安徽省合肥市肥東縣高級(jí)中學(xué)2025屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期5月調(diào)研考試試題文含解析

PAGE20-安徽省合肥市肥東縣高級(jí)中學(xué)2025屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期5月調(diào)研考試試題文（含解析）一?選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.)1.集合，則是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)函數(shù)的定義域及值域分別求出集合和集合，求出集合的補(bǔ)集，即可求得.【詳解】∵集合∴∵集合∴∵∴∴故選C.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的定義域與函數(shù)的值域的求法，集合的交、并、補(bǔ)的運(yùn)算，考查計(jì)算實(shí)力．2.設(shè)復(fù)數(shù)滿(mǎn)意，則（）A.5 B. C.2 D.1【答案】B【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算將復(fù)數(shù)化簡(jiǎn)，然后求模即可.【詳解】由，得，則.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算和復(fù)數(shù)模長(zhǎng)的計(jì)算公式，屬于簡(jiǎn)潔題.3.已知，則下列不等式中恒成立的是A. B. C. D.【答案】A【解析】【詳解】構(gòu)造函數(shù)在上是減函數(shù)，已知,則，故A正確;,故B不正確；C構(gòu)造函數(shù)是增函數(shù)，故，故選項(xiàng)不正確；D.，構(gòu)造函數(shù)是增函數(shù)，故，所以選項(xiàng)不正確.故答案為A.4.已知角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與軸的正半軸重合，終邊在直線(xiàn)上，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由已知求得，再由倍角公式及同角三角函數(shù)基本關(guān)系式化弦為切求解即可．【詳解】因?yàn)榻堑捻旤c(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與x軸的正半軸重合，終邊在直線(xiàn)上，所以，則．故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值，考查直線(xiàn)的斜率與傾斜角的關(guān)系，考查倍角公式及同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．給出某些角的三角函數(shù)式的值，求另外一些角的三角函數(shù)值，解題關(guān)鍵在于“變角”，使其角相同或具有某種關(guān)系．5.某體校甲、乙兩個(gè)運(yùn)動(dòng)隊(duì)各有6名編號(hào)為1，2，3，4，5，6的隊(duì)員進(jìn)行實(shí)彈射擊競(jìng)賽，每人射擊1次，擊中的環(huán)數(shù)如表：學(xué)生1號(hào)2號(hào)3號(hào)4號(hào)5號(hào)6號(hào)甲隊(duì)677877乙隊(duì)676797則以上兩組數(shù)據(jù)的方差中較小的一個(gè)為A. B. C. D.1【答案】B【解析】【分析】視察兩組數(shù)據(jù)的波動(dòng)性大小推斷方差大小，再利用平均數(shù)公式計(jì)算平均數(shù)，利用方差公式求方差的值．【詳解】甲組數(shù)據(jù)為：6，7，7，8，7，7，乙組數(shù)據(jù)：6，7，6，7，9，7，所以甲組數(shù)據(jù)波動(dòng)較小，方差也較小，甲組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了平均數(shù)與方差的計(jì)算問(wèn)題，是基礎(chǔ)題．算術(shù)平均數(shù)公式；樣本方差公式.6.已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，過(guò)的直線(xiàn)與曲線(xiàn)交于兩點(diǎn)，，則中點(diǎn)到軸的距離是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】分析：將點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線(xiàn)的距離，可得，從而求出中點(diǎn)橫坐標(biāo)，進(jìn)而可得結(jié)果.詳解：由，得，設(shè)，等于點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離，同理，等于到準(zhǔn)線(xiàn)的距離，，，中點(diǎn)橫坐標(biāo)為，中點(diǎn)到軸的距離是，故選B.點(diǎn)睛：與拋物線(xiàn)焦點(diǎn)、準(zhǔn)線(xiàn)有關(guān)的問(wèn)題，一般狀況下都與拋物線(xiàn)的定義有關(guān)，解決這類(lèi)問(wèn)題肯定要留意點(diǎn)到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的轉(zhuǎn)化：（1）將拋線(xiàn)上的點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)距離轉(zhuǎn)化為該點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離；(2)將拋物線(xiàn)上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線(xiàn)的距離，使問(wèn)題得到解決7.函數(shù)在區(qū)間上的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】很明顯，且，則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)由兩個(gè)零點(diǎn)，選項(xiàng)A,B錯(cuò)誤；結(jié)合，且可解除C選項(xiàng).本題選擇D選項(xiàng).8.下列推斷正確的是（）A.“”是“”的充分不必要條件B.函數(shù)的最小值為2C.當(dāng)時(shí)，命題“若，則”的逆否命題為真命題D.命題“”的否定是“”【答案】C【解析】【分析】利用充分條件推斷A的正誤；基本不等式推斷B的正誤；命題的真假推斷C的正誤；命題的否定推斷D的正誤【詳解】解：當(dāng)時(shí)，成立，不成立，所以A不正確；對(duì)，當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，而，所以,即的最小值不為2，所以B不正確；由三角函數(shù)的性質(zhì)得“若,則”正確，故其逆否命題為真命題，所以C正確；命題“,”的否定是“,”，所以D不正確，故選：C.【點(diǎn)睛】本題以命題的真假關(guān)系的推斷為載體，主要考查了充分必要條件的推斷，全稱(chēng)命題與特稱(chēng)命題的否定及基本不等式的應(yīng)用等學(xué)問(wèn)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．9.已知分別是內(nèi)角的對(duì)邊，，當(dāng)時(shí)，面積的最大值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】詳解】由，故（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），故選：C．10.設(shè)滿(mǎn)意，且在上是增函數(shù)，且，若函數(shù)對(duì)全部，當(dāng)時(shí)都成立，則的取值范圍是A. B.或或C.或或 D.【答案】B【解析】若函數(shù)f（x）≤t2﹣2at+1對(duì)全部的x∈[﹣1，1]都成立，由已知易得f（x）的最大值是1，∴1≤t2﹣2at+1?2at﹣t2≤0，設(shè)g（a）=2at﹣t2（﹣1≤a≤1），欲使2at﹣t2≤0恒成立，則?t≥2或t=0或t≤﹣2．故選B．點(diǎn)睛：對(duì)于求不等式成立時(shí)的參數(shù)范圍問(wèn)題，在可能的狀況下把參數(shù)分別出來(lái)，使不等式一端是含有參數(shù)的不等式，另一端是一個(gè)區(qū)間上詳細(xì)的函數(shù)，這樣就把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一端是函數(shù)，另一端是參數(shù)的不等式，便于問(wèn)題的解決.但要留意分別參數(shù)法不是萬(wàn)能的，假如分別參數(shù)后，得出的函數(shù)解析式較為困難，性質(zhì)很難探討，就不要運(yùn)用分別參數(shù)法.11.三棱錐P－ABC中，平面PAC⊥平面ABC，AB⊥AC，PA＝PC＝AC＝2，AB＝4，則三棱錐P－ABC的外接球的表面積為()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先確定球心的位置，進(jìn)一步確定球的半徑，最終確定球的表面積．【詳解】解：依據(jù)題意，得到三棱錐的外接球的球心在等邊三角形的中心高線(xiàn)和過(guò)直角三角形斜邊的中點(diǎn)的高的交點(diǎn)位置，如圖所示：三棱錐中，平面平面，，，，所以，，在直角三角形中，，解得：，所以，三棱錐的外接球半徑，則，故選．【點(diǎn)睛】本題考查的學(xué)問(wèn)要點(diǎn)：三棱錐的外接球的球心的確定，球的表面積公式的應(yīng)用．12.已知，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】分析：依據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性以及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性分別推斷出的取值范圍，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，從而可得結(jié)果.詳解：由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得，，由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得，，，又，在上遞增，所以，故選C.點(diǎn)睛：本題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及比較大小問(wèn)題，屬于難題.解答比較大小問(wèn)題，常見(jiàn)思路有兩個(gè)：一是推斷出各個(gè)數(shù)值所在區(qū)間（一般是看三個(gè)區(qū)間）；二是利用函數(shù)的單調(diào)性干脆解答；數(shù)值比較多的比大小問(wèn)題也可以?xún)煞N方法綜合應(yīng)用.二?填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)13.已知兩個(gè)不相等的平面對(duì)量且，則_____.【答案】【解析】∵∴，又∴即，解得又∴故答案為14.若x，y滿(mǎn)意：，則的最大值是______．【答案】4【解析】【分析】先畫(huà)出滿(mǎn)意條件的平面區(qū)域，求出A的坐標(biāo)，結(jié)合圖象求出z的最大值即可．【詳解】解：畫(huà)出x，y滿(mǎn)意：的平面區(qū)域，如圖：由，解得而可化為，由圖象得直線(xiàn)過(guò)時(shí)z最大，z的最大值是：4，故答案為4．【點(diǎn)睛】本題考察了簡(jiǎn)潔的線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題，考察數(shù)形結(jié)合思想，是一道中檔題．15.已知雙曲線(xiàn)的左焦點(diǎn)為,若過(guò)點(diǎn)且傾斜角為的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的左支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則此雙曲線(xiàn)離心率的取值范圍為_(kāi)_________.【答案】【解析】【分析】依據(jù)雙曲線(xiàn)幾何性質(zhì)得漸近線(xiàn)斜率取值范圍，再解出離心率取值范圍.【詳解】因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)且傾斜角為的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的左支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，所以【點(diǎn)睛】解決橢圓和雙曲線(xiàn)的離心率的求值及范圍問(wèn)題其關(guān)鍵就是確立一個(gè)關(guān)于的方程或不等式，再依據(jù)的關(guān)系消掉得到的關(guān)系式，而建立關(guān)于的方程或不等式，要充分利用橢圓和雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)、點(diǎn)的坐標(biāo)的范圍等.16.已知為球的直徑，，是球面上兩點(diǎn)且，.若球的表面積為，則棱錐的體積為_(kāi)_________．【答案】【解析】如圖，由題意球的表面積為，可得球的半徑為，知，，所以平面，，所以，所以棱錐的體積．點(diǎn)睛：本題考查了有關(guān)球的組合體問(wèn)題，以及三棱錐的提及的求法，解答時(shí)要仔細(xì)審題，留意球的性質(zhì)的合理運(yùn)用，求解球的組合體問(wèn)題常用方法有（1）三條棱兩兩相互垂直時(shí)，可復(fù)原為長(zhǎng)方體，利用長(zhǎng)方體的體對(duì)角線(xiàn)為外接球的直徑，求出球的半徑；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的對(duì)稱(chēng)性，球心為上下底面外接圓的圓心連線(xiàn)的中點(diǎn)，再依據(jù)勾股定理求球的半徑；（3）假如設(shè)計(jì)幾何體有兩個(gè)面相交，可過(guò)兩個(gè)面的外心分別作兩個(gè)面的垂線(xiàn)，垂線(xiàn)的交點(diǎn)為幾何體的球心.三?解答題(本大題共6小題，共70分.其中22?23為選考題.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.)17.在數(shù)列和等比數(shù)列中，，，．1求數(shù)列及的通項(xiàng)公式；2若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】（1）；;（2）.【解析】【分析】Ⅰ先求出公比，可得數(shù)列的通項(xiàng)，從而可求的通項(xiàng)公式；Ⅱ利用錯(cuò)位相減法，可求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【詳解】Ⅰ依題意，，設(shè)數(shù)列的公比為q，由，可知，由，得，又，則，故，又由，得Ⅱ依題意，則得，即，故【點(diǎn)睛】本小題主要考查等比數(shù)列、數(shù)列通項(xiàng)公式、數(shù)列求和等基礎(chǔ)學(xué)問(wèn)，考查運(yùn)算求解實(shí)力，考查函數(shù)與方程思想等．?dāng)?shù)列求和的常用方法有:分組求和,錯(cuò)位相減求和,倒序相加求和等.18.如圖1，已知菱形的對(duì)角線(xiàn)交于點(diǎn)，點(diǎn)為線(xiàn)段的中點(diǎn)，，，將三角形沿線(xiàn)段折起到的位置，，如圖2所示．（Ⅰ）證明：平面平面；（Ⅱ）求三棱錐的體積．【答案】（Ⅰ）見(jiàn)證明；（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）折疊前，AC⊥DE；，從而折疊后，DE⊥PF，DE⊥CF，由此能證明DE⊥平面PCF．再由DC∥AE，DC＝AE能得到DC∥EB，DC＝EB．說(shuō)明四邊形DEBC為平行四邊形．可得CB∥DE．由此能證明平面PBC⊥平面PCF．（Ⅱ）由題意依據(jù)勾股定理運(yùn)算得到，又由（Ⅰ）的結(jié)論得到，可得平面，再利用等體積轉(zhuǎn)化有，計(jì)算結(jié)果.【詳解】（Ⅰ）折疊前，因?yàn)樗倪呅螢榱庑危?；所以折疊后，，,又，平面，所以平面因?yàn)樗倪呅螢榱庑危裕贮c(diǎn)為線(xiàn)段的中點(diǎn)，所以．所以四邊形為平行四邊形．所以．又平面，所以平面．因?yàn)槠矫?，所以平面平面．（Ⅱ）圖1中，由已知得，，所以圖2中，，又所以，所以又平面，所以又，平面，所以平面，所以．所以三棱錐的體積為．【點(diǎn)睛】本題考查線(xiàn)面垂直、面面垂直的證明，考查空間中線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)學(xué)問(wèn)，考查了三棱錐體積的求法，運(yùn)用了轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．19.某客戶(hù)考察了一款熱銷(xiāo)的凈水器，運(yùn)用壽命為十年，改款凈水器為三級(jí)過(guò)濾，每一級(jí)過(guò)濾都由核心部件濾芯來(lái)實(shí)現(xiàn).在運(yùn)用過(guò)程中，一級(jí)濾芯須要不定期更換，其中每更換個(gè)一級(jí)濾芯就須要更換個(gè)二級(jí)濾芯，三級(jí)濾芯無(wú)需更換.其中一級(jí)濾芯每個(gè)元，二級(jí)濾芯每個(gè)元.記一臺(tái)凈水器在運(yùn)用期內(nèi)須要更換的二級(jí)濾芯的個(gè)數(shù)構(gòu)成的集合為.如圖是依據(jù)臺(tái)該款凈水器在十年運(yùn)用期內(nèi)更換的一級(jí)濾芯的個(gè)數(shù)制成的柱狀圖.

（1）結(jié)合圖，寫(xiě)出集合；（2）依據(jù)以上信息，求出一臺(tái)凈水器在運(yùn)用期內(nèi)更換二級(jí)濾芯的費(fèi)用大于元的概率（以臺(tái)凈水器更換二級(jí)濾芯的頻率代替臺(tái)凈水器更換二級(jí)濾芯發(fā)生的概率）；（3）若在購(gòu)買(mǎi)凈水器的同時(shí)購(gòu)買(mǎi)濾芯，則濾芯可享受折實(shí)惠（運(yùn)用過(guò)程中如需再購(gòu)買(mǎi)無(wú)實(shí)惠）.假設(shè)上述臺(tái)凈水器在購(gòu)機(jī)的同時(shí)，每臺(tái)均購(gòu)買(mǎi)個(gè)一級(jí)濾芯、個(gè)二級(jí)濾芯作為備用濾芯（其中，），計(jì)算這臺(tái)凈水器在運(yùn)用期內(nèi)購(gòu)買(mǎi)濾芯所需總費(fèi)用的平均數(shù).并以此作為決策依據(jù)，假如客戶(hù)購(gòu)買(mǎi)凈水器的同時(shí)購(gòu)買(mǎi)備用濾芯的總數(shù)也為個(gè)，則其中一級(jí)濾芯和二級(jí)濾芯的個(gè)數(shù)應(yīng)分別是多少？【答案】（1）；（2）0.3；（3）見(jiàn)解析.【解析】分析】（1）依據(jù)直方圖和一級(jí)濾芯和二級(jí)濾芯之間的關(guān)系，可得答案；（2）更換二級(jí)濾芯的費(fèi)用大于元，即更換4個(gè)二級(jí)濾芯，轉(zhuǎn)化為更換12個(gè)一級(jí)濾芯，由直方圖得出答案；（3），，可以分為和兩種狀況，分別算出其平均數(shù)，得到結(jié)論【詳解】（1）由題意可知當(dāng)一級(jí)濾芯更換、、個(gè)時(shí)，二級(jí)濾芯須要更換個(gè)，當(dāng)一級(jí)濾芯更換個(gè)時(shí)，二級(jí)濾芯須要更換個(gè)，所以；（2）由題意可知二級(jí)濾芯更換個(gè)，需元，二級(jí)濾芯更換個(gè)，需元，在臺(tái)凈水器中，二級(jí)濾芯須要更換個(gè)的凈水器共臺(tái)，二級(jí)濾芯須要更換個(gè)的凈水器共臺(tái)，設(shè)“一臺(tái)凈水器在運(yùn)用期內(nèi)更換二級(jí)濾芯的費(fèi)用大于元”為事務(wù)，所以；（3）因?yàn)?，，（i）若，，則這臺(tái)凈水器在更換濾芯上所需費(fèi)用的平均數(shù)為（ii）若，，則這臺(tái)凈水器在更換濾芯上所需費(fèi)用的平均數(shù)為所以假如客戶(hù)購(gòu)買(mǎi)凈水器的同時(shí)購(gòu)買(mǎi)備用濾芯的總數(shù)為個(gè)，客戶(hù)應(yīng)當(dāng)購(gòu)買(mǎi)一級(jí)濾芯個(gè)，二級(jí)濾芯個(gè)．【點(diǎn)睛】本題考查直方圖的實(shí)際應(yīng)用，涉及求概率，平均數(shù)等問(wèn)題，關(guān)鍵是要讀懂題意.屬于中檔題.20.過(guò)圓上的點(diǎn)作圓的切線(xiàn)，過(guò)點(diǎn)作切線(xiàn)的垂線(xiàn)，若直線(xiàn)過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn).（1）求直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的方程；（2）若直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)上，且，求的面積.【答案】（1）.；（2）見(jiàn)解析.【解析】【試題分析】（1）利用斜率求得過(guò)點(diǎn)的切線(xiàn)方程，由此得到垂線(xiàn)的斜率，再由點(diǎn)斜式得到直線(xiàn)的方程，令可求得焦點(diǎn)的坐標(biāo)，由此得出拋物線(xiàn)的方程.（2）聯(lián)立方程組求得兩點(diǎn)的坐標(biāo).設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量的數(shù)量積求得點(diǎn)的坐標(biāo)，利用弦長(zhǎng)公式和點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式得出面積.【試題解析】（1）過(guò)點(diǎn)且與圓相切的直線(xiàn)方程為，斜率為，故直線(xiàn)的斜率為，故直線(xiàn)的方程為：，即.令，可得，故的坐標(biāo)為，∴，拋物線(xiàn)的方程為；（2）由可得，設(shè)，，則，，，點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，.設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，，則，解之得或，∴，則點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，故或，當(dāng)時(shí)，的面積為.當(dāng)時(shí)，的面積為.21.設(shè)函數(shù),其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．（1）若,求的單調(diào)區(qū)間;（2）若,求證:無(wú)零點(diǎn)．【答案】（1）的單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）詳見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）求導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，可得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間與單調(diào)遞減區(qū)間；（2）分類(lèi)探討，利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)的值域，從而證得結(jié)果.【詳解】（1）若,則,∴．令,則,當(dāng)時(shí),即單調(diào)遞增,又,∴當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增．∴的單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為．（2）當(dāng)時(shí),，明顯無(wú)零點(diǎn)．當(dāng)時(shí),(i)當(dāng)時(shí),，明顯無(wú)零點(diǎn)．(ii)當(dāng)時(shí)，易證，∴,∴．令，則，令，得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故，從而，明顯無(wú)零點(diǎn).綜上,無(wú)