12 C．18 D．24【答案】B【解答】解：設有紅色球x個，根據題意得：＝0.4，解得：x＝12，經檢驗，x＝12是分式方程的解且符合題意．故選：B．10．一只不透明的袋中裝有除顏色外都相同的紅球、黃球、白球共50個．通過多次摸球試驗后，發(fā)現(xiàn)摸到紅球、黃球的頻率分別是0.3、0.5．