直線與圓的綜合應(yīng)用（八大題型）（解析版）-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（新教材新高考）

重難點(diǎn)突破03直線與圓的綜合應(yīng)用

目錄

01方法技巧與總結(jié)...............................................................2

02題型歸納與總結(jié)...............................................................2

題型一：距離的創(chuàng)新定義.........................................................2

題型二：切比雪夫距離...........................................................6

題型三：曼哈頓距離'折線距離、直角距離問(wèn)題....................................11

題型四：閔氏距離問(wèn)題..........................................................15

題型五：圓的包絡(luò)線問(wèn)題........................................................17

題型六：阿波羅尼斯圓問(wèn)題、反演點(diǎn)問(wèn)題、阿波羅尼斯球問(wèn)題........................20

題型七：圓中的垂直問(wèn)題........................................................25

題型八：圓的存在性問(wèn)題........................................................28

03過(guò)關(guān)測(cè)試....................................................................31

亡法牯自與.柒年

//\\

直線與圓的綜合應(yīng)用方法主要包括幾何法和代數(shù)法。

題型一：距離的創(chuàng)新定義

【典例1-1】數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微”.事實(shí)上，很多代數(shù)問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為

幾何問(wèn)題加以解決，例如，與J(x-a)2+(y-6)2相關(guān)的代數(shù)問(wèn)題,可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)A(x,y)與點(diǎn)3(。力)之間

距離的幾何問(wèn)題.結(jié)合上述觀點(diǎn)，可求得方程4+4x+5+4—4x+5=6的解是()

【答案】D

[解析]因?yàn)镚+4x+5=7(X+2)2+1=7[%-(-2)]2+(1-0)2,

所以VX2+4X+5可以轉(zhuǎn)化為“(*』)到N(-2,0)的距離，

同理，6-4x+5可以轉(zhuǎn)化為知(x,1)到尸⑵0)的距離,

因?yàn)閥lx1+4x+5+y/^-4x+5=6＞

所以M(x,l)到兩定點(diǎn)N(-2,0)和尸(2,0)的距離之和為6,

所以/(x,1)在以點(diǎn)N(-2,0)和尸(2,0)為焦點(diǎn)的橢圓上，

22

設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：3+2=1(。＞匕＞0),

ab

則，2a=6,

即a=3,

又〃=4,

所以。2=5,

22

所以橢圓的方程為：—+^=1,

95

由y=i,

r21

得上+L=1,

95

解得，x=±返

5

故選：D.

【典例1-21人臉識(shí)別中檢測(cè)樣本之間相似度主要應(yīng)用距離的測(cè)試，常用測(cè)量距離的方式有曼哈頓距離和

余弦距離.若二維空間有兩個(gè)點(diǎn)4(%,%),3(和%>則曼哈頓距離為：d(A,B)=\xl-x2\+\y}-y2\>

余弦相似度為：cos(A,B)=A1.

余弦距離為1—cos(AB).

舊+y；

若A(—1,2)，B，則A,8之間的余弦距離為(

A.i_好B.1+@C.D.

5555

【答案】A

??.cos(AB)=’x(+弓x]=冬

所以A,8之間的余弦距離為i_cos(A5)=l—半.

故選：A.

【變式1-1】費(fèi)馬點(diǎn)是指三角形內(nèi)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)，當(dāng)三角形三個(gè)內(nèi)角均小120。時(shí)，

費(fèi)馬點(diǎn)與三個(gè)頂點(diǎn)連線正好三等分費(fèi)馬點(diǎn)所在的周角，即該點(diǎn)所對(duì)三角形三邊的張角相等，均為120。.根據(jù)

以上性質(zhì)，已知4-2,0),8(2,0),C(0,4),尸為VABC內(nèi)一點(diǎn),記〃尸)=|二+|即+|尸。,則〃尸)的

最小值為()

A.2/B.4+2有

C.4+^/3D.2+^/3

【答案】B

【解析】設(shè)。(。，0)為坐標(biāo)原點(diǎn),由A(-2,0),8(2,0),C(0,4),

知|AC|=|BC|=2如，且VABC為銳角三角形，

因此，費(fèi)馬點(diǎn)M在線段OC上，設(shè)M(O,0,如圖，

A

AO\Bx

則△M4B為頂角是120。的等腰三角形，故〃=|08|121130。=竿，

所以/'(尸)2f(M)=+|MC|=46+4—〃=4+26，

則“P)的最小值為4+2若.

故選：B

【變式1-2】以三角形邊BC,CA,AB為邊向形外作正三角形3C4',CAB',ABC,則A4',BB',

CC'三線共點(diǎn)，該點(diǎn)稱為VABC的正等角中心.當(dāng)VABC的每個(gè)內(nèi)角都小于120。時(shí)，正等角中心點(diǎn)P滿足

以下性質(zhì)：

(1)?APB?APC?BPC120?；(2)正等角中心是到該三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)(也即費(fèi)

馬點(diǎn)).由以上性質(zhì)得Jd+(y-l)2+Jd+(y+l)2+7(%-2)2+/的最小值為

【答案】2+73

【解析】根據(jù)題意，在平面直角坐標(biāo)系中，令點(diǎn)40,1),B(0,-1),C(2,0),

則J尤2+(y—l)2+"尤」+(y+l)2+"(x—2)2+y2表示坐標(biāo)系中一點(diǎn)(X,了)到點(diǎn)A、B、C的距離之和，

因?yàn)?MBe是等腰三角形，AC=BC,

所以C'點(diǎn)在x軸負(fù)半軸上，所以CC'與x軸重合，

令ZL4BC的費(fèi)馬點(diǎn)為P(a,6),則尸在CC上，則6=0,

因?yàn)?4BC是銳角三角形，由性質(zhì)(1)得NAPC=120。，

所……所以＞6所以“邛，

...P(冬0)到A、B、C的距離分另|J為PA=P8=W，PC=2-^~,

所以yJx2+(y-V)2++(y+l)2+J(尤-2)2+y2的最小值，

即為費(fèi)馬點(diǎn)P到點(diǎn)A、B、C的距離之和，則尸A+PB+PC=2+8.

故答案為：2+6.

【變式1-3］已知平面上的線段/及點(diǎn)P,任取/上一點(diǎn)。，線段PQ長(zhǎng)度的最小值稱為點(diǎn)P到線段/的距離,

記作d(P,/).請(qǐng)你寫(xiě)出到兩條線段心4距離相等的點(diǎn)的集合。={尸S(P，4)=〃(P，))},其中4=AB,

l2=CD,A,B,C,。是下列兩組點(diǎn)中的一組.對(duì)于下列兩種情形，只需選做一種，滿分分別是①3分;

②5分.①A(l,3),8(1,0),C(-l,3),￡?(-1,0)；②A(l,3),8(1,0),C(-l,3),D(T—2).你選擇第

種情形，到兩條線段乙，4距離相等的點(diǎn)的集合。=.

【答案】①，y軸②y軸非負(fù)半軸，拋物線/=4武-2勵(lì)0),直線尸-彳-15>1)

【解析】根據(jù)題意從兩組點(diǎn)的坐標(biāo)中選一組，根據(jù)所給的四個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，寫(xiě)出兩條直線的方程，從直線方

程中看出這兩條直線之間的平行關(guān)系，得到要求的結(jié)果.

對(duì)于①，4L3),B(l,0),C(-l,3),。(-1,0)；

利用兩點(diǎn)式寫(xiě)出兩條直線的方程A3：x=l,CD：x=-l,

到兩條線段4，乙距離相等的點(diǎn)的集合。={尸1或尸，4)="(尸，外},

根據(jù)兩條直線的方程可知兩條直線之間的關(guān)系是平行，

???到兩條線段4,k距離相等的點(diǎn)的集合為Q={(x,y)|x=0},

對(duì)于②，41,3),8(1,0),C(-l,3),D(-l,-2).

根據(jù)第一組作出的結(jié)果，觀察第二組數(shù)據(jù)的特點(diǎn)，連接得到線段以后，可以得到到兩條線段距離相等的點(diǎn)

是y軸的非負(fù)半軸，拋物線拋物線好=4x(-2觸0),直線y=-x-l(x>l)

故滿足條件的集合。={(x,y)|x=0旦yNO}［.{(x,y)|y2=4x,0<x<1,-21^0)?{(x,y)|y=>1}.

綜上所述，①，Q={(x,y)|x=0}；②，Q={(x,j)|%=0JLy>0}

{(*，,)b2=4犬,04尤41,_2強(qiáng)40),1(x,y)|y=-x-l,x>l}.

題型二：切比雪夫距離

【典例2-1］在平面直角坐標(biāo)系中，定義以4,3)=111故{|尤］-引,回一％|}為兩點(diǎn)4(占,%)、3(%2，%)的“切比

雪夫距離”，又設(shè)點(diǎn)P及I上任意一點(diǎn)。，稱"(P，。)的最小值為點(diǎn)P到直線I的“切比雪夫距離”記作d(尸,/)，給

出下列四個(gè)命題：

①對(duì)任意三點(diǎn)A,民C,都有d(C,A)+〃(C,3)24(43);

②已知點(diǎn)P(3,l)和直線/：2x-y-l=O,則d(P,/)=|；

③到原點(diǎn)的“切比雪夫距離”等于1的點(diǎn)的軌跡是正方形；

其中真命題的是()

A.①②B.②③C.①③D.①②③

【答案】D

【解析】①對(duì)任意三點(diǎn)A、B、C,若它們共線，設(shè)4不，%)、B(x-%),C(x3,%),如圖，結(jié)合三角

形的相似可得“(CA),d(C,B),d(A,B)為AN,CM,AK,或CN,BM,BK,貝l|

d(C,A)+d(C,B)>d(A,B)；

若B,C或A,C對(duì)調(diào)，可得或。,&+或。,8)2或48)；

若A,B,C不共線，且三角形中C為銳角或鈍角，如圖，

由矩形CMNK或矩形BMNK,d(C,A)+d(C,B)>d(A,B)；

則對(duì)任意的三點(diǎn)A,B,C,都有或￡&+或￡8)*或48),故①正確；

②設(shè)點(diǎn)。是直線y=2x-l上一點(diǎn)，且。(x,2x-l),

可得d(P,Q)="x{|x-3],\2-2x\},

由|尤一3|2|2—2彳],解得一IVxV；,即有d(P,Q)4x-3|,

當(dāng)x5時(shí)，取得最小值三4；

由|x-3]<]2-2x|,解得*或x<—l,即有4(尸,。)斗2尤-2|,

4

d(P,Q)的范圍是(1,+8),無(wú)最值；

4

綜上可得，P,。兩點(diǎn)的“切比雪夫距離”的最小值為1;故②正確；

③由題，到原點(diǎn)。的“切比雪夫距離''的距離為1的點(diǎn)P(x,y)滿足d(。,尸)=max{M|y|}=l,即弓:或

x<\y\,

,y=7,顯然點(diǎn)尸的軌跡為正方形，故③正確；

故選：D

【典例2-2】在平面直角坐標(biāo)系中，定義d(AB)=|芯-%1+1%-%1為兩點(diǎn)4芯，％)、8區(qū),巴)的“切比雪夫

距離”，又設(shè)點(diǎn)P及直線/上任意一點(diǎn)Q,稱“(尸,2)的最小值為點(diǎn)尸到直線/的“切比雪夫距離”，記作或尸,/),

給出下列三個(gè)命題：

①對(duì)任意三點(diǎn)A、B、C,都有4。,4)+"。,2)2或4.3)；

4

②已知點(diǎn)P(3,l)和直線l:2x-y-l=0,則d(P,l)=1；

③定義0(0,0),動(dòng)點(diǎn)尸(x,y)滿足d(P,O)=l,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡圍成平面圖形的面積是4；

其中真命題的個(gè)數(shù)()

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【解析】由新定義表示出三點(diǎn)AB,C兩兩之間的“切比雪夫距離”，然后根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)判斷①，

由新定義計(jì)算出或尸，/),判斷②，

根據(jù)新定義求出P的軌跡方程，確定其軌跡，求得軌跡圍成的圖形面積判斷③.①設(shè)

A(xj,),B(X2,y2),C(x3,y3),則d(A3)=居一司+|%-%|>

d(AO+d(8,。=|百一&|+|乂一%|+"-司+昆一力|>

顯然歸一司+上一勾引(石一七)一(々-/)|=歸一司,同理|%-%|+|為一為性|%一.|，

d(C,A)+d(C,B)>d(A,B),①正確；

②設(shè)P(x,y)是直線/上任一點(diǎn)，貝Uy=2x-1,

3x-5,x>3

4/(P,Z)=|x-3|+|y-l|=|x-3|+|2x-2|=x+l,l<x<3,易知d(P,0在[l,+oo)上是增函數(shù)，在(一8,1)上是減

5-3x,x<1

函數(shù)，.”=1時(shí)，6?(P,/)min=|l-3|+|2-2|=2,②錯(cuò)；

③由或尸。)=1得國(guó)+3=1,易知此曲線關(guān)于x軸，y軸，原點(diǎn)都對(duì)稱，它是以(1,0),(0,1),(-1,0),(0,-1)為

頂點(diǎn)的正方形，其轉(zhuǎn)成圖形面積為S=gx2x2=2,③錯(cuò).

故選：B.

【變式2-1](2024?上海?二模)在平面直角坐標(biāo)系中，定義d(A,B)=max{|占-%1，1%-％1}為兩點(diǎn)4(%,%)、

8(3，%)的“切比雪夫距離”，又設(shè)點(diǎn)尸及/上任意一點(diǎn)2,稱“(P，。)的最小值為點(diǎn)尸到

直線/的“切比雪夫距離”，記作d(R/),給出下列三個(gè)命題：

①對(duì)任意三點(diǎn)A、B、C,都有1。,出+或。,8)21(4,3)；

4

②已知點(diǎn)尸(3,1)和直線/：2x-y-l=0,則d(P,/)=g；

③定點(diǎn)與(一。，0)、舄(G0),動(dòng)點(diǎn)尸(無(wú),丫)滿足|4(尸,耳)-或尸,瑪)|=2〃(2c>2a>0),

則點(diǎn)尸的軌跡與直線>=后(％為常數(shù))有且僅有2個(gè)公共點(diǎn)；

其中真命題的個(gè)數(shù)是

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【解析】設(shè)4區(qū),4)，3(/，為)，。(％，無(wú))，由題意可得:

^(C,A)+^(C,B)=max{|xA-xc|,|yA-yc|}+max{|xs-xc|,|js-yc|}

>|JCA-XC|+|XB-XC|>|XA-JCB|,

同理可得：d(理司)+"(刈3月》一詞，則:

J(C,A)+J(C,B)>max1|xA-xB|,|yA-yB|}=

命題①成立；

設(shè)點(diǎn)。是直線y=2x-l上一點(diǎn)，且。(x,2x-l),可得〃(「,。)=11^{卜-3|,|2-2才},

由,一3閆2-2龍I，解得-IWxvg,即有火尸,。)小-3|,當(dāng)z=g時(shí)取得最小值3

由,一3k|2—2乂，解得x>|或x<—l,即有d(P,Q)=|2x—2|,

內(nèi)，。)的范圍是(3,+8)=無(wú)最小值.

4

綜上可得，尸,0兩點(diǎn)的“切比雪夫距離”的最小值為不

說(shuō)法②正確.

定點(diǎn)耳(一。,0)、月(G0),動(dòng)點(diǎn)尸(x,y)滿足，(P，G)-d(P,乙)|=2a(2c>2a>0),則:

|max||.x+c|,|y|}-max{|x-c|,|j|||=2f?,

顯然上述方程所表示的曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故不妨設(shè)定0,比0.

(1)當(dāng)I時(shí)，有X+C-尤-C=2a,得：{；

\^x-c>y.....................[0<y<a-c

x+c<y

(2)當(dāng)：時(shí)，有0=2a,此時(shí)無(wú)解；

x-c<y

x+c>y

⑶當(dāng)時(shí),有x+c—y=1a,a<x；

x-c<y

則點(diǎn)尸的軌跡是如圖所示的以原點(diǎn)為中心的兩支折線.

結(jié)合圖象可知，點(diǎn)尸的軌跡與直線、=左(左為常數(shù))有且僅有2個(gè)公共點(diǎn)，命題③正確.

綜上可得命題①②③均正確，真命題的個(gè)數(shù)是3.

本題選擇D選項(xiàng).

【變式2-2](2024.高三.上海浦東新?期中)在平面直角坐標(biāo)系中，定義d(AB)=max{k-電為兩

點(diǎn)A(W，X)、8G,%)的“切比雪夫距離”，又設(shè)點(diǎn)尸及/上任意一點(diǎn)。，稱"(P，。)的最小值為點(diǎn)P到直線/

的“切比雪夫距離”，記作d(P/)，給出四個(gè)命題，正確的是—.

①對(duì)任意三點(diǎn)A、B、C,都有d(C,A)+d(C,8)24(48)；

②到原點(diǎn)的“切比雪夫距離”等于1的點(diǎn)的軌跡是正方形；

4

③已知點(diǎn)尸(3,1)和直線/：2x-y-l=0,則4月,/)=1；

④定點(diǎn)耳(-c，0)、月(G。)，動(dòng)點(diǎn)P(x,y)滿足，(尸，4)-d(P,g)|=2a(2c>2a>0),則點(diǎn)尸的軌跡與直線

y=k(左為常數(shù))有且僅有2個(gè)公共點(diǎn).

【答案】①②③④

【解析】①對(duì)任意三點(diǎn)A、B、C,若它們共線，設(shè)人(和乂)、35，％)、。(七,%)，

如下圖，結(jié)合三角形相似可得d(C,A)=4V或CN,d(C,B)=CM或BM,d(A,3)=必或BK,貝U

d(C,A)+d(C,8)=d(A,B)；

若B、C或A、C對(duì)調(diào),可得d(C或)+d(C,3)>d(A3)；

若A、B、C不共線，且2L4BC中C為銳角或鈍角，由矩形CT3K或矩形

d(C,A)+d(C,B)>d(A,B).

則對(duì)任意的三點(diǎn)A、B、C,都有d(C,A)+d(C,B)Nd(4,B),命題①正確；

②到原點(diǎn)的“切比雪夫距離”等于1的點(diǎn)，即為max{MW}=l,若可2陣則3=1；

若|y|<W，則|x|=l,故所求軌跡是正方形，命題②正確；

③設(shè)點(diǎn)。是直線y=2x-l上一點(diǎn)，且。(x,2x-l),可得"(尸,。)=11^肛-3|,|2-2司},

由次一3閆2-2不解得一IVxvg,即有"(P,QHX-3|.

54

當(dāng)尤=：時(shí)，〃(P,Q)取得最小值];

由打一3|<|2—2乂，解得尤<一1或x>g,即有d(P,Q)=|2-2x|,

〃(尸,。)的取值范圍是(3,+8)[++[=*，+，!，無(wú)最值，

4

所以，P、。兩點(diǎn)的“切比雪夫距離”的最小值為I,命題③正確；

④定點(diǎn)E（-c，。）、入（G。），動(dòng)點(diǎn)尸（無(wú),y）,滿足|d（P,4）-d（P,g）|=2a（2c>2a>0）,

可得尸不在V上，P在線段4鳥(niǎo)間成立，可得x+c-（c-x）=2a,解得x=〃.

由對(duì)稱性可得x=-〃也成立，即有兩點(diǎn)尸滿足條件；

若尸在第一象限內(nèi)，滿足|"（P，G）-d（尸,乙）|=2a,即為x-y+c=2a,為射線,

由對(duì)稱性可得在第二象限、第三象限和第四象限也有一條射線，

則點(diǎn)P的軌跡與直線>=左（左為常數(shù)）有且僅有2個(gè)公共點(diǎn)，命題④正確.

故答案為：①②③④.

題型三：曼哈頓距離、折線距離、直角距離問(wèn)題

【典例3-1］（多選題）“曼哈頓距離”是十九世紀(jì)的赫爾曼?閔可夫斯基所創(chuàng)詞匯，用以標(biāo)明兩個(gè)點(diǎn)在標(biāo)準(zhǔn)坐

標(biāo)系上的絕對(duì)軸距總和，其定義如下：在直角坐標(biāo)平面上任意兩點(diǎn)4（%,必）,磯馬,%）的曼哈頓距離

d（A,B）=\xl-x2\+\yl-y2\,則下列結(jié)論正確的是（）

A.若點(diǎn)P（2,4）,Q（-2,1）,則d（P,Q）=7

B.若點(diǎn)M（-1,O）,N（1,O）,則在x軸上存在點(diǎn)尸,使得d（P,M）+d（P,N）=l

C.若點(diǎn)M（2,l）,點(diǎn)尸在直線x-2y+6=0上，則d（P,M）的最小值是3

D.若點(diǎn)M在圓好+產(chǎn)=4上，點(diǎn)N在直線2x-y+8=0上，則d（M,N）的值可能是4

【答案】ACD

【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，由曼哈頓距離的定義可知d（尸,0）=|2+2卅4-1|=7,則A正確；

—2x,x<—1

對(duì)于B選項(xiàng)，設(shè)尸（x,0）,則〃仍,"）+"（尸川）=卜+1+?一1|=<2,-探皿1,從而d（P,M）+d（尸,N）..2,

2x,x<\

故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C選項(xiàng)，作軸，交直線尤一2、+6=0于E,過(guò)尸作尸垂足為H.

由曼哈頓距離的定義可知刈2,"）=|「川+|四|

當(dāng)尸不與E重合時(shí)，因?yàn)橹本€十一2、+6=0的斜率為:，所以歸川＞怛川，所以

\PH\+\MH\＞\EH\+\MH\^\ME\-

當(dāng)P與E重合時(shí)，\PH\=\EH\.

綜上，怛叫..但即，則d（P,M）=|PM+|MH|..|￡H|+|血M=|腔|=3.故C正確.

對(duì)于D選項(xiàng)，若M（0,2）,N（-2,4）,則d（MN）=4,故D正確.

【典例3-2】（2024.高三.江蘇無(wú)錫?開(kāi)學(xué)考試）“曼哈頓距離”是人臉識(shí)別中的一種重要測(cè)距方式，其定義如

下：設(shè)4（%,%）,8（%,%）,則A,3兩點(diǎn)間的曼哈頓距離〃（48）=卜-引+|%-%|?已知M（4,6）,點(diǎn)N

在圓。:/+/+6工+4丫=0上運(yùn)動(dòng)，若點(diǎn)P滿足d（M,P）=2,則歸時(shí)的最大值為.

【答案】V149+A/13/V13+V149

【解析】由題意得，圓C:（x+3）2+（＞+2）2=13,圓心C（—3,-2）,半徑/二&3，

設(shè)點(diǎn)P（%o，yo），則|尤0-4|+|%-6|=2,

故點(diǎn)尸的軌跡為如下所示的正方形，其中4（4,8）,8（6,6）,

貝I」|AC|=J（4+3）2+（8+2『=,|BC|=J（6+3『+（6+2）2=,

則|PA^|<|AC|+r=V149+至，即\PN\的最大值為阿+岳.

故答案為：7149+713.

【變式3-1]在平面直角坐標(biāo)系中，定義d（P,。）引玉-馬|+|乂-%|為兩點(diǎn)。（馬，%）之間的“折

線距離”，則圓（*-4）2+5-3）2=4上一點(diǎn)與直線工+、=0上一點(diǎn)的“折線距離”的最小值是—.

【答案】7-272

【解析】將直線無(wú)+y=0平移到與圓相切，求出此時(shí)的直線方程為x+y-7+20=0,利用結(jié)論二可知，

圓（%-4）2+（了-3）2=4上一點(diǎn)與直線工+〉=0上一點(diǎn)的“折線距離”的最小值是7一2夜.

【變式3-2]（2024?廣東廣州?二模）在平面直角坐標(biāo)系xQy中，定義1（45）=.—司+帆一%|為4（%，%），

3（%，%）兩點(diǎn)之間的“折線距離''.已知點(diǎn)。。，0），動(dòng)點(diǎn)P滿足d（Q，P）=1，點(diǎn)M是曲線>=3上任意一點(diǎn)，

2x

則點(diǎn)P的軌跡所圍成圖形的面積為,1（RM）的最小值為

13（-\

【答案】1/0.5萬(wàn)任一1

【解析】設(shè)P（x,y）,d（Q,P）=\x-]\+\y\=^,

13

當(dāng)％之1,>20時(shí)，則％—l+y=5，gPx+）7--=0,

13

當(dāng)121,y<0時(shí)，貝ljx—l_y=5，^X_y_-=0,

當(dāng)x<l,y<0時(shí)，貝！Jl-%-,二4，gp%+j--=0

22

當(dāng)x<l,y>0時(shí)，貝ljl_%+y=5，x—y——=0,

故點(diǎn)P的軌跡所圍成圖形如下圖陰影部分四邊形ABC。的面積:

1

D

-J->

-1oe2x

B

-1

貝W4=L

2222

如下圖，設(shè)河(冷必)，顯然網(wǎng)>%,%>%,

d(P,M)=|占一無(wú)o|+M-%I=%-5+%-%=占+%-(%+%),

求d（尸,M）的最小值，即天+必的最小值，%+%的最大值,

3

又（%+為>曲=火，下面求再+M的最小值，

令丁=%+%=玉+』，y=i一~'=為32=0,即％=2’，

玉玉玉1

11

令y>o,解得：%]>23,令y<o,解得：西<23,

<1A<1>

所以V在-e,23上單調(diào)遞減，在21+8上單調(diào)遞增，

\7\7

1_3

所以x=23時(shí)，y有最小值，且八in=3，

'23

所—=：子/-1]

題型四：閔氏距離問(wèn)題

【典例4-1】(2024?全國(guó).模擬預(yù)測(cè))閔氏距離(M詞swskidistance)是衡量數(shù)值點(diǎn)之間距離的一種非常常

見(jiàn)的方法，設(shè)點(diǎn)A、B坐標(biāo)分別為(孫外)，(％%)，則閔氏距離

Dp(A3)=(k(peN*).若點(diǎn)A、B分別在y=e'和y=x-l的圖像上，則R,(AB)的最

小值為()

A.2l/pB.2PC.e1/pD.ep

【答案】A

【解析】由題意得，設(shè)解看,1),8(%馬-1),

因?yàn)辄c(diǎn)A、8分別在函數(shù)y=e*和y=x-l的圖象上，

Px,p11

助以Dp(A,B)=(|xj-x2\+|e-x2+11)>|(x(-x2)-(e-x2+1)1=|(%-e*-1)「，

A1

當(dāng)且僅當(dāng)-％)(e-x2+l)>0時(shí)等號(hào)成立.

設(shè)g(x)=k-e*-l[,h{x)=x-ev-1,則〃(x)=l-e”，

令//(尤)>0=>x<0,h'(x)<0n尤>0,

所以函數(shù)〃(x)在(-8,0)上單調(diào)遞增，在(0,+功上單調(diào)遞減，

所以/心)皿、=〃(。)=一2,即〃(x)V-2,所以g(x)=|/z(x)|j(x)N2,

ii

即q(A,B)H所以2(AB)的最小值為2P.

故選：A.

【典例4-2】(2024?高三?安徽阜陽(yáng)?期末)閔可夫斯基距離又稱為閔氏距離，是兩組數(shù)據(jù)間距離的定義.設(shè)兩

組數(shù)據(jù)分別為A=(q,%…和3=侑也,?小)，這兩組數(shù)據(jù)間的閔氏距離定義為

“⑷=后|，-時(shí)T，其中q表示階數(shù)?現(xiàn)有下列四個(gè)命題：

_k=l_

①若A=(1,2,3,4),8=(0,3,4,5),則dAB(1)=4；

②若A=(a,a+l),8=(6-l,Z>),其中a,6cR,則d加。)=<?(2)；

③若A=(a,6),B=(c,d),其中a,友c,dcR,則“⑴2“(2)；

④若4=(a,/),8=(七，-1),其中a,6eR,則"M。)的最小值為主&.

8

其中所有真命題的個(gè)數(shù)是()

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】對(duì)于①:dAB（y）=|1-0|+|2-3|+|3-4|+|4-5|=4,故①正確.

對(duì)于②：dAB（y）=2\a-b+\\,d^{2}=42\a-b+\\,故②錯(cuò)誤.

對(duì)于③：dAB（X）^a-c\+\b-d\,dAB（l）^^a-cf+（b-df,不妨設(shè)I。一。1="，/一"1=N,

（M+N）2>^M2+N2^,且M,N均為非負(fù)數(shù)，所以M+N2JM2+N2故③正確.

對(duì)于④：構(gòu)造函數(shù)”x）=x2,g（x）=x-l,則"，（2）=-%，4?（2）的最小值即兩曲線動(dòng)

點(diǎn)間的最小距離，設(shè)/（x）=d與直線g（x）=x-l平行的切線方程為y=x+6,聯(lián)立,得：

［y=x+b

x2-x-b=O,令△=1+46=0得，b=-\,所以切線方程為y=x-g：g（x）=x-l與y=x+1之間的距離

444

4一回所以最小值為處，故④正確.

m8

故選C.

【變式4-1］（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）在直角坐標(biāo)系X0Y中，已知點(diǎn)A?，x）,*%,%），記

外（43）=（|玉-々:+也-%「），其中P為正整數(shù)，稱?（A,8）為點(diǎn)A,8間的河距離.下列說(shuō)法正確的

是（）.

A.若4（O,A）=l,則點(diǎn)A的軌跡是正方形

B.若4（4,3）=4（43）,則A與B重合

C.d^A,B）<42d2{A,B）

D.6?2（AB）>4（AB）

【答案】A

【解析】由4（O,A）=1得歸|+|%|=1,所以點(diǎn)A的軌跡是以。為中心的正方形，故A正確；

記，"=,-刈，〃=瓦-%貝IJmNO,n>0,

若4（AB）=4（43）,則加+〃=>+〃2,顯然有山=0,〃=1滿足此等式，可取點(diǎn)4（1,1）,3（1,2）,顯然

A與3不重合，故8錯(cuò)誤；

取點(diǎn)4（0,1）,8m4（4,8）=；,J2（A,B）=1則邑（48）=走，

此時(shí)4（AB）>0d2（AB）,故c錯(cuò)誤，也可得。錯(cuò)誤.

故選：A.

【變式4?2］（多選題）閔可夫斯基距離又稱為閔氏距離，是兩組數(shù)據(jù)間距離的定義.設(shè)兩組數(shù)據(jù)分別為

A=(q,和8=3也,…也)，這兩組數(shù)據(jù)間的閔氏距離定義為"，其中q表示

_k=l_

階數(shù).下列命題中為真命題的是()

A.若A=(l,2,3,4),8=(0,3,4,5),則⑴=4

B.若A=(a,a+1),B=(b-l,b),其中a,beR,則41s⑴=4棋2)

C.若A=(a,b),B=(c,d),其中a,b,c,deR,則心⑴2“⑵

D.若A=(a,〃)，B=(b,b-1),其中a,beR,則%^2)的最小值為述

8

【答案】ACD

【解析】對(duì)于A：^(1)=|1-0|+|2-3|+|3-4|+|4-5|-4,故A正確.

對(duì)于B：九⑴=2|°-6+1],dAB(2)=42\a-b+]\,故B錯(cuò)誤.

對(duì)于C：%(1)=|。一。|+性+0，“(2)=J(a-c)2+(b-d)2,不妨設(shè)心一|=",\b-d\=N,因?yàn)?/p>

M>0,N>0,所以2ACVN0,所以“+管+2肱V2"+N2,所以(M+N)?2"+解，所以

M+N>^JM2+N2'故c正確.

對(duì)于D：構(gòu)造函數(shù)〃尤)=尤2,g(x)=x-l,則^^2)的最小值即兩曲線動(dòng)點(diǎn)間的最小距離，設(shè)直線

/、ofy=x+mi

y=x+7"與曲線〃x)=x-相切，則由,得尤2-無(wú)一根=0,由/=1+4根=0,得加=-“所以切

線方程為y=x_1,

1--廣

所以兩曲線動(dòng)點(diǎn)間的最小距離為〃43V2,故D正確.

V28

故選：ACD

題型五：圓的包絡(luò)線問(wèn)題

【典例5-1】(多選題)設(shè)有一組圓C?：(》_左+1)2+(了-3左)2=2/(左一*).下列四個(gè)命題中真命題的是

A.存在一條定直線與所有的圓均相切

B.存在一條定直線與所有的圓均相交

C.存在一條定直線與所有的圓均不相交

D.所有的圓均不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)

【答案】BD

【解析】圓心為c式上-1,3外，半徑為久=0公，

￡(0,3),釬&，C2(l,6),%=4五,|C?=jF+32=加<40-0=3&,圓C1與圓C2是內(nèi)含關(guān)系,

因此不可能有直線與這兩個(gè)圓都相切，從而A錯(cuò)誤；

易知圓心在直線y=3(x+l)上，此直線與所有圓都相交，B正確；

若左取無(wú)窮大，則所有直線都與圓相交，C錯(cuò)；

將(0,0)代入圓方程得(4-1)2+9左2=2/,即10/_2左+1=2/,等式左邊是奇數(shù)，右邊是偶數(shù)，因此方程

無(wú)整數(shù)解，即原點(diǎn)不在任一圓上，D正確.

故選：BD.

【典例5-2】(多選題)設(shè)有一組圓Ck：(x-l)2+(yT)2=/(左€N*).下列四個(gè)命題正確的是

A,存在左,使圓與尤軸相切

B.存在一條直線與所有的圓均相交

C.存在一條直線與所有的圓均不相交

D.所有的圓均不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)

【答案】ABD

【解析】根據(jù)題意得圓的圓心為(1,k),半徑為k2,

選項(xiàng)A,當(dāng)k=r,即k=l時(shí)，圓的方程為(尤=1,圓與x軸相切，故正確；

選項(xiàng)B,直線x=l過(guò)圓的圓心(1,%),x=l與所有圓都相交，故正確；

選項(xiàng)C,圓心圓心(1,左)，半徑為N,圓4+1：圓心(1,左+1),半徑為(4+1)

兩圓的圓心距d=l,兩圓的半徑之差R-r=2k+1,(R-r>d),Ck含于。左+1之中，

若左取無(wú)窮大，則可以認(rèn)為所有直線都與圓相交，故錯(cuò)誤；

選項(xiàng)D川各(0,0)帶入圓的方程，則有1+N=R,不存在依N*使上式成立，

即所有圓不過(guò)原點(diǎn)，正確.

故選ABD

【變式5-1](多選題)已知圓環(huán)(x-l-cos6>)2+(y-2-sin6)2=l,直線/：kx-y-k+2=0,下面五個(gè)命

題，其中正確的是()

A.對(duì)任意實(shí)數(shù)左與仇直線/和圓M有公共點(diǎn)；

B.對(duì)任意實(shí)數(shù)人與仇直線/與圓M都相離；

C.存在實(shí)數(shù)左與仇直線/和圓M相離；

D.對(duì)任意實(shí)數(shù)左，必存在實(shí)數(shù)仇使得直線/與圓M相切：

E.對(duì)任意實(shí)數(shù)仇必存在實(shí)數(shù)也使得直線/與圓M相切；

【答案】AD

【解析】選項(xiàng)，由題意知圓"的圓心為點(diǎn)M(l+cos6,2+sine),半徑為-1,

直線/的方程可寫(xiě)作>=左(尤-1)+2,過(guò)定點(diǎn)41,2),因?yàn)辄c(diǎn)A在圓上，

所以直線/與圓M相切或相交，任意實(shí)數(shù)人與仇直線/和圓M有公共點(diǎn)，A正確8錯(cuò)誤；

C選項(xiàng)，由以上分析知不存在實(shí)數(shù)上與仇直線/和圓M相離，C錯(cuò)誤；

。選項(xiàng)，當(dāng)直線/與圓M相切時(shí)，點(diǎn)A恰好為直線/與圓M的切點(diǎn)，故直線AM與直線/垂直,

①當(dāng)左=0時(shí)，直線AM與x軸垂直，則l+cosO=l,

IT

即cos6=0,解得e=w+Z?(%eZ),存在6,使得直線/與圓M相切;

②當(dāng)發(fā)片0時(shí)，若直線AM與直線/垂直，則cos。/。,

2+sin6—2_sin。

直線AM的斜率為^=cote,

1+cos^-lcos。

所以原M?左=T,即cotd=-；,

k

此時(shí)對(duì)任意的左wo,均存在實(shí)數(shù)0,使得cote=-L,則直線AM與直線/垂直.

k

綜上所述，對(duì)任意實(shí)數(shù)上必存在實(shí)數(shù)仇使得直線/與圓M相切刀正確.

|k-cos。一sin。|

E選項(xiàng),點(diǎn)M(1+cos0,2+sin6)到直線/的距離為"=

“2+1

令0=0,當(dāng)左=0時(shí)，d=0,；當(dāng)發(fā)片0時(shí)，d==1'

即此時(shí)d<l恒成立，直線/與圓M必相交，

故此時(shí)不存在實(shí)數(shù)k,使得直線/與圓M相切.E錯(cuò)誤.

故選：AD

【變式5-2](多選題)己知圓M：(x-1-cos6,)2+(_y-sin6()2=1,直線/：kx-y-k=0,下面命題中正

確的是()

A.對(duì)任意實(shí)數(shù)人與。，直線/和圓M有公共點(diǎn)；

B.對(duì)任意實(shí)數(shù)人與。，直線/與圓M都相離；

C.存在實(shí)數(shù)上與6,直線/和圓M相交；

D.對(duì)任意實(shí)數(shù)3必存在實(shí)數(shù)凡使得直線/與圓M相切.

【答案】ACD

【解析】對(duì)于A,圓M：(x-l-cosOy+ly-sinO)?=1的圓心為(l+cos6,sin。)，半徑為廠=1；無(wú)論。取何

值，都有(lT-cosd)2+(sin0)2=l,.?.圓過(guò)定點(diǎn)(1,0)；

又直線/：履一丁一左=0可化為左"一1)一>=0,過(guò)定點(diǎn)(1,0)；

???直線/和圓M有公共點(diǎn)。,0),A正確;

kcos6-sin0\

對(duì)于B,圓心M到直線/的距離為d==|sin(6,-cif)|<l=r,其中tan(z=%；：.d<r,故B錯(cuò)

J-+i

誤;

根據(jù)B的分析，可得C、D正確.

故選：ACD

題型六：阿波羅尼斯圓問(wèn)題、反演點(diǎn)問(wèn)題、阿波羅尼斯球問(wèn)題

【變式5-31(多選題)阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與歐幾里得、阿基米德被稱為亞歷山大時(shí)期數(shù)學(xué)

三巨匠，阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)A,B的距離之比為定值4(彳＞0,且彳R1)的點(diǎn)的軌跡是圓,

PA1

此圓被稱為“阿波羅尼斯圓”.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A(-2,0),8(4。，點(diǎn)尸滿足用=.設(shè)點(diǎn)p的軌跡為

曲線C,則下列說(shuō)法正確的是()

A.C的方程為(x+4)2+_/=16

B.點(diǎn)A8都在曲線C內(nèi)部

C.當(dāng)A民尸三點(diǎn)不共線時(shí)，則=

D.若。(2,2),則|尸口+21Pq的最小值為46

【答案】ACD

【解析】設(shè)尸(x,y),(P不與A,8重合)，

由A(-2,0),8(4,0),有|R4|="(x+2)2+y\,\PB\=^x-4)2+y2,

\PA\：1即能與化簡(jiǎn)得(x+4)?=6,

\PB\~2

所以點(diǎn)尸的軌跡曲線C是以C(T,0)為圓心，半徑廠=4的圓，如圖所示,

對(duì)于A選項(xiàng)，由曲線C的方程為(x+4)2+y2=16,選項(xiàng)A正確;

對(duì)于B選項(xiàng)，由BC=8,點(diǎn)8在曲線C外，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

對(duì)于C選項(xiàng)，由|。*=2,|OB|=4,有僚=；=黑，

|OD|Z|rD|

則當(dāng)A,B,P三點(diǎn)不共線時(shí)，由三角形內(nèi)角平分線定理知，PO是，APB內(nèi)角—APB的角平分線,

所以NAPO=/BPO,選項(xiàng)C正確;

II]

對(duì)于D選項(xiàng)，由品=5,^\PB\=2\PA\,

則|尸8|+2|尸。|=2|9|+2|「。|=2(|9|+|如|)。2|>1￡>|=2><"(-2-2)2+(0-2)2=46,

當(dāng)且僅當(dāng)尸在線段45上時(shí)，等號(hào)成立，

則|即+2|包)|的最小值為4百，選項(xiàng)D正確.

故選：ACD.

【變式5-4】圓的反演點(diǎn)：已知圓。的半徑是「，從圓心。出發(fā)任作一條射線，在射線上任取兩點(diǎn)M,N,

若?|ON|=/，則M,N互為關(guān)于圓。的反演點(diǎn).圓的反演點(diǎn)還可以由以下幾何方法獲得：若點(diǎn)河在圓

。外，過(guò)M作圓的兩條切線，兩切點(diǎn)的連線與的交點(diǎn)就是點(diǎn)M的反演點(diǎn)；若點(diǎn)M在圓。內(nèi)，則連接

OM,過(guò)點(diǎn)M作OM的垂線，該垂線與圓兩交點(diǎn)處的切線的交點(diǎn)即為M的反演點(diǎn).已知圓0：/+/=4,

點(diǎn)M(l,3),則M的反演點(diǎn)的坐標(biāo)為.

【解析】圓O：尤2+^=4,圓心0(0,0),半徑廠=2,

點(diǎn)OM=」f+32=畫(huà)>2,點(diǎn)M在圓。外，

過(guò)M作圓的兩條切線，兩切點(diǎn)為則48在以為直徑的圓上,

與圓。：/+_/=4的交點(diǎn),

兩圓方程相減，得公共弦A3所在直線的方程為x+3y-4=0,

x+3y-4=0

又直線0M的方程為y=3x,由，解得

y=3尤

26

所以M的反演點(diǎn)的坐標(biāo)為

555

【變式5-5】阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與阿基米德、歐幾里得并稱為亞歷山大時(shí)期數(shù)學(xué)三巨匠,

他研究發(fā)現(xiàn)：如果一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之比為常數(shù)2（A>0,且兒wl）,那么點(diǎn)P的軌跡為圓,

這就是著名的阿波羅尼斯圓.已知圓C：/+>2=24,點(diǎn)M（2,2）,平面內(nèi)一定點(diǎn)N（異于點(diǎn)M）,對(duì)于圓

上任意動(dòng)點(diǎn)A,都有比值為定值，則定點(diǎn)N的坐標(biāo)為—.

【答案】（6,6）

【解析】設(shè)N的坐標(biāo)為動(dòng)點(diǎn)