人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊專項(xiàng)復(fù)習(xí)：胡不歸與阿氏圓（解析版）

專題04胡不歸與阿處目

“PA+k?PB”型的最值問題是近幾年中考考查的熱點(diǎn)更是難點(diǎn)。

1.當(dāng)k值因■，即可轉(zhuǎn)化為“PA+PB”之和最短問題，就可用我們常見的“飲馬問題”模型來處理，

即可以轉(zhuǎn)化為軸對(duì)稱問題來處理;

2.當(dāng)■時(shí)，若再以常規(guī)的軸對(duì)稱思想來解決問題，則無法進(jìn)行，因此必須轉(zhuǎn)換

思路。

此類問題的處理通常以動(dòng)點(diǎn)P所在圖像的不同來分類，一般分為2類研究。即點(diǎn)P在直線上運(yùn)動(dòng)和

點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)。

⑴其中‘題m■鼻！，虜

胡不歸:

模型建立:

圖1

如圖1：P是直線BC上的一動(dòng)點(diǎn)，求PA+k?PB的最小值。

、作ZCBE=a,使sina=k，貝！|PD=kOP（圖2）

二、當(dāng)AD最短，AD±BE時(shí)，則P為要求點(diǎn)。（圖2）AD長即為PA+k?PB的最小值.

簡記：胡不歸，根據(jù)三角函數(shù)，作個(gè)角，再作高，求出長度就可以.

阿氏圓：

阿氏圓基本解法：構(gòu)造母子三角形相似

計(jì)算：PA+k-PB的最小值。

第一步：確動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡（圓），

以點(diǎn)0為圓心、r為半徑畫圓；

（若圓已經(jīng)畫出則可省略這一步）

第二步：連接動(dòng)點(diǎn)至圓心。

（將系數(shù)不為1的線段的固定端點(diǎn)

與圓心相連接），即連接OPQB。

第三步：計(jì)算這兩條線段長度的比k;

第五步：在0B上取點(diǎn)C,使得OC=k-OP;—=—=k,NO=/O,可得△POCs△BOP可得：一=

—nD=k,'PC=k-PB

第六步：則PA+kPBNPA+PC2AC,即當(dāng)A,P,C三點(diǎn)共線時(shí)可得最小值。

［提升：若能直接構(gòu)造△相似計(jì)算的，直接計(jì)算，不能直接構(gòu)造△相似計(jì)算的，先把k提到括號(hào)外

邊，將其中一條線段的系數(shù)化成g再構(gòu)造△相似進(jìn)行計(jì)算」

k

典的1

如圖，矩形/閱9中/夕=3,BC=43,￡為線段相上一動(dòng)點(diǎn)，連接陽則步后"的最小值為.

思路引領(lǐng)：在射線力方的下方作/"45=30°,過點(diǎn)￡作￡7工/〃于7,過點(diǎn)。作見于〃.易

證ET=\AE,推出［AE+EC=CE+ET^CH,求出切即可解決問題.

答案詳解：：四邊形口是矩形，

：.ZB=90°,

：.-tanZCAB=—=—,

AB3

：.ZCAB=3Q°,

:.AC=2BC=2?

在射線四的下方作/仞6=30°,過點(diǎn)￡作￡7一加于T,過點(diǎn)。作CHLAM于H.

"JETLAM,/刈7=30°,

：.ET=^AE,

,:NCAH=6G,ZCHA=9Q°,AC=2/,

.D=4Osin6°=2V3Xy=3,

-AE+EC^CE+ET^CH,

2

：.-AE+EC^?>,

2

...僅研比的最小值為3,

故答案為3.

典的2

如圖，在RtZ\/兆1中，AB=AC=4,點(diǎn)E,戶分別是AB,/C的中點(diǎn)，點(diǎn)尸是扇形AEF

的麗上任意一點(diǎn)，連接朋CP,則押4夕的最小值是—g一

BC

思路引領(lǐng)：在加上取一點(diǎn)7,使得AT=\,連接PT,PA,CT.證明△歷區(qū)推出二=學(xué)=工,

PBAB2

推出尸7^/陽，推出扣外孑=。4戶北根據(jù)修尸萬附求出“即可解決問題.

答案詳解：在46上取一點(diǎn)北使得力7=1,連接戶北PA,CT.

：PA=2.AT=1,AB=\,

\P^=AT'AB,

.PA_AB

*AT~PA

:NPAT=NPAB,

\XPATsXBAP,

.PT_AP_1

'PB~AB~2

,.PT=qpB,

：.-PB+CP=CPrPT,

2

'：PC+PT^TC,

在Rt&467中，；/。7=90°,47=1,力。=4,

：.CT=y/AT2+AC2=V17,

:XPBYPC>V17,

.?.jwr的最小值為VT7.

故答案為VT7.

實(shí)戰(zhàn)訓(xùn)練

—.阿氏圓

1.如圖，在RtZVIBC中，ZACB=90°,CB=1,AC=9,以C為圓心、3為半徑作OC,P為Q）C

1

上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP、BP,貝申尸+8尸的最小值為（）

A

A.7B.5A/2C.4+VlOD.2A/13

試題分析：如圖，在C4上截取CM,使得CM=1,連接PM,PC,BM.利用相似三角形的性質(zhì)

11

證明nJ^-AP+BP=PM+PB^BM,利用勾股定理求出3M即可解決問題.

33

答案詳解：解：如圖，在CA上截取CM,使得CM=1,連接尸M,PC,BM.

,:PC=3,CM=LCA=9,

:.Pd=CM?CA,

.PC_CM

??=,

CACP

VZPCM=NACP,

.'.△PCM^AACP,

.PMPC1

PA~AC~3f

1

：.PM=^PA,

1

；?一AP+BP=PM+PB,

3

?；PM+PB》BM,

在中，'：ZBCM=90°,CM=1,8C=7,

：.BM="2+72=5仿

1廠

:?-AP+BP?5近,

3

1

：.-AP+BP的最小值為5A/2.

所以選：B.

2.如圖，在△ABC中，ZB=90°,AB=CB=2,以8為圓心作圓B與AC'相切，點(diǎn)P為圓8上任

一動(dòng)點(diǎn)，則B4+孝PC的最小值是_有_.

試題分析：作于H,取BC的中點(diǎn)。，連接P。，如圖，根據(jù)切線的性質(zhì)得8,為。8的

半徑，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到2H=%C=或，接著證明得到PD=

爭3C,所以B4+導(dǎo)尸。=唐+尸。，而外+P￡）》A。（當(dāng)且僅當(dāng)A、P、。共線時(shí)取等號(hào)），從而計(jì)

算出AO得到B4+芋PC的最小值.

答案詳解：解：作于H,取8C的中點(diǎn)。，連接P。，如圖，

：AC為切線，

.??瓦/為。2的半徑，

"：ZB=90°,A8=C8=2,

：.AC=V2BA=2V2,

：.BH=1AC=V2,

：.BP=V2,

..PBV2BD1V2

?BC-2'BP~~2,

而NPBD=NCBP,

:.△BPDs^BCP,

.PDPBV2

,?PC-BC-2（

:.PD=*PC,

：.PA+^PC^PA+PD,

而B4+PD2A。（當(dāng)且僅當(dāng)A、P、。共線時(shí)取等號(hào)）,

而AD=722+-=V5,

：.PA+PD的最小值為遙，

即B4+孝PC的最小值為曲.

所以答案是遍.

3.如圖，在RtZXABC中，A8=AC=4,點(diǎn)E,尸分別是AB,AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是扇形AEP的齊上

1

任意一點(diǎn)，連接BP,CP,貝卜8尸+”的最小值是V17.

2——

PTAP1

試題分析:在A3上取一點(diǎn)T,使得AT=1,連接尸T,8k,CT.證明△以Ts/\A4P,推出一=一=一,

PBAB2

11

推出尸7=2尸8tB-PB+CP=CP+PT,根據(jù)PC+PT2TC,求出CT即可解決問題.

答案詳解：解：在A3上取一點(diǎn)T,使得AT=1,連接尸T,PA,CT.

PA=2,AT=1,AB=4,

*=AT?A5,

PAAB

AT~PA

ZPAT=ZPAB,

.PTAP1

??PB-AB-2’

1

：.PT=.PB,

1

：.-PB+CP=CP+PT,

2

;PC+PTNTC,

在RtZXACT中，,：ZCAT=90°,AT=1,AC=4,

???CT=y/AT2+AC2=V17,

：.-PB+PC>V17,

2

1

：.-PB+PC的最小值為g.

所以答案是g.

4.如圖，已知菱形ABC。的邊長為8,ZB=60°,圓8的半徑為4,點(diǎn)尸是圓8上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),

1

則尸。-抨C的最大值為2后.

z——

試題分析：連接PB,在BC上取一點(diǎn)G,使得BG=2,連接PG,DG,過點(diǎn)D作DHLBC交BC

的延長線于H.利用相似三角形的性質(zhì)證明PG=#C,再根據(jù)P￡)-*PC=PC-PGWQG,求出

DG,可得結(jié)論.

答案詳解：解：連接尸2,在上取一點(diǎn)G,使得BG=2,連接尸G,DG,過點(diǎn)。作DHLBC

交BC的延長線于H.

?"8=4,BG=2,BC=8,

:.PB?=BG?BC,

PBBC

?e?—,

BGPB

9：ZPBG=ZCBP,

：.△PBGs'BP,

.PGPB1

,,PC~BC~2

1

：.PG=專PC,

???四邊形ABC。是菱形，

J.AB//CD,AB=CD=BC=Sf

：.ZDCH=ZABC=60°,

在Rt/SCD〃中，CH=CD?cos600=4,DH=CD*sin60°=4百，

???GH=CG+CH=6+4=10,

：.DG=y/GH2+DH2=J102+(4V3)2=2V37，

?:PD-,C=PD-PGWDG,

:.PD-/PCW2歷,

1

：.PD-^PC的最大值為2后.

5.如圖，在Rt^ABC中，ZACB=90°,AC=6,8c=8,D、E分別是邊BC、AC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),

1V145

且。E=4,尸是0E的中點(diǎn)，連接B4,PB,則B4+“8的最小值為一.

42

B

試題分析:如圖，在。5上取一點(diǎn)R使得連接F凡AF.利用相似三角形的性質(zhì)證明

1

PF=%B,根據(jù)PF+E42AR利用勾股定理求出即可解決問題.

1

答案詳解:解：如圖，在CB上取一點(diǎn)尸，使得連接尸RAF.

B

ZDCE=90°,DE=4,DP=PE,

1

PC=*E=2,

CF1CP1

CP-4‘CB~4’

CFCP

CP~CB'

ZPCF=ZBCP,

△PCFsABCP,

PFCF1

PB~CP~4’

1

PF=[PB,

1

PA+^PB=PA+PF,

4

PA+PF^AF,AF=y/CF2+AC2=J(1)2+62=

1

-

4

1,..V145

...B4+/P8的最小t值為《一,

V145

所以答案是三一.

6.如圖，與y軸、x軸的正半軸分別相交于點(diǎn)M、點(diǎn)N,。。半徑為3,點(diǎn)A(0,1),點(diǎn)5(2,

0),點(diǎn)尸在弧MN上移動(dòng)，連接B4,PB,貝IJ3B4+尸3的最小值為—幗

試題分析：在y軸上取點(diǎn)H(0,9),連接BH,通過證明△AOPs/\po”，可證HP=3AP,則

3%PB=PH+PB,當(dāng)點(diǎn)尸在上時(shí)，3B4+P3有最小值為的長，即可求解.

答案詳解：解：如圖，在y軸上取點(diǎn)“(0,9),連接3H,

??,點(diǎn)4(0,1),點(diǎn)8(2,0),點(diǎn)H(0,9),

???AO=1,03=2,OH=9,

OA13OP

一，/AOP=/POH,

OP39OH

：.△AOPS^POH,

APOP1

HP~OH~3

HP=3AP,

：?3臥+PB=PH+PB,

???當(dāng)點(diǎn)尸在3"上時(shí)，3B4+P8有最小值為“8的長，

：.BH=7OB2+OH2=V4+81=V85,

所以答案是：V85.

7.如圖，在△ABC中，BC=6,ZBAC=60°,貝1J2A8+AC的最大值為」后.

11

試題分析：由2A8+AC=2CAB+^AC)AC=AE,再將A8+AE轉(zhuǎn)化成一條線段5尸，可證出

乙2

/尸是定角，從而點(diǎn)P在△PBC的外接圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)3尸為直徑時(shí)，2尸最大解決問題.

1

答案詳解：解："2AB+AC=2(AB+^AC),

...求2AB+AC的最大值就是求2(AB+^AC)的最大值，

過C作CELAB于E,延長EA到P,使得AP=AE,

VZBAC=60°,

1

：.EA=^AC=AP,

1

：.AB+^AC=AB+APf

?；EC=WAE,PE=2AE,

由勾股定理得：PC=^7AE,

CE二聞E二國

sinP=

CP~47AE~~

為定值,

：BC=6是定值，

點(diǎn)P在△C8P的外接圓上,

.?.當(dāng)8尸為直徑時(shí)，AB+AP最大，BPBP',

sinP=sinP=W=亨,

解得32=2或1,

：.AB+AP^2y/21,

：.2AB+AC=2(AB+AP)=4&I,

所以答案是：4V21.

8.問題提出：如圖1,在RtZXABC中，NACB=90°,C8=4,CA=6,OC半徑為2,尸為圓上一

1

動(dòng)點(diǎn)，連接AP、BP,求尸的最小值.

（1）嘗試解決：為了解決這個(gè)問題，下面給出一種解題思路：如圖2,連接CP在C3上取點(diǎn)

，-eJDCP1_PD1

D,使CD=1,則有一=一=又,：/PCD=/BCP,：?叢PCDs叢BCP.：.一=：.PD=

CPCB2BP2

11

考BP,：,AP+^BP=AP+PD.

請(qǐng)你完成余下的思考，并直接寫出答案：AP+aBP的最小值為V37.

（2）自主探索：在“問題提出”的條件不變的情況下，/P+8P的最小值為:后.

（3）拓展延伸：已知扇形C。。中，NCO￡>=90°,0C=6,0A=3,。8=5,點(diǎn)尸是加上一點(diǎn),

求2P4+PB的最小值.

試題分析：（1）利用勾股定理即可求出，最小值為40=何；

2CDCP1

（2）連接CP,在CA上取點(diǎn)。，使CD=4,則有一=一=一,可證△PCOsaACP,得至！]PD=

3CPCA3

lAP,即：-AP+BP=BP+PD,從而的最小值為BD；

333

（3）延長0A到點(diǎn)E,使CE=6,連接PE、OP,可證△OAPS2\OPE,得至I]EP=2PA,得到2B4+PB

=EP+PB,當(dāng)E、P、8三點(diǎn)共線時(shí)，得到最小值.

答案詳解：解：（1）如圖1,

連接A。，

11

,/AP+^BP=AP+PD,要使AP+^BP最小，

...AP+AQ最小，當(dāng)點(diǎn)A,P,。在同一條直線時(shí)，APMZ）最小,

即：最小值為AD,

在RtZXACQ中，CD=1,AC=6,

：.AD=H4c2+CD2=V37,

的最小值為后，所以答案是：V37；

(2)如圖2,

.CDCP1

??CP-CZ-3'

9：ZPCD=ZACP,

.,.△PCD^AACP,

?_PD1

??—，

AP3

：.PD=

1

：.-AP-^BP=BP+PD,

3

1__________o

???同⑴的方法得出pP+B尸的最小值為BD=7BC2+CD2=導(dǎo)國.

所以答案是：-A/5；

3

(3)如圖3,

E\

圖3

延長04到點(diǎn)及使CE=6,

：.OE=OC+CE=12,

連接PE、OP,

V0A=3,

.04OP1

?'OP~0E~29

ZA0P=ZAOP,

:?△OAPs△。尸后，

eTIP_1

??EP―2

:?EP=2PA,

：.2PA+PB=EP+PB,

???當(dāng)6、P、3三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值為：BE=yJOB2+OE2=13.

二.胡不歸

9.如圖，在等邊AABC中，A8=6,點(diǎn)E為AC中點(diǎn)，。是BE上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，貝的最小

值是（）

A.3B.3V3C.6D.3+V3

試題分析:如圖，過點(diǎn)C作CFLAB于點(diǎn)F,過點(diǎn)D作DHLAB于點(diǎn)H,則CD+DH^CF,先解

11

直角三角形可求出CR再由直角三角形的性質(zhì)得進(jìn)而可得=CD+DH,從

而可得C￡）+*BD的最小值.

答案詳解：解：如圖，過點(diǎn)C作CF±AB于點(diǎn)F,過點(diǎn)D作DHLAB于點(diǎn)H,則CD+DH^CF,

「△ABC是等邊三角形，AB=6,

AZA=ZABC=60°,A尸=3尸=3,

ACF=AFtm60°=38，

??,點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，

ZZ）BH=60°+2=30°,

i

在RtZXBO”中，DH=^BD,

-1

：.CD+^BD=CD+DH>31

-1

...C￡>+*8D的最小值為：3V3.

所以答案是：B.

10.如圖，在菱形ABC。中，AB=AC=6,對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)0,點(diǎn)M在線段AC上，且AM

=2,點(diǎn)尸是線段8。上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則MP+*PB的最小值是（）

A.2B.2V3C.4D.4V3

試題分析：過點(diǎn)尸作PELBC,垂足為E,根據(jù)菱形的性質(zhì)可得AB=BC=6,BDLAC,從而可

得△ABC是等邊三角形，進(jìn)而可求出NABC=ZACB=60°,然后在RtABP￡中，可得PE=,BP,

從而可得MP+/PB=MP+PE,當(dāng)點(diǎn)點(diǎn)尸，點(diǎn)E共線時(shí)，且時(shí)，MP+PE有最小值

為ME,最后在在RtZkCME中，利用銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行計(jì)算即可解答.

答案詳解：解：過點(diǎn)P作PELBC,垂足為E,

?.,四邊形ABC。是菱形，

：.AB=BC=6,BDLAC,

：AB=4C=6,

：.AB=AC=BC=6,

：.AABC是等邊三角形，

AZABC=ZACB=60°,

1

AZDBC=^ZABC=30°,

?：NBEP=90°,

1

：.PE=]BP,

1

：?MP+今PB=MP+PE,

???當(dāng)點(diǎn)M,點(diǎn)尸，點(diǎn)E共線時(shí)，且時(shí)，MP+PE有最小值為ME,

如圖：

???CM=AC-AM=6-2=4,

在Rt^CME中，ZACB=60°,

F5

：.ME=CM'sin600=4x^=2后

：.MP+aPB的最小值是28，

所以選：B.

11.如圖，在菱形42CD中，ZABC=60°,E是邊BC的中點(diǎn)，尸是對(duì)角線2。上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連

接AE,AP,若AP+會(huì)步的最小值恰好等于圖中某條線段的長，則這條線段是（）

A.ABB.AEC.BDD.BE

111

試題分析：由菱形的性質(zhì)可得/￡)BC=2N4BC=30°,可得可得AP+2BP=AP+PR

由垂線段最短，可求解.

答案詳解：解：如圖，過點(diǎn)尸作PFLBC于點(diǎn)孔

?..四邊形ABC。是菱形，

：.ZDBC=^ZABC^30°,5.PF±BC,

1

1

：.AP+^BP=AP+MP,

二當(dāng)點(diǎn)A,點(diǎn)P,點(diǎn)尸三點(diǎn)共線且垂直8c時(shí)，AP+P尸有最小值，

1

.?.4尸+.8?最小值為4￡

12.如圖，直線y=x-3分別交x軸、y軸于3、A兩點(diǎn)，點(diǎn)C(0,1)在y軸上，點(diǎn)P在無軸上運(yùn)

動(dòng)，則魚尸。+尸3的最小值為4.

試題分析：過P作PCAB于。，依據(jù)△AOB是等腰直角三角形，可得/54O=NABO=45°=

ZBPD,進(jìn)而得到△BDP是等腰直角三角形，故PD=5PB,當(dāng)C,P,。在同一直線上時(shí)，CD

±AB,PC+P。的最小值等于垂線段。的長，求得CD的長，即可得出結(jié)論.

答案詳解：解：如圖所示，過P作尸于。，

:直線y=x-3分另U交x軸、y軸于8、A兩點(diǎn),

令尤=0,則y=-3；令y=0,則x=3,

.,.A(0,-3),B(3,0),

：.AO=BO=3,

又?NAO”90°,

AAOB是等腰直角三角形，

：.ZBAO=ZABO=45°=ZBPD,

ABDP是等腰直角三角形，

：.PD=~-PB,

：.>/2PC+PB=V2(PC+*PB)=V2(PC+PD),

當(dāng)C,P,。在同一直線上，即COLAB時(shí)，PC+PD的值最小，最小值等于垂線段C。的長,

此時(shí)，△AC。是等腰直角三角形，

又：點(diǎn)C(0,1)在y軸上，

；.AC=1+3=4,

：.CD=^AC=2s[2,

即PC+PD的最小值為2/，

:.&PC+PB的最小值為夜x2V2=4,

所以答案是：4.

13.如圖，拋物線y=/-2x-3與無軸交于A、B兩點(diǎn)，過8的直線交拋物線于E,且tan/EBA=*

有一只螞蟻從A出發(fā)，先以1單位/s的速度爬到線段8E上的點(diǎn)。處，再以1.25單位/s的速度沿

64

著OE爬到七點(diǎn)處覓食，則螞蟻從A到E的最短時(shí)間是—s.

9

試題分析：過點(diǎn)E作x軸的平行線，再過。點(diǎn)作y軸的平行線，兩線相交于點(diǎn)X,如圖，利用平

行線的性質(zhì)和三角函數(shù)的定義得到tan/HED=tan/EBA=需=g,設(shè)DH=4m,EH=3m,則

DE=5m,則可判斷螞蟻從D爬到E點(diǎn)所用的時(shí)間等于從D爬到H點(diǎn)所用的時(shí)間相等，于是得到

螞蟻從A出發(fā)，先以1單位/s的速度爬到線段BE上的點(diǎn)。處，再以1.25單位/s的速度沿著。E

爬到E點(diǎn)所用時(shí)間等于它從A以1單位/s的速度爬到。點(diǎn)，再從。點(diǎn)以1單位/s速度爬到H點(diǎn)

的時(shí)間，利用兩點(diǎn)之間線段最短得到AD+DH的最小值為AG的長，接著求出A點(diǎn)和B點(diǎn)坐標(biāo)，

再利用待定系數(shù)法求出BE的解析式，然后解由直線解析式和拋物線解析式所組成的方程組確定

E點(diǎn)坐標(biāo)，從而得到AG的長，然后計(jì)算爬行的時(shí)間.

答案詳解：解：過點(diǎn)E作x軸的平行線，再過。點(diǎn)作y軸的平行線，兩線相交于點(diǎn)孫如圖，

'：EH//AB,

:./HEB=NABE,

tanZHED=tanZEBA==小

設(shè)DH=4m,EH=3m,貝。DE=5m,

螞蟻從。爬到E點(diǎn)的時(shí)間=提=4(s)

若設(shè)螞蟻從。爬到H點(diǎn)的速度為1單位/s,則螞蟻從。爬到X點(diǎn)的時(shí)間=半=4(s),

/.螞蟻從D爬到E點(diǎn)所用的時(shí)間等于從D爬到H點(diǎn)所用的時(shí)間相等，

螞蟻從A出發(fā)，先以1單位/s的速度爬到線段2E上的點(diǎn)D處，再以1.25單位/s的速度沿著

DE爬到E點(diǎn)所用時(shí)間等于它從A以1單位/s的速度爬到D點(diǎn),再從。點(diǎn)以1單位/s速度爬到H

點(diǎn)的時(shí)間，

作AG1.EH于G,則AD+DH^AH^AG,

：.AD+DH的最小值為AG的長，

當(dāng)y=0時(shí)，x2-2%-3=0,解得xi=-L兀2=3,貝!0),B(3,0),

直線BE交y軸于C點(diǎn)，如圖,

在RtAOBC中，*?tanZCBO=黑=小

???OC=4,則C(0,4),

設(shè)直線BE的解析式為y=kx+b9

4

得

解---

把8(3,0),C(0,4)代入得｛笠"7=°3

-4

直線BE的解析式為y=-%+4,

2

y=x—2x—3_□fx=--X764

解方程組4/得:一二或V八』，則片點(diǎn)坐標(biāo)為（一（力,

y=_打+4ly=0v=6439

5V-9

：.AG=學(xué)64

64

二螞蟻從A爬到G點(diǎn)的時(shí)間=號(hào)=詈（s）,

64

即螞蟻從A到E的最短時(shí)間為一s.

9

,64

所以答案是可.

14.如圖，△ABC中，AB=AC=10,ZA=30°.3。是△ABC的邊AC上的高，點(diǎn)P是上動(dòng)

點(diǎn)，貝+CP的最小值是5

試題分析：過點(diǎn)尸作尸于點(diǎn)E,先在Rt^ABO中求出/43。及8。，再在RtZYBPE中利用

sin60°得至1］三BP+CP=EP+CP,當(dāng)當(dāng)C、P、E三點(diǎn)在同一直線上，且CE_LAB時(shí)其取得最小

值，最小值為CE計(jì)算即可求出結(jié)果.

答案詳解：解：過點(diǎn)尸作于點(diǎn)E,

1

在RtZXABO中，ZABD=180°-90°-30°=60°,BD=^AB=5,

在RtZkBPE中，sin60°=磊=亨，

:.EP=5BP,

V3

—BP+CP=EP+CP,

2

V3

當(dāng)C、P、E三點(diǎn)在同一直線上，且CE_LAB時(shí)々-BP+CP=EP+CP取得最小值.

VAB=AC=10,BD±AC,CE±AB,

：.CE=BD=5,

V3

-'?—BP+CP=EP+CP的最小值為5.

所以答案是5.

15.在△ABC中，ZCAB=90°,AC=AB.若點(diǎn)。為AC上一點(diǎn)，連接B。，將8。繞點(diǎn)8順時(shí)針

旋轉(zhuǎn)90°得到2E,連接CE,交A3于點(diǎn)?

圖1

圖2圖3

(1)如圖1,若/ABE=75°,BD=4,求AC的長；

(2)如圖2,點(diǎn)G為2C的中點(diǎn)，連接FG交BD于點(diǎn)、H.若/A3O=30°,猜想線段。C與線

段HG的數(shù)量關(guān)系，并寫出證明過程；

(3)如圖3,若AB=4,。為AC的中點(diǎn)，將繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)得AA'BD',連接A'C、A'

D,當(dāng)A'D+^-A'C最小時(shí)，求*4BC.

試題分析：(1)通過作輔助線，構(gòu)造直角三角形，借助解直角三角形求得線段的長度；

(2)通過作輔助線，構(gòu)造全等三角形，設(shè)AC=a,利用中位線定理，解直角三角形，用。的代

數(shù)式表示CD和HG,即可得CD與HG的數(shù)量關(guān)系；

(3)構(gòu)造阿氏圓模型，利用兩點(diǎn)之間線段最短，確定A(4)的位置，繼而求得相關(guān)三角形的面

積.

答案詳解：解：(1)過。作。GL8C,垂足是G,如圖1：

圖1

,/將BD繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到BE,

；.NEBD=9Q°,

:NABE=75°,

：.15°,

VZABC=45°,

.,.ZDBC=30°,

1

在直角△BOG中有。G=和。=2,BG=V3Z)G=2V3,

VZACB=45°,

在直角△DCG中，CG=DG=2,

：.BC=BG+CG=2+2V3,

：.AC=專BC=V2+V6；

(2)線段。C與線段HG的數(shù)量關(guān)系為：HG=^-CD,

證明：延長CA,過后作EN垂直