2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：兩條直線的位置關(guān)系（八大題型）（講義）（原卷版）

第02講兩條直線的位置關(guān)系

目錄

01考情透視?目標(biāo)導(dǎo)航............................................................2

02知識導(dǎo)圖?思維引航............................................................3

03考點(diǎn)突破?題型探究............................................................4

知識點(diǎn)1：直線平行與垂直的判定..................................................4

知識點(diǎn)2：三種距離..............................................................4

解題方法總結(jié)...................................................................5

題型一：兩直線位置關(guān)系的判定...................................................6

題型二：兩直線的交點(diǎn)與距離問題.................................................8

題型三：有關(guān)距離的最值問題.....................................................9

題型四：點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱..........................................................10

題型五：點(diǎn)關(guān)于線對稱..........................................................11

題型六：線關(guān)于點(diǎn)對稱..........................................................12

題型七：線關(guān)于線對稱..........................................................12

題型八：直線系方程............................................................13

04真題練習(xí)?命題洞見............................................................14

05課本典例高考素材............................................................14

06易錯(cuò)分析?答題模板............................................................16

易錯(cuò)點(diǎn)：兩平行直線間的距離公式應(yīng)用錯(cuò)誤........................................16

答題模板：已知兩直線平行或垂直求參數(shù)..........................................17

考情透視.目標(biāo)導(dǎo)航

考點(diǎn)要求考題統(tǒng)計(jì)考情分析

高考對兩條直線的位置關(guān)系的考查比較穩(wěn)

（1）兩條直線的平行與

2022年上海卷第7題，5分定，考查內(nèi)容'頻率、題型難度均變化不大，備

垂直

2020年III卷第8題，5分考時(shí)應(yīng)熟練掌握兩條直線的位置關(guān)系、距離公

（2）兩直線的交點(diǎn)與距

2020年上海卷第7題，5分式'對稱問題等，特別要重視兩條直線的位置關(guān)

離問題

系以及點(diǎn)到直線的距離公式這兩個(gè)考點(diǎn).

復(fù)習(xí)目標(biāo)：

（1）能根據(jù)斜率判定兩條直線平行或垂直.

（2）能用解方程組的方法求兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo).

（3）掌握平面上兩點(diǎn)間的距離公式'點(diǎn)到直線的距離公式，會求兩條平行直線間的距離.

老占突硒?力理慳宙

知識固本

知識點(diǎn)1:直線平行與垂直的判定

兩條直線平行與垂直的判定以表格形式出現(xiàn)，如表所示.

兩直線方程平行垂直

/|:4%+4y+C]=0—=o且

A4+BXB2-o

12:4%+B2y+C2=0B[C2—4Gw0

L:y=k.x+b,人一―一^一

；:；（斜率存在）

；

12y=k?x+b2.=k2,bx￡仇或尤能=-1或勺與心中有一個(gè)為

（斜率不存在）X=Xx,X=X2,XxW%20,另一個(gè)不存在.

l2:x=x2

【診斷自測】（多選題）已知兩條直線4，的方程分別為3x+4y+12=0與6+8y-ll=0,下列結(jié)論正確

的是（）

7

A.若則a=6B.若則兩條平行直線之間的距離為了

4

32

C.若/』，則。=半D.若。。6,則直線4，4一定相交

知識點(diǎn)2：三種距離

1、兩點(diǎn)間的距離

平面上兩點(diǎn)片（玉,％）,巴（馬,為）的距離公式為|［鳥|=1（占一%）2+（乂一%）2.

特別地，原點(diǎn)0（0,0）與任一點(diǎn)P（x,y）

2、點(diǎn)到直線的距離

|Ax。+5%+C|

點(diǎn)ZJ(%o,%)到直線I:Ax+By+C=0的距禺d=

JA2+B?

特別地，若直線為/：x=m,則點(diǎn)4（%,%）到/的距離1=|旭-5|；若直線為/：產(chǎn)小則點(diǎn)心（升,為）到

/的距離—%|

3、兩條平行線間的距離

已知44是兩條平行線，求44間距離的方法：

（1）轉(zhuǎn)化為其中一條直線上的特殊點(diǎn)到另一條直線的距離.

（2）設(shè)/i：Ax+8y+C[=0,/2：Ar+8y+C,=0，則4與（之間的距離d=隼二

A/A2+B2

注：兩平行直線方程中，x,y前面對應(yīng)系數(shù)要相等.

4、雙根式

雙根式/（x）=61f+*+q土+3+C2型函數(shù)求解,首先想到兩點(diǎn)間的距離，或者利用單調(diào)性

求解.

【診斷自測】（多選題）已知點(diǎn)M（L4）到直線/：皿+丫-1=0的距離為3,則實(shí)數(shù)機(jī)等于（）

A.0B.-C.3D.2

4

解題方法總結(jié)

1、點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱

點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱的本質(zhì)是中點(diǎn)坐標(biāo)公式：設(shè)點(diǎn)P（X，%）關(guān)于點(diǎn)0（%,%）的對稱點(diǎn)為P（%2,%），則根

X+X,

%=--------

據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式，有2

可得對稱點(diǎn)P\x2,y2）的坐標(biāo)為（2x0-x1,2%-y）

2、點(diǎn)關(guān)于直線對稱

點(diǎn)尸（占，%）關(guān)于直線/:Ax+By+C=O對稱的點(diǎn)為P（無2，%），連接PP'，交/于M點(diǎn)，貝1J/垂直平分

.kPP，=—1

pp,所以PP_L/，且M為PP中點(diǎn)，又因?yàn)镸在直線/上，故可得Jx+xy+y，解出

A———-+B——―+C=0

[22

（尤2,%）即可?

3、直線關(guān)于點(diǎn)對稱

法一：在已知直線上取兩點(diǎn)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出它們關(guān)于已知點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)式求

出直線方程；

法二：求出一個(gè)對稱點(diǎn)，再利用兩對稱直線平行，由點(diǎn)斜式得到所求直線方程.

4、直線關(guān)于直線對稱

求直線4：ax+by+c=O,關(guān)于直線6：加+"+/=0（兩直線不平行）的對稱直線4

第一步：聯(lián)立4算出交點(diǎn)P(x0,%)

第二步：在4上任找一點(diǎn)(非交點(diǎn))Q?,%)，利用點(diǎn)關(guān)于直線對稱的秒殺公式算出對稱點(diǎn)

Q'(無2，％)

第三步：利用兩點(diǎn)式寫出4方程

5、常見的一些特殊的對稱

點(diǎn)(x,y)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為(x,-y),關(guān)于》軸的對稱點(diǎn)為(-x,y)■

點(diǎn)(x,y)關(guān)于直線^=%的對稱點(diǎn)為(y,x),關(guān)于直線＞=-%的對稱點(diǎn)為(-y,-x).

點(diǎn)(x,y)關(guān)于直線x=。的對稱點(diǎn)為(2a-x,y),關(guān)于直線y=6的對稱點(diǎn)為(無，2b—y)■

點(diǎn)(x,y)關(guān)于點(diǎn)(a,6)的對稱點(diǎn)為(2a-尤，2b—y)■

點(diǎn)(x,y)關(guān)于直線x+y=4的對稱點(diǎn)為(左-y,k—x),關(guān)于直線x-y=%的對稱點(diǎn)為(左+y,x—k)-

6、過定點(diǎn)直線系

過已知點(diǎn)P(x0,%)的直線系方程y-%=左(％-毛)(左為參數(shù)).

7、斜率為定值直線系

斜率為左的直線系方程y=丘+6(6是參數(shù)).

8、平行直線系

與已知直線Ac+By+C=O平行的直線系方程Ax+By+4=0(幾為參數(shù)).

9、垂直直線系

與已知直線Ax+為+C=0垂直的直線系方程&-Ay+4=0(%為參數(shù)).

10、過兩直線交點(diǎn)的直線系

過直線4：Ax+耳y+G=0與4：4x+4y+C2=0的交點(diǎn)的直線系方程：

V++G+2(A,x+B2y+C2)=0(2為參數(shù)).

題型洞察

題型一：兩直線位置關(guān)系的判定

【典例14】(湖北省“宜荊荊恩”2024屆高三9月起點(diǎn)考試數(shù)學(xué)試題)已知兩條直線

4:ax+4y-l=0,Z2:x+ay+2=0,貝!J"q=2”是"/J/4”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

21

【典例1-2］已知。>0,b>0,直線(a—l)%+y—1=0和元+2勿+1=0垂直，貝1!一+丁的最小值為()

ab

A.16B.8C.4D.2

【方法技巧】

【解題方法總結(jié)】

判斷兩直線的位置關(guān)系可以從斜率是否存在分類判斷，也可以按照以下方法判斷：一般地，設(shè)

4：4尤+4y+￡=0（A，耳不全為o）,/2：A,X+B2J+C2=O（4，仄不全為O）,貝U：

當(dāng)44一44工0時(shí)，直線4,相交；

當(dāng)4名=4q時(shí)，44直線平行或重合，代回檢驗(yàn)；

當(dāng)=。時(shí)，直線垂直，與向量的平行與垂直類比記憶.

【變式1-1】直線3元一伏+2）y+A+5=0與直線米+（2左一3）y+2=0相交，則實(shí)數(shù)%的值為（）

A.上片1或左片9B.左或左w—9

C.后關(guān)1且％力9D.左且左片一9

【變式1-2】點(diǎn)尸（不乂）,。（々,力）為直線質(zhì)-y+2=o上不同的兩點(diǎn)，則直線4：卒-yJ=1與直線

4：%尤-%y=i的位置關(guān)系是（）

A.相交B.平行C.重合D.不確定

【變式1-3］（2024?高三?廣東?開學(xué)考試）已知直線4：-八+，一1=0,直線公（2機(jī)-3）x+y-3=0,

貝!J"?=—3是〃〃2的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

【變式1-4］（2024?高三?上海寶山?開學(xué)考試）已知集合&={（元,y）|x+ay+2a=0},

2={（尤,y）?+ay-1=0},則下列結(jié)論正確的是（）

A.存在a^R,使得A=0

j__3

B.當(dāng)〃=一1時(shí)，AnB=

2，-2

C.當(dāng)A5=0時(shí)，a=l

D.對任意的acR,都有

題型二：兩直線的交點(diǎn)與距離問題

【典例2-1]（2024?高三?江蘇蘇州?開學(xué)考試）已知直線4：x+y+C=。與直線/2：/U+By+C=。交于

（1,1）,則原點(diǎn)到直線。距離的最大值為（）

A.2B.叵C.D.1

2

【典例2-2】若直線y=x+2左+1與直線y=-g尤

+2的交點(diǎn)在第一象限，則實(shí)數(shù)上的取值范圍是（）

5j_2j_5_j_2j_

A.B.C.D.

25257225~2572

【方法技巧】

兩點(diǎn)間的距離，點(diǎn)到直線的距離以及兩平行直線間的距離的計(jì)算，特別注意點(diǎn)到直線距離公式的結(jié)構(gòu).

【變式2-1]已知點(diǎn)4（2,1）,8（3,4）,C（-2,-l）,則ABC的面積為一.

【變式2-2]已知平面上點(diǎn)以3,3）和直線/:2了+3=0,點(diǎn)尸到直線/的距離為％則〃=_.

【變式2-3]已知直線/:（m+l）x-y-3根-2=0,則點(diǎn)到直線/的距離的最大值為

【變式2-4]己知點(diǎn)A（T2）,3（1,4）,若直線/過點(diǎn)"（-2,-3）,且A、8到直線/的距離相等，則直線/的

方程為.

【變式2-5]4%7+3=0,與直線4：2尤+啊-2=0平行，則直線乙與的距離為.

【變式2-6]若恰有兩組的實(shí)數(shù)對（AB）滿足關(guān)系式?J5：左）3L/,則符合題意的/的值

為.

【變式2-7]（2024?全國?模擬預(yù)測）已知直線4：y=2x和/2：'=履+1與無軸圍成的三角形是等腰三角形,

則發(fā)的取值不可能為（）

4QGTD4+]

A.-2B.——

3,2,2

題型三：有關(guān)距離的最值問題

【典例3-1】我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾經(jīng)說過：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休.”事實(shí)上有很多代數(shù)問

題可以轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決，根據(jù)上述觀點(diǎn)，當(dāng)/（尤）=—2x+10+-1Ox+29取得最小值時(shí),

實(shí)數(shù)x的值為（）

【典例3-2】設(shè)/（X,y）=也2+y2+J（x+2）2+y2+J（2-X）2+（y+3）2+y]x2+（y+4）2，其中

-2VxV2,-4"V0則/（x,y）的最小值為（）

A.8B.9C.6+V13D.4+3.75

【方法技巧】

數(shù)學(xué)結(jié)合，利用距離的幾何意義進(jìn)行轉(zhuǎn)化.

【變式3-1］已知a，b,c,d為四個(gè)實(shí)數(shù)，且］一/?=一2,c-d=O,a+b=c+d,貝［］

yja2+（b-4）2+yjc2+（d-5）2的最小值為（）

A.屈一逝B.—C.D.5

22

【變式3-2】已知（也小為直線無+'-1=0上的一點(diǎn)，則J4+川+?〃］+2y+〃2的最小值為（）

A.710B.2石C.4D.30

【變式3-3］JlOf-6x+l+J10f+4x+4的最小值為（）

r3>/5底

A.3B.20nU?------------

55

【變式3-4】已知實(shí)數(shù)百,々,必,必，滿足才+犬=4,x；+y；=9,xlx2+yly2=0,貝?。?/p>

國+X—9+民+y2—9|的最小值是.

【變式3-5】已知點(diǎn)尸,。分別在直線4：x+y+2=。與直線/z：x+y-i=。上，且尸。，心點(diǎn)A（-3,-3）,

5（3,0）,則|朋+|PQ|+|Q3|的最小值為一.

【變式3-6］（多選題）已知兩點(diǎn)A（-5,-1）,以0,4）點(diǎn)2是直線/：y=2尤-1上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確

的是（）

A.存在尸（U）使|總+怛目最小B.存在尸匕,0）使|PA『+|冏2最小

C.存在尸（5,9）使|四-|冏最小D.存在尸（0,-1）使|期-|尸身最小

【變式3-7］（多選題）已知直線/：x一2>+8=。和三點(diǎn)A（2,。），B（-2,-4）,C（2,5）,過點(diǎn)C的直線乙與無軸、

y軸的正半軸交于M,N兩點(diǎn).下列結(jié)論正確的是（）

A.P在直線/上，則|舉+戶國的最小值為40

B.直線/上一點(diǎn)尸（12,10）使||PB|-|PA||最大

uuumuuu

C.當(dāng)|CM|?|CN|最小時(shí)/1的方程是x+y-7=。

UUUIUUULL

D.當(dāng)|OM|?|ON|最小時(shí)4的方程是5%+y-15=0

【變式3-8】已知點(diǎn)加（七,%）在直線4:y=%+2，點(diǎn)"（乙，上）在直線,2：V=%上，且MN，/一

舊+（%-4）2+&X「5）2+代的最小值為（）

A逑B.座C.V41-A/2D.5

22

【變式3-9］過定點(diǎn)A的動(dòng)直線x+6=0和過定點(diǎn)8的動(dòng)直線米-廣2左+1=0交于點(diǎn)貝+的

最大值是（）

A.272B.3C.V10D.而

【變式3-10］已知x,V為實(shí)數(shù)，代數(shù)式，f+i2x+40+Jx2+y2+；/一81+20的最小值是.

題型四：點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱

【典例4-1】直線/經(jīng)過點(diǎn)P（T,6）,與x軸、y軸分別交于A,B兩點(diǎn)，當(dāng)尸為A2中點(diǎn)時(shí)，

【典例4-2】已知A（a,6）,B（-2,b）,點(diǎn)尸（2,3）是線段A8的中點(diǎn)，則a+b=—.

【方法技巧】

求點(diǎn)尸（X］，M）關(guān)于點(diǎn)知（尤0，%）中心對稱的點(diǎn)P'H，%），由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得《2c01

〔力=2%一%

【變式4-1】已知點(diǎn)A在X軸上，點(diǎn)8在y軸上，線段AB的中點(diǎn)M■的坐標(biāo)為（2,-1）,則線段AB的長度

為.

【變式4-2】設(shè)點(diǎn)A在無軸上，點(diǎn)B在y軸上，A3的中點(diǎn)是尸（2,-1）,則a卻等于

【變式4-3】已知直線1與直線4：y=l及直線/2：x+y-7=0分別交于點(diǎn)P,Q.若PQ的中點(diǎn)為點(diǎn)”（1,-1）,

則直線1的斜率為

【變式4-4］已知直線/與直線4：2x-y+2=。和4：x+y-4=0的交點(diǎn)分別為4,8,若點(diǎn)尸（2,0）是線段

A3的中點(diǎn)，則直線的方程為___.

題型五：點(diǎn)關(guān)于線對稱

【典例5-1】將一張坐標(biāo)紙對折，如果點(diǎn)（。,而與點(diǎn)（機(jī)-2,2）（機(jī)工2）重合，則點(diǎn)（-4,1）與點(diǎn)—重合.

【典例5-21點(diǎn)（3,0）關(guān)于直線x-y+3=0對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（）

A.（3,6）B.（6,-3）C.（-6,3）D.（-3,6）

【方法技巧】

求點(diǎn)P（無］,%）關(guān)于直線4對稱的點(diǎn)尸82,%）

方法一：（一中一垂），即線段PP的中點(diǎn)M在對稱軸4上，若直線PP的斜率存在，則直線尸產(chǎn)的斜

率與對稱軸10的斜率之積為一1,兩個(gè)條件建立方程組解得點(diǎn)尸'（9,%）

方法二：先求經(jīng)過點(diǎn)P（%,%）且垂直于對稱軸的直線（法線）/。，然后由得線段PP的中

點(diǎn)M（%,%）,從而得［多一\

1%=2%-%

【變式5-1】若直線4：y-2=（左-1卜和直線6關(guān)于直線y=x+l對稱，則直線"恒過定點(diǎn)（）

A.（2,0）B.（1,-1）C.（1,1）D.（-2,0）

【變式5-2】一條光線從點(diǎn)尸（-1,5）射出，經(jīng)直線尤-3了+1=0反射后經(jīng)過點(diǎn)（2,3）,則反射光線所在直線的

方程為（）

A.2x—y—1=0B.%—2=0

C.3x-y-3=0D.4x-y-5=0

【變式5-3】在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4,點(diǎn)尸是邊A3上異于A,8的一點(diǎn)，光從點(diǎn)尸出發(fā)

經(jīng)ACBC反射后又回到點(diǎn)P,反射點(diǎn)為Q,R,若光線QR經(jīng)過VABC的重心，則AP=—.

題型六：線關(guān)于點(diǎn)對稱

【典例6-1】直線/：2》+3丫+2=0關(guān)于點(diǎn)入（2,0）對稱的直線方程為一.

【典例6-2】直線y=3元-4關(guān)于點(diǎn)P（l,l）對稱的直線方程為.

【方法技巧】

求直線/關(guān)于點(diǎn)中心對稱的直線r

求解方法是：在已知直線/上取一點(diǎn)PC%%）關(guān)于點(diǎn)心%,%）中心對稱得產(chǎn)（々,％），再利用//〃'，由

點(diǎn)斜式方程求得直線/'的方程（或者由//〃，且點(diǎn)%）到直線/及r的距離相等來求解）.

【變式6-1】直線/：2尤-3y+l=0關(guān)于點(diǎn)A（-l,_2）對稱的直線「的方程為—.

【變式6-2】直線辦+y+3a-l=0恒過定點(diǎn)M,則直線2x+3y-6=0關(guān)于加點(diǎn)對稱的直線方程為.

【變式6-3］在平面直角坐標(biāo)系尤Oy中，將直線/沿x軸正方向平移3個(gè)單位長度，沿y軸正方向平移5個(gè)

單位長度，得到直線〃.再將直線//沿x軸正方向平移1個(gè)單位長度，沿y軸負(fù)方向平移2個(gè)單位長度，又

與直線/重合.若直線/與直線//關(guān)于點(diǎn)（2,3）對稱，則直線/的方程是.

題型七：線關(guān)于線對稱

【典例7-1】若直線/與直線無+>-1=0關(guān)于直線y=2對稱，則直線/的一般式方程為.

【典例7-2】直線/與直線>=氐關(guān)于直線y=x+l對稱，則直線/的傾斜角是

【方法技巧】

求直線I關(guān)于直線i0對稱的直線r

若直線////。，則///，，且對稱軸％與直線/及r之間的距離相等.

22

止匕時(shí)分另U為Ax+By+C=O,Ax+By+Co=O,Ax+By+C'=0(A+B^0),由

|C'-C,|

(,求得C，，從而得，.

若直線/與/。不平行，貝心I0=Q.在直線/上取異于。的一點(diǎn)尸（內(nèi),必）,然后求得pa”%）關(guān)于直線

%對稱的點(diǎn)尸'（Z，%），再由。，尸'兩點(diǎn)確定直線/'（其中/；0/'=。）?

【變式7-1】已知直線4：x-y+3=O,直線/：x_y_1=0,若直線4關(guān)于直線/的對稱直線為則直線

的方程為

【變式7-2］若直線/與直線ax+by+c=o（必＞0）的夾角平分線為了=彳，則直線/的方程為

【變式7-3】直線心2尤-y+l=0關(guān)于直線個(gè)x+y+2=0的對稱直線方程為

【變式7-4】直線2x+y-5=0關(guān)于直線y=x+3的對稱直線的方程為.

題型八：直線系方程

【典例8-11過兩直線2023x-2022,-1=0和2022x+2023y+1=0的交點(diǎn)且過原點(diǎn)的直線方程為

【典例8-2］經(jīng)過點(diǎn)P（L0）和兩直線4：x+2y-2=。；4：3x-2y+2=0交點(diǎn)的直線方程為.

【方法技巧】

利用直線系方程求解.

【變式8-1］已知兩直線＞x+4yT=。和出尤+如一修。的交點(diǎn)為尸（1,2）,則過Q（q，4）,Q（%也）兩點(diǎn)的

直線方程為.

【變式8-2】設(shè)直線/經(jīng)過2x-3y+2=0和3x-4y-2=0的交點(diǎn)，且與兩坐標(biāo)軸圍成等腰直角三角形，則

直線/的方程為.

【變式8-3】已知直線加的方程為（a+l）x+“y-3a-l=0（aeR）,求坐標(biāo)原點(diǎn)。到加的距離的最大值___.

3

1.（2021年全國新高考II卷數(shù)學(xué)試題）拋物線y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)到直線y=x+l的距離為四,則。=

（）

A.1B.2C.272D.4

22

2.（2021年全國高考甲卷數(shù)學(xué)（文）試題）點(diǎn)（3,0）到雙曲線走一匕=1的一條漸近線的距離為（）

3.（2020年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（新課標(biāo)III））點(diǎn)（0,-1）到直線、=4（尤+1）距離的最大值為

（）