人教版九年級數(shù)學上冊專項突破訓練：圓（解析版）

第二十四章圓（能力提升）

考試時間：120分鐘

一、選擇題（每小題3分，共36分）

1.下列結論中，正確的是（）

A.長度相等的兩條弧是等弧B.相等的圓心角所對的弧相等

C.平分弦的直徑垂直于弦D.圓是中心對稱圖形

【答案】D

【分析】利用等弧的定義、確定圓的條件、圓周角定理及垂徑定理的知識分別判斷后即可確定正確

的選項.

【解析】A.在同圓或等圓中，能夠重合的兩條弧是等?。还蔄錯誤；

B.在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等；故B錯誤；

C.平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦；故C錯誤；

D.圓是中心對稱圖形，圓心是圓的對稱中心，故D正確；故選D.

【點睛】本題考查圓心角、弧、弦的關系，垂徑定理及其推論，中心對稱圖形等知識，熟練掌握有

關性質是解答關鍵.

2、在聯(lián)歡會上，甲、乙、丙3人分別站在不在同一直線上的三點A、B、C上，他們在玩搶凳子的

游戲，要在他們中間放一個木凳，誰先搶到凳，子誰獲勝，為使游戲公平，凳子應放的最恰當?shù)奈恢?/p>

是4ABC的（）

A.三條高的交點B.重心C.內心D.外心

【答案】D

【分析】為使游戲公平，要使凳子到三個人的距離相等，于是利用線段垂直平分線上的點到線段兩

端的距離相等可知，要放在三邊中垂線的交點上.

【解析】：三角形的三條垂直平分線的交點到中間的凳子的距離相等，

凳子應放在AABC的三條垂直平分線的交點最適當.故選D.

【點睛】本題主要考查了線段垂直平分線的性質的應用；利用所學的數(shù)學知識解決實際問題是一種

能力，要注意培養(yǎng).想到要使凳子到三個人的距離相等是正確解答本題的關鍵.

3、如圖，。。的半徑為2,AABC是。。的內接三角形，連結08,0C,若NA4c與NB0C互補,

則弦BC的長為（

A.6B.2V3C.2V2D.4

【答案】B

【分析】首先過點0作0DLBC于D,由垂徑定理可得BC=2BD,又由圓周角定理，可求得/B0C

的度數(shù)，然后根據(jù)等腰三角形的性質，求得/0BC的度數(shù)，利用余弦函數(shù)，即可求得答案.

【解析】過點0作0DLBC于D,則BC=2BD,

:△ABC內接于。0,NBAC與/BOC互補，

ZBOC=2ZA,ZBOC+ZA=180°,ZBOC=120°,

1

V0B=0C,ZOBC=ZOCB=y（180°-ZBOC）=30°,

?O的半徑為2,；.BD=OB-cosNOBC=2x,

2

.\BC=2V3.故答案為2G

【點睛】本題考查三角形的外接圓與外心，垂徑定理，圓周角定理.熟練掌握定理是解答關鍵.

4.如圖，已知等腰AABC,A5=3。，以A3為直徑的圓交AC于點。，過點。的e。的切線交BC

于點E,若CD=5,CE=4,則e。的半徑是（）

r25

A.3B.4D.—

48

C

D

【答案】D.

【分析】如答圖，連接OD,過點3作于點尸，

?.?AB=5C,ZA=NC.

AO=DO,：.ZA=ZADO.：.ZC=ZADO.：.ODHBC.

；DE是e。的切線，DEJ_O￡>.DEJ_3C.

AZCED=90°,且四邊形DEM是矩形.

VCD=5,CE=4,...由勾股定理，得DE=3.

設e。的半徑是x,則O3=x,BF=3,OF=x-BE=x-（2x-4）=4-x.

由勾股定理，nOB2=OF2+BF2,即必=32+（4一尤丫，

2525

解得尤=上.’e。的半徑是上.故選D.

88

【考點】等腰三角形的性質；切線的性質；平行的判定和性質；矩形的判定和性質；勾股定理；方

程思想的應用.

5.如圖，將半徑為4c7〃的圓折疊后，圓弧恰好經過圓心，則折痕的長為（）

A.4>/3cmB.26cmC.百cmD.y/2cm

0

Al

【答案】A

【分析】連接AO,過。作ODLAB,交A3于點D,交弦AB與點E,根據(jù)折疊的性質及垂徑定理

得到AE=BE,再根據(jù)勾股定理即可求解.

【解析】如圖所示，連接AO,過O作ODLAB,交A3于點D,交弦AB與點E,

折疊后恰好經過圓心，?,?OEUDE,

:半徑為4,.-.OE=2,VOD±AB,.-.AE=—AB,

2

在Rt^AOE中，AE=,必2—OE。=2若，AB=2AE=46故選A.

【點睛】此題主要考查垂徑定理，解題的關鍵是熟知垂徑定理的應用.

6.圖中有兩張型號完全一樣的折疊式飯桌，將正方形桌面邊上的四個弓形翻折起來后，就能形成一

個圓形桌面(可以近似看作正方形的外接圓)，正方形桌面與翻折成圓形桌面的面積之比最接近

()

1

BcD.-

-f-72

【答案】c.

【分析】連接正方形的對角線；根據(jù)圓周角的推論可知是正方形的外接圓的直徑;

設正方形的邊長為。，則正方形的面積為a?；

根據(jù)正方形的性質并利用勾股定理可求正方形的對角線長為yla2+a2=42a，

則圓的半徑為之a,所以圓的面積為萬義—a」兀a2,

a'2

所以它們的面積之比為:一=3x0.6366,與C的近似值比較接近；故選C.

1?271

【考點】正方形和圓的有關性質和面積計算.

7.如圖，正六邊形A8CDE/內接于。0,連結AC,EB,CH=68,則EH的長為（）

A.1273C.6逝+6

【答案】B

【分析】直接利用等邊三角形、直角三角形的性質進而得出CO,HO的長即可得出EH的長.

B

【解析】連接CO，:六邊形ABCDEF是正六邊形，.?./BOC=60。，OB=OC,

.?.△OBC是等邊三角形，止匕時AC_LBE,

VCH=6V3，/.ZOCH=30°,/.2HO=CO由勾股定理解得：CO=12,故OH=6,

貝UE0=0C=12,H0=6,故EH=EO+OH=12+6=18.故選B.

【點睛】本題考查正多邊形和圓，熟練掌握正六邊形性質是解答關鍵.

8、如圖，尸為0。的直徑8A延長線上的一點，PC與。。相切，切點為C,點。是。上一點，連接

PD.已知PC=PD=BC.下列結論：(1)與。。相切；(2)四邊形PCS。是菱形；(3)PO=AB；

(4)/PDB=12Q°.其中正確的個數(shù)為()

A.4個B.3個C.2個D.1個

【答案】A

【分析】(1)利用切線的性質得出NPCO=90。，進而得出△P(%＞絲△P。。(SSS),即可得出/PCO=

ZPDO=90°,得出答案即可；

(2)利用(1)所求得出：ZCPB=ZBPD,進而求出△CPBgZXDPB(SAS),即可得出答案；

(3)利用全等三角形的判定得出△PC。0△BCA(ASA),進而得出CO=1PO=1AB；

22

(4)利用四邊形尸C8O是菱形，ZCPO=30°,貝！1。2=。8,則/Z)P8=ND8P=30。，求出即可.

【解析】(1)連接CO,DO,與。。相切，切點為C,；.NPCO=90。，

fCO=DO

在△PCO和△尸￡)0中，iPO=PO＞；?△2(%＞咨△尸。0(SSS),：.ZPC0=ZPD0=9Q°,

PC=PD

.??P。與。。相切，故此選項正確；

(2)由(1)得：ZCPB=ZBPD,

'PC=PD

在△CPB和△DPB中，，NCPB=/DPB，，ACPB”ADPB(SAS),

PB=PB

：.BC=BD,：.PC=PD=BC=BD,；.四邊形PC8。是菱形，故此選項正確；

(3)連接AC,-：PC=CB,：.ZCPB=ZCBP,是。。直徑，AZACB=90°,

'NCPO=NCBP

在△PC。和△BCA中，，PC=BC，.,.△PCO^ABCA(A5A),

ZPCO=ZBCA

：.AC=CO,：.AC=CO=AO,：.ZCOA=60°,：.ZCPO=30°,

；.CO=1PO=1AB,：.PO=AB,故止匕選項正確；

22

(4):四邊形PC2。是菱形，NCPO=30。，

：.DP=DB,則/DPB=/DBP=30°,ZPDB=120°,故此選項正確；故選：A.

【點評】此題主要考查了切線的判定與性質和全等三角形的判定與性質以及菱形的判定與性質等知

識，熟練利用全等三角形的判定與性質是解題關鍵.

9、如圖，在平面直角坐標系中，。尸的圓心坐標是（3,a）（a>3）,半徑為3,函數(shù)y=x的圖象被

QP截得的弦AB的長為帆則a的值是（）

【解析】作尸C_Lx軸于C,交A2于￡>,作于E,連結如圖,

的圓心坐標是（3,a）,：.OC=3,PC=a,

把戶3代入y=x得y=3,點坐標為（3,3）,CD=3,

...△0C。為等腰直角三角形，二APED也為等腰直角三角形，

'：PE±AB,:.AE=BE=AB=x4，^2a,

在中，尸2=3,PE-J^2_（2^）2=1,

:.PD=?PE=?,：.a=3+42-故選民

【點評】本題考查了垂徑定理：平分弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧.也考查了勾

股定理和等腰直角三角形的性質.

10.如圖，。。的直徑A8=2,C是弧AB的中點，AE,BE分別平分和/ABC,以E為圓心,

AE為半徑作扇形E4B,兀取3,則陰影部分的面積為（）

4?后-4B.70-4

【答案】A

【解析】的直徑AB=2,；./C=90。，

；C是弧AB的中點，/.AC=BC'-,.AC=BC,AZCAB=ZCBA=45°,

VAE,BE分另ij平分NBAC和/ABC,AZEAB=ZEBA=22.5°,

.,.ZAEB=180°--(ZBAC+ZCBA)=135°,連接EO,VZEAB=ZEBA,；.EA=EB,

2

VOA=OB,AEO±AB,；.EO為Rt^ABC內切圓半徑，

11廠

SAABC=-(AB+AC+BC)EO=-ACBC,EO=忘T,

22

AE2=AO2+EO2=l2+（y[2-1）2=4-272，

扇形EAB的面積=L（4-2回=一4,4ABE的面積=工AB.EO=0-1,

36042

弓形AB的面積=扇形EAB的面積-AABE的面積=22T3，Z,

4

陰影部分的面積=工。的面積-弓形AB的面積=3-（土二電2）=電1-4,故選：A.

2244

AB

O

【考點】扇形，三角形的面積計算.

11、如圖，在AABC中，NACB=90°,過B,C兩點的。。交AC于點D,交AB于點E,連接E0

并延長交。0于點F,連接BF,CF,若NEDC=135°,CF=2亞，則AE2+BE2的值為()

A.8B.12C.16D.20

【分析】由四邊形BCDE內接于。。知/EFC=/ABC=45°,據(jù)此得AC=BC,由EF是00的直徑

知/EBF=NECF=NACB=90°及NBCF=NACE,再根據(jù)四邊形BECF是。O的內接四邊形知/

AEC=NBFC,從而證4ACE絲△BFC得AE=BF,根據(jù)Rt^ECF是等腰直角三角形知EF2=16,繼

而可得答案.

【解析】：四邊形BCDE內接于。O,且NEDC=135。,AZEFC=ZABC=180°-ZEDC=45°,

：NACB=90°,.t△ABC是等腰三角形，，AC=BC,

又；EF是。。的直徑，.-.ZEBF=ZECF=ZACB=90°,AZBCF=ZACE,

:四邊形BECF是。O的內接四邊形，??./AEC=/BFC,

.,.△ACE^ABFC(ASA),；.AE=BF,

?；RSECF中，CF=2&、NEFC=45。，,-.EF2=16,

則AE2+BE2=BF2+BE2=EF2=16,故選：c.

【點評】本題主要考查圓周角定理，解題的關鍵是掌握圓內接四邊形的性質、圓周角定理、全等三

角形的判定與性質及勾股定理.

12、如圖，C是以AB為直徑的半圓。上一點，連結AC,BC,分別以AC,BC為邊向外作正方形

ACDE,BCFG,DE,FG,我C,2C的中點分別是M,N,P,Q.若MP+NQ=14,AC+BC=18,

則AB的長是（）

「90

A.9V2B.—C.13D.16

7

【答案】C.

【分析】如答圖，連接OP、OQ,VDE,FG,我C,8c的中點分別是M,N,P,Q,

.?.點0、P、M三點共線，點0、Q、N三點共線.

VACDE,BCFG是正方形，.-.AE=CD=AC,BG=CF=BC.

設AB=2r,貝ON=NQ+r：；點、0、M分別是AB、ED的中點，

.,.0M是梯形ABDE的中位線OM=g（4E+3D）=：（A￡+a）+3C）=g（2AC+3C）,即

MP+r=g（2AC+3C）.同理，得NQ+r=g（23C+AC）.兩式相加，得拉尸+NQ+2r=|（AC+BC）

3

.VMP+NQ=14,AC+BC=18,14+2r=]X18n2r=13.故選C.

【考點】正方形的性質；垂徑定理；梯形的中位線定理；方程思想、轉換思想和整體思想的.應用.

D

答圖

二、填空題（每小題3分，共18分）.

13.如圖，一塊直角三角板，8c的斜邊28與量角器的直徑恰好重合，點。對應的刻度是58°,則

魚ZACD的度數(shù)為.

【答案】61°.

【分析】如答圖，設量角器的圓心為點0,

???直角三角板Z6C的斜邊23與量角器的直徑恰好重合，...點C在。0上.

；./BCD和/BOD是同圓中同弧所對的圓周角和圓心角.

?；NBOD=58°,ZBCD=-ZBOD=29°.ZACD=90°—ZBCD=61°

【考點】圓周角定理.

14.如圖，正方形A8CD的邊長為1,分別以頂點A、B、C,。為圓心，1為半徑畫弧，四條弧交于

點、E、F、G、H,則圖中陰影部分的外圍周長為

【答案】一無

3

【分析】連接AF、DF,根據(jù)圓的性質：同圓或等圓的半徑相等判斷出4ADF是等邊三角形，再根

據(jù)正方形和等邊三角形的性質求出/BAF=30。，-同理可得弧DE的圓心角是30。，然后求出弧EF的

圓心角是30。，再根據(jù)弧長公式求出弧EF的長，然后根據(jù)對稱性，圖中陰影部分的外圍四條弧都相

等列式計算即可得解.

【解析】如圖，連接AF、DF,由圓的定義，AD=AF=DF,

所以，4ADF是等邊三角形，

,/ZBAD=90°ZFAD=60°,ZBAF=90°-60°=30°,

同理，弧DE的圓心角是30。，.?.弧EF的圓心角是90°-30°x2=30°,

30^^X]TT

...弧EF的長=------,由對稱性知，圖中陰影部分的外圍四條弧都相等，

1806

所以，圖中陰影部分的外圍周長=5X4=-71.

63

【點睛】本題考查弧長的計算，正方形的性質，熟記弧長計算公式是解答關鍵

15、如圖，AB,是。。的兩條直徑，經過點C的。。的切線交的延長線于點E,連接AC、

BD.若8是OE中點，AC=12,則。O半徑為.

c

【答案】4G

【分析】連接C8,根據(jù)點8為0E的中點，EC是。。的切線，可以得到CB=O8,然后根據(jù)A8是

直徑，即可得到NC48的度數(shù)，從而可以得到。。的半徑.

【解析】連接BC,?.,點B為。E的中點，EC是。。的切線，.?.OBnBE,NOCE=90°,

11

：.CB=—OE=OB,：.BC=—AB,

22

是。。的直徑，/.ZACB=90°,'：BC=—AB,；.NBAC=3O°,

2

：AC=12,.?.由勾股定理得：BC=46，即：。8=46，故答案：4G.

【點睛】本題主要考查直角三角形的性質，切線的性質定理，圓周角定理的推論以及解直角三角形,

熟練掌握直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，是解題的關鍵.

16.如圖，矩形ABC。中，AB=4,AD=8,點E,尸分別在邊AD,8C上，且點8,尸關于過點E的

直線對稱，如果跖與以C。為直徑的圓恰好相切，那么AE=.

【答案】6—A/6；

【分析】由題意易知四邊形AEIB是矩形，設AE=BI=x,根據(jù)對稱的性質得出IF=x,根據(jù)切線定理

得出EH和HF的長度，最后根據(jù)RtAEIF的勾股定理得出答案.

【解析】由題意易知四邊形AEIB是矩形，設A-E=BI=x,

由切線長定理可知，ED=EH,FC=FH,VB.F關于EI對稱，

.,.IF=BI=x,ED=EH=8—x,FC=FH=8-2x,EF=16-3x,

在R3EFI中，42+9=(16—3x)2,解得：x=6—逐或x=6+"(舍去)，

.\AE=6-76.

點睛：本題考查切線的性質、矩形的性質、軸對稱的性質、勾股定理等知識，解題的關鍵是靈活運

用所學知識解決問題，學會用方程的思想思考問題，屬于中考?？碱}型.

17.AABC為半徑為5的。。的內接三角形，若弦BC=8,AB=AC,則點A到BC的距離為.

【答案】8或2

【分析】分兩種情況考慮：當三角形ABC為銳角三角形時，過點A作AH垂直于BC,根據(jù)題意得

到-AH過圓心O,連接OB,在直角三角形OBH中，由OB與BH長，利用勾股定理求出OH的長，

進而可求出AH的長；當三角形ABC為鈍角三角形時，同理求出AH的長即可；

【解析】作AHLBC于H,連結OB,如圖，

VAB=AC,AH_LBC,.\BH=CH=-BC=4,AH必過圓心，即點O在AH上，

2

在RtZ\OBH中，OB=5,BH=4,.*.OH=-BH2=3，

當點。在aABC內部，如圖1,AH=AO+OH=5+3=8,

當點O在AABC內部，如圖2,AH=AO-OH=5-3=2,

綜上所述，點A到BC的距離為8或2,

【點睛】本題考查三角形的外接圓與外心，垂徑定理及其推論，熟練掌握三角形的外接圓的性質和

垂徑定理是解答關鍵，還要注意分類討論.

18.在直角坐標系中，我們將圓心坐標?和半徑均為整數(shù)的圓稱為“整圓”.如圖所示，直線l：y=kx+4y/j

與X軸、y軸分別交于A、B,/OA8=30°,點尸在無軸上，OP與/相切，當尸在線段OA上運動

時，使得。P成為“整圓”的點尸個數(shù)是_____個.

K

【答案】6.

【分析】根據(jù)直線的解析式求得。8=46,進而求得04==12,根據(jù)切線的性質求得PM,AB,根

1

據(jù)NO48=30。，求得PM=—B4,然后根據(jù)“整圓”的定義,即可求得使得。P成為整圓的點尸的坐

2

標，從而求得點尸個數(shù).

【解析】.直線/：y=kx+4y/3y軸分別交于A、B,/.B（0,4月），，。2=4若，

在RtzXAOB中，ZOAB=3Q°,；.0A=.3。8=,3義4J3=12,

?.?。尸與/相切，設切點為連接PM,則PAUAB,：.PM=-PA,

2

。1P）

設P（x,0）,：.PA=12-x,工。尸的半徑尸M=^B4=6-Lx,

22

為整數(shù)，PM為整數(shù)，...x可以取0,2,4,6,8,10,6個數(shù)，

使得。尸成為整圓的點尸個數(shù)是6.故答案是：6.

【點睛】本題考查動點問題，需要用到圓的切線，一次函數(shù)的知識點,解題關鍵是得出PM=-PA

2

1

—6---X.

2

三、解答題（共46分）

19、（6分）【閱讀材料】己知，如圖1,在面積為S的AABC中，BC=a,AC=b,AB^c,內切。。的

半徑為匚連接。A、OB、OC,△ABC被劃分為三個小三角形.

VS=SAOBC+SAOAC+SAOAB=—BC?r.+—AC?r+—AB?r=-a?r+—b?r+—c?r=—(a+b+c)r

2222222

.2s

..r=--------

a+b+c

(1)【類比推理】如圖2,若面積為S的四邊形ABCD存在內切圓(與各邊都相切的圓)，各邊長分

別為AB=a,BC=b,CD=c,AD=d,求四邊形的內切圓半徑r的值；

(2)【理解應用】如圖3,在RtAABC中，內切圓。的半徑為r,QO與AABC分別相切于。、E

和尸,己知AZ>=3,BD=2,求r的值.

【答案】(1)r=-----------；(2)1.

a+b+c+d

【分析】(1)已知己給出示例，我們仿照例子，連接04OB,OC,OD,

則四邊形被分為四個小三角形,且每個三角形都以內切圓半徑為高，以四邊形各邊作底，

這與題目情形類似.仿照證明過程，廠易得.(2)連接OE、0D、按示例易求出八

【解析】⑴如圖2,連接OA、OB、OC、0D.

S=SAAOB+SABOC+SACOD+SAAOD=-a?r.+—b?r+—c?r+—d*r--—(a+6+c+d)r

22222

.2s

..r=--------

a+b+c

(2)連接OE、OR則四邊形OECb是正方形，OE=EC=CF=FO=r,在中，AC+BC^AB'

(3+r)2+(2+r)2=5；，+5廣6=0解得：尸1(負根舍去).

【考點】內切圓的半徑綜合題

20、(8分)如圖，。是AABC的內心，B0的延長線和aABC的外接圓相交于D,連接DC、DA、

OA、OC,四邊形OADC為平行四邊形。(1)求證：△BOC絲4CDA；(2)若AB=2,求陰影部

分的面積。

4兀一3也

【答案】(1)詳見解析；(2)S陰影=9』.

【分析】(1)如圖，利用AABC的內心和同弧所對的圓周角相等可證得Nl=/3,利用平行線的性質

可證/4=/6,再根據(jù)AAS即可判定ABOC絲ACDA；(2)先判定AABC是等邊三角形，即可得0是4

2

ABC的內心也是外心，所以OA=OB=OC.在RtAOCE中，CE=1,Z0CE=30o,可求得OA=OB=OC=-V3,

3

根據(jù)q_c_c，求出扇形AOB和AAOB的面積即可得求得陰影部分的面積.

。陰影一。扇AOB°AAOB

【解析】(1)證明：是4ABC的內心，.\N2=N3,N5=N6,

VZ1=Z2,；./1=/3,由AD〃CO,AD=CO,/.Z4=Z5,/.Z4=Z6,

.,.△BOC^ACDA(AAS)

(2)由(1)得，BC=AC,Z3=Z4=Z6,ZABC=ZACB.\AB=AC

.1△ABC是等邊三角形.,.O是AABC的內心也是外心；.OA=OB=OC

設E為BD與AC的交點，BE垂直平分AC.

在RtZXOCE中，CE=-]AC=]-AB=1,Z0CE=30°,OA=OB=OC=-273.

223

八nc?120〃，2/-21cV34萬-36

\ZA0C=120,S陰影=5扇4。8-SMOB一5、2乂石=----------

【考點】三角形內外心的性質；全等三角形的判定及性質；平行四邊形的性質；扇形的面積公式.

21、(8分)如圖，。。的直徑AB=26,P是AB上(不與點A、8重合)的任一點，點C、￡)為。。

上的兩點，若NAPD=NBPC,則稱NCP。為直徑A8的“回旋角

(1)若/BPC=/OPC=60。，則/CP。是直徑4B的“回旋角”嗎？并說明理由；

(2)若面的長為舁，求“回旋角”/CP。的度數(shù)；

(3)若直徑A3的“回旋角”為120。，且△PC。的周長為24+13?,直接寫出AP的長.

解：ZCPD是直徑AB的“回旋角”，

理由：?：ZCPD=ZBPC=60°,

：.ZAPD=180°-ZCPD-ZBPC=180°-60°-60°=60°,

NBPC=NAPD,：.ZCPD是直徑AB的“回旋角”；

(2)如圖1,'：AB=26,：.OC=OD=OA=13,

設NCO￡>="°,

;而的長為馬，1■兀,：.n=45,.?.NCO￡)=45°,

341804

作CELAB交。O于E,連接PE,：.ZBPC=ZOPE,

'：ZCPD為直徑AB的“回旋角”，；.NAPD=NBPC,：./OPE=ZAPD,

'：ZAPD+ZCPD+/BPC=180°,；.ZOPE+ZCPD+ZBPC=180°,

點。，P,E三點共線，AZCED=—ZCOD=22.5°,

2

ZOPE=90°-22.5°=67.5°,Z.ZAPD=ZBPC=67.5°,

：.ZCPD=45°,即：“回旋角”/CP￡>的度數(shù)為45。，

(3)①當點P在半徑。4上時，如圖2,過點C作C交。。于R連接PR尸歹=PC,

同(2)的方法得，點O,P,尸在同一條直線上，

;直徑42的“回旋角''為120°,ZAPD=ZBPC=3Q°,：.ZCPF=60°,

...△PCF是等邊三角形，AZCFD=60°,

連接OC,OD,.-.ZCOD=120°,

過點。作OG_LCD于G,：.CD=2DG,ZDOG=—ZCOD=60°,

2

：.DG=ODsinZDOG=13xsin60°=丑退,

:.CD=mR,

2

：△PCD的周長為24+13?,：.PD+PC=24,

；PC=PF,:.PD+PF=DF=24,

過。作OHIDF于H,：.DH=—DF=12,

2

在RtZ\OH。中，OH=JOD2_DH2=5,

在RtZXOHP中，ZOPH=3Q°,：.OP=10,：.AP=OA-OP=3；

②當點尸在半徑03上時，同①的方法得，BP=3,：.AP^AB-BP=23,

即：滿足條件的AP的長為3或23.

22、（8分）如圖，在RtaACB中，NACB=90。，以AC為直徑作。0,交于點D

（1）若AB=8,ZABC=30°,求。。的半徑；（2）若點E是邊BC的中點，連結。E,求證：直

線。E是。。的切線；（3）在（1）的條件下，保持RtaACB不動，將。。沿直線BC向右平移機

個單位長度后得到。。'，當。O,與直線AB相切時，機=

【解析】：(1)在RtZXABC中，：AB=8,ZABC=30°,

/.AC=/lBsinZABC=8sin30°=4,：.QO的半徑為2；

(2)證明：連接OD,CD,

為。。的直徑，J.CDLAB,：.ZCDB^=90°,

:點E是邊8C的中點，：.DE=CE=—CB,：.ZDCE=ZCDE,

'：OC^OD,：.N0CD=NODC,：.ZACE=ZACD+ZDCE^90°,

/.ZODE=ZODC+ZCDE=90°,：.OD±DE,，直線。E是。。的切線;

(3)連接。0,交AB于憶設。。，與42相切于G,

連接O'G,則/O，Gb=90。，

:將。。沿直線BC向右平移m個單位長度后得到。。人

/.OO'//BC,AO=O'G,：.ZAOF=ZACB=90°,

■:NAFO=NO'FG,A(AAS),J.O'F^AF,

「在RtZXAOP中，ZA=60°,AO=2,：.AF=4,OF=2?,

0,F=AF=4,.?.0。'=4+2加，1"=4+2?.故答案為：4+2灰.

23、（8分）問題提出：（1）如圖①，在△A8C中，AB=AC=IO,BC=12,點。是△ABC的外接圓

的圓心，則0B的長為

問題探究：（2）如圖②，已知矩形ABC，A8=4,AZ）=6,點E為的中點，以8C為直徑作半

圓。，點尸為半圓。上一動點，求E、尸之間的最大距離；

問題解決：（3）某地有一塊如圖③所示的果園，果園是由四邊形ABC。和弦C8與其所對的劣弧場

地組成的，果園主人現(xiàn)要從入口。到前上的一點P修建一條筆直的小路OP.已知AO〃BC,ZADB

=45。，BD=120&米,8c=160米，過弦BC的中點E作EF1BC交標于點F,又測得斯=40米.修

建小路平均每米需要40元（小路寬度不計），不考慮其他因素，請你根據(jù)以上信息，幫助果園主人

計算修建這條小路最多要花費多少元?

:點。是△ABC的外接圓的圓心，AB=AC,

：.AK±BC,BJ<=yBC=6>--AK=^AB2-AK2=V102-62=8,

在RtZXBOK中，0停=8e+0殍,設。8=x,.\x2=62+(8-x)2,

解得x="，.?.。3=尊；故答案為：空.

(2)如圖，連接E0,延長E。交半圓于點P,可求出此時￡、尸之間的距離最大,

:在前是任意取一點異于點P的P，連接OP，P'E,

:.EP=EO+OP=EO+OP,>EP',即EP>EP',

"：AB=4,AD=6,：.EO=4,OP=OC=^C=3>

：.EP=OE+OP=1,:.E、P之間的最大距離為7.

(3)作射線總交BD于點M,

?:BE=CE,EFLBC,血是劣弧，...前所在圓的圓心在射線FE上，

假設圓心為。，半徑為，，連接。C,則OC=r,OE=r-40,BE=CE=yBC=80>

在RtZXOEC中，/=8。2+(r-40)2,解得：r=100,：.OE=OF-EF=60,

過點。作。GL8C,垂足為G,

?：AD//BC,ZAZ)B=