2025年高考數(shù)學二輪復習 三角函數(shù)的圖像與性質(zhì) 學案講義

三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

知識導引

本專題主要知識為三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、函數(shù)y=Asin（s+°）.三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的

基礎是正弦曲線,關鍵是利用其圖象來理解、認識性質(zhì)，并要掌握好“五點法”作圖;對函數(shù)

y=Asin（0x+0）圖象的研究,教材采取先討論某個參數(shù)對圖象的影響（其余參數(shù)相對固定），

再整合成完整的問題解決的方法安排內(nèi)容.

1.會用“五點法”作正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的簡圖,能借助圖象理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性

質(zhì)（周期性、奇偶性、單調(diào)性、最大值和最小值等）；能借助正切線討論正切函數(shù)的性質(zhì)（周期

性、奇偶性、單調(diào)性、值域等），理解利用正切線畫出正切曲線.能從圖象變換的觀點畫函數(shù)

圖象,用變量代換的觀點討論函數(shù)的性質(zhì).

（1）“五點法”作圖的關鍵在于抓好三角函數(shù)中的兩個最值點，三個平衡位置（點）；

（2）對周期函數(shù)與周期定義中的“當x取定義域內(nèi)每一個值時”，要特別注意“每一個值”

的要求；

⑶正切曲線是被相互平行的直線xg+kMZ所隔開的無數(shù)支曲線組成的，正切曲線的

對稱中心坐標為/叫,keZ.

2.對于函數(shù)y=Asin（tov+°）,要注意以下幾點.

（1）會用"五點法"作函數(shù)y=Asin（0x+°）（A>O,o>O）的圖象.

⑵理解并掌握函數(shù)尸Asin（Ox+e）（A>0,o>0）圖象和函數(shù)y=sin無圖象的變換關系，通常

為:相位（平移）變換一周期變換一振幅變換.

相位變換:所有點向左（0>0）或向右（°<0）

具體：y=sinx=>y=sin(兀+0)

平移|勿個單位長度

周期變換：橫坐標伸長（0<啰<1）或縮短①>1）.

---------------------------------------------------------------=>y=sm（0x+（p）

到原來的人（縱坐標不變）

CD

振幅變換：各點縱坐標伸長（A>1）或縮短（O<A<1）

=>y=Asin(0x+0)

到原來的A倍（橫坐標不變）

注意,若周期變換在前,則一般公式為

平移變換

y=sincoxy=sinQ（x+（p]\=sin（8+a）（p）,

平移I勿個單位長度口

平移變換

y=sina)x-sm(a)x+(p).

平移里個單位長度

3

（3）當函數(shù)y=Asin（s:+0）（A>O,G>O,xw[O,+oo））表示一個振動量時，A叫做振眼i,T=——

CD

叫做周期，/=力叫做頻率，3+0叫做相位，。叫做初相.

一般結論：函數(shù)y=Asin（0x+°）及函數(shù)y=Acos3%+°）（其中為常數(shù)，且

Aw0,（y>0）的周期7=紅.

數(shù)形結合的思想方法貫穿了本專題的內(nèi)容,要熟練把握三角函數(shù)圖使的形狀特征,并能借

【進階提升】

【題目9］

求函數(shù)y=Jcosx—t的定義域.

審題將復合函數(shù)的定義域問題轉(zhuǎn)化為三角不等式問題求解,考慮用圖像或單位圓中三角函數(shù)

線解決.

解析利用y=cosx的圖象（圖1）或單位圓（圖2）知:在一個周期［-肛乃］內(nèi)，滿足cos尤..；的解

為號瓢字故所求函數(shù)的定義域為

卜|-t+2后超/-^+2k7r,kGzj.

圖1圖2

回爐本題是求復合函數(shù)的定義域問題，應先確定使二次根式、三角函數(shù)有意義x的的取值范

圍，易錯誤提示：當列出有關tanx的式子時，應注意其中隱含的條件.

xekn+—,k7i+—\,k&Z

_62)

［相似題9］

求函數(shù)y=lg（-sinx）+VI-tan%的定義域.

函數(shù)/（x）=（l+褥tanx）cosx在區(qū)間上的值域為審題本題為含正切與余弦的三角

函數(shù)在某一區(qū)間上求值域的問題，一般化為同角且同名的三角函數(shù)，轉(zhuǎn)化為探討形如

f{x）=Asm（a）x+（p）的式子在某一區(qū)間上的值域.

解析由已知得f(x)=(1+tan%)cosx=cosx+A/3sinx=2sin.

因為9,所以-/融+9g,所以-1瓢in[x+§]1,所求值域為-1,2].

回爐先利用三角函數(shù)公式將已知函數(shù)化為/(x)=Asin(ox+9)的形式，再利用正弦函數(shù)的性

質(zhì)可得所求的值域,解題時要注意定義域的范圍和A的符號.

【相似題10)

已知y=o-6cos3x的最大值為;，最小值為,求實數(shù)。與6的值.

【題目H】

已知sinx+siny=(，貝！Jsiny-cos2x的最大值是.

審題本題為由兩個不同角的三角函數(shù)關系，求解不同角、不同名、不同次函數(shù)siny-cc^x

的值域問題.一般解法為消元，根據(jù)已知條件將siny用sinx表示，利用三角函數(shù)的基本關系

式將cos?》用sinx表示，所求的式子肺般化為關于sinx的二次式，其中整理得到

siny-cos2x=^sinx--段，最后利用sinx的取值范圍,結合二次函數(shù)圖象進行求解.

解析因為sinx+siny=■，所以siny='-sinx.

-3-3

函數(shù)siny-cos2x=y-sinx--sin2xj=sin2x-sinx--1-=^sinx-.又因為

-1轟!tiny1,所以一1麴g-sinxl,--|-l!hinx1.

當sinx時，siny-cos2x取最大值—.

39

回爐解本題主要利用了同角三角函數(shù)的基本關系式、正角函數(shù)的有界性、二次函數(shù)的圖象與

性質(zhì).解題關鍵在于消元，將目標式siny-cos2x轉(zhuǎn)化為關于sinx的二次式,這里確定sinx

的取值范圍?釉in尤1是一個易錯點.事實上sinx=-1不成主,否則siny=y>1,矛盾.

【相似題11】

已知3sin2%+2sin2y=2sinx,貝(Jsin2x+sin2y的最大值為,最小值為.

[題目12]

函數(shù)y=sinxcosx+sinx+cosx的值域是.

審題令sinx+cos%=九借助sinx,cosx的平方關系進行換元,將三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為關于，的二次

函數(shù)，由二次函數(shù)圖象的對稱軸和單調(diào)性求出最值.

解析令sinx+cosx=。，貝IJ%=y/2sin(尤+-^Je\~6,

、,t2-1

對sinx+cos;i=/平方，得l+2sinxcos%=/2,所以sin%cos%=——.

2

所以丫=彳1+”：《+1)2一1,值域為-1,V2+1.

回爐三角函數(shù)運算中和(sinx+cosx)、差(sin%-cos%)、積(sinxcosx)存在著密切的聯(lián)系.如

(sinx±cosX)2=1±2sin%cosx,(sinx+cosx)2+(sinx—cosx)2=2,(sinx+cosx)2

-(sinx-cosx)2=4sinxcosx等.在做題時要害于觀察，進行相互轉(zhuǎn)化.本題在換元時，注意

^[-72,72],

【相似題12]

函數(shù))=sinxcosx(o</〈萬)的值域是________.

sinx-cosx+1

[題目13]

函數(shù)y=sinx的最大值是_______.

2+cosx

審題本題涉及異名三角函數(shù)的分式型函數(shù)y=2迎坐，可用反解和三角函數(shù)的有界性求

CCOSX+a

最大值;或用二倍角公式、萬能公式將正弦、余弦化為半角的正切，利用基本不等式求值;或

用斜率的幾何睢義求解.

解析1(反解與有界性)

去分母可得2y+ycosx=sinx,所以sinx-ycos%=2y,

故Jl+y?sin(x+0)=2y,sin(x+夕)=,其中tan(p=-y.

Ji+y

/T/T

由三角函數(shù)的有界性知Isin(尤+⑼|,,1,所以2y,,1,解得一號知號

+F

故所求的最大值為§.

解析2(斜率的幾何意義)

將丫=sin工化為產(chǎn)sinx-0,

2+cosxcosx-(-2)

y可看作動點P(cosx,sin%)與定點A(-2,0)連線的斜率k.

易得P(cosx,sinx)在單位圓d+9=1上，且左=—X—,

x+2

單位圓V+丁=1的圓心。到直線y=-X+2)的距離d=4=?1，

，左+1

可得/強g,_當上？號.故所求的最大值為q.

解析3(代數(shù)法)

y-Z(x+2),

由

x2+y2=1

令A=16/—4(1+用(必2T..0,可得廿延「與左？專.故所求的最大值為今.

解析4(半角公式、萬能公式、基本不等式)

因為

.2sin—cos—2sin--cos—2tan—

>==------------------1_2-----------------=----------2==——二.

2222222

2+cos尤2sin+cos+cossin3cos^+sin^3+tan^

\22/22222

(分子分母同除以cosz工)

2

要使函數(shù)白=sinx最大,則tan工＞0.

2+cosx2

2tan—

-----二^，，3=巫，當且為當tan?=7T時取等號.故所求的

從而y=----------

3+tan2^tanA+_3_27332

22tan工

2

最大值為十

2tan--

解析5由解析4得,=------,將其化為ytan2^-2tan^+3y=0.

3+tan2—22

2

當y=0時，tany=0,成立;

當yN0時，tan金eR,則A=4-4y.3y..0,得y2?y.

故所求的最大值為普.

回爐本題考查分式型函數(shù)〉=義皿士與最大值的求法,用到多種方法求解，體現(xiàn)代數(shù)、幾何

ccosx+a

的統(tǒng)一.

【相似題13］

函數(shù)y=2sinx+l的值域是________.

sinx-2

【題目14］

已矢口函數(shù)/1(犬)=$111［：-2X］,求：

(1)函數(shù)/(幻的單調(diào)遞減區(qū)間.

(2)函數(shù)“X)在區(qū)間［-萬,0］上的單調(diào)遞減區(qū)間.

審題本題研究三角函數(shù)/(x)=Asin((yx+°)的圖象與性質(zhì)，在求單調(diào)區(qū)間時，一般將0r+(p

看作一個整體，將正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間代入求解，同時注意A,。的符號對增減的影響.

解析⑴原函數(shù)化為/(x)=-sin12x-：j,求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間等價于求y=

sin12x-：j的單調(diào)遞增區(qū)間.

令2k;r-—^x-—2k兀+匹~,keZ,解得k/r-—^ijvkjr+^-.kGZ.故函數(shù)f(x)的單調(diào)

2321212

遞減區(qū)間為kn~—,k7T+(GeZ).

L1212J

(2)函數(shù)于(x)的單調(diào)遞陵區(qū)間與區(qū)間［-萬,0］取交集即可.

函數(shù)/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為k兀-宗k兀+1QteZ),經(jīng)分析可得%只能取0

和-1.故/'(x)在區(qū)間［-鞏0］上的單調(diào)遞減區(qū)間為-巖,0和—.

回爐解本題的關健是先把所給函數(shù)式化為標準形式/(x)=Asin(0x+°),應注意。＞0,把

皿+0看作一個整體,根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性列出不等式,求得函數(shù)的遞減區(qū)間的通解.若

要求某一個區(qū)間上的單保區(qū)間，則對通解中的左進行取值，便可求得函數(shù)在這個區(qū)間上的單

調(diào)區(qū)間.

【相似題14］

已知。是正數(shù)，函數(shù)y=2sintyx在區(qū)號-匹，至上是增函數(shù)，求。的取值范圍.

_34_

題目15

己知函數(shù)f(x)=sin(20x-gJ(0>O)的最小正周期為萬，則函數(shù)〃幻的圖象的一條對稱軸

方程是()

A.x=—B.x=—C.x=^-D.尤=匹

126123

審題本題已知函數(shù)/(x)的最小正周期,先利用周期性求得三角函數(shù)的解析式,再進一步研究

其圖象對稱軸方程的求法.

解析1結合函數(shù)/(元)的周期公式7=紅，得。=1,所以〃x)=sin(2x-2].由于函數(shù)在對

2coV37

稱軸處取到最值，將選項代人/(%)的解析式檢驗即可,故選C.

解析2由解析1知/(x)=sin(2九一彳J.

令2x-母=左乃+^OteZ),解得天=甘+需OteZ).

所以直線苫=色是/(x)圖象的一條對稱軸，故選C.

回爐本題解題的關鍵是先由周期公式求得。的值,再解決對稱軸問題.求解對稱軸方程有兩

種方法:一種是直接求出對稱軸方程;另一種是根據(jù)對稱軸的特征(即對稱軸處的函數(shù)值為函

數(shù)的最值)解決.同樣地,求解對稱中心也類似.

【相似題15]

若函數(shù)/(x)=sinW(。e[0,2%))是偶函數(shù)，則夕等于

題目16

若函數(shù)f(x)=asinx+cos尤的圖象關于直線x=[對稱,則實數(shù)。=.

審題三角函數(shù)的圖象直觀體現(xiàn)了三角函數(shù)的性質(zhì)，主要特征是對稱性、值域和單調(diào)性.解決

問題時應先把三合函數(shù)的綜合表達式轉(zhuǎn)化為標準式,再進行處理.

解析1若函數(shù)f(x)=次幣'sin(x+夕)的圖象關于直線x=(對稱,則

二]="TT為最大值,即±"ZT=今a+=，解得a=3故填3

I3J22

解析2若函數(shù)/(%)=溷11%+85%的圖象關于直線1=<對稱,則

=岑”1■，解得.=3故填3

*解析3若函數(shù)/(x)=GTTsin(x+0)的圖象關于直線x=[對稱,則

r=0.又f'(x)=(asinx+cosx)'=acosx—sinx,即acos-|^-sin^=0,解得a=y/3.故

填舊.

回爐正弦函數(shù)在對稱軸處取到最值.解本題的關艇是求a的值，由圖象關于直線》=里對稱

3

得+金=/11一j,從而求求。的值，過程比較復雜.若換用特殊值點來求，小

/(0)=/乃］,注意f(a-x)=f(b+x),則f(x)的圖象關于直線x=〃丁對稱；而

y=/(a-x)與y=f(b+x)的圖象關于直線關=且?■對稱.

【相似題16］

若函數(shù)f(x)=asinx-bcosx(a,b為常數(shù)，aw0,xeR)在x=工處取得最小值，則函數(shù)

4

是()

A.偶函數(shù),且它的圖象關于點(萬,0)對稱

B.偶函數(shù),且它的圖象關于點［看,o］對稱

C.奇函數(shù),且它的圖象關于點(萬,0)對稱

D.奇函數(shù),且它的圖象關于點［看,0)對稱

［題目17］

若函數(shù)/(x)=2sin］;rx-看［對于任意xeR,者B有/(玉)豺(x)〃切，則上一引的最小值為

A.—B.—C.1D.2

42

審題本題考查三副函數(shù)定義,三角函數(shù)周期的求法，以及計算能力和理解能力.

解析由題意知〃者)和〃尤2)分別為函數(shù)/(x)的最小值和最大值，故居-引的最小值為函

數(shù)的半周期.又周期T=2,故昆-村的最小值為1.答案為C.的最小值就是函數(shù)的半周期，

求解即可.

*一般地，函數(shù)〃x)=sin例x+sin在x的周期為7］=紅和T2=紅的最小公倍數(shù)，但函數(shù)

a\a>2

/(x)=sin2x+sin;rx不是周期函數(shù),不存在周暝.

易錯警示:考慮到|sinx|,|cosx|的周期均為%,則y=|sinx|+|cosx|的周期為萬.此為錯誤解

法.

【相似題17］

為了使函數(shù)y=sin(ox3>0)在區(qū)間［0,1］上至少出現(xiàn)50次最大值,則。的最小值是.

【題目18］

已知函數(shù)y=2sin［2x+：j.

(1)求它的振幅、周期和初相.

(2)用“五點法”作出它的圖象.

⑶y=2sin(2x+：J的圖象可由y=cosx的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到?

審題熟悉三角函數(shù)圖象的特征，掌用“五點法”作圖不圖象變換.

解析⑴y=2sin12x+gj的振幅為2、周期為萬、初相為年.

⑵列表如下.

_三7T77r57r

X

12T12T

37r

2x4-5-07t

~2XT2K

sin（22+附010-10

2sin（2#+1）020-20

所作圖象如下.

(3)解析1(先平移后伸縮)

先將函數(shù)尸8$》=$布1+1)的圖象向右平移專個單位長度，得y=sin(x+：j;再將橫

坐標變?yōu)樵瓉淼膟,縱坐標不變,得y=sin"x+;

最后將縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍,橫坐標保持不變,得y=2sin(2x+：j.

解析2(先伸縮后平移)

先將函數(shù)＞=3$犬=$也1+])的橫坐標變?yōu)樵瓉淼目v坐標不變,得》=5缶(2_￥+方)；

再將圖象向右平移有個單位長度,得y=sin"x+;

最后將縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍,橫坐標保持不變,得y=2sin[2x+：j.

回爐本題主要考查y=Asin(s+°)的圖象，以“五點法”作圖求解最為方便，但必須清楚它

的圖象與函數(shù)y=sinx,y=cosx圖象間的關系，弄清怎樣由函放y=sinx,y=cosx圖象變換

得到.要注意,在不同的變換中順序可以不同,平移的單位長度可能不同.

【相似題18]

已知。是實數(shù),則函數(shù)“x)=l+asina尤的圖像不可能是()

【題目191

己知函數(shù)y=Asin(tyx+9)(A>0,[d的一個周期的圖象如圖所示.

⑴寫出解析式.

(2)求該函數(shù)圖象的對稱軸方程及對稱中心坐標.

(3)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

審題本題為己知函數(shù)y=Asin(s+°)的部分圖象求三角函數(shù)的解析式等問題.一般觀點

(“五點法”)求夕.

解析(1)由圖象知振幅A=|■，周期7=乃，所以。=與=2,所以

3.

y=—sin(2x+

代人初始點，得2x看]+9=2k兀9=2k;r+^,keZ.

又191<半，所以°=5，函數(shù)的解析式為丫=1^1112苫+：1.

(2)令2彳+匹=%"+工，得》=紅+匹，對稱軸方程為天=紅+匹伏eZ).

32212212