專題12角相交線與平行線（6大考點）

第四部分三角形專題12角、相交線與平行線（6大考點）核心考點核心考點一直線和線段核心考點二角與角平分線核心考點三相交線核心考點四平行線的判定核心考點五利用平行線求角度或證明核心考點六命題新題速遞核心考點一直線和線段例1（2021·江蘇泰州·統(tǒng)考中考真題）互不重合的A、B、C三點在同一直線上，已知AC＝2a+1，BC＝a+4，AB＝3a，這三點的位置關系是（）A．點A在B、C兩點之間 B．點B在A、C兩點之間C．點C在A、B兩點之間 D．無法確定【答案】A【分析】分別對每種情況進行討論，看a的值是否滿足條件再進行判斷．【詳解】解：①當點A在B、C兩點之間，則滿足，即，解得：，符合題意，故選項A正確；②點B在A、C兩點之間，則滿足，即，解得：，不符合題意，故選項B錯誤；③點C在A、B兩點之間，則滿足，即，解得：a無解，不符合題意，故選項C錯誤；故選項D錯誤；故選：A．【點睛】本題主要考查了線段的和與差及一元一次方程的解法，分類討論并列出對應的式子是解本題的關鍵．例2（2022·浙江嘉興·統(tǒng)考中考真題）如圖，在ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝60°，直尺的一邊與BC重合，另一邊分別交AB，AC于點D，E．點B，C，D，E處的讀數(shù)分別為15，12，0，1，則直尺寬BD的長為_________．【答案】【分析】先求解再利用線段的和差可得答案．【詳解】解：由題意可得：同理：故答案為：【點睛】本題考查的是銳角的正切的應用，二次根式的減法運算，掌握“利用銳角的正切求解三角形的邊長”是解本題的關鍵．例3（2022·黑龍江牡丹江·統(tǒng)考中考真題）如圖，和，點E，F(xiàn)在直線BC上，，，．如圖①，易證：．請解答下列問題：(1)如圖②，如圖③，請猜想BC，BE，BF之間的數(shù)量關系，并直接寫出猜想結(jié)論；(2)請選擇（1）中任意一種結(jié)論進行證明；(3)若，，，，則______，______．【答案】(1)圖②：；圖③：(2)證明見解析(3)8，14或18【分析】（1）先判斷兩個三角形全等，再結(jié)合線段的和差求解即可；（2）先證兩個三角形全等，再結(jié)合線段的和差求解即可；（3）過點A作△ABC的高AG，求出AG的長，再根據(jù)三角形的面積求出BC的長，進而求出BF即可．【詳解】（1）解：圖②：．圖③：．（2）解：圖②中在和中，∵，∴≌，∴BC=FE，∴BF=BC+CE+EF=BC+CE+BC，即．或圖③中，在和中，∵，∴≌，∴BC=FE，，即．（3）解：過點A作AG⊥BC于G，∵≌，∴∠B=∠F=60°，在Rt△ABG中，∵AB=6，∠B=60°，∴AG=AB·sinB=6×sin60°=，又∴∴BC=8，又∵，∴BF=BC+BE=8+82=14，或BF=BC+BE=8+8+2=18，故答案為：8，14或18．【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，線段的和差，三角形的面積，解直角三角形，解題關鍵是結(jié)合圖形找到線段之間的關系是解題關鍵．直線由無數(shù)個點構成，點動成線。直線是面的組成成分，并繼而組成體。沒有端點，向兩端無限延伸，長度無法度量。直線是軸對稱圖形。它有無數(shù)條對稱軸，對稱軸為所有與它垂直的直線（有無數(shù)條）。在平面上過不重合的兩點有且只有一條直線，即不重合兩點確定一條直線。在球面上，過兩點可以做無數(shù)條類似直線。構成幾何圖形的最基本元素。在D·希爾伯特建立的歐幾里德幾何的公理體系中，點、直線、平面屬于基本概念，由他們之間的關聯(lián)關系和五組公理來界定。線段指直線上兩點間的有限部分（包括兩個端點）

[1]

，有別于直線、射線【變式1】（2022·云南楚雄·云南省楚雄第一中學?？寄M預測）在下列說法中，正確的有（）①兩點確定一條直線；

②過一點有且只有一條直線與已知直線平行；

③垂直于同一條直線的兩條直線垂直；④平行于同一條直線的兩條直線平行；

⑤過一點有且只有一條直線和已知直線垂直．A．個 B．個 C．個 D．個【答案】B【分析】根據(jù)直線的性質(zhì)，平行線公理，垂線的性質(zhì)，以及平行線的性質(zhì)對各小題分析判斷即可得解．【詳解】解：①兩點確定一條直線，正確；

②應為過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行，故本小題錯誤；

③應為在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線平行，故本小題錯誤；④平行于同一條直線的兩條直線平行，正確；

⑤應為在同一個平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線和已知直線垂直，故本小題錯誤；綜上所述，說法正確的有①④共2個．故選B．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，直線的性質(zhì)，平行公理以及垂線的性質(zhì)，熟記性質(zhì)與概念是解題的關鍵．【變式2】（2022·江蘇常州·?？级＃┤鐖D，矩形中，點E在邊上，，動點P從點A出發(fā)，沿運動到B停止，過點E作垂直交射線于點F，如果M是線段的中點，那么P在運動的過程中，點M運動的路線長為（

）A．5 B．5.5 C．4 D．4.5【答案】D【分析】如圖，當P與A重合時，點F與K重合，此時點M在H處，當點P與B重合時，點F與G重合，點M在N處，點M的運動軌跡是線段．求出的長即可解決問題．【詳解】解：如圖，連接，過點作交于點，過點作交于點，點分別為中點，并連接，則當P與A重合時，點F與K重合，此時點M在H處，當點P與B重合時，點F與G重合，點M在N處，點M的運動軌跡是線段．，，，，，，，，，，，，點分別為中點，，故選：D．【點睛】本題考查軌跡、矩形的性質(zhì)、三角函數(shù)的應用、中位線的性質(zhì)等知識，解題的關鍵是正確尋找點M的運動軌跡，學會利用起始位置和終止位置尋找軌跡．【變式3】（2021·廣西柳州·統(tǒng)考一模）建筑工人砌墻時，經(jīng)常在兩個墻腳的位置分別插一根木樁，然后拉一條直的參照線，用到的數(shù)學知識是______．【答案】兩點確定一條直線【分析】根據(jù)兩點確定一條直線，即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意得：用到的數(shù)學知識是兩點確定一條直線．故答案為：兩點確定一條直線【點睛】本題主要考查了直線的性質(zhì)，熟練掌握兩點確定一條直線是解題的關鍵．【變式4】（2021·甘肅·模擬預測）定義：數(shù)軸上給定兩點A、B以及一條線段PQ，當線段AB的中點在線段PQ上時（包含點P、Q），就稱點A與點B關于線段PQ徑向?qū)ΨQ，若A、P、Q三點在數(shù)軸上的位置如圖所示，點A與點B關于線段PQ徑向?qū)ΨQ．則點B表示的數(shù)x的取值范圍是____．【答案】1≤x≤5##【分析】設點A和點B的中點為C，根據(jù)題意分點C與點P重合和點C與點Q重合兩種情況討論，分別求出點B表示的數(shù)即可求解．【詳解】解：設點A和點B的中點為C，由題意得：①當點C剛好與點P重合時，則AC＝BC＝0﹣（﹣1）＝1，故點B表示的數(shù)為：x＝1；②當點C剛好與點Q重合時，則AC＝BC＝2﹣（﹣1）＝3，故點B表示的數(shù)為：x＝5，綜上所述，點B表示的數(shù)的取值范圍是：1≤x≤5．故答案為：1≤x≤5．【點睛】此題考查了數(shù)軸上點的表示方法以及線段中點的知識，解題的關鍵是熟練掌握數(shù)軸上點的表示方法以及線段中點的知識點．【變式5】（2020·湖南邵陽·校聯(lián)考一模）如圖，點C在線段上，點M、N分別是的中點．(1)若，求線段的長；(2)若C為線段上任一點，滿足，其它條件不變，你能猜想的長度嗎？請直接寫出你的答案．(3)若C在線段的延長線上，且滿足，M、N分別為的中點，你能猜想的長度嗎？請畫出圖形，寫出你的結(jié)論，并說明理由．【答案】(1)(2)(3)，圖形見解析；結(jié)論理由見解析【分析】（1）根據(jù)M、N分別是的中點，可得，從而得到，即可求解；（2）根據(jù)M、N分別是的中點，可得，從而得到，即可求解；（3）根據(jù)M、N分別是的中點，可得，從而得到，即可求解．【詳解】（1）解∶∵M、N分別是的中點，∴，∵，∴；（2）解∶∵M、N分別是的中點，∴，∵，∴；（3）解∶，理由如下∶如圖，∵M、N分別是的中點，∴，∵，∴．【點睛】本題主要考查了有關線段中點的計算，明確題意，準確得到線段間的數(shù)量關系是解題的關鍵．核心考點二角與角平分線例1（2021·四川達州·統(tǒng)考中考真題）如圖，一束光線先后經(jīng)平面鏡，反射后，反射光線與平行，當時，的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】過點B作，過點C作，與相交于點E；根據(jù)余角性質(zhì)計算得；根據(jù)平行線性質(zhì)，得，結(jié)合角平分線性質(zhì)，計算得；再根據(jù)余角性質(zhì)計算，即可得到答案．【詳解】如下圖，過點B作，過點C作，與相交于點E∵，∴∴∵與平行∴∵，∴∴故選：B．【點睛】本題考查了平行線、角平分線、垂線、余角的知識；解題的關鍵是熟練掌握平行線的性質(zhì)，從而完成求解．例2（2022·山東濟寧·統(tǒng)考中考真題）如圖，直線l1，l2，l3被直線l4所截，若l1l2，l2l3，∠1＝126°32'，則∠2的度數(shù)是___________．【答案】【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得，根據(jù)等量等量代換得，進而根據(jù)鄰補角性質(zhì)即可求解．【詳解】解：如圖l1l2，l2l3，，，，∠1＝，，故答案為：．【點睛】本題考查了鄰補角，平行線的性質(zhì)，掌握平行線的性質(zhì)是解題的關鍵．例3（2022·浙江溫州·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的角平分線，，交于點E．(1)求證：．(2)當時，請判斷與的大小關系，并說明理由．【答案】(1)見解析(2)相等，見解析【分析】（1）利用角平分線的定義和平行線的性質(zhì)可得結(jié)論；

（2）利用平行線的性質(zhì)可得，

則AD=

AE，從而有CD

=

BE，由(1)

得，，可知BE

=

DE，等量代換即可．【詳解】（1）證明：∵是的角平分線，∴．∵，∴，∴．（2）．理由如下：∵，∴．∵，∴，∴，∴，∴，即．由（1）得，∴，∴．【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的定義等知識，熟練掌握平行與角平分線可推出等腰三角形是解題的關鍵．角在幾何學中，是由兩條有公共端點的射線組成的幾何對象。這兩條射線叫做角的邊，它們的公共端點叫做角的頂點。一般的角會假設在歐幾里得平面上，但在歐幾里得幾何中也可以定義角。角在幾何學和三角學中有著廣泛的應用從一個角的頂點引出一條射線，把這個角分成兩個完全相同的角，這條射線叫做這個角的角平分線。注：角平分線類型的題目，輔助線一般都是過角平分線上的向兩邊作垂線?！咀兪?】（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考一模）如圖，已知，直角三角板的直角頂點在直線a上，若，則等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)直角三角形的直角與平角之間的關系可得到與互余，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可知的度數(shù)．【詳解】解：如圖，∵直角三角板的直角頂點在直線上，∴∵，∴故選：．【點睛】本題考查的是平行線的性質(zhì)，解題時注意：兩直線平行，內(nèi)錯角相等．【變式2】（2022·江蘇南京·南京大學附屬中學?？寄M預測）如圖，銳角三角形中，直線l為的中垂線，直線m為的角平分線，l與m相交于P點．若，，則的度數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)角平分線定義求出，根據(jù)線段的垂直平分線性質(zhì)得出，求出，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出方程，求出方程的解即可．【詳解】解：平分，，直線l是線段的垂直平分線，，，，，，解得：，故C正確．故選：C．【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，線段垂直平分線性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的定義，能求出是解此題的關鍵，注意數(shù)形結(jié)合思想的應用．【變式3】（2022·湖南永州·統(tǒng)考二模）如圖，已知，是角平分線且，作的垂直平分線交于點F，作，則的周長為______．【答案】【分析】根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)求出、根據(jù)勾股定理求出，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)、三角形的周長公式計算，得到答案．【詳解】解：∵，是角平分線，∴，在中，，∴，由勾股定理得：，∵的垂直平分線交于點F，∴，∴的垂直，故答案為：．【點睛】本題考查的是直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、線段垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解題的關鍵．【變式4】（2022·四川眉山·模擬預測）如圖，，，、分別平分、，，則的周長是______．【答案】15【分析】先根據(jù)角平分線的定義及平行線的性質(zhì)證明和是等腰三角形，再由等腰三角形的性質(zhì)得，，則的周長．【詳解】解：平分，平分，，，，，，，，，等角對等邊，的周長．故答案為：．【點睛】本題主要考查等腰三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與轉(zhuǎn)化思想的應用．【變式5】（2022·浙江紹興·一模）（1）問題背景如圖①，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，∠ABC的平分線交直線AC于D，過點C作CE⊥BD，交直線BD于E，CE交直線BA于M．探究線段BD與CE的數(shù)量關系得到的結(jié)論是________．（2）類比探索在（1）中，如果把BD改為△ABC的外角∠ABF的平分線，其他條件均不變（如圖②），（1）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由．（3）拓展延伸在（2）中，如果，其他條件均不變（如圖③），請直接寫出BD與CE的數(shù)量關系為________．【答案】（1）問題背景：BD=2CE（2）類比探索：結(jié)論BD=2CE仍然成立，證明見解析（3）拓展延伸：BD=CE【分析】（1）根據(jù)角平分線及全等三角形的判定和性質(zhì)得出△BME△BCE（ASA），CE=ME，結(jié)合圖形得出∠ADB=∠M，sin∠ADB=sin∠M，再由正弦函數(shù)證明即可；（2）根據(jù)題意，證明方法同（1）類似，證明即可；（3）根據(jù)②得，將線段間的數(shù)量關系代入即可得出結(jié)果．【詳解】（1）解：∵BE是∠ABC的平分線，∴∠ABD=∠CBD，在△BME和△BCE中，，∴△BME△BCE（ASA），∴CE=ME，∵CE⊥BD，∠BAC=90°，∴∠ABD+∠M=90°，∠ADB+∠ABD=90°，∴∠ADB=∠M，∴sin∠ADB=sin∠M，即，∵AB=AC，∴BD=CM，∴BD=2CE；（2）結(jié)論BD=2CE仍然成立．證明：∵BD是∠ABF的平分線，∴∠1=∠2，∵∠1=∠3，∠2=∠4，∴∠3=∠4，在△CBE和△MBE中，，∴△CBE△MBE（ASA），∴CE=ME，∴CM=2CE，∵∠D+∠DCM=∠M+∠DCM=90°．∴∠D=∠M，∴sin∠D=sin∠M，∴，∵AB=AC，∴BD=CM=2CE；（3）解：同（2）可得，CE=ME，∵，∴，∴BD=CE．故答案為：BD=CE．【點睛】題目主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，解三角形的應用，角平分線的計算等，理解題意，綜合運用這些知識點是解題關鍵．核心考點三相交線例1（2022·河南·統(tǒng)考中考真題）如圖，直線AB，CD相交于點O，EO⊥CD，垂足為O．若∠1＝54°，則∠2的度數(shù)為（

）A．26° B．36° C．44° D．54°【答案】B【分析】根據(jù)垂直的定義可得，根據(jù)平角的定義即可求解．【詳解】解：EO⊥CD，，，．故選：B．【點睛】本題考查了垂線的定義，平角的定義，數(shù)形結(jié)合是解題的關鍵．例2（2021·湖南益陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，與相交于點O，是的平分線，且恰好平分，則_______度．【答案】60【分析】先根據(jù)角平分線的定義、平角的定義可得，再根據(jù)對頂角相等即可得．【詳解】解：設，是的平分線，，平分，，又，，解得，即，由對頂角相等得：，故答案為：60．【點睛】本題考查了角平分線的定義、平角的定義、對頂角相等，熟練掌握角平分線的定義是解題關鍵．例3（2022·山東菏澤·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，E是邊AC上一點，且，過點A作BE的垂線，交BE的延長線于點D，求證：．【答案】見解析【分析】先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得∠C=∠BEC，又由對頂角相等可證得∠AED=∠C，再由∠D=∠ABC=90°，即可得出結(jié)論．【詳解】證明：∵∴∠C=∠BEC，∵∠BEC=∠AED，∴∠AED=∠C，∵AD⊥BD，∴∠D=90°，∵，∴∠D=∠ABC，∴．【點睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)和相似三角形的判定定理是解題的關鍵．在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關系有相交和平行兩種。如果兩條直線只有一個公共點時，稱這兩條直線相交。相交線會形成三線八角【變式1】（2022·廣西百色·統(tǒng)考一模）如圖，已知直線AB、CD相交于點O，OE平分∠COB，若∠BOD=70°，則∠COE的度數(shù)是（）A．45° B．70° C．55° D．110°【答案】C【分析】根據(jù)鄰補角的性質(zhì)可得∠COB=110°，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)課可得∠COE=∠COB，進而得到答案．【詳解】解：∵∠BOD=70°，∴∠COB=110°，∵OE平分∠COB，∴∠COE=∠COB=55°，故選：C．【點睛】此題主要考查了對頂角，鄰補角，關鍵是掌握鄰補角互補．【變式2】（2023·山東泰安·?？家荒＃┤鐖D，等邊的邊長為4，點是邊上的一動點，連接，以為斜邊向上作等腰，連接，則AE的最小值為（）A．1 B． C．2 D．【答案】B【分析】過點作于點，作射線，可證點，點，點，點四點共圓，可得，則點在的角平分線上運動，即當時，的長度有最小值，由直角三角形的性質(zhì)可求解．【詳解】解：如圖，過點作于點，作射線，是等邊三角形，，，，點，點，點，點四點共圓，，點在的角平分線上運動，當時，的長度有最小值，，，的最小值為，故選：B．【點睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，垂線段最短，四點共圓，圓周角定理等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考?？碱}型．【變式3】（2021·吉林長春·?？级＃┤鐖D，在中，，，為邊上一動點，以，為鄰邊作平行四邊形，則對角線的最小值為__．【答案】【分析】過作于，依據(jù)是等腰直角三角形，即可得出，依據(jù)，即可得到當時，的最小值等于的長，進而得到答案．【詳解】解：如圖所示，過作于，，，是等腰直角三角形，，四邊形是平行四邊形，，當時，的最小值等于的長，對角線的最小值為，故答案為：．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理，垂線段最短，掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題的關鍵．【變式4】（2022·陜西西安·?？寄M預測）如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2，點P是對角線AC上的動點，連接PD，則PA＋2PD的最小值________．【答案】6【分析】直接利用已知得出∠CAB=60°，再將原式變形，進而得出PA+PD最小值，進而得出答案．【詳解】過點A作∠CAN=30°，過點D作DM⊥AN于點M，交AC于點P，∵在矩形ABCD中，AB=2，BC=，∴tan∠CAB=，∴∠CAB=60°，則∠DAC=30°，∵PA+2PD=2（PA+PD），，此時PA+PD最小，∴PA+2PD的最小值是2×3=6．故答案為：6．【點睛】此題主要考查了胡不歸問題，正確作出輔助線是解題關鍵．【變式5】（2022·湖北武漢·模擬預測）如圖，在四邊形中，，，平分交于點，交的延長線于點．(1)求的大??；(2)若，求的大?。敬鸢浮?1)25°(2)23°【分析】（1）先由平行線的性質(zhì)求出∠ABC=180°∠BCD=180°130°=50°，再根據(jù)解平分線的定義求解即可；∠BAD=180°∠ADC=180°48°=132°，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出（2）先由平行線的性質(zhì)求出∠AEB=180°∠BAD∠ABE=23°，最后由對頂角性質(zhì)得解．【詳解】（1）解：∵，∴∠ABC+∠BCD=180°，∴∠ABC=180°∠BCD=180°130°=50°，∵平分∴∠ABE=∠ABC==25°；（2）解：∵，∴∠BAD+∠ADC=180°，∴∠BAD=180°∠ADC=180°48°=132°，∵∠BAD+∠ABE+∠AEB=180°，又由（1）知：∠ABE=25°，∴∠AEB=180°∠BAD∠ABE=180°132°25°=23°，∴∠DEF=∠AEB=23°．【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)，角平分線定義，三角形內(nèi)角和定理，對頂角性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關鍵．核心考點四平行線的判定例1（2020·江西·統(tǒng)考中考真題）如圖，，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由可對A進行判斷；根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可對B進行判斷；求出∠C，根據(jù)大角對大邊，小角對小邊可對D進行判斷；求出可對C進行判斷．【詳解】，，故選項A正確；，，又，，故選項B正確；，，，，故選項D正確；，，而，故選項C錯誤．故選C．【點睛】此題主要考查了平行線的判定與性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)等知識，熟練掌握性質(zhì)與判定是解答此題的關鍵．例2（2021·江蘇泰州·統(tǒng)考中考真題）如圖，木棒AB、CD與EF分別在G、H處用可旋轉(zhuǎn)的螺絲鉚住，∠EGB＝100°，∠EHD＝80°，將木棒AB繞點G逆時針旋轉(zhuǎn)到與木棒CD平行的位置，則至少要旋轉(zhuǎn)___°．【答案】20【分析】根據(jù)同位角相等兩直線平行，得出當∠EHD＝∠EGN=80°，MN//CD，再得出旋轉(zhuǎn)角∠BGN的度數(shù)即可得出答案．【詳解】解：過點G作MN，使∠EHD＝∠EGN=80°，∴MN//CD，∵∠EGB＝100°，∴∠BGN=∠EGB∠EGN=100°80°=20°，∴至少要旋轉(zhuǎn)20°．【點睛】本題考查了平行線的判定，以及圖形的旋轉(zhuǎn)，熟練掌握相關的知識是解題的關鍵．例3（2020·湖北荊州·統(tǒng)考中考真題）如圖，將繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60度得到，點C的對應點E恰好落在AB的延長線上，連接AD．（1）求證：；（2）若AB=4，BC=1，求A，C兩點旋轉(zhuǎn)所經(jīng)過的路徑長之和．【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）先利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證明△ABD為等邊三角形，則可證，即再根據(jù)平行線的判定證明即可．（2）利用弧長公式分別計算路徑，相加即可求解．【詳解】（1）證明：由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得：是等邊三角形所以∴；（2）依題意得：AB=BD=4，BC=BE=1，所以A，C兩點經(jīng)過的路徑長之和為．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定、弧長公式等知識，熟練掌握這些知識點之間的聯(lián)系及弧長公式是解答的關鍵．平行線判定的五種方法：在同一平面內(nèi)，兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行。也可以簡單的說成：1.同位角相等，兩直線平行。在同一平面內(nèi)，兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯角相等，那么這兩條直線平行。也可以簡單的說成：2.內(nèi)錯角相等，兩直線平行。在同一平面內(nèi)，兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補，那么這兩條直線平行。也可以簡單的說成：3.同旁內(nèi)角互補，兩直線平行。4、在同一平面內(nèi)，兩條直線同時垂直于第三條直線，則這兩條直線互相平行；5、兩條直線同時平行于第三條直線，這兩條直線互相平行；【變式1】（2022·廣西柳州·統(tǒng)考模擬預測）如圖所示，直線、被、所截，下列條件中能說明的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)平行線的判定定理求解即可．【詳解】，∴（同位角相等，兩直線平行），故選：．【點睛】本題主要考查平行線的判定，解答的關鍵是熟記平行線的判定定理并靈活運用．【變式2】（2021·福建廈門·?？级＃┤鐖D，已知，按以下步驟作圖：①在射線上取一點，以點為圓心，長為半徑作，交射線于點；②連接，分別以點、為圓心，長為半徑作弧，交于點、；③連接，．根據(jù)以上作圖過程及所作圖形，下列結(jié)論中錯誤的是（

）A． B．點與點關于直線對稱C．若，則 D．【答案】C【分析】根據(jù)等弧所對圓周角相等可以判斷；根據(jù)平行線的判定可以判斷；根據(jù)，，可得垂直平分，可以判斷；根據(jù)，得，由，可得為等邊三角形，進而可以判斷．【詳解】解：由作法得，，，所以選項的結(jié)論正確；連接，，，，所以選項的結(jié)論正確；，，垂直平分，點與點關于對稱，所以選項的結(jié)論正確；，，，為等邊三角形，，所以選項的結(jié)論錯誤．故選：．【點睛】本題考查了作圖——復雜作圖：復雜作圖是在五種基本作圖的基礎上進行作圖，一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法．解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了圓心角、弧、弦的關系和垂徑定理．【變式3】（2022·新疆阿克蘇·統(tǒng)考一模）如圖，將木條a，b與c釘在一起，，若要使木條a與b平行，則的度數(shù)應為______．【答案】50°##50度【分析】根據(jù)同位角相等，兩直線平行，求出∠1的度數(shù)．【詳解】解：∵∠1=∠2時，a∥b，∴若要使木條a與b平行，∠1=∠2=50°，故答案為：50°．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)與判定，熟記平行線的性質(zhì)定理與判定定理是解題的關鍵．【變式4】（2021·云南昆明·統(tǒng)考一模）如圖，小紅看到工人師傅用角尺畫出工件邊緣的垂線和，即可得到．請你幫小紅從下列真命題中找到工人師傅畫圖的一個依據(jù)．真命題為：①連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短；②在同一平面內(nèi)，如果兩條直線都垂直于同一條直線，那么這兩條直線平行（選自人教版初中數(shù)學教科書七年級下冊第14頁例）；③在同一平面內(nèi)，過一點有一條而且僅有一條直線垂直于已知直線；④經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行．”這個依據(jù)是__________．（只需填序號）【答案】②【分析】根據(jù)垂直于同一條直線的兩條直線平行判斷即可．【詳解】解：由題意：a⊥AB，b⊥AB，∴（在同一平面內(nèi)，如果兩條直線都垂直于同一條直線，那么這兩條直線平行），故答案為：②．【點睛】本題考查平行線的判定，平行公理等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．【變式5】（2023·湖北武漢·?？家荒＃┤鐖D，點A，B，C，D在一條直線上，與交于點G，，，．(1)求證：；(2)求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)同位角相等，兩直線平行可得；（2）根據(jù)可得，根據(jù)可得，因為，根據(jù)等量代換即可求出．【詳解】（1）證明：，；（2）解：，，，，，．【點睛】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，熟練掌握平行線的判定和性質(zhì)是解題的關鍵．核心考點五利用平行線求角度或證明例1（2022·內(nèi)蒙古·中考真題）如圖，直線，截線c，d相交成30°角，，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由鄰補角的定義可求得，再由平行線的性質(zhì)可得，利用三角形的外角性質(zhì)即可求∠2．【詳解】解：如圖，∵，∴，∵，∴，∵∠A＝30°，∠2＝∠4＋∠A，∴，故A正確．故選：A．【點睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)，解答的關鍵是熟記平行線的性質(zhì)：兩直線平行，內(nèi)錯角相等．例2（2022·寧夏·中考真題）如圖，直線，的邊在直線上，，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)至，邊交直線于點，則______．【答案】50【分析】先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，再由平角的定義求出的度數(shù)，即可利用平行線的性質(zhì)得到答案．【詳解】解：將繞點順時針旋轉(zhuǎn)至，∴，∵∠AOB=55°，∴，，，故答案為：．【點睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握兩直線平行，同位角相等和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關鍵．例3（2022·江蘇泰州·統(tǒng)考中考真題）已知：△ABC中，D為BC邊上的一點.(1)如圖①，過點D作DE∥AB交AC邊于點E，若AB=5，BD=9，DC=6，求DE的長；(2)在圖②，用無刻度的直尺和圓規(guī)在AC邊上作點F，使∠DFA=∠A；（保留作圖痕跡，不要求寫作法）(3)如圖③，點F在AC邊上，連接BF、DF，若∠DFA=∠A，△FBC的面積等于，以FD為半徑作⊙F，試判斷直線BC與⊙F的位置關系，并說明理由.【答案】(1)2(2)圖見詳解(3)直線BC與⊙F相切，理由見詳解【分析】（1）由題意易得，則有，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)與判定可進行求解；（2）作DT∥AC交AB于點T，作∠TDF=∠ATD，射線DF交AC于點F，則點F即為所求；（3）作BR∥CF交FD的延長線于點R，連接CR，證明四邊形ABRF是等腰梯形，推出AB=FR，由CF∥BR，推出，推出CD⊥DF，然后問題可求解．【詳解】（1）解：∵DE∥AB，∴，∴，∵AB=5，BD=9，DC=6，∴，∴；（2）解：作DT∥AC交AB于點T，作∠TDF=∠ATD，射線DF交AC于點F，則點F即為所求；如圖所示：點F即為所求，（3）解：直線BC與⊙F相切，理由如下：作BR∥CF交FD的延長線于點R，連接CR，如圖，∵∠DFA=∠A，∴四邊形ABRF是等腰梯形，∴，∵△FBC的面積等于，∴，∴CD⊥DF，∵FD是⊙F的半徑，∴直線BC與⊙F相切．【點睛】本題主要考查相似三角形的性質(zhì)與判定、平行線的性質(zhì)與判定及切線的判定，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定、平行線的性質(zhì)與判定及切線的判定是解題的關鍵．兩條直線平行，同位角相等；兩條直線平行，內(nèi)錯角相等；兩條直線平行，同旁內(nèi)角互補；【變式1】（2023·安徽滁州·?？家荒＃┤鐖D，，直線截，于，，已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，再由，，即可推出，則．【詳解】解：∵，∴，∵，，∴，又∵，∴，故選A．【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，對頂角相等，熟知兩直線平行，同旁內(nèi)角互補是解題的關鍵．【變式2】（2023·山東青島·統(tǒng)考一模）如圖，在中，，按圖進行翻折，使，，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用平行線的性質(zhì)以及翻折的性質(zhì)求解即可．【詳解】∵，∴，．∵，∴．由翻折的性質(zhì)可知，，，．∵，，∴．故選：A．【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)、翻折的性質(zhì)，熟練掌握這些性質(zhì)是解題的關鍵．【變式3】（2023·遼寧鞍山·統(tǒng)考一模）如圖，在平行四邊形中，為邊上一點，連接，，且與交于點，若，則_________．【答案】##【分析】過點作于點，結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)可得，，即可證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得；證明，由三角形面積公式可得，再由，即可獲得答案．【詳解】解：如下圖，過點作于點，∵四邊形為平行四邊形，∴，，∴，，∴，∴，又∵，∴，∴，∵，∴，∵四邊形為平行四邊形，∴，∴．故答案為：．【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、三角形面積公式等知識，解題的關鍵是熟練掌握相關知識并靈活運用．【變式4】（2022·四川綿陽·?？级＃┤鐖D，線段，與相交于點，，于點，平分交于點，則的度數(shù)是______．【答案】15°##15度【分析】根據(jù)可得，由，可得，結(jié)合，即可求解．【詳解】解：∵，∴∵，∴.∴∵平分，∴，∵，∴，∴故答案為：15°．【點睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，直角三角形的性質(zhì)，掌握直角三角形兩個銳角互余是關鍵．【變式5】（2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考一模）已知，點D是的邊上一點．(1)如圖甲，，垂足為E，平分交邊于點F，交邊于點O，求證：；(2)如圖乙，交邊于點E，平分交邊于點O，，垂足為點F，求；(3)如圖丙，在線段上找一點O作，使經(jīng)過點D且與相切．（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，寫出作法過程，不證明）【答案】(1)見解析；(2)見解析；(3)見解析．【分析】（1）由，易證，由“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”得到，結(jié)合角平分線得到，最后依據(jù)“等角對等邊”可證明；（2）由題意易得，由平分線得到，易證得；（3）過點D作交邊于點E，點E作平分交邊于點O，點O作，垂足為點F，以點O為圓心，為半徑作圓，為所求．【詳解】（1）證明：如圖甲，，，，，平分，，，；（2）證明：如圖乙，，，，平分，，在與中，，；（3）如圖，過點D作交邊于點E，點E作平分交邊于點O，點O作，垂足為點F，以點O為圓心，為半徑作圓，與相切，由（2）可知，，經(jīng)過點D，即為所求．【點睛】本題考查了垂直的定義、角平分線的性質(zhì)、平行線的判定和性質(zhì)、等角對等邊、全等三角形的證明和性質(zhì)、尺規(guī)作圖；解題的關鍵是熟練掌握相關性質(zhì)及尺規(guī)作圖方法．核心考點六命題例1（2022·黑龍江綏化·統(tǒng)考中考真題）下列命題中是假命題的是（

）A．三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半B．如果兩個角互為鄰補角，那么這兩個角一定相等C．從圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角D．直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半【答案】B【分析】利用三角形的中位線定理、鄰補角性質(zhì)、切線長定理以及直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)分別判斷后即可確定正確的選項．【詳解】解：A.三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半，是真命題，故此選項不符合題意；B.如果兩個角互為鄰補角，那么這兩個角不一定相等，故此選項是假命題，符合題意；C.從圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角，是真命題，故此選項不符合題意；D.直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，是真命題，故此選項不符合題意；故選：B【點睛】考查了命題與定理的知識，解題的關鍵是了解三角形的中位線定理、鄰補角性質(zhì)、切線長定理以及直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)．例2（2021·江蘇無錫·統(tǒng)考中考真題）下列命題中，正確命題的個數(shù)為________．①所有的正方形都相似②所有的菱形都相似③邊長相等的兩個菱形都相似④對角線相等的兩個矩形都相似【答案】1【分析】根據(jù)多邊形的判定方法對①進行判斷；利用菱形的定義對②進行判斷；根據(jù)菱形的性質(zhì)對③進行判斷；根據(jù)矩形的性質(zhì)和相似的定義可對④進行判斷．【詳解】解：所有的正方形都相似，所以①正確；所有的菱形不一定相似，所以②錯誤；邊長相等的兩個菱形，形狀不一定相同，即：邊長相等的兩個菱形不一定相似所以③錯誤；對角線相等的兩個矩形，對應邊不一定成比例，即不一定相似，所以④錯誤；故答案是：1．【點睛】本題考查了判斷命題真假，熟練掌握圖形相似的判定方法，菱形，正方形，矩形的性質(zhì)，是解題的關鍵．例3（2020·北京·統(tǒng)考中考真題）如圖是某劇場第一排座位分布圖：甲、乙、丙、丁四人購票，所購票分別為2，3，4，5．每人選座購票時，只購買第一排的座位相鄰的票，同時使自己所選的座位之和最?。绻础凹?、乙、丙、丁”的先后順序購票，那么甲購買1，2號座位的票，乙購買3，5，7號座位的票，丙選座購票后，丁無法購買到第一排座位的票．若丙第一購票，要使其他三人都能購買到第一排座位的票，寫出一種滿足條件的購票的先后順序______．【答案】丙，丁，甲，乙【分析】根據(jù)甲、乙、丙、丁四人購票，所購票數(shù)量分別為2，3，4，5可得若丙第一購票，要使其他三人都能購買到第一排座位的票，那么丙選座要盡可能得小，因此丙先選擇：1，2，3，4．丁所購票數(shù)最多，因此應讓丁第二購票，據(jù)此判斷即可．【詳解】解：丙先選擇：1，2，3，4．丁選：5，7，9，11，13．甲選：6，8．乙選：10，12，14．∴順序為丙，丁，甲，乙．（答案不唯一）【點睛】本題考查有理數(shù)的加法，認真審題，理解題意是解題的關鍵．命題（判斷）是指一個判斷句的語義（實際表達的概念），這個概念是可以被定義并觀察的現(xiàn)象。命題不是指判斷句本身，而是指所表達的語義。當相異的判斷句具有相同的語義的時候，他們表達相同的命題。在數(shù)學中，一般把判斷某一件事情的陳述句叫做命題?！咀兪?】（2022·重慶璧山·統(tǒng)考一模）下列命題是真命題的是（

）A．每個內(nèi)角都相等的多邊形是正多邊形 B．對角線相等的平行四邊形是矩形C．兩直線平行，同位角互補 D．過線段中點的直線是線段的垂直平分線【答案】B【分析】根據(jù)正多邊形的定義、矩形的判定方法、平行線的性質(zhì)、垂直平分線定義分析判斷即可．【詳解】解：A、每個內(nèi)角都相等，每條邊都相等的多邊形是正多邊形，故原命題錯誤，是假命題，不符合題意；B、對角線相等的平行四邊形是矩形，正確，是真命題，符合題意；C、兩直線平行，同位角相等，故原命題錯誤，是假命題，不符合題意；D、過線段中點的垂直于線段的直線是線段的垂直平分線，故原命題錯誤，是假命題，不符合題意；故選：B．【點睛】本題考查命題與定理的知識，解題的關鍵是熟練掌握正多邊形的定義、矩形的判定方法、平行線的性質(zhì)、垂直平分線定義．【變式2】（2023·山東東營·?？家荒＃┈F(xiàn)有以下命題：①斜邊中線和一個銳角分別對應相等的兩個直角三角形全等；②一個圖形和它經(jīng)過平移所得的圖形中，各組對應點所連接的線段平行且相等；③通常溫度降到以下，純凈的水會結(jié)冰是隨機事件；④一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等；⑤在同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直；⑥在同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線平行．其中真命題的個數(shù)有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】根據(jù)全等三角形的判定，平移的性質(zhì)，隨機事件的概念，角和垂線的有關性質(zhì)，平行公理進行判斷即可得到結(jié)論．【詳解】解：①斜邊中線和一個銳角分別對應相等的兩個直角三角形全等，故該命題是真命題；②一個圖形和它經(jīng)過平移所得的圖形中，各組對應點所連接的線段平行且相等或在同一直線上，故原命題是假命題；③通常溫度降到以下，純凈的水會結(jié)冰是必然事件，故原命題是假命題；④一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等或互補，故原命題是假命題；⑤在同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直，故該命題是真命題；⑥在同一平面內(nèi)，過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行，故原命題是假命題，綜上可得：真命題有2個．故選：B．【點睛】本題考查了命題與定理的知識，解本題的關鍵是熟練掌握全等三角形的性質(zhì)、平移的性質(zhì)、隨機事件、角和垂線的有關性質(zhì)、平行公理等知識．【變式3】（2022·江蘇無錫·模擬預測）給出下列命題：①頂角相等的兩等腰三角形相似；②底角相等的兩等腰三角形相似；③兩直角邊對應成比例的兩直角三角形相似；④有一角對應相等的兩直角三角形相似，其中真命題有_____（填序號）．【答案】①②③【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理，結(jié)合等腰三角形和直角三角形的性質(zhì)，分析即可．【詳解】解：①頂角相等的兩等腰三角形相似，符合有兩組角對應相等的兩個三角形相似，是真命題；②底角相等的兩等腰三角形相似，符合有兩組角對應相等的兩個三角形相似，是真命題；③兩直角邊對應成比例的兩直角三角形相似，符合兩組對應邊的比相等且相應的夾角相等的兩個三角形相似，是真命題；④有一角對應相等的兩直角三角形不一定相似，原命題是假命題．故答案為：①②③．【點睛】本題考查了命題與定理、相似三角形的判定，解本題的關鍵在熟練掌握相似三角形的判定定理．【變式4】（2022·北京門頭溝·統(tǒng)考二模）電腦系統(tǒng)中有個“掃雷”游戲，游戲規(guī)定：一個方塊里最多有一個地雷，方塊上面如果標有數(shù)字，則是表示此數(shù)字周圍的方塊中地雷的個數(shù)．如圖1中的“3”就是表示它周圍的八個方塊中有且只有3個有地雷．如圖2，這是小明玩游戲的局部，圖中有4個方塊已確定是地雷（標旗子處），其它區(qū)域表示還未掀開，問在標有“A”~“G”的七個方塊中，能確定一定是地雷的有________（填方塊上的字母）．【答案】B、D、F、G【分析】根據(jù)題意，初步推斷出C對應的方格必定不是雷，A、B對應的方格中有一個雷，中間D、E對應方格中有一個雷且最右邊的“4”周圍4個方格中有3個雷，由此再觀察C下方“2”、B下方的“2”、D下方的“2”和F下方的“4”，即可推斷出A、C、E對應的方格不是雷，且B、D、F、G對應的方格是雷，由此得到本題答案．【詳解】解：由題圖中第三行第一列的“1”可知,第二行第一列是雷。用假設法推理如下：①假設A是雷，則由B下方的2可知：B不是雷；C不是雷；與C下方的“2”發(fā)生矛盾。假設不成立，則A不可能是雷；②假設B不是雷，由B下方的“2”可知：C是雷，由C下方的“2”可知：D是雷；與D下方的“2”發(fā)生矛盾。假設不成立，則B是雷；③假設A不是雷，B是雷，則由B下方的“2”可知，C不是雷；由C下方的“2”可知，D是雷；由D下方的“2”可知：E不是雷；由E下方的“3”可知，F(xiàn)是雷；由F下方的4可知：G是雷，∴B、D、F、G一定是雷．故答案為：B、D、F、G．【點睛】本題主要考查了推理論證，本題給出掃雷游戲的圖形，要求我們推理A、B、C、D、E、F對應方格是否為雷，著重考查了掃雷的基本原理和推理與證明的知識．【變式5】（2022·江蘇鹽城·校聯(lián)考一模）蘇科版數(shù)學七（下）教材中有這樣一段閱讀材料：著名的反例：公元1640年，著名數(shù)學家費馬發(fā)現(xiàn)：，，，，而3、5、17、257、65537都是質(zhì)數(shù)，于是費馬猜想：對于一切自然數(shù)n，都是質(zhì)數(shù)．可是，到了1732年，數(shù)學家歐拉發(fā)現(xiàn)：．這說明了是個合數(shù)，從而否定了費馬的猜想．這個故事告訴我們，舉反例是說明一個數(shù)學命題不成立的常用方法．(1)代數(shù)中的反例：①用舉反例說明“”是個假命題時，a的取值范圍是______．②請你舉反例說明“反比例函數(shù)，y隨x的增大而減小”是個假命題．(2)幾何中的反例：學習全等三角形判定時，我們知道“兩邊相等和一相等邊所對的角也相等的兩個三角形不一定全等”，即“SSA”不全等．請借助已給的，用三種方法在圖形基礎上構造一個三角形，使得構造出的三角形滿足以下三個條件：①有兩邊分別與AC和BC相等；②與BC相等邊所對的角等于；③構造出的三角形與不全等．要求：①用直尺和圓規(guī)作圖，保留作圖的痕跡，并寫出必要的文字說明；②不可借助已構造出符合條件的三角形利用全等變換作圖．【答案】(1)①；②舉例見解析(2)畫圖見解析【分析】（1）①當時，則解得：或再分別在小于0，大于0小于1，大于1的范圍內(nèi)舉例即可；②舉例：當時，當時，發(fā)現(xiàn)自變量變大，函數(shù)值也變大，從而可作判斷；（2）方法一：利用等腰三角形的性質(zhì)構建三角形即可；方法二：利用角平分線的定義構建三角形即可；方法三：利用對頂角相等，結(jié)合等腰三角形構建三角形即可．（1）解：①當時，則解得：或當時，此時當時，此時當時，此時所以“”是個假命題時，a的取值范圍是②對于反比例函數(shù)當時，當時，發(fā)現(xiàn)自變量變大，函數(shù)值也變大，所以“反比例函數(shù)，y隨x的增大而減小”是個假命題．（2）解：方法一：如圖，延長，以為圓心，為半徑畫弧，交的延長線于，連接CD，則中，滿足但是兩個三角形不全等．方法二：以A為圓心，適當?shù)拈L為半徑畫弧，交AB于點M，交AC于點F，以點M為圓心，MF為半徑畫弧，與前弧在AB的另一側(cè)交于點G，作射線AG，以點A為圓心，AC長為半徑畫弧，交射線AG于點D，以D為圓心，BC長為半徑畫弧，交AB的延長線于點E，連接DE，得三角形ADE，則中，滿足但是兩個三角形不全等．方法三：以點A為圓心，AC長為半徑畫弧，交AC的反向延長線于點D，以點D為圓心，BC長為半徑畫弧，交AB的反向延長線于點M，E（點E在外側(cè)）連接DE，得三角形ADE，則中，滿足但是兩個三角形不全等．【點睛】本題考查的是反證法的應用，舉反例的應用，全等三角形的判定，復雜的作圖，特別是掌握兩個三角形中滿足兩邊及其中一邊的對角分別對應相等的兩個三角形不一定全等是解本題的關鍵．【新題速遞】1．（2023秋·貴州黔東南·七年級統(tǒng)考期末）如圖，是線段的中點，點在上，若，，則等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)線段中點和線段的長度關系進行計算，算出和的長，即可解答．【詳解】解：∵是線段的中點，∴，∵，∴，∴．故選：D．【點睛】本題考查線段的計算，解題的關鍵是掌握線段中點的性質(zhì)和線段的計算方法．2．（2023秋·吉林長春·八年級統(tǒng)考期末）用反證法證明：“若，則”，應先假設（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)反證法的步驟中，第一步是假設結(jié)論不成立，結(jié)論的反面成立，即可得出答案．【詳解】解：用反證法證明：“若，則”，應先假設．故答案為：C．【點睛】本題考查了反證法，要掌握一些常見結(jié)論的否定方法．如“大于”的否定是“不大于或小于等于”，“小于”的否定是“不小于”等等．3．（2023·云南昭通·?？家荒＃┤鐖D，直線c與直線a、b都相交．若，，則（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)對頂角相等，得出，根據(jù)兩直線平行，同位角相等，得出．【詳解】解：如圖，∵，和是對頂角，∴，∵，∴，故A正確．故選：A．【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，對頂角性質(zhì)，解題的關鍵是熟練掌握：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內(nèi)錯角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補．4．（2023秋·河南南陽·七年級統(tǒng)考期末）如圖，直線，一塊含有角的直角三角尺的頂點E位于直線上，平分，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)兩直線平行，可以得出內(nèi)錯角相等，，由平分，角平分線的性質(zhì)得，，故可以得出的度數(shù)．【詳解】解：∵，∴，∵平分，，∴，∴，故選C．【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)，解本題要熟練掌握平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)．5．（2022春·廣東揭陽·七年級?？计谥校┤鐖D，直線，點A，B分別是，上的動點，點G在上，，和的角平分線交于點D，若，則m的值為（）A．70 B．74 C．76 D．80【答案】D【分析】先由平行線的性質(zhì)得到，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和角平分線的定義求出m的值．【詳解】解：過點C作，，，，，，，由題意可得為的角平分線，為的角平分線，，，，，，，，．故選：D．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握平行線的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理是解題的關鍵．6．（2023春·江蘇·八年級專題練習）如圖，點P是中斜邊（不與A，C重合）上一動點，分別作于點M，作于點N，點O是的中點，若，當點P在上運動時，則的最小值是（）A．3 B． C． D．4【答案】B【分析】證四邊形是矩形，得，由勾股定理求出，當時，最小，然后由面積法求出的最小值，即可解決問題．【詳解】解：連接，如圖所示：∵于點M，于點N，∴四邊形是矩形，，∴，與互相平分，∵點O是的中點，∴，當時，最小，∴，∴，故選：B．【點睛】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、垂線段最短、勾股定理以及面積法等知識；熟練掌握矩形的判定與性質(zhì)是解題的關鍵．7．（2023秋·貴州銅仁·八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知在中，與的平分線交于點F，過點F的直線交于點D，交于的E，且．有下列結(jié)論：①；②是等腰三角形；③的周長18；④；⑤；⑥．其中正確的有（）A．3個 B．4個 C．5個 D．6個【答案】B【分析】根據(jù)，可得，故①正確；從而得到，再由平分，可得，從而得到是等腰三角形，故②正確；根據(jù)平分，可得，從而得到，進而得到，故⑥正確；再證得，可得，的周長，故③正確；再求出，可得，從而得到，故④錯誤；再由三角形內(nèi)角和定理可得，故⑤錯誤，即可．【詳解】解：∵，∴，故①正確；∴，∵平分，∴，∴，∴，∴是等腰三角形，故②正確；∵平分，∴，∴，∴，∴，故⑥正確；∵，∴，∴，∴，∴的周長，故③正確；∵，平分，平分，∴，∴，∴，故④錯誤；∴，故⑤錯誤；故選：B【點睛】本題主要考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握等腰三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理是解題的關鍵．8．（2023·四川綿陽·統(tǒng)考二模）如圖，在中，，，，點P是延長線上一動點，邊與點M，邊與點N，連接，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】連接，證明P、M、N、B四點是以為直徑的圓上，設此圓心為O，連接、，則，由勾股定理，可得，所以當取最小值時，值最小，再過點C作于D，求得，在中，求出，即可求解．【詳解】解：連接，∵，，∴，∴點P、M、N、B在以為直徑的圓上，設此圓心為O，連接、，∴，由勾股定理，可得，∴當取最小值時，值最小，∴當于P時，此時值最小，則值最小，過點C作于D，∴，∵，，∴，，∵，∴∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，即最小值為，故選：A．【點睛】本題考查勾股定理，四點共圓，圓周角定理，垂線段最短，本題綜合性較強，熟練掌握相關定理和將求最小值轉(zhuǎn)化成求最小值是解題的關鍵．9．（2023秋·廣東深圳·七年級校聯(lián)考期末）如圖，點O為直線上一點，過點O作射線，使，將一塊透明的三角尺直角頂點放在點O處，并繞點O旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)過程中，當直線恰好平分銳角時，_____．【答案】或【分析】由角平分線的定義求出的度數(shù)，再根據(jù)鄰補角的定義即可求出的度數(shù)．【詳解】解：當N在上方，平分，，，當N在下方，，故答案為：或．【點睛】本題考查了角平分線的定義，鄰補角的定義，熟練掌握角平分線的定義是解題的關鍵．10．（2022春·廣東韶關·七年級?？计谥校﹥蓷l平行直線被第三條直線所截，內(nèi)錯角相等．這個命題的結(jié)論是_____．【答案】內(nèi)錯角相等【分析】命題的一般敘述形式為“如果……那么……”，其中，“如果”所引出的部分是題設（條件），“那么”所引出的部分是結(jié)論．【詳解】解：兩條直線平行被第三條直線所截，內(nèi)錯角相等的題設是兩條平行直線被第三條直線所截，結(jié)論是內(nèi)錯角相等，故答案為：內(nèi)錯角相等．【點睛】本題考查了命題，找準原命題的題設與結(jié)論是正確解答本題的關鍵．11．（2023春·江蘇·七年級泰州市姜堰區(qū)第四中學?？贾軠y）如圖，將為的直角三角板的直角頂點放在直尺的一邊上，則的度數(shù)為_____________．【答案】【分析】過點B作交于點D，可證，利用平行線的性質(zhì)可得，，進而可得．【詳解】解：如圖，過點B作交于點D．中，，．，．，，，，，故按為：．【點睛】本題主要考查平行線性質(zhì)，平行公理的推論，三角板中的角度計算等知識點，解題的關鍵是正確作出輔助線．12．（2023春·江蘇·八年級專題練習）在中，，點N是邊上一點，點M為邊上的動點，點D、E分別為的中點，則的最小值是___________．【答案】##2.4##【分析】連接，當時，的值最小，此時的值也最小，根據(jù)勾股定理求出，根據(jù)三角形的面積求出，再求出答案即可．【詳解】解：連接，∵點D、E分別為的中點，∴，當時，的值最小，此時的值也最小，由勾股定理得：，∵，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了三角形的面積，勾股定理，三角形的中位線，垂線段最短等，熟知三角形的中位線等于第三邊的一半是解題的關鍵．13．（2023春·江蘇·八年級專題練習）如圖，在中，，且，點D是斜邊上的一個動點，過點D分別作于點M，于點N，連接，則線段的最小值為___________．【答案】##【分析】由勾股定理求出的長，再證明四邊形是矩形，可得，根據(jù)垂線段最短和三角形面積即可解決問題．【詳解】解：連接，∵，且，∴，∵，∴，∴四邊形是矩形，∴，∴當時，的值最小，此時，的面積=，∴，∴的最小值為；故答案為：．【點睛】本題考查了矩形的判定和性質(zhì)、勾股定理、三角形面積、垂線段最短等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識．14．（2023春·湖北武漢·八年級武漢外國語學校（武漢實驗外國語學校）?？茧A段練習）如圖，平行四邊形中，，，，P為邊上的一動點，則的最小值等于______．【答案】【分析】過點P作，由平行四邊形的性質(zhì)結(jié)合題意可得出，進而得出，再由勾股定理可求出，即說明，進而說明當點C、P、Q三點共線時有最小值，且為的長，最后根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理即可求解．【詳解】如圖，過點P作，垂足為Q，∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∴，∴，∴，∴當點C、P、Q三點共線時有最小值，且為的長，∴此時．∵，∴，∴，∴，∴的最小值為．故答案為：．【點睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，垂線段最短，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關鍵是正確作出輔助線并理解當點C、P、Q三點共線時有最小值，且為的長．15．（2022秋·福建福州·七年級福州黎明中學?？计谀┤鐖D，已知線段．(1)延長線段至點C，使得（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；(2)在（1）的條件下，取的中點D，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分