押中考數(shù)學(xué)第14-15題（填空中檔題和圓有關(guān)的計(jì)算）

押中考數(shù)學(xué)第1415題（填空中檔題：和圓有關(guān)的計(jì)算）專題詮釋：圓是中考的必考知識點(diǎn)，每年中考的填空題中都有考察。具體的考察，主要以垂徑定理、圓心角和圓周角、直線和圓的位置關(guān)系、正多邊形和圓、弧長和扇形的相關(guān)計(jì)算為主，也會結(jié)合三角形、四邊形、全等或相似進(jìn)行結(jié)合，進(jìn)行求值。目錄TOC\o"13"\h\z\u模塊一〖真題回顧〗 1知識點(diǎn)一：垂徑定理 1知識點(diǎn)二：整式 11知識點(diǎn)三：點(diǎn)、線和圓的位置關(guān)系 20知識點(diǎn)四：正多邊形和圓 32知識點(diǎn)五：弧長和扇形面積 40模塊二〖押題沖關(guān)〗 47模塊三〖考前預(yù)測〗 71模塊一〖真題回顧〗知識點(diǎn)一：垂徑定理1．（2022·寧夏·中考真題）如圖，在⊙O中，半徑OC垂直弦AB于點(diǎn)D，若OB=10，AB=16，則【答案】45【分析】由垂徑定理可知BD=12AB=8【詳解】解：∵半徑OC垂直弦AB于點(diǎn)D，∴BD=∴cosB故答案為：45【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂徑定理和余弦的知識，熟練掌握余弦的概念是解題的關(guān)鍵．2．（2022·黑龍江牡丹江·統(tǒng)考中考真題）⊙O的直徑CD=10，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足為M，OM【答案】25或【分析】分①點(diǎn)M在線段OC上，②點(diǎn)M在線段OD上兩種情況，連接OA，先利用勾股定理求出AM的長，再在Rt△【詳解】解：由題意，分以下兩種情況：①如圖，當(dāng)點(diǎn)M在線段OC上時，連接OA，∵⊙O的直徑CD=10，∴OA=OC=5，∵OM:OC=3:5，∴OM=3∵AB⊥CD，∴AM=O∴AC=A②如圖，當(dāng)點(diǎn)M在線段OD上時，連接OA，同理可得：OC=5,OM=3,AM=O∴CM=OC+OM=8，∴AC=A綜上，AC的長為25或4故答案為：25或4【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、圓，正確分兩種情況討論是解題關(guān)鍵．3．（2022·青?！そy(tǒng)考中考真題）如圖是一個隧道的橫截面，它的形狀是以點(diǎn)O為圓心的圓的一部分，如果C是⊙O中弦AB的中點(diǎn)，CD經(jīng)過圓心O交⊙O于點(diǎn)D，并且AB=4m，CD=6【答案】103/【分析】連接OA，先根據(jù)垂徑定理、線段中點(diǎn)的定義可得OC⊥AB,AC=2m，設(shè)⊙O的半徑長為rm，則OA=OD=rm，OC=(6-r)m，再在Rt△【詳解】解：如圖，連接OA，∵C是⊙O中的弦AB的中點(diǎn)，且AB=4m，∴OC⊥AB，AC=1設(shè)⊙O的半徑長為rm，則OA=OD=rm，∵CD=6m，∴OC=CD-OD=(6-r)m，在Rt△AOC中，OC解得r=10即⊙O的半徑長為103故答案為：103【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理、勾股定理，熟練掌握垂徑定理是解題關(guān)鍵．4．（2022·上海·統(tǒng)考中考真題）定義：有一個圓分別和一個三角形的三條邊各有兩個交點(diǎn)，截得的三條弦相等，我們把這個圓叫作“等弦圓”，現(xiàn)在有一個斜邊長為2的等腰直角三角形，當(dāng)?shù)认覉A最大時，這個圓的半徑為_____．【答案】2-2/【分析】如圖，當(dāng)?shù)认覉AO最大時，則⊙O經(jīng)過等腰直角三角形的直角頂點(diǎn)C，連接CO交AB于F，連接OE，DK，再證明DK經(jīng)過圓心，CF⊥AB，分別求解AC，BC，CF，設(shè)⊙O的半徑為r,再分別表示EF,OF,OE,再利用勾股定理求解半徑r即可．【詳解】解：如圖，當(dāng)?shù)认覉AO最大時，則⊙O經(jīng)過等腰直角三角形的直角頂點(diǎn)C，連接CO交AB于F，連接OE，DK，∵CD=CK=EQ,∠ACB=90°,∴∠COD=∠COK=90°,DK過圓心O，CF⊥AB，∵AC=BC,∠ACB=90°,AB=2,∴AC=BC=2設(shè)⊙O的半徑為r,∴CD=r∵CF⊥AB,∴EF=QF=2∴r整理得：r2解得：r1∵OC<CF,∴r=2+2∴當(dāng)?shù)认覉A最大時，這個圓的半徑為2-2故答案為：2-【點(diǎn)睛】本題考查的是等腰直角三角形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，弦，弧，圓心角之間的關(guān)系，圓周角定理的應(yīng)用，勾股定理的應(yīng)用，一元二次方程的解法，掌握以上知識是解本題的關(guān)鍵．5．（2022·上?！そy(tǒng)考中考真題）如圖所示，小區(qū)內(nèi)有個圓形花壇O，點(diǎn)C在弦AB上，AC=11，BC=21，OC=13，則這個花壇的面積為_____．（結(jié)果保留π）【答案】400π【詳解】解：過點(diǎn)O作OD⊥AB于D，連接OB，如圖，∵AC=11，BC=21，∴AB=AC+BC=32，∵OD⊥AB于D，∴AD=BD=12AB=16∴CD=ADAC=5，在Rt△OCD中，由勾股定理，得OD=OC在Rt△OBD中，由勾股定理，得OB=BD2∴這個花壇的面積=202π=400π，故答案為：400π．【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理，勾股定理，圓的面積，熟練掌握垂徑定理與勾股定理相結(jié)合求線段長是解題的關(guān)鍵．6．（2022·湖南長沙·統(tǒng)考中考真題）如圖，A、B、C是⊙O上的點(diǎn)，OC⊥AB，垂足為點(diǎn)D，且D為OC的中點(diǎn)，若OA=7，則【答案】7【分析】根據(jù)垂徑定理可得OC垂直平分AB，根據(jù)題意可得AB平方OC，可得四邊形AOBC是菱形，進(jìn)而根據(jù)菱形的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：如圖，連接OB,CA，∵A、B、C是⊙O上的點(diǎn)，OC⊥AB，∴AD=DB，∵D為OC的中點(diǎn)，∴OD=DC，∴四邊形AOBC是菱形，OA=7，∴BC=AO=7．故答案為：7．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，菱形的性質(zhì)與判定，掌握垂徑定理是解題的關(guān)鍵．7．（2022·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）如圖，在⊙O中，AB是⊙O的弦，⊙O的半徑為3cm，C為⊙O上一點(diǎn)，∠ACB【答案】3【分析】連接OA、OB，過點(diǎn)O作OD⊥AB于點(diǎn)D，由垂徑定理和圓周角定理可得AD=BD=12AB，∠AOB=120°，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠OAB=∠OBA=30°【詳解】解：連接OA、OB，過點(diǎn)O作OD⊥AB于點(diǎn)D，∴AD=BD=12AB∵∠ACB=60°，∴∠AOB=120°，∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA=30°，∵OA=3cm，∴OD=3∴AD=O∴AB=33故答案為：33【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，含30°角的直角三角形的性質(zhì)和勾股定理，熟練掌握知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．8．（2022·浙江湖州·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知AB是⊙O的弦，∠AOB＝120°，OC⊥AB，垂足為C，OC的延長線交⊙O于點(diǎn)D．若∠APD是AD所對的圓周角，則∠APD的度數(shù)是______．【答案】30°/30度【分析】根據(jù)垂徑定理得出∠AOB=∠BOD，進(jìn)而求出∠AOD=60°，再根據(jù)圓周角定理可得∠APD=12∠AOD=30°【詳解】∵OC⊥AB，OD為直徑，∴BD=∴∠AOB=∠BOD，∵∠AOB=120°，∴∠AOD=60°，∴∠APD=12∠AOD=30°故答案為：30°．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理、垂徑定理等知識，掌握垂徑定理是解答本題的關(guān)鍵．9．（2022·浙江嘉興·統(tǒng)考中考真題）如圖，在扇形AOB中，點(diǎn)C，D在AB上，將CD沿弦CD折疊后恰好與OA，OB相切于點(diǎn)E，F(xiàn)．已知∠AOB=120°，OA=6，則EF的度數(shù)為_______；折痕CD【答案】60°/60度4【分析】根據(jù)對稱性作O關(guān)于CD的對稱點(diǎn)M，則點(diǎn)D、E、F、B都在以M為圓心，半徑為6的圓上，再結(jié)合切線的性質(zhì)和垂徑定理求解即可．【詳解】作O關(guān)于CD的對稱點(diǎn)M，則ON=MN連接MD、ME、MF、MO，MO交CD于N∵將CD沿弦CD折疊∴點(diǎn)D、E、F、B都在以M為圓心，半徑為6的圓上∵將CD沿弦CD折疊后恰好與OA，OB相切于點(diǎn)E，F(xiàn)．∴ME⊥OA，MF⊥OB∴∠MEO=∠MFO=90°∵∠AOB=120°∴四邊形MEOF中∠EMF=360°-∠AOB-∠MEO-∠MFO=60°即EF的度數(shù)為60°；∵∠MEO=∠MFO=90°，ME=MF∴△MEO?△MFO（HL）∴∠EMO=∠FMO=∴OM=∴MN=2∵M(jìn)O⊥DC∴DN=∴CD=4故答案為：60°；4【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)、切線的性質(zhì)、垂徑定理、勾股定理；熟練掌握折疊的性質(zhì)作出輔助線是解題的關(guān)鍵．10．（2021·貴州黔東南·統(tǒng)考中考真題）小明很喜歡鉆研問題，一次數(shù)學(xué)楊老師拿來一個殘缺的圓形瓦片（如圖所示）讓小明求瓦片所在園的半徑，小明連接瓦片弧線兩端AB，量的弧AB的中心C到AB的距離CD＝1.6cm，AB＝6.4cm，很快求得圓形瓦片所在圓的半徑為_________cm．【答案】4【分析】圓的兩弦的中垂線的交點(diǎn)，就是圓心；連接AC，作AC的中垂線，與直線CD的交點(diǎn)就是圓心，已知圓心即可作出圓；連接圓心與A，根據(jù)勾股定理即可求得半徑．【詳解】如圖，連接OA，∵CD是弦AB的垂直平分線，∴AD=1設(shè)圓的半徑是r．在直角△ADO中，AO=r，AD=3.2根據(jù)勾股定理得，r2=∴r=4故答案為：4【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的確定和垂徑定理，熟練掌握垂徑定理得出關(guān)于半徑的方程是解題的關(guān)鍵．知識點(diǎn)二：整式11．（2022·內(nèi)蒙古·中考真題）如圖，在等腰直角三角形ABC中，AC=BC=1，點(diǎn)P在以斜邊AB為直徑的半圓上，M為PC的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P沿半圓從點(diǎn)A運(yùn)動至點(diǎn)B時，點(diǎn)M【答案】2【分析】取AB的中點(diǎn)O、AC的中點(diǎn)E、BC的中點(diǎn)F，連接OC、OP、OM、OE、OF、EF，可得四邊形CEOF是正方形，由OP=OC得OM⊥PC，則可得點(diǎn)M的運(yùn)動路徑，從而求得路徑的長．【詳解】取AB的中點(diǎn)O、AC的中點(diǎn)E、BC的中點(diǎn)F，連接OC、OP、OM、OE、OF、EF，如圖，則OE∥BC，且OE=12BC=12∴四邊形CEOF為平行四邊形，∵AC=BC，∠ACB=90°，∴四邊形CEOF為正方形，∴CE=CF=12，EF=OC由勾股定理得：EF=OC=2∵在等腰Rt△ABC中，∴AB=2∴OC=12AB=∵M(jìn)為PC的中點(diǎn)，∴OM⊥PC，∴∠CMO=90°，

∴點(diǎn)M在以O(shè)C為直徑的圓上，當(dāng)點(diǎn)P點(diǎn)在點(diǎn)A時，M點(diǎn)在E點(diǎn)；點(diǎn)P點(diǎn)在點(diǎn)B時，M點(diǎn)在F點(diǎn)，∴M點(diǎn)的路徑為以EF為直徑的半圓，∴點(diǎn)M運(yùn)動的路徑長=1故答案是：24【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)、三角形中位線定理、等腰三角形的性質(zhì)及正方形的判定，確定點(diǎn)M的運(yùn)動路徑是關(guān)鍵與難點(diǎn)．12．（2022·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）如圖，A、B、C點(diǎn)在圓O上，若∠ACB=36°，則∠AOB=________．【答案】72°/72度【分析】利用一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵∠ACB=12∠AOB，∠ACB=36°∴∠AOB=2×∠ACB=72°．故答案為：72°．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理，利用一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半解答是解題的關(guān)鍵．13．（2022·四川資陽·中考真題）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O,AB是直徑，過點(diǎn)A作⊙O的切線AD．若∠【答案】35【分析】根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，可得∠BAC=55°，再根據(jù)切線的性質(zhì)可得∠BAD=90°，即可求解．【詳解】解：∵AB為直徑，∴∠C=90°，∵∠B=35°，∴∠BAC=55°，∵AD與⊙O相切，∴AB⊥AD，即∠BAD=90°，∴∠CAD=90°∠BAC=35°．故答案為：35【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，熟練掌握切線的性質(zhì)，直徑所對的圓周角是直角是解題的關(guān)鍵．14．（2022·山東日照·統(tǒng)考中考真題）一圓形玻璃鏡面損壞了一部分，為得到同樣大小的鏡面，工人師傅用直角尺作如圖所示的測量，測得AB=12cm，BC=5cm，則圓形鏡面的半徑為__________．【答案】13【分析】連接AC，根據(jù)∠ABC=90°得出AC是圓形鏡面的直徑，再根據(jù)勾股定理求出AC即可．【詳解】解：連接AC，∵∠ABC=90°，且∠ABC是圓周角，∴AC是圓形鏡面的直徑，由勾股定理得：AC=A所以圓形鏡面的半徑為132故答案為：132【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，圓心角、弧、弦之間的關(guān)系和勾股定理等知識點(diǎn)，能根據(jù)圓周角定理得出AC是圓形鏡面的直徑是解此題的關(guān)鍵．15．（2022·山東濟(jì)寧·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)A，C，D，B在⊙O上，AC＝BC，∠ACB＝90°．若CD＝a，tan∠CBD＝13，則AD的長是___________【答案】2【分析】如圖，連接AB，設(shè)AD,BC交于點(diǎn)E，根據(jù)題意可得AB是⊙O的直徑，∠ADB=90°，設(shè)AC=m，證明△CED∽△AEB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)以及正切的定義，分別表示出AE,ED，根據(jù)Rt△ABC，勾股定理求得m=5【詳解】解：如圖，連接AB，設(shè)AD,BC交于點(diǎn)E，∵∠ACB＝90°∴AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=90°，∵tan∠CBD＝13∴DE在Rt△DEB中，BE=∵CD∴∠CBD=∠ACD，∴tan∠CAD=1∴設(shè)AC=m則CE=1∵AC＝BC，∴EB=2∴DE=1010Rt△ACE中，∴AD=AE+ED=2∵DB=∴∠ECD=∠EAB,又∠CED=∠AEB，∴△CED∽△AEB，∴CD∵CD=a，∴AB=10∵AC=BC=m，∴AB=2∴2解得m=5∴AD=2故答案為：22【點(diǎn)睛】本題考查了90°圓周角所對的弦是直徑，同弧所對的圓周角相等，正切的定義，相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．16．（2022·江蘇鹽城·統(tǒng)考中考真題）如圖，AB、AC是⊙O的弦，過點(diǎn)A的切線交CB的延長線于點(diǎn)D，若∠BAD=35°，則【答案】35【分析】連接AO并延長，交⊙O于點(diǎn)E，連接BE，首先根據(jù)圓周角定理可得∠E+∠BAE=90°，再根據(jù)AD為⊙O的切線，可得∠BAE+∠BAD=90°，可得∠E=∠BAD=35°，再根據(jù)圓周角定理即可求得．【詳解】解：如圖，連接AO并延長，交⊙O于點(diǎn)E，連接BE．∵AE為⊙O的直徑，∴∠ABE=90°，∴∠E+∠BAE=90°，∵AD為⊙O的切線，∴∠DAE=90°，∴∠BAE+∠BAD=90°，∴∠E=∠BAD=35°，∴∠C=∠E=35°．故答案為：35．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，切線的性質(zhì)，作出輔助線是解決本題的關(guān)鍵．17．（2022·廣西柳州·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)A，B，C在⊙O上，∠AOB＝60°，則∠ACB的度數(shù)是_____°．【答案】30【分析】由圓周角定理可得∠ACB=1【詳解】解：∵點(diǎn)A，B，C在⊙O上，∠AOB＝60°，∴∠ACB=1故答案為：30【點(diǎn)睛】本題考查的是圓周角定理的應(yīng)用，掌握“在同圓或等圓中，一條弧所對的圓周角是它所對的圓心角的一半”是解本題的關(guān)鍵．18．（2022·內(nèi)蒙古通遼·統(tǒng)考中考真題）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AC為直徑，若AB=23，BC=3，點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā)，在△ABC內(nèi)運(yùn)動且始終保持∠CBP=∠BAP，當(dāng)【答案】3【分析】根據(jù)題中的條件可先確定點(diǎn)P的運(yùn)動軌跡，然后根據(jù)三角形三邊關(guān)系確定CP的長最小時點(diǎn)P的位置，進(jìn)而求出點(diǎn)P的運(yùn)動路徑長．【詳解】解：∵AC為⊙O的直徑，∴∠ABC=∴∠ABP+∠PBC=∵∠PAB=∠PBC,∴∠PAB+∠ABP=∴∴∠APB=∴點(diǎn)P在以AB為直徑的圓上運(yùn)動，且在△ABC的內(nèi)部，如圖，記以AB為直徑的圓的圓心為O1，連接O1C交⊙O∵CP≥∴當(dāng)點(diǎn)O1,P,C三點(diǎn)共線時，即點(diǎn)P在點(diǎn)P'∵AB=2∴O1在RtΔBCO1∴∠B∴BP∴.C,P兩點(diǎn)距離最小時，點(diǎn)P的運(yùn)動路徑長為3【點(diǎn)睛】本題主要考查了直徑所對圓周角是直角，弧長公式，由銳角正切值求角度，確定點(diǎn)P的路徑是解答本題的關(guān)鍵．19．（2022·湖南郴州·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)A，B，C在⊙O上，∠AOB=62°，則【答案】31【分析】根據(jù)圓周角定理進(jìn)行求解即可；【詳解】解：由圓周角定理可知：∠ACB=故答案為：31．【點(diǎn)睛】本題主要考查圓周角定理，掌握圓周角定理是解題的關(guān)鍵．20．（2022·遼寧錦州·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB為⊙O的直徑，∠ADC=130°，連接AC，則∠BAC的度數(shù)為___________．【答案】40°/40度【分析】首先利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和∠ADC的度數(shù)求得∠B的度數(shù)，然后利用直徑所對的圓周角是直角確定∠ACB=90°，然后利用直角三角形的兩個銳角互余求得答案即可．【詳解】解：∵四邊形ABCD內(nèi)接與⊙O，∠ADC=130°，∴∠B=180°∠ADC=180°130°=50°，∵AB為直徑，∴∠ACB=90°，∴∠CAB=90°∠B=90°50°=40°，故答案為：40°．【點(diǎn)睛】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)及圓周角定理的知識，解題的關(guān)鍵是了解圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)．知識點(diǎn)三：點(diǎn)、線和圓的位置關(guān)系21．（2022·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)O在邊AC上，以O(shè)為圓心，4為半徑的圓恰好過點(diǎn)C，且與邊AB相切于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，則劣弧DE的長是________（結(jié)果保留π）【答案】2π【分析】如圖，連接OD，OE，證明AB∥OE,可得∠A=∠COE,再證明∠COE+∠AOD=90°,可得∠DOE=180°-90°=90°,再利用弧長公式進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：如圖，連接OD，OE，∵OE=OC=4,∴∠OEC=∠OCE,∵AB=AC,∴∠B=∠ACB,∴∠B=∠OEC,∴AB∥OE,∴∠A=∠COE,∵⊙O與邊AB相切于點(diǎn)D，∴∠ADO=90°,∴∠A+∠AOD=90°,∴∠COE+∠AOD=90°,∴∠DOE=180°-90°=90°,∴DE的長=故答案為：2π．【點(diǎn)睛】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)，切線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，弧長的計(jì)算，求解∠DOE=90°是解本題的關(guān)鍵．22．（2022·內(nèi)蒙古呼和浩特·統(tǒng)考中考真題）已知AB為⊙O的直徑且AB=2，點(diǎn)C是⊙O上一點(diǎn)（不與A、B重合），點(diǎn)D在半徑OB上，且AD=AC，AE與過點(diǎn)C的⊙O的切線垂直，垂足為E．若∠EAC=36°，則CD【答案】15【分析】根據(jù)題意作出圖形，連接CO，根據(jù)切線的性質(zhì)，等邊對等角，平行線的性質(zhì)可得∠CAD=36°，根據(jù)AD=AC，可得∠CDO=∠COD=72°,可得OC=CD=1,進(jìn)而證明△ACD∽△COD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出方程，解方程即可求解．【詳解】如圖，連接CO，∵EC是⊙O的切線，AE⊥EC，∠EAC=36°，∴OC⊥EC,∴AE∥OC，∠ACO=∠EAC=36°,∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA=36°,∴∠COD=2∠CAO=72°,∵AC=AD,∴∠ADC=∠ACD=72°,

∴∠ADC=∠COD=72°,∴CD=CO=1∵∠COD=∠CDO=72°∴∠OCD=180°-2×72°=36°∵∠CAD=∠OCD=36°,∠ADC=∠CDO=72°,∴△ACD∽△COD∴設(shè)OD=x，則AC=AD=1+x∴1+x解得x=5即DO=故答案為：1,5【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，綜合運(yùn)用以上知識結(jié)合圖形求解是解題的關(guān)鍵．23．（2022·江蘇泰州·統(tǒng)考中考真題）如圖，PA與⊙O相切于點(diǎn)A，PO與⊙O相交于點(diǎn)B，點(diǎn)C在AmB上，且與點(diǎn)A，B不重合，若∠P=26°，則∠C的度數(shù)為_________°．【答案】32【分析】連接OA，根據(jù)切線的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)求出∠O=64°．再根據(jù)圓周角的定理，求解即可．【詳解】解：連接OA，∵PA與⊙O相切于點(diǎn)A，∴∠PAO=90°，∴∠O=90°∠P，∵∠P=26°，∴∠O=64°，∴∠C=12∠O=32°故答案為：32．【點(diǎn)睛】此題考查了切線的性質(zhì)以及圓周角定理，解題的關(guān)鍵是正確利用切線的定理，作出輔助線，求出∠O的度數(shù)．24．（2022·海南·統(tǒng)考中考真題）如圖，射線AB與⊙O相切于點(diǎn)B，經(jīng)過圓心O的射線AC與⊙O相交于點(diǎn)D、C，連接BC，若∠A=40°，則∠ACB=___________°．【答案】25【分析】連接OB，如圖，利用切線的性質(zhì)得∠ABO=90°，再利用互余得到∠AOB=50°，然后根據(jù)三角形外角性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)計(jì)算∠C的度數(shù)．【詳解】解：連接OB，如圖，∵邊AB與⊙O相切，切點(diǎn)為B，∴OB⊥AB，∴∠ABO=90°，∴∠AOB=90°∠A=90°40°=50°，∵OB=OC，∴∠OBC=∠C，∴∠AOB=∠OBC+∠C=2∠C，∴∠C=12∠AOB=25°故答案為：25．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．若出現(xiàn)圓的切線，必連過切點(diǎn)的半徑，構(gòu)造定理圖，得出垂直關(guān)系．25．（2022·廣西玉林·統(tǒng)考中考真題）如圖，在5×7網(wǎng)格中，各小正方形邊長均為1，點(diǎn)O，A，B，C，D，E均在格點(diǎn)上，點(diǎn)O是△ABC的外心，在不添加其他字母的情況下，則除△ABC外把你認(rèn)為外心也是O的三角形都寫出來【答案】△ADC、△BDC、△ABD【分析】先求出△ABC的外接圓半徑r，再找到距離O點(diǎn)的長度同為r的點(diǎn)，即可求解．【詳解】由網(wǎng)格圖可知O點(diǎn)到A、B、C三點(diǎn)的距離均為：12則外接圓半徑r=5圖中D點(diǎn)到O點(diǎn)距離為：12圖中E點(diǎn)到O點(diǎn)距離為：12則可知除△ABC外把你認(rèn)為外心也是O的三角形有：△ADC、△ADB、△BDC，故答案為：△ADC、△ADB、△BDC．【點(diǎn)睛】本題考查了外接圓的性質(zhì)、勾股定理等知識，求出△ABC的外接圓半徑r是解答本題的關(guān)鍵．26．（2022·湖北武漢·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)P是⊙O上一點(diǎn)，AB是一條弦，點(diǎn)C是APB上一點(diǎn)，與點(diǎn)D關(guān)于AB對稱，AD交⊙O于點(diǎn)E，CE與AB交于點(diǎn)F，且BD∥CE．給出下面四個結(jié)論：①CD平分∠BCE；

②BE=BD；

③AE2【答案】①②④【分析】根據(jù)點(diǎn)AB為CD的垂直平分線，得出BD=BC，AD=AC，根據(jù)等邊對等角得出∠BDC=∠BCD，利用平行線性質(zhì)可判斷①正確；利用△ADB≌△ACB（SSS）得出∠EAB=∠CAB，利用圓周角弧與弦關(guān)系可判斷②正確；根據(jù)等弧所對的圓周角相等可得∠AEF≠∠ABE，從而可得△AEF與△ABE不相似，即可判斷③；連結(jié)OB，利用垂徑定理得出OB⊥CE，利用平行線性質(zhì)得出OB⊥BD，即可判斷④正確．【詳解】解：∵點(diǎn)C是APB上一點(diǎn)，與點(diǎn)D關(guān)于AB對稱，∴AB為CD的垂直平分線，∴BD=BC，AD=AC，∴∠BDC=∠BCD，∵BD∥CE，∴∠ECD=∠CDB，∴∠ECD=∠BCD，∴CD平分∠BCE，故①正確；在△ADB和△ACB中，∵AD=AC，BD=BC，AB=AB，∴△ADB≌△ACB（SSS），∴∠EAB=∠CAB，∴BE=∴BE=BC=BD，故②正確；∵AC≠AE，∴AC≠AE，∴∠AEF≠∠ABE，∴△AEF與△ABE不相似，故③錯誤；連結(jié)OB，∵BE=BC，∴OB⊥CE，∵BD∥CE，∴OB⊥BD，∴BD為⊙O的切線．故④正確，∴其中所有正確結(jié)論的序號是①②④．故答案為①②④．．【點(diǎn)睛】本題考查軸對稱性質(zhì)，線段垂直平分線性質(zhì)，角平分線判定，三角形全等判斷于性質(zhì)，垂徑定理，切線判斷，掌握軸對稱性質(zhì)，線段垂直平分線性質(zhì)，角平分線判定，三角形全等判斷于性質(zhì)，垂徑定理，切線判斷是解題關(guān)鍵．27．（2022·山東泰安·統(tǒng)考中考真題）如圖，在△ABC中，∠B=90°，⊙O過點(diǎn)A、C，與AB交于點(diǎn)D，與BC相切于點(diǎn)C，若∠【答案】64°/64度【分析】根據(jù)同弧對應(yīng)的圓心角是圓周角的2倍計(jì)算出∠DOC，再根據(jù)AB//OC，內(nèi)錯角∠ADO=∠DOC得到答案．【詳解】如下圖所示，連接OC從圖中可以看出，∠DAC是圓弧DC對應(yīng)的圓周角，∠DOC是圓弧DC對應(yīng)的圓心角得∠DOC=2∠DAC=64∵BC是圓O的切線∴OC⊥BC∵∠B=90°∴AB⊥BC∴AB//OC∴∠ADO=∠DOC=64故答案為：64°【點(diǎn)睛】本題考查圓的切線的性質(zhì)，圓周角定理、平行線的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握圓和平行線的相關(guān)知識．28．（2022·湖南株洲·統(tǒng)考中考真題）中國元代數(shù)學(xué)家朱世杰所著《四元玉鑒》記載有“鎖套吞容”之“方田圓池結(jié)角池圖”．“方田一段，一角圓池占之．”意思是說：“一塊正方形田地，在其一角有一個圓形的水池（其中圓與正方形一角的兩邊均相切）”，如圖所示．問題：此圖中，正方形一條對角線AB與⊙O相交于點(diǎn)M、N（點(diǎn)N在點(diǎn)M的右上方），若AB的長度為10丈，⊙O的半徑為2丈，則BN的長度為_________丈．【答案】8-2【分析】如圖，先根據(jù)正方形的性質(zhì)得出∠OAC=12∠EAD=45°，再解直角三角形求出AO【詳解】解：如圖，設(shè)⊙O與AD邊的切點(diǎn)為點(diǎn)C，連接OC，則OC=2（丈），OC⊥AD，由正方形的性質(zhì)知∠EAD=90°，對角線AB平分∠EAD，∴∠OAC=1∴AO=OC∴AN=ON+AO=2+22∴BN=AB-AN=10-(2+22故答案為：8-22【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，圓的切線的定義，解直角三角形等，通過解直角三角形求出AO的長度是解題的關(guān)鍵．29．（2022·浙江寧波·統(tǒng)考中考真題）如圖，在△ABC中，AC=2，BC=4，點(diǎn)O在BC上，以O(shè)B為半徑的圓與AC相切于點(diǎn)A，D是BC邊上的動點(diǎn)，當(dāng)△ACD為直角三角形時，AD的長為___________．【答案】32或【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)定理，勾股定理，直角三角形的等面積法解答即可．【詳解】解：連接OA，①當(dāng)D點(diǎn)與O點(diǎn)重合時，∠CAD為90°，設(shè)圓的半徑=r，∴OA=r，OC=4r，∵AC=2，在Rt△AOC中，根據(jù)勾股定理可得：r2+4=（4r）2，解得：r=32即AD=AO=32②當(dāng)∠ADC=90°時，過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，∵12AO?AC=12∴AD=AO?ACOC∵AO=32，AC=2，OC=4r=5∴AD=65綜上所述，AD的長為32或6故答案為：32或6【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)和勾股定理，熟練掌握這些性質(zhì)定理是解決本題的關(guān)鍵．30．（2022·江蘇連云港·統(tǒng)考中考真題）如圖，AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的切線，A為切點(diǎn)，連接BC，與⊙O交于點(diǎn)D，連接OD．若∠AOD=82°，則∠C【答案】49【分析】利用同弧所對的圓周角等于圓心角的一半求得∠B=12∠AOD=41°，根據(jù)AC是⊙O的切線得到∠BAC=90°【詳解】解：∵∠AOD=82°，∴∠B=12∠AOD=41°∵AC為圓的切線，A為切點(diǎn)，∴∠BAC=90°，∴∠C=90°41°=49°故答案為49．【點(diǎn)睛】此題考查圓周角定理，圓的切線的性質(zhì)定理，直角三角形兩銳角互余，正確理解圓周角定理及切線的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．知識點(diǎn)四：正多邊形和圓31．（2022·遼寧營口·統(tǒng)考中考真題）如圖，在正六邊形ABCDEF中，連接AC,CF，則∠【答案】30【分析】連接BE，交CF與點(diǎn)O，連接OA，先求出∠AOF=360°【詳解】連接BE，交CF與點(diǎn)O，連接OA，∵在正六邊形ABCDEF中，∴∠AOF=360°∵OA=OC∴∠OAC=∠OCA∵∠AOF=∠OAC+∠ACF=2∠ACF∴∠ACF=30°，故答案為：30．【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形與圓，等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．32．（2022·黑龍江綏化·統(tǒng)考中考真題）如圖，正六邊形ABCDEF和正五邊形AHIJK內(nèi)接于⊙O，且有公共頂點(diǎn)A，則∠BOH的度數(shù)為【答案】12【分析】連接AO，求出正六邊形和正五邊形的中心角即可作答．【詳解】連接AO，如圖，∵多邊形ABCDEF是正六邊形，∴∠AOB=360°÷6=60°，∵多邊形AHIJK是正五邊形，∴∠AOH=360°÷5=72°，∴∠BOH=∠AOH∠AOB=72°60°=12°，故答案為：12．【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形的中心角的知識，掌握正多邊形中心角的計(jì)算方法是解答本題的關(guān)鍵．33．（2022·江蘇宿遷·統(tǒng)考中考真題）如圖，在正六邊形ABCDEF中，AB=6，點(diǎn)M在邊AF上，且AM=2．若經(jīng)過點(diǎn)M的直線l將正六邊形面積平分，則直線l被正六邊形所截的線段長是_____．【答案】4【分析】如圖，連接AD，CF，交于點(diǎn)O，作直線MO交CD于H，過O作OP⊥AF于P，由正六邊形是軸對稱圖形可得：S四邊形ABCO=S四邊形DEFO,由正六邊形是中心對稱圖形可得：S△AOM【詳解】解：如圖，連接AD，CF，交于點(diǎn)O，作直線MO交CD于H，過O作OP⊥AF于P，由正六邊形是軸對稱圖形可得：S四邊形由正六邊形是中心對稱圖形可得：S△AOM=S∴直線MH平分正六邊形的面積，O為正六邊形的中心，由正六邊形的性質(zhì)可得：△AOF為等邊三角形，∠AFO=60°,而AB=6,∴AB=AF=OF=OA=6,AP=FP=3,∴OP=6∵AM=2,則MP=1,∴OM=1∴MH=2OM=47故答案為：4【點(diǎn)睛】本題考查的是正多邊形與圓的知識，掌握“正六邊形既是軸對稱圖形也是中心對稱圖形”是解本題的關(guān)鍵．34．（2022·浙江麗水·統(tǒng)考中考真題）三個能夠重合的正六邊形的位置如圖．已知B點(diǎn)的坐標(biāo)是(-3,3)，則A點(diǎn)的坐標(biāo)是【答案】(【分析】如圖，延長正六邊形的邊BM與x軸交于點(diǎn)E，過A作AN⊥x軸于N，連接AO，BO，證明∠BOE=∠AON,可得A,O,B三點(diǎn)共線，可得A,B關(guān)于O對稱，從而可得答案．【詳解】解：如圖，延長正六邊形的邊BM與x軸交于點(diǎn)E，過A作AN⊥x軸于N，連接AO，BO，∴三個正六邊形，O為原點(diǎn)，∴BM=MO=OH=AH,∠BMO=∠OHA=120°,∴△BMO≌△OHA,∴OB=OA,∴∠MOE=120°-90°=30°,∠MBO=∠MOB=∴∠BOE=60°,∠BEO=90°,同理：∠AON=120°-30°-30°=60°,∠OAN=90°-60°=30°,∴∠BOE=∠AON,∴A,O,B三點(diǎn)共線，∴A,B關(guān)于O對稱，∴A(3故答案為：(【點(diǎn)睛】本題考查的是坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱的兩個點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，正多邊形的性質(zhì)，熟練的應(yīng)用正多邊形的性質(zhì)解題是解本題的關(guān)鍵．35．（2022·山東棗莊·統(tǒng)考中考真題）北京冬奧會開幕式的巨型雪花狀主火炬塔的設(shè)計(jì)，體現(xiàn)了環(huán)保低碳理念．如圖所示，它的主體形狀呈正六邊形．若點(diǎn)A，F(xiàn)，B，D，C，E是正六邊形的六個頂點(diǎn)，則tan∠ABE＝_____．【答案】3【分析】由正六邊形的性質(zhì)得AB＝BC＝AC，BE垂直平分AC，再由等邊三角形的性質(zhì)得∠ABC＝60°，則∠ABE＝12∠ABC＝30°【詳解】連接BC、AC，∵點(diǎn)A，F(xiàn)，B，D，C，E是正六邊形的六個頂點(diǎn)，∴AB＝BC＝AC，BE垂直平分AC，∴△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝60°，∵BE⊥AC，∴∠ABE＝12∠ABC＝30°∴tan∠ABE＝tan30°＝33故答案為：33【點(diǎn)睛】本題考查了正六邊形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)以及特殊角的銳角三角函數(shù)，熟練掌握正六邊形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．36．（2022·吉林長春·統(tǒng)考中考真題）跳棋是一項(xiàng)傳統(tǒng)的智力游戲．如圖是一副跳棋棋盤的示意圖，它可以看作是由全等的等邊三角形ABC和等邊三角形DEF組合而成，它們重疊部分的圖形為正六邊形．若AB=27厘米，則這個正六邊形的周長為_________【答案】54【分析】設(shè)AB交EF、FD與點(diǎn)N、M，AC交EF、ED于點(diǎn)G、H，BC交FD、ED于點(diǎn)O、P，再證明△FMN、△ANG、△BMO、△DOP、△CPH、△EGH是等邊三角形即可求解．【詳解】設(shè)AB交EF、FD與點(diǎn)N、M，AC交EF、ED于點(diǎn)G、H，BC交FD、ED于點(diǎn)O、P，如圖，∵六邊形MNGHPO是正六邊形，∴∠GNM=∠NMO=120°，∴∠FNM=∠FMN=60°，∴△FMN是等邊三角形，同理可證明△ANG、△BMO、△DOP、△CPH、△EGH是等邊三角形，∴MO=BM，NG=AN，OP=PD，GH=HE，∴NG+MN+MO=AN+MN+BM=AB，GH+PH+OP=HE+PH+PD=DE，∵等邊△ABC≌等邊△DEF，∴AB=DE，∵AB=27cm，∴DE=27cm，∴正六邊形MNGHPO的周長為：NG+MN+MO+GH+PH+OP=AB+DE=54cm，故答案為：54．【點(diǎn)睛】本題考查了正六邊的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)以及等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識，掌握正六邊的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．37．（2022·四川成都·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知⊙O是小正方形的外接圓，是大正方形的內(nèi)切圓．現(xiàn)假設(shè)可以隨意在圖中取點(diǎn)，則這個點(diǎn)取在陰影部分的概率是_________．【答案】π-2【分析】如圖，設(shè)OA=a，則OB=OC=a，根據(jù)正方形內(nèi)接圓和外接圓的關(guān)系，求出大正方形、小正方形和圓的面積，再根據(jù)概率公式計(jì)算即可．【詳解】解：如圖，設(shè)OA=a，則OB=OC=a，由正方形的性質(zhì)可知∠AOB=90°，AB=a由正方形的性質(zhì)可得CD=CE=OC=a，∴DE=2a，S陰影=S圓S小正方形=πaS大正方形=2a2∴這個點(diǎn)取在陰影部分的概率是π-2a故答案為：π-2【點(diǎn)睛】本題考查了概率公式、正方形的性質(zhì)、正方形外接圓和內(nèi)切圓的特點(diǎn)、圓的面積計(jì)算，根據(jù)題意弄清楚圖形之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．知識點(diǎn)五：弧長和扇形面積38．（2022·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）已知圓錐的母線長AB=6cm，底面半徑OB=2【答案】120°/120度【分析】首先可求得圓錐的底面周長，也就是圓錐的側(cè)面展開圖的弧長，再利用弧長公式可求得圓錐的側(cè)面展開圖中扇形的圓心角．【詳解】解：∵圓錐的底面半徑為OB=2cm，∴圓錐的底面周長為4πcm，設(shè)扇形的圓心角為n°，∴nπ×6解得n=120，故圓錐的側(cè)面展開圖中扇形的圓心角為120°，故答案為：120°．【點(diǎn)睛】此題主要考查了圓錐的有關(guān)計(jì)算，理解圓錐的側(cè)面展開圖的弧長等于圓錐的底面周長是解題關(guān)鍵．39．（2021·遼寧盤錦·統(tǒng)考中考真題）如圖，⊙A，⊙B，⊙C兩兩不相交，且半徑都等于2，則圖中三個扇形（即陰影部分）的面積之和為______【答案】2π【分析】根據(jù)三個扇形的半徑都是2，由扇形的面積公式即可求出陰影部分的面積．【詳解】解：∵三個扇形的半徑都是2，∴而三個圓心角的和是180°，∴圖中的三個扇形(即三個陰影部分)的面積之和為180·π·2故答案為：2π．【點(diǎn)睛】考查了扇形面積的計(jì)算，因?yàn)槿齻€扇形的半徑相等，所以不需知道各個扇形的圓心角的度數(shù)，只需知道三個圓心角的和即可．40．（2014·河南·中考真題）如圖，在菱形ABCD中，AB=1，∠DAB=60°，把菱形ABCD繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)30°得到菱形AB′C′D′，其中點(diǎn)C的運(yùn)動路徑為CC'，則圖中陰影部分的面積為【答案】π【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)角為30°，連接CD′和BC'，可得A、D′、C及A、B、C′分別共線，求出扇形的面積，再根據(jù)AAS證得兩個小三角形全等，求得面積，最后根據(jù)扇形ACC'的面積兩個小的三角形的面積即可．【詳解】解：連接CD′和BC'∵∠DAB=60°∴∠DAC=∠CAB=30°∵∠C'AB'=30°∴A、D′、C及A、B、C′分別共線∴AC=∴扇形ACC′的面積為：30π×∵AC=AC′，AD′=AB在△OCD'CD'=BC'∴△OCD'≌△OC'B∴OB=OD′，CO=C′O又∵∠CBC'=60°,∠BC'O=30°∴∠BOC'=90°在Rt△BOC'中，解得BO=∴S△OCB=12×BO×C'O=∴S陰影故答案為:π4

【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，扇形的面積公式，熟練掌握旋轉(zhuǎn)變換只改變圖形的位置不改變圖形的形狀與大小是解題的關(guān)鍵．41．（2022·遼寧朝陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形ABCD中，AD＝23，DC＝43，將線段DC繞點(diǎn)D按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)E恰好落在邊AB上時，圖中陰影部分的面積是_____．【答案】24﹣63-【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得DE＝DC＝43，由銳角三角函數(shù)可求∠ADE＝60°，由勾股定理可求AE的長，分別求出扇形EDC和四邊形DCBE的面積，即可求解．【詳解】解：∵將線段DC繞點(diǎn)D按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，∴DE＝DC＝43，∵cos∠ADE=AD∴∠ADE＝60°，∴∠EDC＝30°，∴S扇形EDC=30×π×48360∵AE=DE∴BE＝AB﹣AE＝43-6∴S四邊形DCBE=(43-6+43∴陰影部分的面積＝24﹣63-4π故答案為：24﹣63-4π【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，矩形的性質(zhì)，扇形的面積公式等知識，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．42．（2022·山東菏澤·統(tǒng)考中考真題）如圖，等腰Rt△ABC中，AB=AC=2，以A為圓心，以AB為半徑作BDC﹔以BC為直徑作【答案】π-2【分析】由圖可知：陰影部分的面積＝半圓CAB的面積△ABC的面積+扇形ABC的面積△ABC的面積，可根據(jù)各自的面積計(jì)算方法求出面積即可．【詳解】解：∵等腰Rt△ABC中，AB=AC=∴BC=2∴S扇形ACB=90π×2360=π2，S半圓CAB=12π×（1）2=π2所以陰影部分的面積＝S半圓CABS△ABC+S扇形ACBS△ABC=π故答案是：π-2．【點(diǎn)睛】本題主要考查了扇形和三角形的面積計(jì)算方法．不規(guī)則圖形的面積通常轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積的和差．43．（2022·山東棗莊·統(tǒng)考中考真題）在活動課上，“雄鷹組”用含30°角的直角三角尺設(shè)計(jì)風(fēng)車．如圖，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，將直角三角尺繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)得到△AB′C′，使點(diǎn)C′落在AB邊上，以此方法做下去……則B點(diǎn)通過一次旋轉(zhuǎn)至B′所經(jīng)過的路徑長為_____．（結(jié)果保留π）【答案】4π【分析】根據(jù)題意，點(diǎn)B所經(jīng)過的路徑是圓弧，根據(jù)直角三角形30°角所對的邊等于斜邊的一半，易知AB=4，結(jié)合旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知∠BAB′＝∠BAC＝60°，，最后求出圓弧的長度即可．【詳解】∵∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，∴AB＝2AC＝4，∠BAC＝60°，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，∠BAB′＝∠BAC＝60°，∴B點(diǎn)通過一次旋轉(zhuǎn)至B′所經(jīng)過的路徑長為60π·4180故答案為：4π3【點(diǎn)睛】本題主要考查了直角三角形30°角所對的邊等于斜邊的一半，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，以及圓弧的求法，熟練地掌握相關(guān)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．44．（2022·西藏·統(tǒng)考中考真題）已知Rt△ABC的兩直角邊AC＝8，BC＝6，將Rt△ABC繞AC所在的直線旋轉(zhuǎn)一周形成的立體圖形的側(cè)面積為_____（結(jié)果保留π）．【答案】60π【分析】直角三角形繞其中一直角邊旋轉(zhuǎn)180°得到的幾何體是圓錐，由此可知所求為圓錐的側(cè)面積，代入圓錐側(cè)面積公式即可求解．【詳解】由勾股定理得AB＝10，∵BC＝6，∴圓錐的底面周長＝12π，旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積＝12×12π×10＝60π故答案為：60π．【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐的側(cè)面積，掌握相關(guān)定義定理，認(rèn)真讀題，仔細(xì)解答是本題的解題關(guān)鍵．45．（2022·貴州黔西·統(tǒng)考中考真題）如圖，邊長為4的正方形ABCD的對角線交于點(diǎn)O，以O(shè)C為半徑的扇形的圓心角∠FOH=90°．則圖中陰影部分面積是【答案】2π-4【分析】證明△OCG≌△OBE，經(jīng)過觀察易得出結(jié)論：陰影部分面積=扇形面積正方形面積的14【詳解】∵四邊形ABCD為正方形，∴OB=OC，∠BOC=90°，∠OBE=∠OCG=45°，∵扇形的圓心角∠FOH=90°，∴∠BOC∠COE=∠FOH∠COE，即∠BOE=∠COG，在△OCG和△OBE中，∠OBE=∠OCG，∠BOE=∠COG，OB=OC∴△OCG≌△OBE，∵正方形邊長為4，∴AC=42∴OC=2∵S扇形S=S=S=2π-4故答案為：2π-4【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，三角形的全等以及扇形面積的計(jì)算；掌握正方形的性質(zhì)，熟練地進(jìn)行三角形全等的判定，將不規(guī)則圖形的面積轉(zhuǎn)化為常見圖形的面積是解題的關(guān)鍵．46．（2022·青海西寧·統(tǒng)考中考真題）如圖，等邊三角形ABC內(nèi)接于⊙O，BC=23，則圖中陰影部分的面積是________．【答案】4π3/【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得S△COB=S△AOC，∠AOC=120°，將陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為扇形AOC的面積，利用扇形面積的公式計(jì)算可求解．【詳解】解：過點(diǎn)O作OD⊥AC于點(diǎn)D，∵△ABC為等邊三角形，∴∠AOC=120°，AD=CD=3，∴∠OAC=30°，∴OA=AD÷cos30°=2，∵△ABC為等邊三角形，∴S△COB=S△AOC，∠AOC=120°，∴S陰影=S扇形AOC=120π?22360故答案為：4π3【點(diǎn)睛】本題主要考查扇形面積的計(jì)算，等邊三角形的性質(zhì)，掌握扇形面積公式是解題的關(guān)鍵．47．（2022·遼寧盤錦·中考真題）如圖，四邊形OABC是平行四邊形，AB＝1，以點(diǎn)O為圓心，OC長為半徑的⊙O與AB相切于點(diǎn)B，與AO相交于點(diǎn)D．則圖中陰影部分的面積為_____．【答案】4-π【分析】連接OB，根據(jù)切線的性質(zhì)可得∠OBA＝90°，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得AB＝OC＝OB＝1，從而可得∠AOB＝45°，然后利用陰影部分的面積＝△AOB的面積﹣扇形DOB的面積，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】連接OB，∵AB與⊙O相切于點(diǎn)B，∴∠OBA＝90°，∵四邊形ABCO是平行四邊形，∴AB＝OC＝1，∴AB＝OB＝1，∴∠AOB＝∠OAB＝45°，∴陰影部分的面積＝△AOB的面積﹣扇形DOB的面積＝12AB?OB﹣＝12×1×1﹣＝4-π8故答案為：4-π8【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，扇形面積的計(jì)算，熟練掌握切線的性質(zhì)，以及平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．模塊二〖押題沖關(guān)〗1．（2023·上海徐匯·統(tǒng)考二模）如圖，在直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A8，0、點(diǎn)B0，6，⊙A的半徑為5，點(diǎn)C是⊙A上的動點(diǎn)，點(diǎn)【答案】2.5≤OP≤7.5【分析】如圖，在y軸上取一點(diǎn)B'0，-6，連接B'A，B'C，由勾股定理求出B'A=10，由三角形中位線定理求B'C=2OP，當(dāng)C在線段B【詳解】解：如圖，在y軸上取一點(diǎn)B'0,-6，連接B'∵B'0，∴OB'=OB=6∴B'∵點(diǎn)P是BC的中點(diǎn)，∴BP=PC，∵OB=OB'，∴OP是△BB∴B'當(dāng)C在線段B'A上時，B'當(dāng)C在線段B'A延長線上時，B'∴5≤B∴2.5≤OP≤7.5，故答案為：2.5≤OP≤7.5．【點(diǎn)睛】本題考查的是圓外一點(diǎn)到圓上點(diǎn)距離的最值，三角形中位線定理，勾股定理等知識，添加恰當(dāng)?shù)妮o助線是解答本題的關(guān)鍵．2．（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考一模）如圖，已知△ABC為等邊三角形，AB=6，將邊AB繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)a0°<a<120°，得到線段AD，連接CD，點(diǎn)E為CD上一點(diǎn)，且DE=2CE【答案】27-【分析】過E作EH∥AD，交AC于H，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得到AD=AC，進(jìn)而得到∠CEH=∠D=∠ACD，根據(jù)平行線分線段成比例定理，得到CECD=CHAC=13，得到CH=EH=2，取AH的中點(diǎn)P，連接EP，可得點(diǎn)E在以H為圓心，CP為直徑的弧上運(yùn)動，當(dāng)B、E、H三點(diǎn)共線時，BE的長最小，過點(diǎn)B作BQ⊥AC于【詳解】解：如圖，過E作EH∥AD，交AC于H，∵△ABC為等邊三角形，∴AB=AC=6，將邊AB繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)a0°<a<120°，得到線段AD∴AD=AB=AC，∴∠D=∠ACD，∵EH∥AD，∴∠CEH=∠D，∴∠CEH=∠D=∠ACD，∴CH=EH，∵DE=2CE，∴CE∵AC=6，∴CH=2，AH=4，取AH的中點(diǎn)P，連接EP，∴PH=2，即點(diǎn)H為CP的中點(diǎn)，∵CH=EH=2，∴EH=1∴點(diǎn)E在以H為圓心，CP為直徑的弧上運(yùn)動，∵EH為定值2，∴當(dāng)B、E、H三點(diǎn)共線時，BE的長最小，過點(diǎn)B作BQ⊥AC于Q，∵△ABC為等邊三角形，∴CQ=AQ=1∴BQ=BC∵QH=CQ-CH=1，∴BH=B∴BE=27即BE的最小值為2故答案為：27【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，平行線分線段成比例定理等知識，根據(jù)題意正確作出輔助線是解題關(guān)鍵．3．（2023·天津河?xùn)|·一模）如圖，在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，∠APC邊上的點(diǎn)A，點(diǎn)B，點(diǎn)C及點(diǎn)D均落在格點(diǎn)上，且點(diǎn)B，點(diǎn)C（1）線段AB的長等于_____．（2）在網(wǎng)格內(nèi)有一點(diǎn)E，滿足∠ABE=∠BCE，在線段AP上有一點(diǎn)F，當(dāng)DF+EF取得最小值時，請用無刻度的直尺，在如圖所示的網(wǎng)格中，畫出點(diǎn)E，點(diǎn)F，并簡要說明點(diǎn)E【答案】32如圖，取格點(diǎn)M、N，連接MN，取格點(diǎn)W、H、K、L、X，連接HL，WK交于T，連接TX，連接OL交TX于S，連接SD交AP【分析】（1）利用勾股定理求解即可；（2）如圖，取格點(diǎn)M、N，連接MN，取格點(diǎn)W、H、K、L、X，連接HL，WK交于T，連接TX，連接OL交TX于S，連接SD交AP于【詳解】解：（1）由題意得，AB=3故答案為：32（2）如圖，取格點(diǎn)M、N，連接MN交BC于O，取格點(diǎn)W、H、K、L、X，連接HL，WK交于T，連接TX，連接OL交TX于S，連接SD交AP于如圖，連接AB，由勾股定理得AB=BC=32+∴AB2∴∠ABC=90°，同理可證∠CMB=∠NCM=90°，∴BC，MN是直徑，則點(diǎn)∴AB是⊙O的切線，∵∠BEC=90°，∴∠BCE+∠CBE=90°，∵∠ABE=∠BCE，∴∠ABE+∠CBE=90°∴點(diǎn)E即為BNC上一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)D關(guān)于直線AP的對稱點(diǎn)為D'，點(diǎn)O關(guān)于直線AP的對稱點(diǎn)為∴D'F=DF，∴DF+FE=D∴當(dāng)D'、E∴由對稱性可知O'D與OD由網(wǎng)格的特點(diǎn)可知，點(diǎn)O關(guān)于直線AP的對稱點(diǎn)即為點(diǎn)S，∴連接SD交AP于F，點(diǎn)F即為所求，∴連接OF交圓于E，點(diǎn)E即為所求．故答案為：如圖，取格點(diǎn)M、N，連接MN交BC于O，取格點(diǎn)W、H、K、L、X，連接HL，WK交于T，連接TX，連接OL交TX于S，連接SD交AP于【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的判定，圓周角定理，軸對稱最短路徑問題，圓外一點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的距離的最值問題，勾股定理和勾股定理的逆定理等等，熟練掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．4．（2023·河南周口·統(tǒng)考一模）如圖，在扇形OAB中，∠AOB=90°，OA=6，點(diǎn)C，D分別在OA和OB上，且點(diǎn)C是OA的中點(diǎn)，BD=2，點(diǎn)E在弧AB上，連接CE，【答案】4【分析】作輔助線如圖，根據(jù)相似三角形的判定得到△COE∽△EOG，再利用相似三角形的性質(zhì)得到DE＋【詳解】解：延長OA至點(diǎn)G，使AG=OA，連接GE、則OEOG∵點(diǎn)C為OA的中點(diǎn)，OA=OE，∴OCOE∴OCOE又∠COE＝∴△COE∽△EOG，∴CEEG∴EG＝∴DE+2CE＝當(dāng)D、E、G三點(diǎn)在同一直線上時，此時DE+2CE=DG=O∴DE+2CE有最小值為410故答案為：410【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)及判定，勾股定理，掌握相似三角形的性質(zhì)及判定是解題的關(guān)鍵．5．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考一模）如圖，AB是⊙O的弦，OP⊥OA交AB于點(diǎn)P，過點(diǎn)B的直線交OP的延長線于點(diǎn)C，若CP=CB，OA=3，【答案】4【分析】由垂直定義得∠A+∠APO=90°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)由CP=CB得∠CBP=∠CPB，根據(jù)對頂角相等得∠CPB=∠APO，所以∠APO=∠CBP，而∠A=∠OBA，所以∠OBC=∠CBP+∠OBA=∠APO+∠A=90°，設(shè)BC=x，則PC=x，在Rt△OBC中，根據(jù)勾股定理得到【詳解】解：連接OB，如圖所示：∵OP⊥OA，∴∠AOP=90°，∴∠A+∠APO=90°，∵CP=CB，∴∠CBP=∠CPB，而∠CPB=∠APO，∴∠APO=∠CBP，∵OA=OB，∴∠A=∠OBA∴∠OBC=∠CBP+∠OBA=∠APO+∠A=90°，∴△OBC為直角三角形，設(shè)BC=x，則PC=x，在Rt△OBC中，OB=3，∵OB∴32解得：x=4，即BC的長為4．故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的基本知識，等腰三角形的性質(zhì)以及勾股定理，垂線定義理解，正確應(yīng)用勾股定理求出BC的長是解題關(guān)鍵．6．（2023·上海靜安·統(tǒng)考二模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，我們定義點(diǎn)Ax,y的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”為Bx+y,x-y．如果已知點(diǎn)A在直線y=x+3上，點(diǎn)B【答案】-【分析】先求得點(diǎn)Ax,y的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”為B2x+3,-3，過點(diǎn)C0，-3作y軸的垂線EF，交圓O于點(diǎn)E、F，連接【詳解】解：∵y=x+3，∴x+y=x+x+3=2x+3，x-y=x-x+3∴點(diǎn)Ax,y的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”為B過點(diǎn)C0，-3作y軸的垂線EF，交圓O于點(diǎn)E、F，連接OE，則點(diǎn)在Rt△OCE中，∵EF⊥y軸，y軸過圓心，∴CE=CF=3，∴x的取值范圍為-3<x<3故答案為：-3<x<3【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，垂徑定理，一次函數(shù)數(shù)等知識，熟練掌握垂徑定理是解題的關(guān)鍵．7．（2023·河北衡水·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，AMB關(guān)于AB對稱的AOB經(jīng)過AMB所在圓的圓心O，已知AB=6，點(diǎn)P為AMB（1）∠AOB=______（2）點(diǎn)P到AB的最大距離是______；（3）若點(diǎn)M、N分別是AP,BP的中點(diǎn)，則MN的長為【答案】12032【分析】（1）過O作OC⊥AB于D，交AMB于C，根據(jù)垂徑定理得到AD=BD，∠AOB=2∠AOD，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得到（2）當(dāng)點(diǎn)P為AMB的中點(diǎn)時，點(diǎn)P到AB的距離最大，即點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時，點(diǎn)P到AB的距離最大，根據(jù)垂徑定理得到AD=12AB=3（3）連接OM，ON，【詳解】解：（1）過O作OC⊥AB于D，交AMB于∴AD=BD，∠AOB=2∠AOD，∵AMB關(guān)于AB對稱的AOB經(jīng)過AMB所在圓的圓心O，∴OD=1∴∠DAO=30°，∴∠AOD=60°，∴∠AOB=2∠AOD=120°，故答案為：120；（2）當(dāng)點(diǎn)P為AMB的中點(diǎn)時，點(diǎn)P到即點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時，點(diǎn)P到AB的距離最大，∵AB=6，OD⊥AB，∴AD=1∴OD=33AD=∴CD=OC-OD=23故點(diǎn)P到AB的最大距離是3；故答案為：3；（3）連接OM，ON，∵點(diǎn)M、N分別是AP、BP的中點(diǎn)，∴AM∴∠POM=1∴∠MON=∠POM+∠PON=1由（2）知∴MN的長為60?π×2故答案為：23【點(diǎn)睛】本題考查了弧長的計(jì)算，圓周角定理，直角三角形的性質(zhì)，垂徑定理，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．8．（2023·北京豐臺·統(tǒng)考一模）如圖，在⊙O中，AB為弦，OC⊥AB于點(diǎn)C，交⊙O于點(diǎn)D，E，連接EA，【答案】AC=BC；∠EAB=∠EBA（答案不唯一）【分析】利用垂徑定理和圓周角定理得出相等關(guān)系即可.【詳解】∵在⊙O中，AB為弦，OC⊥AB，∴AC=BC,AD∴AE=BE,∠EAB=∠EBA,∠AED=∠BED，故答案為：AC=BC；∠EAB=∠EBA（答案不唯一）.【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理和圓周角定理，正確應(yīng)用定理是解題的關(guān)鍵.9．（2023·湖南長沙·統(tǒng)考一模）如圖，AB是半圓O的直徑，AB=12，AC為弦，OD⊥AC于D，OE∥AC交半圓O于點(diǎn)E，EF⊥AB于F【答案】3【分析】由AAS定理得出△ADO≌△OFE，推出OF=AD，根據(jù)垂徑定理求出AD的長，再根據(jù)勾股定理求解即可．【詳解】∵OD⊥AC，EF⊥AB，∴∠ADO=∠OFE=90°，∵OE∥AC，∴∠DOE=∠ADO=90°，∴∠DAO+∠DOA=90°，∠DOA+∠EOF=90°，∴∠DAO=∠EOF，在△ADO和△OFE中，∠ADO=∠EFO∠DAO=∠FOE∴△ADO≌△OFEAAS∴OF=AD，∵AB=12，BF=3，∴OF=AD=3，OA=6，∵OD⊥AC，∴AD=CD=3，∴OD=A故答案為：33【點(diǎn)睛】本題的是垂徑定理，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識，解此題的關(guān)鍵是求出△ADO≌△OFE和求出AD的長，注意：垂直于弦的直徑平分這條弦．10．（2023·四川成都·統(tǒng)考二模）如圖，已知AB是⊙O的弦，∠AOB=140°，OD⊥AB，垂足為C，交⊙O于點(diǎn)D，若P為⊙O上一點(diǎn)，連接AP【答案】35°/35度【分析】根據(jù)垂徑定理得出∠AOD=∠BOD，進(jìn)而求出∠AOD=60°，再根據(jù)圓周角定理可得．【詳解】解：∵OC⊥AB，OD為半徑，∴BD=∴∠AOD=∠BOD，∵∠AOB=140°，∴∠AOD=70°，∴∠APD=1故答案為：35°．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理、垂徑定理等知識，掌握垂徑定理是解答本題的關(guān)鍵．11．（2023·陜西西安·?？寄M預(yù)測）圓⊙O的半徑為4，AB、CD是⊙O的兩條弦，且AB=CD=4【答案】8【分析】連接OA，OB，OC，OD，過點(diǎn)O作OH⊥AB于點(diǎn)H．由垂徑定理結(jié)合銳角三角函數(shù)可求出cos∠OAH=AHOA=32，即得出∠OAH=30°，從而可求出∠AOB=∠COD=120°，進(jìn)而可求出∠AOD+∠BOC=120°．將△AOD繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)D與點(diǎn)C重合，設(shè)A的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E，則∠BOE=∠BOC+∠COE=∠BOC+∠AOD=120°，此時S△AOD+S△BOC=S△COE+S△BOC．連接BE，交OC于點(diǎn)F，分別作BM⊥OC于點(diǎn)M，EN⊥OC于點(diǎn)【詳解】解：如圖，連接OA，OB，OC，OD，過點(diǎn)∴AH=BH=12AB=2∵OA=4，∴cos∠OAH=AH∴∠OAH=30°，∴∠AOH=60°，∴∠AOB=120°．∵AB=CD=43∴∠AOB=∠COD=120°，∴∠AOD+∠BOC=360°-2×120°=120°．如圖，將△AOD繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)D與點(diǎn)C重合，設(shè)A的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E，∴∠BOE=∠BOC+∠COE=∠BOC+∠AOD=120°，則此時S△AOD如圖，連接BE，交OC于點(diǎn)F，分別作BM⊥OC于點(diǎn)M，EN⊥OC于點(diǎn)N，∴S△COE∵BM+EN≤BF+EF=BE，∴當(dāng)F，M，N三點(diǎn)重合時BM+EN最大，即為BE的長，如圖．∵∠BOE=120°=∠AOB，∴BE=AB=43∴S△COE【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理，弧、弦、圓心角的關(guān)系，解直角三角形，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識．正確作出輔助線并理解當(dāng)F，M，N三點(diǎn)重合時BM+EN最大，即為BE的長是解題關(guān)鍵．12．（2023·上?！つM預(yù)測）已知鈍角△ABC內(nèi)接于⊙O，AB=BC，將△ABC沿AO所在直線翻折，得到△AB'C'，連接【答案】5511/【分析】延長AO交⊙O于F，設(shè)BB'、CC'交AF于N、E，連接OC，OB，設(shè)BB'=4x，CC'=3x，由翻折知AF是BB'、CC【詳解】解：延長AO交⊙O于F，設(shè)BB'、CC'交AF于N、∵BB設(shè)BB由翻折知AF是BB∴BN=2x，CE=3x2∵AB=BC，∴AB=∴∠AOB=∠BOC，在△BON和△COM中，∠BON=∠COM∴△BON≌△COM（AAS），∴CM=BN=2x，∴AC=2CM=4x，∵∠AMO=∠AEC，∠OAM=∠CAE，∴△AMO∽△AEC，∴OMCE∴OM=38在Rt△AOM中，由勾股定理得，2x2解得r=1655∴BM=255∴tan∠BAC=故答案為：5511【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的外接圓，等腰三角形的性質(zhì)，翻折的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，三角函數(shù)等知識，運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)表示出OM=3813．（2023·福建泉州·統(tǒng)考一模）如圖，AB、AC是⊙O的弦（不是直徑），將AB沿AB翻折交AC于點(diǎn)D．若AB=AC，AD【答案】5【分析】設(shè)翻折前點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)D'，連接DD'、AD'、BD'、BD、BC，易證四邊形ADBD'是菱形，得到∠BAD=∠BA【詳解】解：設(shè)翻折前點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)D'，連接DD'、AD'、B則：AD∴AD∵AD=∴A∴AD∴四邊形ADBD∴∠BAD=∠BAD∴BC=∴BC=BD∴BC=BD=AD，∴∠C=∠BDC，∵AB=∴AB=AC，∴∠C=∠ABC，∴∠ABC=∠BDC，∵∠C=∠C，∴△ABC∽△BDC，∴BCDC=AC∴AD∴AD=-∵AD>0,CD>0，∴AD=1+∴ADCD故答案為：5+1【點(diǎn)睛】本題考查弧，弦，角之間的關(guān)系，同弧所對的圓周角相等，菱形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)．熟練掌握相關(guān)知識點(diǎn)，并靈活運(yùn)用，是解題的關(guān)鍵．14．（2023·陜西西安·陜西師大附中?？寄M預(yù)測）如圖，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，點(diǎn)E、F在邊AB、AD上，且AE=AF=1，點(diǎn)P為BC上一動點(diǎn)，點(diǎn)Q為矩形內(nèi)部一動點(diǎn)，且∠EQF=135°，連接PD【答案】2【分析】連接EF，作點(diǎn)D關(guān)于BC的對稱點(diǎn)H，連接CH、PH，根據(jù)題意可知點(diǎn)Q在以A為圓心，AE長為半徑的圓上運(yùn)動，從而將【詳解】連接EF，作點(diǎn)D關(guān)于BC的對稱點(diǎn)H，連接CH、∵AE=AF=1，∠EQF=135°∴點(diǎn)Q在以A為圓心，AE長為半徑的圓上運(yùn)動∵點(diǎn)D關(guān)于BC的對稱點(diǎn)為H∴PD=PH∴PQ+PD=PQ+PH∴PQ+PD的最小值為AH-AE在Rt△AH=∴PQ+PD的最小值為AH-AE=2故答案為213【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、軸對稱最短路線問題、定弦定角、勾股定理等知識點(diǎn)，熟練掌握上述知識點(diǎn)是解答本題的關(guān)鍵．15．（2023·安徽馬鞍山·?？家荒＃┤鐖D，點(diǎn)C是直徑AB的三等分點(diǎn)（AC<CB），點(diǎn)D是弧ADB的三等分點(diǎn)（弧BD＜弧AD），若直徑AB＝12，則【答案】2【分析】過D作DE⊥AB于E，求出∠DOB＝60°，解直角三角形求出DE、OE的長度，求出CE【詳解】解：過D作DE⊥AB于E，則∠DEC=90°，∵點(diǎn)C是直徑AB的三等分點(diǎn)AC<CB，直徑AB＝∴AC=4，∴CO＝∵點(diǎn)D是弧ADB的三等分點(diǎn)（弧BD＜弧AD），∴∠DOB=1∴∠ODE＝∴OE=12OD=3∴CE＝∴DC=D故答案為：213【點(diǎn)睛】本題考查了圓心角、弧、弦之間的關(guān)系和直角三角形的性質(zhì)，能求出∠DOB＝16．（2022·湖北省直轄縣級單位·校考二模）如圖，A、B是半徑為2的⊙O上的兩點(diǎn)，若∠AOB=120°，點(diǎn)C是AB的中點(diǎn)，則四邊形AOBC【答案】8【分析】連接OC，證明∠AOC=∠BOC=60°,再證明△AOC，【詳解】解：連接OC．∵點(diǎn)C是AB的中點(diǎn)，∴∠AOC=∠BOC，∵∠AOB=120°，∴∠AOC=∠BOC=60°，∵OA=OC=OB，∴△AOC和△BOC都是等邊三角形，∴OA=OB=CA=CB=2，所以四邊形AOBC的周長等于8．故答案為：8．【點(diǎn)睛】本題考查的是圓的基本性質(zhì)，圓周角定理的應(yīng)用，等邊三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．17．（2023·黑龍江佳木斯·統(tǒng)考一模）如圖，AB是半⊙O的直徑，點(diǎn)C是弧AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E是弧AC的中點(diǎn)，連接EB、CA交于點(diǎn)F，則【答案】2【分析】連接OE交AC于點(diǎn)H，根據(jù)點(diǎn)E是弧AC的中點(diǎn)，可得OE⊥AC，從而證得△EHF∽△BCF，△AOH∽△ABC，進(jìn)而得到EFBF=EHBC，OFBC=OAAB=【詳解】解：如圖，連接OE交AC于點(diǎn)H，∵點(diǎn)E是弧AC的中點(diǎn)，∴OE⊥AC，∵AB是半⊙O的直徑，∴BC⊥AC，∴OE∥BC，∴△EHF∽△BCF，△AOH∽△ABC，∴EFBF=EH∵點(diǎn)C是弧AB的中點(diǎn)，∴∠C=90°,AC=BC，∴AB=2設(shè)BC=2x，則AB=22x，∴OE=OB=2∴EH=2∴EFBF故答案為：2【點(diǎn)睛】此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，弧、弦、圓心角的關(guān)系，正確利用弧、弦、圓心角的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．18．（2023·黑龍江綏化·統(tǒng)考一模）如圖，正六邊形A1B1C1D1E1F1的邊長為2，正六邊形A2B【答案】81【分析】連接OE1，OD1，OD2，根據(jù)正六邊形的性質(zhì)可得∠E1OD1=60°，則△E【詳解】解：連接OE1，OD∵六邊形A1∴∠E∴△E∵正六邊形A2B2∴OD∴OD∴正六邊形A2B2同理可得正六邊形A3B3∴正六邊形A10B10故答案為：813【點(diǎn)睛】本題主要考查正多邊形與圓的關(guān)系，解題的關(guān)鍵在于利用正六形邊的一邊與圓的兩條半徑可構(gòu)成特殊的三角形——等邊三角形，再利用60度角的余弦值即可求出下一個正六邊形的邊長．19．（2023·吉林長春·統(tǒng)考一模）如圖，已知正六邊形ABCDEF的邊長為2cm，以點(diǎn)A和點(diǎn)D為圓心畫BF和CE，則圖中陰影部分的面積為______cm2．（結(jié)果保留【答案】8π【分析】先求出內(nèi)角的度數(shù)，再根據(jù)扇形的面積公式計(jì)算即可．【詳解】六邊形的內(nèi)角的度數(shù)是(6-2)×180°6所以陰影部分的面積是2×120π×22故答案為：8π3【點(diǎn)睛】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和，扇形的面積公式等，確定陰影部分的面積是兩個相同的扇形面積和是解題的關(guān)鍵．20．（2023·上海徐匯·統(tǒng)考二模）如圖，已知⊙O的內(nèi)接正方形ABCD，點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)，AF與邊DC交于點(diǎn)E，那么EFAE【答案】2【分析】連接OF，交CD于點(diǎn)G，連接AC，根據(jù)題意得出GF∥AD，設(shè)AD=a，則AC=2AD=2【詳解】解：如圖所示，連接OF，交CD于點(diǎn)G，連接AC，∵⊙O的內(nèi)接正方形ABCD，∴AC經(jīng)過點(diǎn)O，∵點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)，∴OF⊥CD，GD=GC∴GF∥AD設(shè)AD=a，則AC=∴OF=OC=∵OG=1∴FG=OF-OG=∵GF∥AD，∴△ADE∽△FGE∴EFAE故答案為：2-【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形與圓，垂徑定理，正方形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)，證明△ADE∽△FGE是解題的關(guān)鍵．模塊三〖考前預(yù)測〗1．（2023·福建福州·閩清天儒中學(xué)?？寄M預(yù)測）在半徑是3的圓中，圓心角為120°的扇形的面積是___．【答案】3π【分析】利用扇形的面積公式可得答案.【詳解】解：半徑是3的圓中，圓心角為120°的扇形的面積是120π×3故答案為：3π.【點(diǎn)睛】本題考查的是扇形面積的計(jì)算，熟記扇形面積公式是解本題的關(guān)鍵.2．（2023·浙江臺州·統(tǒng)考一模）將等腰直角三角板與量角器按如圖所示的方式擺放，使三角板的直角頂點(diǎn)與量角器的中心O重合，三角板內(nèi)部的小等腰直角三角形的兩個頂點(diǎn)A，B恰好落在量角器邊緣，對應(yīng)的刻度分別是70°，130°，若CA=5，則陰影部分面積為________【答案】50π-75【分析】把量角器看作半圓，構(gòu)造扇形AOB，陰影部分的面積就等于扇形AOB的面積減去△AOB的面積，再利用相關(guān)的面積公式求解即可．【詳解】解：連接OA、OB，作AD⊥OB于點(diǎn)D，∵等腰直角三角形ACB中，CA=5，∴AB=2∵A，B對應(yīng)的刻度分別是70°，130°，∴∠AOB=130°-70°=60°，∵OA=OB，∴△AOB是等邊三角形，∴OA=OB=AB=52，AD=AB?sin60°=5S陰影【點(diǎn)睛】本題考查了扇形的面積公式，等邊三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，構(gòu)造扇形并得出等邊三角形是解題的關(guān)鍵．3．（2023·北京順義·統(tǒng)考一模）如圖，AB是⊙O的直徑，C，D是⊙O上兩點(diǎn)，若∠AOC=140°，則【答案】20°/20度【分析】先根據(jù)鄰補(bǔ)角的性質(zhì)求出∠BOC，再根據(jù)一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半即可得出答案．【詳解】解：∵AB是⊙O的直徑，∠AOC=140°，∴∠BOC=180°-∠AOC=40°，∴∠D=1故答案為20°【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角的性質(zhì)和鄰補(bǔ)角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知圓周角的性質(zhì)定理;一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半．4．（2023·廣東東莞·?？家荒＃┤鐖D，四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，∠A=70°，則∠【答案】70°/70度【分析】直接利用圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)推導(dǎo)可得出答案．【詳解】解：∵四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠A+∠BCD=180°，∵∠BCD+∠DCE=180°，∴∠DCE=∠A=70°，故答案為：70°．【點(diǎn)睛】本題考查圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，掌握圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)是解題關(guān)鍵．5．（2023·山東泰安·統(tǒng)考二模）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C為⊙O上一點(diǎn)，過點(diǎn)C作⊙O的切線，交直徑AB的延長線于點(diǎn)D，若∠ABC=65°【答案】40【分析】連接OC，如圖，先根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠OCD=90°，再利用圓周角定理得到∠ACB=90°，根據(jù)等邊對等角求出∠OCB=∠OBC=65°，得到∠BCD=25°，然后根據(jù)三角形外角性質(zhì)計(jì)算∠D的度數(shù)．【詳解】解：連接OC，如圖，∵CD為切線，∴OC⊥CD，∴∠OCD=90°，∵OC=OB,∴∠OCB=∠OBC=65°∴∠BCD=∠OCD-∠OCB=90°-65°=25°，∵∠OBC=∠BCD+∠D∴∠D=65°-25°=40°．故答案為：40．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，正確得出∠OCB=65°是解答本題的關(guān)鍵．6．（2023·河南南陽·統(tǒng)考一模）如圖，在扇形OBA中∠AOB=100°，OA=4，分別以點(diǎn)A、B為圓心，4為半徑畫弧，交AB于點(diǎn)D【答案】56【分析】連接OC，OD，AD，BC，過點(diǎn)C作CH⊥OB于H，則△OBC，△OAD均為等邊三角形，可得扇形OAD和扇形OBC的圓心角，由∠AOB可得∠COD，再根據(jù)陰影面積=弓形OC面積【詳解】解：如圖，連接OC，OD，AD，BC，過點(diǎn)∵OA=OB=OC=OD=AD=CB=4，∴△OBC，∴∠AOD=∠BOC=∠OAD=∠OBC=60°，∵∠AOB=100°，∴∠COD=∠AOD+∠BOC-∠AOB=2×60°-100°=20°，∵CH⊥OB，∴BH=1∴CH=∴S△COB∵扇形OBC和扇形OAD面