《線性代數》課件 第11章 投影變換

第十一章投影變換

第十一章

主要學習內容投影變換

投影變換通常是指將一個高維空間中的對象投影到一個低維空間中的過程.

在投影變換中，高維空間中的每個點都被映射到低維空間中的某個點上，通常是通過將高維空間中的每個點投影到低維空間的一個子空間或平面上來實現的.日晷是一種利用太陽投影的裝置，用于測量時間，見圖11-1.當太陽光線投射到日晷上時，將三維空間中的指針變成日晷面（二維空間）上的影子，太陽的位置和時間會通過投影的影子來表示，從而實現了時間的測量和記錄.月食和日食是地球、月球和太陽之間的投影現象.當月球或地球經過太陽光線的投影區(qū)域時，就會出現月球或地球的投影遮擋了太陽光線，從而形成了月食或日食的現象。當陽光透過樹葉時，樹葉的輪廓和紋理會投影到地面上，形成美麗的樹影.這種投影現象不僅在自然界中常見，也常常被人們用來欣賞和拍攝.本章主要介紹投影變換及其在幾何學和線性代數中的應用.投影變換是一種幾何變換，用于將一個對象或空間中的點映射到另一個對象或平面上，以產生投影的效果.投影變換是一種幾何變換，它將一個對象或空間中的點映射到另一個對象或平面上，以產生投影的效果.在投影變換中，原始空間中的點被投影到目標平面上，從而形成了投影圖像.這種變換常常涉及到點、直線和平面之間的關系，是在日常生活和工程應用中經常遇到的一種現象.第一節(jié)投影變換及其矩陣表示比如，在建筑設計中，投影變換被廣泛用于繪制建筑的立面、平面圖和透視圖.建筑師可以通過投影變換將三維建筑模型投影到二維平面上，以便進行設計、規(guī)劃和施工.在工程繪圖中，投影變換被用于繪制工程零件、機械圖和裝配圖.工程師可以通過投影變換將三維工程模型投影到二維圖紙上，以便進行設計和制造.在攝影和攝像中，投影變換被用于捕捉和顯示物體的影像.攝影師可以通過攝像機的投影變換將三維場景投影到二維照片或視頻中，從而記錄和展示物體的形象.通過投影變換，可以實現物體的投影顯示、時間的測量和天文現象的觀測，為人們的生活和工作提供了重要的幫助和支持第一節(jié)投影變換及其矩陣表示投影變換將一個對象或者空間中的點映射到另一個平面或者曲面上，形成投影，見圖11-2.在投影變換中，原始空間中的點被映射到一個投影平面上，通常通過直線或射線的方式，保持了原始空間中的點與其投影之間的位置關系.投影點（像）的位置取決于原像相對于投影平面的位置和投影的方法.常見的投影方式包括平行投影和透視投影。第一節(jié)投影變換及其矩陣表示圖11-2投影的“正過程”在平行投影中，所有的投影線都是平行的.物體在投影平面上的大小不會隨著物體與投影平面之間的距離而變化，但是不同深度的物體大小關系可能會改變，產生近大遠小的效果.平行投影常見于地圖制作、工程圖、建筑設計等領域.透視投影是一種模擬人眼看到物體的投影方式，投影線不是平行的，而是會匯聚到一個視點.隨著物體與觀察者之間距離的增加，物體在投影上的大小會逐漸減小，產生了近大遠小的透視效果.透視投影常見于繪畫、攝影、電影制作和3D圖形學中，用于產生更加逼真的圖像效果，增強空間感和深度感.第一節(jié)投影變換及其矩陣表示在平行投影中，投影線與投影平面不一定垂直，若投影線與投影平面垂直時，對應的是一種特殊的投影變換，正交投影.因為投影線與投影平面垂直，投影不會因為物體與投影平面之間的距離而發(fā)生變化，所以所有的平行線在投影上仍然是平行的，因此不會發(fā)生透視效果.正交投影保持了物體在不同深度上的大小關系，沒有近大遠小的效果.在圖形學中，常用于技術繪圖、工程圖和CAD軟件等領域.第一節(jié)投影變換及其矩陣表示

第一節(jié)投影變換及其矩陣表示圖11-3關于直線的投影

第一節(jié)投影變換及其矩陣表示

第一節(jié)投影變換及其矩陣表示

第一節(jié)投影變換及其矩陣表示

第一節(jié)投影變換及其矩陣表示

第一節(jié)投影變換及其矩陣表示

第一節(jié)投影變換及其矩陣表示

第一節(jié)投影變換及其矩陣表示

第一節(jié)投影變換及其矩陣表