第7章《平行線的證明》

20222023學(xué)年北師大版數(shù)學(xué)八年級上冊章節(jié)考點(diǎn)精講精練第7章《平行線的證明》知識互聯(lián)網(wǎng)知識互聯(lián)網(wǎng)知識導(dǎo)航知識導(dǎo)航知識點(diǎn)01：定義、命題及證明1.定義：一般地，用來說明一個(gè)名詞或者一個(gè)術(shù)語的意義的句子叫做定義.2.命題：判斷一件事情的句子，叫做命題.

細(xì)節(jié)剖析：（1）命題一般由條件和結(jié)論組成.

（2）正確的命題稱為真命題，不正確的命題稱為假命題.

（3）公認(rèn)的真命題叫做公理.(4)經(jīng)過證明的真命題稱為定理.3.證明:除了公理外，其它的真命題的正確性都要通過推理的方法進(jìn)行證實(shí)，這種演繹推理的過程叫做證明.

細(xì)節(jié)剖析：實(shí)驗(yàn)、觀察、操作所得出的結(jié)論不一定都正確，必須推理論證后才能得出正確的結(jié)論．知識點(diǎn)02：平行線的判定與性質(zhì)1．平行線的判定判定方法1：同位角相等，兩直線平行．判定方法2：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行．判定方法3：同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行．細(xì)節(jié)剖析：根據(jù)平行線的定義和平行公理的推論，平行線的判定方法還有：（1）平行線的定義：在同一平面內(nèi)，如果兩條直線沒有交點(diǎn)（不相交），那么兩直線平行.（2）如果兩條直線都平行于第三條直線，那么這兩條直線平行（平行線的傳遞性）.（3）在同一平面內(nèi)，垂直于同一直線的兩條直線平行.（4）平行公理：經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行.2．平行線的性質(zhì)性質(zhì)1：兩直線平行，同位角相等；性質(zhì)2：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；性質(zhì)3：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ).細(xì)節(jié)剖析：根據(jù)平行線的定義和平行公理的推論，平行線的性質(zhì)還有：（1）若兩條直線平行，則這兩條直線在同一平面內(nèi)，且沒有公共點(diǎn)．（2）如果一條直線與兩條平行線中的一條直線垂直，那么它必與另一條直線垂直．知識點(diǎn)03：三角形的內(nèi)角和定理及推論三角形的內(nèi)角和定理：三角形的內(nèi)角和等于180°．推論：（1）三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．（2）三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角．細(xì)節(jié)剖析：（1）由一個(gè)公理或定理直接推出的真命題，叫做這個(gè)公理或定理的推論.（2）推論可以當(dāng)做定理使用.考點(diǎn)提優(yōu)練考點(diǎn)提優(yōu)練考點(diǎn)01：平行線的判定1．（2021秋?城陽區(qū)期末）如圖，∠C+∠D＝180°，∠DAE＝3∠EBF，∠EBF＝27°，點(diǎn)G是AB上的一點(diǎn)，若∠AGF＝102°，∠BAF＝34°，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．∠AFB＝81° B．∠E＝54° C．AD∥BC D．BE∥FG解：∵∠C+∠D＝180°，∴AD∥BC，故選項(xiàng)C正確，不符合題意；∴∠DAE＝∠CFE，∵∠CFE＝∠EBF+∠BEF，∠DAE＝3∠EBF，∠EBF＝27°，∴∠CFE＝3∠EBF＝81°，∠BEF＝54°，故選項(xiàng)B正確，不符合題意；∴∠AFB＝∠CFE＝81°，故選項(xiàng)A正確，不符合題意；∵∠AGF＝102°，∠BAF＝34°，∴∠AFG＝44°，∵∠E＝54°，∴∠AFG≠∠E，∴BE和FG不平行，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤，符合題意；故選：D．2．（2022春?番禺區(qū)期末）如圖，下面推理中，正確的是（）A．∵∠DAE＝∠D，∴AD∥BC B．∵∠DAE＝∠B，∴AB∥CD C．∵∠B+∠C＝180°，∴AB∥CD D．∵∠D+∠B＝180°，∴AD∥BC解：∵∠B+∠C＝180°，∴AB∥CD，故選：C．3．（2021春?鐵西區(qū)期末）如圖，某工件要求AB∥ED，質(zhì)檢員小李量得∠ABC＝146°，∠BCD＝60°，∠EDC＝154°，則此工件合格．（填“合格”或“不合格”）解：作CF∥AB，如圖所示：則∠ABC+∠1＝180°，∴∠1＝180°﹣146°＝34°，∴∠2＝∠BCD﹣∠1＝60°﹣34°＝26°，∵∠2+∠EDC＝26°+154°＝180°，∴CF∥ED，∴AB∥ED；故答案為：合格．4．（2018秋?平度市期末）如圖，已知直線EF⊥MN垂足為F，且∠1＝140°，則當(dāng)∠2等于50°時(shí)，AB∥CD．解：∵AB∥CD，∴∠3＝∠4（兩直線平行，同位角相等）；又∵∠1+∠3＝180°（平角的定義），∠1＝140°（已知），∴∠3＝∠4＝40°；∵EF⊥MN，∴∠2+∠4＝90°，∴∠2＝50°；故答案為：50°5．（2021秋?市北區(qū)期末）如圖，已知∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B，求證：DE∥BC．證明：∵∠1+∠2＝180°（已知）∵∠1＝∠4（對頂角相等）∴∠2+∠4＝180°（等量代換）∴AB∥EF（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）∴∠3＝∠ADE（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）又∵∠3＝∠B（已知）∴∠B＝∠ADE（等量代換）∴DE∥BC（同位角相等，兩直線平行）6．（2021秋?東西湖區(qū)期中）如圖，∠B＝42°，∠A+10°＝∠ACB，∠ACD＝64°．求證：AB∥CD．證明：∵∠A+∠ACB+∠B＝180°，∠A+10°＝∠ACB，∴∠A+（∠A+10°）+∠B＝180°∴∠A＝64°，∵∠ACD＝64°，∴∠A＝∠ACD，∴AB∥CD（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）．7．（2020春?東平縣期末）已知：DE⊥AO于E，BO⊥AO，∠CFB＝∠EDO，試說明：CF∥DO．解：∵DE⊥AO于E，BO⊥AO，∴DE∥OB，∴∠EDO＝∠DOF，∵∠CFB＝∠EDO，∴∠CFB＝∠DOF，∴CF∥DO．考點(diǎn)02：平行線的性質(zhì)8．（2022秋?惠陽區(qū)校級月考）如圖，AB∥EF，C點(diǎn)在EF上，∠EAC＝∠ECA，BC平分∠DCF，且AC⊥BC．則關(guān)于結(jié)論①AE∥CD；②∠BDC＝2∠1，下列判斷正確的是（）A．①②都正確 B．①②都錯(cuò)誤 C．①正確，②錯(cuò)誤 D．①錯(cuò)誤，②正確解：∵AB∥EF，∴∠ECA＝∠BAC，∠BCF＝∠B，∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°，∴∠1+∠BCD＝90°，∠ECA+∠BCF＝90°，∵BC平分∠DCF，∴∠BCD＝∠BCF，∴∠1＝∠ECA，∴AC平分∠DCE，∵∠EAC＝∠ECA，∴∠EAC＝∠1，∴AE∥CD，①正確；∵∠1＝∠ECA＝∠BAC，∠BDC＝∠BAC+∠1，∴∠BDC＝2∠1，②正確；故選：A．9．（2022秋?臨洮縣校級月考）如圖，直線CE∥DF，∠CAB＝125°，∠ABD＝85°，則∠1+∠2＝（）A．15° B．25° C．30° D．45°解：∵CE∥DF，∴∠CEA+∠DFB＝180°，∵∠1+∠CEA＝125°，∠2+DFB＝85°，∴∠1+∠CEA+∠2+DFB＝125°+85°，∴∠1+∠2＝210°﹣180°＝30°．故選：C．10．（2022?柯城區(qū)校級開學(xué)）如圖，QP∥MN，A，B分別為直線MN，PQ上兩點(diǎn)，且∠BAN＝60°，射線AE從AM開始繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)至AN后立即回轉(zhuǎn)，然后以不變的速度在AM和AN之間不停地來回旋轉(zhuǎn)，射線BF從BQ繞點(diǎn)B按逆時(shí)針方向同時(shí)開始旋轉(zhuǎn)，射線AE轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是4°/s，射線BF轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是1°/s，在射線BF到達(dá)BP之前，有2次射線AE與射線BF互相平行，時(shí)間分別是36或60s．解：設(shè)射線AE從AM開始繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)ts時(shí)，射線AE與射線BF互相平行．分三種情況：①如圖，當(dāng)0＜t＜45時(shí)，∠QBF＝t°，∠MAE＝（4t）°，∵PQ∥MN，∠BAN＝60°，∴∠ABQ＝∠BAN＝60°，∴∠MAB＝180°﹣∠BAN＝120°，∴∠ABF＝60°﹣t°，∠BAE＝∠MAE﹣∠MAB＝（4t）°﹣120°，當(dāng)∠ABF＝∠BAE時(shí)，AE∥BF，此時(shí)，60﹣t＝4t﹣120，解得t＝36；②當(dāng)45≤t≤60時(shí)，∠QBF＝t°，∠NAE＝（4t）°﹣180°，∠BAE＝60°﹣[（4t）°﹣180°]＝240°﹣（4t）°，∵PQ∥MN，∠BAN＝60°，∴∠ABQ＝∠BAN＝60°，∴∠MAB＝180°﹣∠BAN＝120°，∴∠ABF＝60°﹣t°，∠BAE＝240°﹣（4t）°，當(dāng)∠ABF＝∠BAE時(shí)，AE∥BF，此時(shí)，60﹣t＝240﹣4t，解得t＝60；③如圖，當(dāng)60≤t＜180時(shí)，∠QBF＝t°，∠NAE＝（4t）°﹣180°，∠BAE＝[（4t）°﹣180°]﹣60°＝（4t）°﹣240°，∵PQ∥MN，∠BAN＝60°，∴∠ABQ＝∠BAN＝60°，∴∠MAB＝180°﹣∠BAN＝120°，∴∠ABF＝t°﹣60°，∠BAE＝240°﹣（4t）°，當(dāng)∠ABF＝∠BAE時(shí)，AE∥BF，此時(shí)，t﹣60＝4t﹣240，解得t＝60；綜上所述，在射線BF到達(dá)BP之前，有2次射線AE與射線BF互相平行，時(shí)間分別是36或60s．故答案為：2，36或60．11．（2022?豐順縣校級開學(xué)）如圖，已知直線AB，CD被直線AC所截，AB∥CD，E是平面內(nèi)任意一點(diǎn)（點(diǎn)E不在直線AB，CD，AC上），設(shè)∠BAE＝α，∠DCE＝β．下列各式：①α+β，②α﹣β，③β﹣α，④，⑤360°﹣α﹣β，可以表示∠AEC的度數(shù)的是①②③⑤．（填序號）解：（1）如圖1，由AB∥CD，可得∠AOC＝∠DCE1＝β，∵∠AOC＝∠BAE1+∠AE1C，∴∠AE1C＝β﹣α．（2）如圖2，過E2作AB平行線，則由AB∥CD，可得∠1＝∠BAE2＝α，∠2＝∠DCE2＝β，∴∠AE2C＝α+β．當(dāng)AE2平分∠BAC，CE2平分∠ACD時(shí)，∠BAE2+∠DCE2＝（∠BAC+∠ACD）＝×180°＝90°，即α+β＝90°，又∵∠AE2C＝∠BAE2+∠DCE2，∴∠AE2C＝180°﹣（α+β）＝180°﹣α﹣β；（3）如圖3，由AB∥CD，可得∠BOE3＝∠DCE3＝β，∵∠BAE3＝∠BOE3+∠AE3C，∴∠AE3C＝α﹣β．（4）如圖4，由AB∥CD，可得∠BAE4+∠AE4C+∠DCE4＝360°，∴∠AE4C＝360°﹣α﹣β．（5）（6）當(dāng)點(diǎn)E在CD的下方時(shí)，同理可得，∠AEC＝α﹣β或β﹣α．綜上所述，∠AEC的度數(shù)可能為β﹣α，α+β，α﹣β，180°﹣α﹣β，360°﹣α﹣β．故答案為：①②③⑤．12．（2021秋?鎮(zhèn)江期末）小明用兩張完全相同的長方形紙片按如圖所示的方式擺放，一張紙片壓住射線OB，另一張紙片壓住射線OA且與第一張紙片交于點(diǎn)P，若∠BOP＝25°，則∠AOB＝50°．解：過點(diǎn)P作PM⊥OA于點(diǎn)M，PN⊥OB于點(diǎn)N，則∠PMO＝∠PNO＝90°，∵兩張長方形紙片完全相同，∴PM＝PN，在Rt△POM和Rt△PON中，，∴Rt△POM≌Rt△PON（HL），∴∠POM＝∠PON，∵∠BOP＝25°，∴∠AOP＝25°，∴∠AOB＝50°，故答案為：50°．考點(diǎn)03：平行線的判定與性質(zhì)13．（2022春?西鄉(xiāng)塘區(qū)校級期末）如圖，AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于E，AE⊥DE，∠1+∠2＝90°，M，N分別是BA，CD延長線上的點(diǎn)，∠EAM和∠EDN的平分線交于點(diǎn)F．下列結(jié)論：①AB∥CD；②∠AEB+∠ADC＝180°；③DE平分∠ADC；④∠F＝135°，其中正確的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)解：∵AB⊥BC，AE⊥DE，∴∠1+∠AEB＝90°，∠DEC+∠AEB＝90°，∴∠1＝∠DEC，又∵∠1+∠2＝90°，∴∠DEC+∠2＝90°，∴∠C＝90°，∴∠B+∠C＝180°，∴AB∥CD，故①正確；∴∠ADN＝∠BAD，∵∠ADC+∠ADN＝180°，∴∠BAD+∠ADC＝180°，又∵∠AEB≠∠BAD，∴AEB+∠ADC≠180°，故②錯(cuò)誤；∵∠4+∠3＝90°，∠2+∠1＝90°，而∠3＝∠1，∴∠2＝∠4，∴ED平分∠ADC，故③正確；∵∠1+∠2＝90°，∴∠EAM+∠EDN＝360°﹣90°＝270°．∵∠EAM和∠EDN的平分線交于點(diǎn)F，∴∠EAF+∠EDF＝×270°＝135°．∵AE⊥DE，∴∠3+∠4＝90°，∴∠FAD+∠FDA＝135°﹣90°＝45°，∴∠F＝180°﹣（∠FAD+∠FDA）＝180﹣45°＝135°，故④正確．綜上所述正確的有：①③④，共3個(gè)．故選：C．14．（2021秋?開江縣期末）小明、小亮、小剛、小穎一起研究一道數(shù)學(xué)題．如圖，已知EF⊥AB，CD⊥AB，小明說：“如果還知道∠CDG＝∠BFE，則能得到∠AGD＝∠ACB．”小亮說：“把小明的已知和結(jié)論倒過來，即由∠AGD＝∠ACB，可得到∠CDG＝∠BFE．”小剛說：“∠AGD一定大于∠BFE．”小穎說：“如果連接GF，則GF一定平行于AB．”他們四人中，有（）個(gè)人的說法是正確的．A．1 B．2 C．3 D．4解：已知EF⊥AB，CD⊥AB，∴CD∥EF，（1）若∠CDG＝∠BFE，∵∠BCD＝∠BFE，∴∠BCD＝∠CDG，∴DG∥BC，∴∠AGD＝∠ACB．（2）若∠AGD＝∠ACB，∴DG∥BC，∴∠BCD＝∠CDG，∠BCD＝∠BFE，∴∠CDG＝∠BFE．（3）由題意知，EF∥DC，∴∠BFE＝∠DCB＜∠ACB，如下圖，①當(dāng)DG∥BC時(shí)，則∠AGD＝∠ACB＞∠BFE，即∠AGD一定大于∠BFE；②當(dāng)GD（GD′、GD″）與BC不平行時(shí)，如圖，設(shè)DG∥BC，當(dāng)點(diǎn)G′在點(diǎn)G的上方時(shí)，∵∠AG′D＞AGD，由①知，∠AG′D一定大于∠BFE；當(dāng)點(diǎn)G″在點(diǎn)G的下方時(shí)，見上圖，則∠AG″D不一定大于∠BFE，綜上，∠AGD不一定大于∠BFE；（4）如果連接GF，則GF不一定平行于AB；綜上知：正確的說法有兩個(gè)．故選：B．15．（2021春?臨潼區(qū)期末）如圖，AB∥CD，EG、EM、FM分別平分∠AEF、∠BEF、∠EFD，則下列結(jié)論正確的有（）①∠DFE＝∠AEF；②∠EMF＝90°；③EG∥FM；④∠AEF＝∠EGC．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)解：∵AB∥CD，∴∠DFE＝∠AEF，∠DFE+∠BEF＝180°，故①正確，∵M(jìn)E平分∠BEF，MF平分∠DFE，∴∠MEF＝∠BEF，∠MFE＝∠DFE，∴∠MEF+∠MFE＝（∠BEF+∠DFE）＝90°，∴∠EMF＝90°，故②正確，∵EG平分∠AEF，∴∠GEF＝∠AEF，∵∠AEF＝∠DFE，∴∠GEF＝∠MFE，∴EG∥MF，故③正確，無法判斷∠AEF＝∠EGC，故④錯(cuò)誤．故選：C．16．（2021秋?渠縣期末）如圖，已知∠A＝α（0°＜α＜60°，且α≠45°），在∠A的兩邊上各任取一點(diǎn)，分別記為P，Q，過該兩點(diǎn)分別引一條直線，并使得該直線與∠A所在的邊夾角也為α，設(shè)兩條直線交于點(diǎn)O，則∠POQ的數(shù)量應(yīng)是3α或α或180°﹣α或180°﹣3α．解：有四種情形：當(dāng)點(diǎn)O在∠A內(nèi)部時(shí)，①如圖：此時(shí)∠POQ＝3α；②如圖：此時(shí)∠POQ＝180°﹣α；當(dāng)點(diǎn)O在AQ下方時(shí)，③如圖：此時(shí)∠POQ＝α；當(dāng)點(diǎn)O在AP上方時(shí)，④如圖：此時(shí)∠POQ＝180°﹣3α；綜上所述：∠POQ的數(shù)量應(yīng)是3α或α或180°﹣α或180°﹣3α，故答案為：3α或α或180°﹣α或180°﹣3α，17．（2021春?零陵區(qū)期末）如圖，已知AC∥BD，BC平分∠ABD，CE平分∠DCM，且BC⊥CE．則下列結(jié)論：①CB平分∠ACD，②AB∥CD，③∠A＝∠BDC，④點(diǎn)P是線段BE上任意一點(diǎn)，則∠APM＝∠BAP+∠PCD．正確的是①②③．解：如圖，∵AC∥BD，∵∠2＝∠3∵BC平分∠ABD，∴∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，∵CE平分∠DCM，∴∠4＝∠5，∵BC⊥CE．∴∠4+∠6＝90°，∴∠5+∠6＝90°，∵∠3+∠5＝90°，∴∠3＝∠6，∴CB平分∠ACD，故①正確；∴∠1＝∠6，AB∥CD，故②正確；∴四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠A＝∠BDC，故③正確；如圖，點(diǎn)P是線段BE上任意一點(diǎn)，∵AB與PC不平行，CD與PM不平行，∴∠BAP≠∠APC，∠PCD≠∠CPM，∴∠APM≠∠BAP+∠PCD．故④不正確．所以正確的是①②③．故答案為：①②③．18．（2019秋?呼蘭區(qū)期中）如圖，在△ABC中，BF、BE分別平分∠ABC和∠ABC的外角，EF＝8，EF∥BC，則BG＝4．解：∵EF∥BC，∴∠GFB＝∠FBC，∠GEB＝∠EBD，∵BF、BE分別平分∠ABC和∠ABC的外角，∴∠EBG＝∠EBD，∠GBF＝∠FBC，∴∠GEB＝∠EBG，∠GBF＝∠GFB，∴EG＝BG，BG＝GF，∴BG＝EF＝，故答案為：4．19．（2022春?思明區(qū)校級期末）如圖1，G，E是直線AB上兩點(diǎn)，點(diǎn)G在點(diǎn)E左側(cè)，過點(diǎn)G的直線GP與過點(diǎn)E的直線EP交于點(diǎn)P．直線PE交直線CD于點(diǎn)H，滿足點(diǎn)E在線段PH上，∠PGB+∠P＝∠PHD．（1）求證：AB∥CD；（2）如圖2，點(diǎn)Q在直線AB，CD之間，PH平分∠QHD，GF平分∠PGB，點(diǎn)F，G，Q在同一直線上，且2∠Q+∠P＝120°，求∠QHD的度數(shù)；（3）在（2）的條件下，若點(diǎn)M是直線PG上一點(diǎn)，直線MH交直線AB于點(diǎn)N，點(diǎn)N在點(diǎn)B左側(cè)，請直接寫出∠MNB和∠PHM的數(shù)量關(guān)系．（題中所有角都是大于0°且小于180°的角）（1）證明：∵∠PGB+∠P＝∠PHD，∠PGB+∠P＝∠PEB，∴∠PEB＝∠PHD，∴AB∥CD；（2）解：過點(diǎn)Q作QK∥AB，如圖，則∠GQK＝∠EGF，由（1）知：AB∥CD，∴QK∥CD，∴∠HQK＝∠CHQ，∴∠GQH＝∠GQK+∠HQK＝∠EGF+∠CHQ，∵GF平分∠PGB，∴∠PGB＝2∠EGF＝2∠GQK，∵PH平分∠QHD，∴∠QHD＝2∠PHD，∵∠PGB+∠P＝∠PHD，∴∠QHD＝2∠PHD＝2∠PGB+2∠P＝4∠GQK+2∠P，∵2∠GQH+∠P＝120°，∴2∠GQK+2∠HQK+∠P＝120°，∴2∠GQK+∠P＝120°﹣2∠HQK＝120°﹣2∠QHC，∴∠QHD＝4∠GQK+2∠P＝2（120°﹣2∠QHC）＝240°﹣4∠QHC，∵∠QHC＝180°﹣∠QHD，∴∠QHD＝240°﹣4（180°﹣∠QHD），解得∠QHD＝160°；即∠QHD的度數(shù)為160°；（3）在（2）的條件下，若點(diǎn)M是直線PG上一點(diǎn)，直線MH交直線AB于點(diǎn)N，點(diǎn)N在點(diǎn)B左側(cè)，∠MNB和∠PHM的數(shù)量關(guān)系是∠MNB+∠PHM＝100°或∠MNB﹣∠PHM＝80°或∠MNB+∠PHM＝80°，理由如下：在（2）的條件下，∠PHD＝∠QHD＝80°，若點(diǎn)M在PG的延長線上，∵AB∥CD，∴∠HEN＝∠PHD＝80°，∵∠MNB+∠PHM+∠HEN＝180°，∴∠MNB+∠PHM＝180°﹣∠HEN＝100°若點(diǎn)M在PG上，∵AB∥CD，∴∠HEN＝∠PHD＝80°，∵∠MNB＝∠PHM+∠HEN，∴∠MNB﹣∠PHM＝∠HEN＝80°；若點(diǎn)M在GP的延長線上，∵AB∥CD，∴∠HEN+∠PHD＝180°，∴∠HEN＝180°﹣∠PHD＝100°，∵∠HME+∠PHM+∠HEN＝180°，∠MNB＝∠HNE，∴∠MNB+∠PHM＝180°﹣∠HEN＝80°．綜上所述，點(diǎn)N在點(diǎn)B左側(cè)，∠MNB和∠PHM的數(shù)量關(guān)系是∠MNB+∠PHM＝100°或∠MNB﹣∠PHM＝80°或∠MNB+∠PHM＝80°．20．（2021秋?電白區(qū)期末）如圖，點(diǎn)D、F在線段AB上，點(diǎn)E、G分別在線段BC和AC上，CD∥EF，∠1＝∠2．（1）判斷DG與BC的位置關(guān)系，并說明理由；（2）若DG是∠ADC的平分線，∠3＝85°，且∠DCE：∠DCG＝9：10，試說明AB與CD有怎樣的位置關(guān)系？解：（1）DG∥BC．理由：∵CD∥EF，∴∠2＝∠BCD．∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠BCD，∴DG∥BC；（2）CD⊥AB．理由：∵由（1）知DG∥BC，∠3＝85°，∴∠BCG＝180°﹣85°＝95°．∵∠DCE：∠DCG＝9：10，∴∠DCE＝95°×＝45°．∵DG是∠ADC的平分線，∴∠ADC＝2∠CDG＝90°，∴CD⊥AB．21．（2022春?柘城縣期末）如圖，已知直線AB∥DF，∠D+∠B＝180°．（1）求證：DE∥BC；（2）如果∠AMD＝75°，求∠AGC的度數(shù)．解：（1）∵AB∥DF，∴∠D+∠BHD＝180°，∵∠D+∠B＝180°，∴∠B＝∠BHD，∴DE∥BC；（2）∵DE∥BC，∴∠AGB＝∠AMD，即∠AMD＝75°，∴∠AGB＝75°，∴∠AGC＝180°﹣∠AGB＝180°﹣75°＝105°．考點(diǎn)04：三角形內(nèi)角和定理22．（2022秋?東光縣校級月考）如圖，D是△ABC的角平分線BD和CD的交點(diǎn)，過點(diǎn)D作△BCD的高，交BC于點(diǎn)E．若∠A＝70°，∠CDE＝65°，則∠DBE的度數(shù)為（）A．30° B．35° C．20° D．25°解：∵DE⊥BC∴∠CED＝90°．∴∠DCB+∠CDE＝90°．∵∠CDE＝65°，∴∠BCD＝25°∵BD、CD分別是∠CBA、∠BCA的平分線，∴∠CBA＝2∠CBD，∠BCA＝2∠BCD＝50°．∵∠A+∠CBA+∠BCA＝180°，∠A＝70°，∴∠CBA+∠BCA＝110°．∴∠CBA＝110°﹣50°＝60°．∴∠DBE＝∠DBC＝30°．故選：A．23．（2022春?巴中期末）如圖，BA1和CA1分別是△ABC的內(nèi)角平分線和外角平分線，BA2是∠A1BD的角平分線，CA2是∠A1CD的角平分線，BA3是∠A2BD的角平分線，CA3是∠A2CD的角平分線……，若∠A＝α，則∠A2022為（）°．A． B． C． D．解：∵BA1平分∠ABC，CA1平分∠ACD，∴∠ABA1＝∠CBA1＝ABC，∠ACA1＝∠DCA1＝∠ACD，∵∠A＝α，∴∠ACD＝∠ABC+∠A＝2∠CBA1+∠A①，∠DCA1＝∠A1+∠CBA1②，②×2得：2∠DCA1＝2∠A1+2∠CBA1，∴∠ACD＝2∠A1+2∠CBA1③，由①和③得：2∠A1＝∠A，∵∠A＝α，∴∠A1＝A＝，同理∠A2＝A1＝∠A＝α，∠A3＝∠A2＝∠A＝α，???∴∠A2022＝α＝，故選：B．24．（2022秋?忠縣校級月考）如圖（甲），D是△ABC的邊BC的延長線上一點(diǎn)．∠ABC、∠ACD的平分線相交于P1．（1）若∠ABC＝80°，∠ACB＝40°，則∠P1的度數(shù)為30°；（2）若∠A＝α，則∠P1的度數(shù)為α；（用含α的代數(shù)式表示）（3）如圖（乙），∠A＝α，∠ABC、∠ACD的平分線相交于P1，∠P1BC、∠P1CD的平分線相交于P2，∠P2BC、∠P2CD的平分線相交于P3，依此類推，則∠Pn的度數(shù)為（用n與α的代數(shù)式表示）．解：∵P1B、P1C分別平分∠ABC和∠ACD，∴∠ACD＝2∠P1CD，∠ABC＝2∠P1BC，而∠P1CD＝∠P1+∠P1BC，∠ACD＝∠ABC+∠A，∴∠A＝2∠P1，∴∠P1＝∠A，（1）∵∠ABC＝80°，∠ACB＝40°，∴∠A＝60°，∴∠P1＝30°；（2）∵∠A＝α，∴∠P1的度數(shù)為α；（3）同理可得∠P1＝2∠P2，即∠A＝22∠P2，∴∠A＝2n∠Pn，∴∠Pn＝．故答案為：30°，α，．25．（2022秋?臨平區(qū)月考）如圖，直線a，b分別與黑板邊緣形成∠1，∠2，小明量出∠1＝71°，∠2＝78°，則可以算出直線a，b形成的銳角的度數(shù)＝31°．解：圖形化簡如下圖，∠5為直線a和直線b的夾角，∵∠3＝∠1＝71°，∠4＝∠2＝78°，∴∠3+∠4＝71°+78°＝149°，∴∠5＝180°﹣（∠3+∠4）＝180°﹣149°，∴∠5＝31°，∴直線a和直線b的夾角為31°．故答案為：31．26．（2022?北碚區(qū)校級開學(xué)）如圖，在△ABC中，∠C＝47°，將△ABC沿著直線l折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)D的位置，則∠1﹣∠2＝94°．解：如圖，由折疊的性質(zhì)得：∠D＝∠C＝47°，根據(jù)外角性質(zhì)得：∠1＝∠3+∠C，∠3＝∠2+∠D，則∠1＝∠2+∠C+∠D＝∠2+2∠C＝∠2+94°，則∠1﹣∠2＝94°．故答案為：94°．27．（2021秋?西湖區(qū)校級期末）新定義：在△ABC中，若存在一個(gè)內(nèi)角是另外一個(gè)內(nèi)角度數(shù)的n倍（n為大于1的正整數(shù)），則稱△ABC為n倍角三角形．例如，在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝60°，∠C＝40°，可知∠A＝2∠C，所以△ABC為2倍角三角形．（1）在△DEF中，∠E＝40°，∠F＝35°，則△DEF為3倍角三角形．（2）如圖1，直線MN與直線PQ相交于O，∠POM＝30°，點(diǎn)A、點(diǎn)B分別是射線OP、OM上的動(dòng)點(diǎn)；已知∠BAO、∠OBA的角平分線交于點(diǎn)C，在△ABC中，如果有一個(gè)角是另一個(gè)角的2倍，請求出∠BAC的度數(shù)．（3）如圖2，直線MN⊥直線PQ于點(diǎn)O，點(diǎn)A、點(diǎn)B分別在射線OP、OM上，已知∠BAO、∠OAG的角平分線分別與∠BOQ的角平分線所在的直線交于點(diǎn)E、F，若△AEF為3倍角三角形，試求∠ABO的度數(shù)．解：（1）∵∠E＝40°，∠F＝35°，∴∠D＝180°﹣40°﹣35°＝105°，∴∠D＝3∠F，∴△ABC為3倍角三角形，故答案為：3；（2）解：∵∠POM＝30°，∴∠OAB+∠OBA＝150°．又∵BC平分∠OBA，AC平分∠OAB，∴∠CBA+∠CAB＝∠OAB+∠OBA＝75°，∴∠C＝105°．①當(dāng)∠CBA＝2∠CAB時(shí)，∵∠CBA+∠CAB＝75°，∴∠BAC＝25°；②當(dāng)∠CAB＝2∠CBA時(shí)，∵∠CBA+∠CAB＝75°，∴∠BAC＝50°；③當(dāng)∠C＝2∠CAB時(shí)，∵∠C＝105°，∴∠BAC＝∠C＝52.5°；④當(dāng)∠C＝2∠CBA時(shí)，∵∠C＝105°，∴∠CBA＝∠C＝52.5°，∴∠BAC＝22.5°．綜上，在△ABC中當(dāng)一個(gè)角是另一個(gè)角的2倍時(shí)，∠BAC等于50°、52.5°、25°或22.5°；（3）解：∵AE平分∠BAO，AF平分∠OAG，∴∠BAE＝∠EAO，∠OAF＝∠GAF，∴∠EAF＝∠EAO+∠OAF＝90°，∴∠E+∠F＝90°；又∵EF平分∠BOQ，∴∠EOQ＝∠E+∠EAO＝45°①，∠BOQ＝∠ABO+∠BAO＝90°②；①×2﹣②得：∠ABO＝2∠E．若△AEF為3倍角三角形：i）若∠F＝3∠E，∵∠E+∠F＝90°，∴∠E＝22.5°，∴∠ABO＝45°；ii）若∠E＝3∠F，∴∠E＝67.5°，∴∠ABO＝135°（不符合題意，舍去）；iii）若∠EAF＝3∠E，∴∠E＝30°，∴∠ABO＝60°；iv）若∠EAF＝3∠F，∴∠F＝30°，∠E＝60°，∴∠ABO＝120°（不符合題意，舍去）；綜上所述，∠ABO等于45°或60°時(shí)，△AEF為3倍角三角形．28．（2021秋?新建區(qū)校級月考）如圖，∠B＝50°，點(diǎn)P在∠ABC內(nèi)部，∠P的兩邊分別交AB，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)．（1）若PE⊥AB，PF⊥BC．①如圖1，則∠P＝130°；②如圖2，EQ平分∠BEP，F(xiàn)Q平分∠BFP，求∠Q的度數(shù)．（2）若∠BEP與∠BFP兩角的平分線交于ABC內(nèi)一點(diǎn)Q，請寫出∠Q與∠P的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．解：（1）①∵PE⊥AB，PF⊥BC，∴∠BEP＝∠BFP＝90°，∵∠ABC＝50°，∴∠EPF＝360°﹣∠BEP﹣∠BFP﹣∠ABC＝130°，故答案為：130；②∵EQ平分∠BEP，F(xiàn)Q平分∠BFP，∴∠QEP＝∠BEP＝45°，∠QFP＝∠BFP＝45°，∴∠Q＝360°﹣∠QEP﹣∠QFP﹣∠EPF＝140°；（2）①四邊形BEPF為凸四邊形時(shí)，如圖：∵EQ平分∠BEP，F(xiàn)Q平分∠BFP，∴∠BEP＝2∠2，∠BFP＝2∠4，∵∠B+∠BEP+∠BFP+∠P＝360°，∴∠B+2∠2+2∠4+∠P＝360°，而∠B＝50°，∴2∠2+2∠4＝310°﹣∠P，即∠2+∠4＝155°﹣∠P①，又∠2+∠4＝360°﹣∠P﹣∠Q②，由①②可得：155°﹣∠P＝360°﹣∠P﹣∠Q，整理得：∠Q+∠P＝205°．②四邊形BEPF為凹四邊形時(shí)，如圖：∵EQ平分∠BEP，F(xiàn)Q平分∠BFP，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∵∠B＝50°，∴2（∠2+∠3）+∠PEF+∠PFE＝130°（Ⅰ），又∠Q+（∠2+∠3）+∠PEF+∠PFE＝180°（Ⅱ），（Ⅱ）×2﹣（Ⅰ）得：2∠Q+∠PEF+∠PFE＝230°（Ⅲ），而∠P+∠PEF+∠PFE＝180°（Ⅳ），（Ⅲ）﹣（Ⅳ）得：2∠Q﹣∠P＝50°；綜上所述，∠Q與∠P的數(shù)量關(guān)系為∠Q+∠P＝205°或2∠Q﹣∠P＝50°．29．（2021春?鎮(zhèn)江期末）直線AB、CD為平面內(nèi)兩條直線，點(diǎn)M、點(diǎn)N分別在直線AB、CD上，點(diǎn)P（P不在直線AB、CD上）為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)．（1）如圖1，若AB、CD相交于點(diǎn)O，∠MON＝40°；①當(dāng)點(diǎn)P在△OMN內(nèi)部時(shí)，求證：∠MPN﹣∠OMP﹣∠ONP＝40°；②小芳發(fā)現(xiàn)，當(dāng)點(diǎn)P在∠MON內(nèi)部運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠MPN、∠OMP、∠ONP還存在其它數(shù)量關(guān)系，這種數(shù)量關(guān)系是∠MPN+∠OMP+∠ONP＝320°；③探究，當(dāng)點(diǎn)P在∠MON外部時(shí)，∠MPN、∠OMP、∠ONP之間的數(shù)量關(guān)系共有5種；（2）如圖2，若AB∥CD，請直接寫出∠MPN與∠AMP、∠CNP之間存在的所有數(shù)量關(guān)系是∠AMP＝∠MPN+∠CNP或∠CNP＝∠MPN+∠AMP或∠AMP+∠CNP+MPN＝360°．（1）①證明：如圖1，延長OP至點(diǎn)E，∵∠MPE和∠NPE分別是△MOP和△NOP的外角，∴∠MPE＝∠MOP+∠OMP，∠NPE＝∠NOP+∠ONP，∴∠MPE+∠NPE＝∠MOP+∠NOP+∠OMP+∠ONP，即∠MPN＝∠MON+∠OMP+∠ONP，∴∠MPN﹣∠OMP﹣∠ONP＝∠MON＝40°．②解：如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在∠MON內(nèi)部，且在直線MN右側(cè)時(shí)，延長OP至點(diǎn)E，則∠MPO+∠MOP+∠OMP＝180°，∠NPO+∠NOP+∠ONP＝180°，∴∠MPO+∠NPO+∠MOP+∠NOP+∠OMP+∠ONP＝360°，即∠MPN+∠MON+∠OMP+∠ONP＝360°，∴∠MPN+∠OMP+∠ONP＝360°﹣∠MON＝360°﹣40°＝320°．故答案為：∠MPN+∠OMP+∠ONP＝320°．③解：如圖3，當(dāng)點(diǎn)P落在直線MN左側(cè)，且在∠COB內(nèi)部時(shí)，記PN與AB的交點(diǎn)為點(diǎn)E，∵∠OEP是△MEP和△OEN的外角，∴∠OEP＝∠MPN+∠OMP，∠OEP＝∠MON+∠ONP，∴∠MPN+∠OMP＝∠MON+∠ONP，即∠MPN+∠OMP﹣∠ONP＝∠MON，∴∠MPN+∠OMP﹣∠ONP＝40°；如圖4，當(dāng)點(diǎn)P落在直線MN的右側(cè)，且在∠COB內(nèi)部時(shí)，記PN與AB的交點(diǎn)為點(diǎn)E，∵∠OMP是△MEP的外角，∠OEP是△OEN的外角，∴∠OMP＝∠MPN+∠OEP，∠OEP＝∠MON+∠ONP，∴∠OMP＝∠MPN+∠MON+∠ONP，即∠OMP﹣∠ONP﹣∠MPN＝∠MON，∴∠OMP﹣∠ONP﹣∠MPN＝40°；如圖5，當(dāng)點(diǎn)P落在直線MN左側(cè)，且在∠AOD內(nèi)部時(shí)，記PM與CD的交點(diǎn)為點(diǎn)F，∵∠OFP是△MOF和△FNP的外角，∴∠OFP＝∠MON+∠OMP，∠OFP＝∠MPN+∠ONP，∴∠MON+∠OMP＝∠MPN+∠ONP，即∠MPN+∠ONP﹣∠OMP＝∠MON，∴∠MPN+∠ONP﹣∠OMP＝40°；如圖6，當(dāng)點(diǎn)P落在直線MN右側(cè)，且在∠AOD內(nèi)部時(shí)，記PM與CD的交點(diǎn)為點(diǎn)F，∵∠OFP是△MOF的外角，∠ONP是△FNP的外角，∴∠OFP＝∠MON+∠OMP，∠ONP＝∠MPN+∠OFP，∴∠ONP＝∠MPN+∠MON+∠OMP，∴∠MPN+∠OMP+∠ONP＝∠MON＝40°；如圖7，當(dāng)點(diǎn)P落在∠AOC內(nèi)部時(shí)，延長PO至點(diǎn)G，∵∠MOG和∠NOG分別是△MOP和△NOP的外角，∴∠MOG＝∠MPO+∠PMO，∠NOG＝∠NPO+∠PNO，∴∠MOG+∠NOG＝∠MPO+∠NPO+∠PMO+∠PNO，即∠MON＝∠MPN+∠PMO+∠PNO，∴∠MPN+∠PMO+∠PNO＝40°，綜上所述：當(dāng)點(diǎn)P在∠MON外部時(shí)，∠MPN、∠OMP、∠ONP之間的數(shù)量關(guān)系共有5種．（2）解：如圖8，當(dāng)點(diǎn)P在直線MN右側(cè)，且在直線AB上方時(shí)，記PN與直線AB的交點(diǎn)為H，∵AB∥CD，∴∠AHP＝∠CNP，∵∠AMP是△MPH的外角，∴∠AMP＝∠MPN+∠AHP，∴∠AMP＝∠MPN+∠CNP，如圖9，當(dāng)點(diǎn)P在直線MN的左側(cè)，且在直線AB上方時(shí)，記PN與直線AB的交點(diǎn)為H，∵AB∥CD，∴∠AHP＝∠CNP，∵∠AHP是△MPH的外角，∴∠AHP＝∠MPN+∠AMP，∴∠CNP＝∠MPN+∠AMP，如圖10，當(dāng)點(diǎn)P在直線MN右側(cè)，且在直線AB和直線CD之間時(shí)，∵AB∥CD，∴∠BMP+∠PMN+∠PNM+∠PND＝180°，∵∠BMP＝180°﹣∠AMP，∠PND＝180°﹣∠PNC，∠PMN+∠PNM＝180°﹣∠MPN，∴∠AMP+∠CNP+MPN＝360°，如圖11，當(dāng)點(diǎn)P在直線MN左側(cè)，且在直線AB和直線CD之間時(shí)，∵AB∥CD，∴∠AMP+∠PMN+∠CNP+∠PNM＝180°，∵∠PMN+∠PNM＝180°﹣∠MPN，∴∠AMP+∠CNP＝∠MPN，如圖12，當(dāng)點(diǎn)P在直線MN右側(cè)，且在直線CD下方時(shí)，記PN與CD的交點(diǎn)為H，∵AB∥CD，∴∠AMP＝∠CHP，∵∠CNP是△NHP的外角，∴∠CNP＝∠CHP+∠MPN，∴∠CNP＝∠AMP+∠MPN，如圖13，當(dāng)點(diǎn)P在直線MN的左側(cè)，且在直線CD下方時(shí)，記PN與CD的交點(diǎn)為H，∵AB∥CD，∴∠AMP＝∠CHP，∵∠CHP是△PHN的外角，∴∠CHP＝∠MPN+∠CNP，∴∠AMP＝∠MPN+∠CNP，如圖14，當(dāng)點(diǎn)P在NM的延長線上時(shí)，∠MPN＝0°，∵AB∥CD，∴∠AMP＝∠CNP，∴∠AMP﹣∠CNP＝∠MPN，如圖15，當(dāng)點(diǎn)P在MN的延長線上時(shí)，∠MPN＝0°，∵AB∥CD，∴∠AMP＝∠CNP，∴∠AMP﹣∠CNP＝∠MPN，如圖16，當(dāng)點(diǎn)P在線段MN上（不包含端點(diǎn)）時(shí)，∠MPN＝180°，∵AB∥CD，∴∠AMP+∠CNP＝180°，∴∠AMP+∠CNP＝∠MPN，綜上所述，當(dāng)AB∥CD時(shí)，∠MPN與∠AMP、∠CNP之間存在的所有數(shù)量關(guān)系是：∠AMP＝∠MPN+∠CNP或∠CNP＝∠MPN+∠AMP或∠AMP+∠CNP+∠MPN＝360°或∠AMP+∠CNP＝∠MPN．故答案為：∠AMP＝∠MPN+∠CNP或∠CNP＝∠MPN+∠AMP或∠AMP+∠CNP+∠MPN＝360°或∠AMP+∠CNP＝∠MPN．考點(diǎn)05：三角形的外角性質(zhì)30．（2022秋?嘉祥縣月考）如圖，在△ABC中，∠BAC＝128°，P1是△ABC的內(nèi)角∠ABC的平分線BP1與外角∠ACE的平分線CP1的交點(diǎn)；P2是△BP1C的內(nèi)角∠P1BC的平分線BP2與外角∠P1CE的平分線CP2的交點(diǎn)；P3是△BP2C的內(nèi)角∠P2BC的平分線BP3與外角∠P2CE的平分線CP3的交點(diǎn)；依次這樣下去，則∠P6的度數(shù)為（）A．2° B．4° C．8° D．16°解：∵△ABC的內(nèi)角平分線BP與外角平分線CP1交于P1，∴∠P1BC＝∠ABC，∠P1CE＝∠ACE，∵∠ACE＝∠A+∠ABC，∠P1CE＝∠P1BC+∠P1，∴（∠A+∠ABC）＝∠P1BC+∠P1＝∠ABC+∠P1，∴∠P1＝∠A＝×128°＝64°，同理∠P2＝∠P1＝32°，∴∠P6＝2°，故選：A．31．（2022春?泌陽縣月考）如圖，在△ABC中，O是三個(gè)內(nèi)角的平分線的交點(diǎn)，過點(diǎn)O作∠ODC＝∠AOC，交邊BC于點(diǎn)D．若∠ABC＝n°，則∠BOD的度數(shù)為（）A．90°+n° B．45°+n° C．90°﹣n° D．90°解：∵∠ABC＝n°，∴∠BAC+∠BCA＝180°﹣∠ABC＝180°﹣n°，∵O是三個(gè)內(nèi)角的平分線的交點(diǎn)，∴∠OBC＝ABC＝n°，∠OCA＝BCA，∠OAC＝BAC，∴∠OAC+∠OCA＝（∠BAC+∠BCA）＝（180°﹣n°）＝90°﹣n°，∴∠AOC＝180°﹣（∠OAC+∠OCA）＝180°﹣（90°﹣n°）＝90°+n°，∵∠ODC＝∠AOC，∴∠ODC＝∠AOC＝90°+n°，∵∠ODC＝∠OBC+∠BOD，∠OBC＝n°，∴∠BOD＝90°，故選：D．32．（2022秋?錢塘區(qū)月考）如圖，在△ABC中，∠A＝α，∠ACD是其外角，∠ABC與∠ACD的平分線交于點(diǎn)A1，得∠A1；∠A1BC的平分線與∠A1CD的平分線交于點(diǎn)A2，得∠A2；則∠A2＝…；∠A2021BC與∠A2021CD的平分線交于點(diǎn)A2022，則∠A2022＝．解：∵A1B平分∠ABC，A1C平分∠ACD，∴∠A1BC＝∠ABC，∠A1CA＝∠ACD，∵∠A1CD＝∠A1+∠A1BC，即∠ACD＝∠A1+∠ABC，∴∠A1＝（∠ACD﹣∠ABC），∵∠A+∠ABC＝∠ACD，∴∠A＝∠ACD﹣∠ABC，∴∠A1＝∠A＝α，∠A2＝∠A1＝∠A＝，…，以此類推，∠An＝∠A＝，∴∠A2022＝．故答案為：，．33．（2021秋?黃石期末）如圖，∠A＝20°，∠B＝40°，∠C＝50°，則∠ADB的度數(shù)是110°．解：∵∠A＝20°，∠C＝50°，∴∠AEB＝∠A+∠C＝70°，∵∠B＝40°，∴∠ADB＝∠AEB+∠B＝70°+40°＝110°，故答案為：110°．34．（2021秋?黃石期末）如圖，△ABC的內(nèi)角∠ABC的平分線BP與外角∠ACD的平分線CP交于點(diǎn)P，連接AP，若∠BPC＝46°，則∠CAP＝44°．解：延長BA，作PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC，如圖所示：設(shè)∠PCD＝x°，∵CP平分∠ACD，∴∠ACP＝∠PCD＝x°，PM＝PN，∵BP平分∠ABC，∴∠ABP＝∠PBC，PF＝PN，∴PF＝PM，∵∠BPC＝46°，∴∠ABP＝∠PBC＝∠PCD﹣∠BPC＝（x﹣46）°，∴∠BAC＝∠ACD﹣∠ABC＝2x°﹣（x°﹣46°）﹣（x°﹣46°）＝92°，∴∠CAF＝88°，在Rt△PFA和Rt△PMA中，，∴Rt△PFA≌Rt△PMA（HL），∴∠FAP＝∠PAC＝44°．故答案為：44．35．（2022秋?匯川區(qū)校級月考）如圖（1），∠CBF，∠ACG是△ABC的外角，∠ACG的平分線所在直線與∠ABC的平分線BD交于點(diǎn)D，與∠CBF的平分線BE交于點(diǎn)E．（1）若∠A＝70°，則∠D＝35度；（2）若∠A＝α，求∠E的度數(shù)；（3）在圖（1）的條件下，沿BA作射線BM，連接AD，如圖（2）．求證：AD平分∠MAC．解：（1）∵CD平分∠ACG，BD平分∠ABC，∴∠DCG＝∠ACG，∠DBC＝∠ABC，∵∠ACG＝∠A+∠ABC，∴2∠DCG＝∠A+∠ABC＝∠A+2∠DBC，∵∠DCG＝∠D+∠DBC，∴2∠DCG＝2∠D+2∠DBC，∴∠A+2∠DBC＝2∠D+2∠DBC，∴∠D＝∠A＝35°，故答案為：35；（2）∵BD平分∠ABC，BE平分∠CBF，∴∠DBC＝∠ABC，∠CBE＝∠CBF，∴∠DBC+∠CBE＝（∠ABC+∠CBF）＝90°，即∠DBE＝90°，∴∠D+∠E＝90°，由（1）得∠D＝∠A，∵∠A＝α，∴∠D＝α，∴∠E＝90°﹣α；（3）過D點(diǎn)分別作DH⊥AM于H，DI⊥AC于I，DJ⊥BC與J，∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACG，∴DH＝DJ，DI＝DJ，∴DH＝DI，∴AD平分∠MAC．36．（2021秋?梁山縣校級月考）【概念認(rèn)識】如圖①，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，則BD，BE叫做∠ABC的“三分線”．其中，BD是“鄰AB三分線”，BE是“鄰BC三分線”．【問題解決】（1）如圖②，在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝45°，若∠B的三分線BD交AC于點(diǎn)D，求∠BDC的度數(shù)；（2）如圖③，在△ABC中，BP、CP分別是∠ABC鄰BC三分線和∠ACB鄰BC三分線，且∠BPC＝140°，求∠A的度數(shù)．解：（1）當(dāng)BD是“鄰AB三分線”時(shí)，∠ABD＝∠ABC＝15°，則∠BDC＝∠ABD+∠A＝15°+80°＝95°，當(dāng)BD′是“鄰BC三分線”時(shí)，∠ABD′＝∠ABC＝30°，則∠BD′C＝∠ABD′+∠A＝30°+80°＝110°，綜上所述，∠BDC的度數(shù)為95°或110°；（2）在△BPC中，∠BPC＝140°，則∠PBC+∠PCB＝180°﹣140°＝40°，∵BP、CP分別是∠ABC鄰BC三分線和∠ACB鄰BC三分線，∴∠ABC+∠ACB＝3（∠PBC+∠PCB）＝120°，∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝60°．考點(diǎn)06：命題與定理37．（2022秋?燈塔市校級月考）下面真命題的是（）A．矩形的對角線互相垂直 B．菱形是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形 C．對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形 D．依次連接矩形各邊的中點(diǎn)，所得四邊形是菱形解：A、矩形的對角線互相垂直．錯(cuò)誤矩形的對角線相等，不一定垂直，本選項(xiàng)不符合題意；B、菱形是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形．錯(cuò)誤，菱形是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，本選項(xiàng)不符合題意；C、對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形，錯(cuò)誤，缺少對角線互相平分，本選項(xiàng)不符合題意；D、依次連接矩形各邊的中點(diǎn)，所得四邊形是菱形，正確．本選項(xiàng)符合題意．故選：D．38．（2022秋?海淀區(qū)校級期中）已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）是拋物線y＝ax2﹣4ax上的兩點(diǎn)，下列命題正確的是（）A．若|x1﹣2|＞|x2﹣2|，則y1＞y2 B．若y1＞y2，則|x1﹣2|＞|x2﹣2| C．若y1＝y(tǒng)2，則x1＝x2 D．若|x1﹣2|＝|x2﹣2|，則y1＝y(tǒng)2解：∵y＝ax2﹣4ax，∴拋物線對稱軸為直線x＝﹣＝2，當(dāng)a＜0，若|x1﹣2|＞|x2﹣2|，則y1＜y2，∴選項(xiàng)A錯(cuò)誤，不符合題意．當(dāng)a＜0，若y1＞y2，則|x1﹣2|＜|x2﹣2|，∴選項(xiàng)B錯(cuò)誤，不符合題意．當(dāng)y1＝y(tǒng)2，P1（x1，y1），P2（x2，y2）關(guān)于拋物線對稱軸對稱或重合，∴選項(xiàng)C錯(cuò)誤，不符合題意．若|x1﹣2|＝|x2﹣2|，P1（x1，y1），P2（x2，y2）到對稱軸距離相等，∴y1＝y(tǒng)2.選項(xiàng)D正確，符合題意．故選：D．39．（2021秋?通州區(qū)期末）小豪發(fā)現(xiàn)一個(gè)命題：“如果兩個(gè)無理數(shù)a，b，滿足a+b≠0，那么這兩個(gè)無理數(shù)的和是無理數(shù)．”這個(gè)命題是假命題（填寫“真命題”，“假命題”）；請你舉例說明與．解：如果兩個(gè)無理數(shù)a，b，滿足a+b≠0，那么這兩個(gè)無理數(shù)的和是無理數(shù)．這個(gè)命題