第06講實數(shù)（知識解讀題型精講隨堂檢測）

第06講實數(shù)知識點1：無理數(shù)有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)都稱為有理數(shù).無限不循環(huán)小數(shù)又叫無理數(shù).注意：（1）無理數(shù)的特征：無理數(shù)的小數(shù)部分位數(shù)無限.無理數(shù)的小數(shù)部分不循環(huán)，不能表示成分?jǐn)?shù)的形式常見的無理數(shù)有三種形式：①含類.②看似循環(huán)而實質(zhì)不循環(huán)的數(shù)，如：1.313113111…….③帶有根號的數(shù)，但根號下的數(shù)字開方開不盡，如.【題型1：無理數(shù)的概念】【典例1】（2023春?東湖區(qū)校級期末）在實數(shù)5、3.1415、π、、A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】B【解答】解：π，有3個，故選：B．【變式11】（2022秋?朝陽區(qū)校級期末）下列各數(shù)中，比3大比4小的無理數(shù)是（）A．3.14 B． C． D．【答案】B【解答】解：A、3.14是有理數(shù)，不是無理數(shù)，故A不符合題意；B、∵9＜12＜16，∴3＜＜4，故B符合題意；C、∵8＜10＜27，∴2＜＜3，故C不符合題意；D、是有理數(shù)，不是無理數(shù)，故D不符合題意；故選：B．【變式12】（2023春?寧明縣期中）在和中介于5和6之間的無理數(shù)有（）個．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【解答】解：∵20＜25＜27＜30＜36＜39，∴＜5＜＜＜6＜，∴與介于5和6之間．故選：B．【變式13】（2022秋?長春期末）在實數(shù)、3.1415、π、、A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】C【解答】解：3.1415、是有理數(shù)，，π，故選：C．知識點2：實數(shù)有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù).1.實數(shù)的分類按定義分：實數(shù)按與0的大小關(guān)系分：實數(shù)2.實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應(yīng).數(shù)軸上的任何一個點都對應(yīng)一個實數(shù)，反之任何一個實數(shù)都能在數(shù)軸上找到一個點與之對應(yīng).【題型2：實數(shù)的分類】【典例2】（2023春?楊浦區(qū)期末）下列語句錯誤的是（）A．實數(shù)可分為有理數(shù)和無理數(shù) B．無理數(shù)可分為正無理數(shù)和負(fù)無理數(shù) C．無理數(shù)都是無限小數(shù) D．無限小數(shù)都是無理數(shù)【答案】D【解答】解：A、實數(shù)可分為有理數(shù)無理數(shù)，正確；B、無理數(shù)可分為正無理數(shù)和負(fù)無理數(shù)，正確；C、無理數(shù)都是無限小數(shù)，正確；D、無限不循環(huán)小數(shù)都是無理數(shù)，故錯誤；故選：D．【變式21】（2023?巴州區(qū)校級模擬）下列各數(shù)中：．．．（它的位數(shù)無限且相鄰兩個“3”之間“7”的個數(shù)依次加1個），有理數(shù)有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【解答】解：∵＝2，＝4，∴無理數(shù)有：﹣、π、0.3737737773……共3個；有理數(shù)有：0，，，共4個，故選：D．【變式22】（2023?景德鎮(zhèn)二模）下列四個數(shù)中，屬于有理數(shù)的是（）A． B． C．π D．【答案】B【解答】解：是無理數(shù)；是有理數(shù)；π是無理數(shù)；是無理數(shù)．故選：B．【變式23】（2023春?大連期中）下列說法中正確的是（）A．帶根號的數(shù)都是無理數(shù) B．無限小數(shù)都是無理數(shù) C．無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù) D．無理數(shù)是開方開不盡的數(shù)【答案】C【解答】解：A、帶根號的數(shù)不都是無理數(shù)，例如：是有理數(shù)，故A不符合題意；B、無限不循環(huán)小數(shù)都是無理數(shù)，故B不符合題意；C、無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，故C符合題意；D、無理數(shù)不都是開方開不盡的數(shù)，例如：π也是無理數(shù)，故D不符合題意；故選：C．【題型3：實數(shù)的性質(zhì)】【典例3】（2023春?仙游縣校級期中）的相反數(shù)是（）A．﹣0.236 B．+2 C．2﹣ D．﹣2+【答案】C【解答】解：﹣2的相反數(shù)是2﹣．故選C．【變式31】（2023春?永昌縣校級期中）的相反數(shù)是2﹣，＝3﹣．【答案】2﹣，3﹣．【解答】解：﹣2的相反數(shù)是2﹣；|﹣3|＝3﹣．故答案為：2﹣，3﹣．【變式32】（2023?太康縣一模）計算：|3.14﹣π|＝π﹣0.14．【答案】π﹣0.14．【解答】解：|3.14﹣π|＝π﹣3.14+3＝π﹣0.14．故答案為：π﹣0.14．【變式33】（2023春?陽山縣期中）如果是a的相反數(shù)，那么a的值是（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：是a的相反數(shù)，那么a的值是1﹣，故選：A．【題型4：實數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系】【典例4】（2023春?東城區(qū)期末）如圖，面積為5的正方形ABCD的頂點A在數(shù)軸上，且表示的數(shù)為﹣1，若點E在數(shù)軸上，（點E在點A的右側(cè)）且AB＝AE，則點E所表示的數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：∵正方形ABCD的面積是5，∴AE＝AB＝，∵點A表示的數(shù)為﹣1，∴點E表示的數(shù)為﹣1，故選：B．【變式41】（2023春?西城區(qū)期末）點M，N，P，Q在數(shù)軸上的位置如圖所示，這四個點中有一個點表示實數(shù)，這個點是點P．【答案】點P．【解答】解：∵4＜5＜9，∴2＜＜3，∴1＜﹣1＜2，則表示實數(shù)﹣1的點是點P，故答案為：點P．【變式42】（2023?青秀區(qū)校級模擬）如圖，數(shù)軸上點A、B對應(yīng)的實數(shù)分別是a、b，下列結(jié)論一定成立的是（）A．a(chǎn)+b＜0 B．b﹣a＜0 C．2a＞2b D．a(chǎn)+2＜b+2【答案】D【解答】解：由數(shù)軸可得a＜0＜b，|a|＜|b|，那么a+b＞0，則A不符合題意；b﹣a＞0，則B不符合題意；2a＜2b，則C不符合題意；a+2＜b+2，則D符合題意；故選：D．【變式43】（2023?米東區(qū)模擬）如圖，在數(shù)軸上點B表示的數(shù)為1，在點B的右側(cè)作一個邊長為1的正方形BACD，將對角線BC繞點B逆時針轉(zhuǎn)動，使對角線的另一端落在數(shù)軸負(fù)半軸的點M處，則點M表示的數(shù)是1﹣．【答案】1﹣．【解答】解：根據(jù)題意得：BC＝，OB＝1，∴BM＝BC＝，OM＝MB﹣OB＝﹣1，∵M(jìn)點在原點O的左側(cè)，∴點M表示的數(shù)是﹣（﹣1）＝1﹣，故答案為：1﹣．【變式44】（2023春?瑤海區(qū)期末）若將三個數(shù)﹣，，表示在數(shù)軸上，其中能被如圖所示的墨跡覆蓋的數(shù)是．【答案】．【解答】解：∵﹣3＜﹣＜﹣2，2＜＜3，3＜＜4，∴能被如圖所示的墨跡覆蓋的數(shù)是，故答案為：．【題型5：利用數(shù)軸化簡】【典例5】（2022秋?寧津縣月考）實數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的位置如圖，化簡|b+c|﹣|b+a|+|a+c|．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：由數(shù)軸可知：b+c＜0，b+a＜0，a+c＞0，∴原式＝﹣（b+c）+（b+a）+（a+c）＝﹣b﹣c+b+a+a+c＝2a【變式51】（2022春?源匯區(qū)校級期中）實數(shù)a，b，c是數(shù)軸上三點A，B，C所對應(yīng)的數(shù)，如圖，化簡：+|a﹣b|+﹣|b﹣c|【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：原式＝|a|+|a﹣b|+a+b﹣|b﹣c|＝﹣a+a﹣b+a+b﹣c+b＝a+b﹣c．【變式52】（2022春?禮縣期中）如圖，a、b、c分別是數(shù)軸上A、B、C所對應(yīng)的實數(shù)，試化簡：﹣|a﹣c|+．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：∵a＜0，b＜0，c＞0，∴a＜c∴原式＝|b|﹣|a﹣c|+（a+b）＝﹣b+（a﹣c）+（a+b）＝﹣b+a﹣c+a+b＝2a﹣c．知識點3：實數(shù)運(yùn)算1．注意：有理數(shù)關(guān)于絕對值、相反數(shù)的意義同樣適用于實數(shù)。2．運(yùn)算法則：先算乘方開方，再算乘除，最后算加減；如果有括號，先算括號里面的?！绢}型6：實數(shù)的運(yùn)算】【典例6】（2023春?平橋區(qū)期末）（1）；（2）．【答案】（1）8﹣；（2）11﹣4．【解答】解：（1）原式＝﹣1+5﹣（﹣1）+3＝﹣1+5﹣+1+3＝8﹣；（2）原式＝9﹣2+2﹣2＝11﹣4．【變式61】（2023春?梁山縣期中）計算：（1）；（2）．【答案】（1）0；（2）﹣1．【解答】解：（1）原式＝﹣4+4＝0；（2）原式＝﹣1+﹣＝﹣1．【變式62】（2023春?高安市期中）計算．（1）||++2；（2）．【答案】（1）3；（2）0．【解答】解：（1）||++2＝﹣++2＝3；（2）＝﹣2÷（﹣2）+4﹣5＝1+4﹣5＝0．【題型7：估算無理數(shù)范圍】【典例7】（2023春?河西區(qū)期末）在什么范圍（）A．3和4之間 B．4和5之間 C．5和6之間 D．6和7之間【答案】C【解答】解：∵＜＜，∴4＜＜5．∴4+1＜+1＜5+1．∴5＜+1＜6．∴+1在5和6之間．故選：C．【變式71】（2022秋?桂平市期末）已知m，n為兩個連續(xù)的整數(shù)，且m＜＜n，則（m﹣n）2023的值是（）A．2023 B．﹣2023 C．1 D．﹣1【答案】D【解答】解：∵3＜＜4，而m＜＜n，其中m，n為兩個連續(xù)的整數(shù)，∴m＝3，n＝4，∴（m﹣n）2023＝（3﹣4）2023＝﹣1，故選：D．【變式72】（2023春?懷柔區(qū)期末）估計的值在哪兩個數(shù)之間（）A．2與3 B．3與4 C．4與5 D．5與6【答案】A【解答】解：∵3＜＜4，∴2＜﹣1＜3，故選：A．【變式73】（2023春?岳麓區(qū)校級期中）若a＜＜b，其中a，b為兩個連續(xù)的整數(shù)，則ba的值為（）A．6 B．8 C．9 D．12【答案】C【解答】解：∵4＜8＜9，∴，又∵，其中a，b為兩個連續(xù)的整數(shù)，∴a＝2，b＝3，∴ba＝32＝9．故選：C．【題型8：無理數(shù)的整數(shù)和小數(shù)部分問】【典例8】（2023?邗江區(qū)校級模擬）已知a是的小數(shù)部分，則a+2的值為（）A．5 B．6 C．7 D．【答案】D【解答】解：∵4＜5＜9，∴2＜＜3，∴a＝﹣2，∴a+2＝﹣2+2＝，故選：D．【變式81】（2023春?龍江縣期中）實數(shù)的整數(shù)部分是（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解答】解：∵36＜39＜49，∴，∴，∴實數(shù)的整數(shù)部分是3，故選：B．【變式82】（2023?高青縣二模）若的整數(shù)部分為m，則m的算術(shù)平方根的值最接近整數(shù)（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解答】解：∵49＜51＜64，∴7＜＜8，∴的整數(shù)部分為7，∴m＝7，∴m的算術(shù)平方根為，∵4＜7＜9，∴2＜＜3，∵2.52＝6.25，∴的值最接近整數(shù)3，故選：B．【變式83】（2022秋?晉州市期末）若的整數(shù)部分為x，小數(shù)部分為y，則的值是（）A． B． C． D．3【答案】B【解答】解：，∵，∴，∵的整數(shù)部分為x，小數(shù)部分為y，∴，∴．故選：B．【題型9：實數(shù)大小比較】【典例9】（2023春?常州期末）利用圖中的網(wǎng)格比較大?。?1＞（填“＞”、“＜”或“＝”）．?【答案】＞．【解答】解：如圖邊長為1的格點，根據(jù)勾股定理得：AC＝，AB＝，∵AC+BC＞AB，∴+1＞．故答案為：＞．【變式91】（2022秋?慈溪市期末）比較大?。海?．（填“＞”，“＝”或“＜”）【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：∵2＜＜3，∴+1＞3，∴＞1．故答案為：＞．【變式92】（2023?山東四模）比較實數(shù)大?。海荆ㄌ睿?，＜或＝）【答案】＞．【解答】解：＝3，＝，∵3＞，∴＞．故答案為：＞．【題型10：實數(shù)的應(yīng)用】【典例10】（2022春?興寧區(qū)校級期中）閱讀與思考請閱讀下面材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．在學(xué)習(xí)完實數(shù)的相關(guān)運(yùn)算之后，某數(shù)學(xué)興趣小組提出了一個有趣的問題：兩個數(shù)的積的算術(shù)平方根與這兩個數(shù)的算術(shù)平方根的積存在什么關(guān)系？小聰和小明分別用自己的方法進(jìn)行了驗證：小聰：＝10，＝2×5＝10，所以．小明：＝4×25＝100，＝100．這就說明和都是4×25的算術(shù)平方根，而4×25的算術(shù)平方根只有一個，所以．任務(wù)：（1）猜想：當(dāng)a≥0，b≥0時，和之間存在怎樣的關(guān)系？并仿照小聰或小明的方法舉出一個例子進(jìn)行說明；（2）運(yùn)用以上結(jié)論，計算：①；②；（3）解決實際問題：已知一個長方形的長為，寬為，求這個長方形的面積．【答案】（1）；（2）①24，②77；（3）16．【解答】解：（1），例如：＝×＝6；（2）①＝×＝4×6＝24；②＝×＝7×11＝77；（3）∵長方形的長為，寬為，∴S＝，答：這個長方形的面積為16．【變式101】（2022春?延津縣校級月考）如圖甲，這是由8個同樣大小的立方體組成的魔方，總體積為Vcm3．（1）這個魔方的棱長是．（用代數(shù)式表示）（2）當(dāng)魔方體積V＝64cm3時，①求出這個魔方的棱長．②圖甲中陰影部分是一個正方形ABCD，求出陰影部分的面積及其邊長．③把正方形ABCD放置在數(shù)軸上，如圖乙所示，使得點A與數(shù)1重合，則D在數(shù)軸上表示的數(shù)為1﹣2．【答案】（1）；（2）①4；②8，2；③1﹣2．【解答】解：（1）因為拼成的魔方體積為Vcm3，所以這個魔方的棱長為cm；故答案為：；（2）當(dāng)魔方體積V＝64cm3時，①∵43＝64，∴＝4，所以這個魔方的棱長為4cm；②因為魔方的棱長為4cm；所以每個小立方體的棱長為4÷2＝2（cm），所以陰影部分正方形ABCD的邊長為＝2（cm），S正方形ABCD＝（2）2＝8（cm2），答：陰影部分正方形ABCD的面積是8cm2，邊長為2cm；③點D到原點的距離為：2﹣1，又因為點D在原點的左側(cè)，所以點D所表示的數(shù)為﹣（2﹣1）＝1﹣2，故答案為：1﹣2．【變式102】（2021春?興寧區(qū)校級期中）如圖，在數(shù)軸上有兩個長方形ABCD和EFGH，這兩個長方形的寬都是3個單位長度，長方形ABCD的長AD是6個單位長度，長方形EFGH的長EH是10個單位長度，點E在數(shù)軸上表示的數(shù)是5．且E、D兩點之間的距離為14．（1）填空：點H在數(shù)軸上表示的數(shù)是15，點A在數(shù)軸上表示的數(shù)是﹣15．（2）若線段AD的中點為M，線段EH上一點N，EN＝EH，M以每秒4個單位的速度向右勻速運(yùn)動，N以每秒3個單位的速度向左運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為x秒，原點為O．當(dāng)OM＝2ON時，求x的值．（3）若長方形ABCD以每秒2個單位的速度向右勻速運(yùn)動，長方形EFGH固定不動，設(shè)長方形ABCD運(yùn)動的時間為t（t＞0）秒，兩個長方形重疊部分的面積為S，當(dāng)S＝12時，求此時t的值．【答案】（1）15；﹣15；（2）或；（3）9或13．【解答】解：（1）由題意可得，點H在數(shù)軸上表示的數(shù)為：5+10＝15；點A在數(shù)軸上表示的數(shù)為：5﹣14﹣6＝﹣15．故答案為：15；﹣15．（2）∵點M是線段AD的中點，∴點M表示的數(shù)為5﹣14﹣＝﹣12，又∵EN＝EH，∴點N在數(shù)軸上表示的數(shù)為：5+（15﹣5）＝，由題意可得，x秒時，點M在數(shù)軸上表示的數(shù)為：﹣12+4x，點N在數(shù)軸上表示的數(shù)為：﹣3x，∴OM＝|4x﹣12|，ON＝|3x﹣|，∵OM＝2ON，∴|4x﹣12|＝2|3x﹣|∴4x﹣12＝2（3x﹣）或4x﹣12＝﹣2（3x﹣），解得x＝或x＝．故答案為：或．（3）當(dāng)CD與EF重合時，所用時間為＝7秒，由題意得：AD與EH重合的部分為＝4，如圖1所示，設(shè)長方形ABCD從EF運(yùn)動到AD與EH重疊部分為4時，所用的時間為t1秒，∴t1＝＝2，∴第一次重疊面積為12時，時間t為2+7＝9（秒）；當(dāng)AD與EH重疊部分為4時，如圖2所示，設(shè)長方形ABCD從EF運(yùn)動到AD與EH重疊部分為4時，所用的時間為t2秒，∴t2＝＝6，∴第二次重疊面積S＝12時，時間t為6+7＝13（秒）；1．（2023?恩施州）下列實數(shù)：﹣1，0，，﹣其中最小的是（）A．﹣1 B．0 C． D．﹣【答案】A【解答】解：∵|﹣1|＝1，|﹣|＝，∴1＞，∴﹣1＜﹣，在﹣1，0，，﹣這四個數(shù)中，∵﹣1＜﹣＜0＜，∴最小的數(shù)是﹣1，故選：A．2．（2021秋?曲陽縣期中）如圖所示，長方形內(nèi)有兩個相鄰的正方形，面積分別為4和2，那么陰影部分的面積為（）A．（2﹣） B．（2﹣）2 C．2 D．2（2﹣）【答案】A【解答】解：∵矩形內(nèi)有兩個相鄰的正方形面積分別為4和2，∴兩個正方形的邊長分別是2，，∴陰影部分的面積＝（2﹣）×＝2﹣2．故選：A．3．（2022?工業(yè)園區(qū)校級二模）下列四個數(shù)中，屬于有理數(shù)的是（）A． B． C．π D．﹣【答案】A【解答】解：A、是有理數(shù)，故A符合題意；B、是無理數(shù)，故B不符合題意；C、π是無理數(shù)，故C不符合題意；D、﹣是無理數(shù)，故D不符合題意；故選：A．4．（2022春?平潭縣校級期中）已知數(shù)軸上A，B兩點，且這兩點間的距離為4，若點A在數(shù)軸上表示的數(shù)是3，則點B表示的數(shù)為（）A．﹣ B．7 C．﹣或7 D．或﹣7【答案】C【解答】解：設(shè)點B表示的數(shù)為x，由題意，得|x﹣3|＝4，則x﹣3＝4，或x﹣3＝﹣4，所以x＝7或﹣．故選：C．5．（2022?西城區(qū)一模）實數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的對應(yīng)點的位置如圖所示，下列結(jié)論中正確的是（）A．a(chǎn)＞b B．|b|＜|c| C．a(chǎn)+c＜0 D．a(chǎn)b＞c【答案】B【解答】解：A、左邊的數(shù)總小于右邊的數(shù)，故a＞b不正確；B、絕對值就是離開原點的距離，所以|b|＜|c|是正確的；C、異號兩數(shù)相加，取絕對值較大數(shù)的符號，故a+c＜0不正確；D、異號兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負(fù)．a(chǎn)b＞0，ab的絕對值是a和b絕對值的積，不妨取a＝﹣3，b＝﹣1，ab＝3＜c，故ab＞c不正確．故選B．6．（2022春?順德區(qū)校級期中）如圖，數(shù)軸上表示1，的對應(yīng)點分別為A，B，AB＝AC，則點C所表示的數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：∵表示1，的對應(yīng)點分別為A，B，∴AB＝﹣1，∵AB＝AC，∴AC＝﹣1，∴點C所表示的數(shù)為1﹣（﹣1）＝2﹣．故選：C．7．（2022?任城區(qū)三模）2﹣的相反數(shù)是（）A．﹣2﹣ B．2﹣ C．﹣2 D．2+【答案】C【解答】解：依題意得：2﹣的相反數(shù)是﹣（2﹣）＝﹣2+．故選：C．8．（2022春?彌渡縣校級期中）下列說法中，正確的是（）A．無理數(shù)包括正無理數(shù)、零和負(fù)無理數(shù) B．無限小數(shù)都是無理數(shù) C．正實數(shù)包括正有理數(shù)和正無理數(shù) D．實數(shù)可以分為正實數(shù)和負(fù)實數(shù)兩類【答案】C【解答】解：（A）無理數(shù)包括正無理數(shù)和負(fù)無理數(shù)，故A錯誤；（B）無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)，故B錯誤；（D）實數(shù)可分為正實數(shù)，零，負(fù)實數(shù)，故D錯誤；故選：C．9．（2022秋?裕華區(qū)校級月考）當(dāng)0＜x＜1時，x2、x、的大小順序是（）A．