2024-2025學(xué)年河北省衡水市故城縣某中學(xué)高二（上）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷（含答案）

2024-2025學(xué)年河北省衡水市故城縣鄭口中學(xué)高二（上）開學(xué)數(shù)學(xué)試

卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的。

1.已知復(fù)數(shù)z滿足z=2+i,貝！J|z|=（）

A.1B.72C.73D.<5

2.設(shè)集合a={%|1<%<3},B={x\x2-2%-8<0},則4UB=()

A.{x|-2<x<4]B.{x|l<%<2}C.{x|-4<x<3}D.{x|l<x<4]

3若a=log。/,b=log23,c=log69,則()

A.c>b>aB.b>c>aC.c>a>bD.a>b>c

4.高三某班56人參加了數(shù)學(xué)模擬考試，通過抽簽法，抽取了8人的考試成績(jī)?nèi)缦拢?3,71,91,80,82,

85,106,93,則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)與70%分位數(shù)分別為（)

A.81,95.5B.81,85C.83.5,92D.83.5,91

l+cos20

5.若tern。=—2,則

sin20=()

,4

AcD-3

A。3B「|--l

6.已知AABC中,角力，B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若2b2一2口2=3。+18,且c=3,貝！JeosB的值為

()

AA.—E—D.-i

4B二444

21TL26>2,且g(x)=/Q)-a,

7.已知函數(shù)/'（X）=若函數(shù)有3個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的

—xz+6x—6,x>2

取值范圍為（）

A.(1,2)B.(1,3)C.[1,2]D.[1,3]

8.燈籠起源于中國(guó)的西漢時(shí)期，兩千多年來，每逢春節(jié)人們便會(huì)掛起象征美好團(tuán)圓意義的紅燈籠，營(yíng)造一

種喜慶的氛圍.如圖1,某球形燈籠的輪廓由三部分組成，上下兩部分是兩個(gè)相同的圓柱的側(cè)面，中間是球

面的一部分（除去兩個(gè)球缺）.如圖2,“球缺”是指一個(gè)球被平面所截后剩下的部分，截得的圓面叫做球缺

的底，垂直于截面的直徑被截得的一段叫做球缺的高.已知球缺的體積公式為U=g（3R-h）F,其中R是球

的半徑，八是球缺的高.已知該燈籠的高為40an,圓柱的高為4czn,圓柱的底面圓直徑為24cm,則該燈籠

的體積為（取兀=3）（）.24cm

4cm

h

40cm

/R

A.32000cm3B.33664cm3C.33792cm3D.35456cm3

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。

9.已知平面向量五=(1,=(3,7-3),則下列說法正確的是()

A.|a+b|=2V~7B.b?(h—a)=6

C.2與3的夾角為亨D.2在B上的投影向量為頡

1

10.如圖1,在等腰梯形4BCD中，AB//CD,DA=AB=BC=^CD,E為CD中點(diǎn)，將△D4E沿4E折起，使

。點(diǎn)到達(dá)P的位置(點(diǎn)P不在平面力8CE內(nèi))，連接PB,PC(如圖2),則在翻折過程中，下列說法正確的是()

A.8c〃平面P4E

B.PB1AE

C.存在某個(gè)位置，使PC,平面P4E

D.PB與平面4BCE所成角的取值范圍為(0,今

11.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镽,/(x—1)為奇函數(shù)，/(久+1)為偶函數(shù)，當(dāng)％6(—1,1］時(shí)，/(x)=—/+1,

則下列結(jié)論正確的是()

A./(1)=5|B.點(diǎn)(3,0)是函數(shù)f(x)的一個(gè)對(duì)稱中心

C./(%)在(6,8)上為增函數(shù)D.方程/(x)+Igx=0僅有6個(gè)實(shí)數(shù)根

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知函數(shù)中)=｛圖蕓j；＞2財(cái)⑷=一.

13.甲、乙兩支羽毛球隊(duì)體檢結(jié)果如下：甲隊(duì)的體重的平均數(shù)為60kg,方差為100,乙隊(duì)體重的平均數(shù)為

64kg,方差為200,又已知甲、乙兩隊(duì)的隊(duì)員人數(shù)之比為1：3,那么甲、乙兩隊(duì)全部隊(duì)員的方差等于

14.如圖，|麗=|函=1，(甌函=:，點(diǎn)C在以。為圓心的圓弧4B上運(yùn)動(dòng),

則5?方的取值范圍是.

O

四、解答題：本題共4小題，共62分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題13分)

已知函數(shù)/'(x)=2sinxcosx+2V_3cos2x—y/~3.

(1)求/'(%)的圖象的對(duì)稱中心和對(duì)稱軸；

(2)當(dāng)％e[-睛]時(shí),求/(%)的最值.

16.(本小題15分)

.1

已知△ABC的內(nèi)角4B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,△ABC的面積為2a(csinC+6s譏B—as譏力).

(1)求4

(2)若a=2,且△ABC的周長(zhǎng)為5,設(shè)D為邊BC中點(diǎn)，求4D.

17.(本小題17分)

如圖，在三棱錐P-2BC中，P21平面ABC,AC1BC,PA=AC=1,BC=y[2.

(I)求三棱錐P—48c的體積；

(II)求證：平面R4cl平面PBC；

(III)設(shè)點(diǎn)。在棱PB上，AD=CD,求二面角。一AC—B的正弦值.

18.(本小題17分)

已知定義域?yàn)?=(-OO,0)U(0,+8)的函數(shù)/(X)滿足對(duì)任意久1，X26(-00,0)U(0,+00),都有/(%1久2)=

Xlf(X2)+X2f(x1).

(1)求證：/(x)是奇函數(shù)；

(2)設(shè)9(久)=?,且X>1時(shí)g(x)<0,

①求證：g(%)在(0,+8)上是減函數(shù)；

②求不等式g(2%-1)>g(3%)的解集.

參考答案

1.D

2.A

3.B

4.0

5.B

6.D

1.B

8.F

9.ABD

10.ABD

11.BCD

12.1

13.178

1

14.[--,0]

15.解：⑴由題意，得/(%)=2sinxcosx+2V_3cos2%—V-3=sin2x+yj~^cos2x=2sin(2x+號(hào)).

令2%+J=kri(keZ)，解得％=-?+”(k￡Z),

3oZ

所以函數(shù)的對(duì)稱中心為(―2+:,0)(/cEZ).

令2x+\=kn+(fcEZ),%=亨+，(/c€Z),

所以函數(shù)的對(duì)稱軸方程為+?kGZ)；

(2)當(dāng)％€[冶,芻時(shí),2x+E

所以sin(2%+^)6[―苧,1],

當(dāng)2%+g=-狎％=—軻，函數(shù)/(%)取得最小值為一門；

當(dāng)2%+號(hào)=3即％=工時(shí)，函數(shù)/(%)取得最大值為2.

11

16.解：(1)依題意，-a(csinC+bsinB—asinA)=-absinC,

所以csiziC+bsinB-asinA=bsinC,

由正弦定理可得，c2+h2—a2=be.

由余弦定理，c2+b2—a2=2bccosA,解得cos/=

因?yàn)?C(0,7T),所以/=全

(2)依題意，b+c=5—a=3,

因?yàn)閏?+—兒=(b+c)2—3bc=a2,解得be=

因?yàn)闅v=g(荏+而)，

所以前2=；須+硝2="乎=小沁=:1=也

所以2。=萼.

6

17.(1)解：因?yàn)?C1BC,AC=1,BC=^2,

所以S—BC—x1xV-2=

因?yàn)镻A1平面ABC,

1CC

X1X

所以三棱錐P-ABC的體積U=gPA?SNBC3-2-6

(II)證明：因?yàn)镻力，平面ABC,BCu平面PBC,

所以PA1BC,

又ACA.BC,PAnAC=A,PA,4Cu平面P4C,

所以8C，平面P",

因?yàn)锽Cu平面PBC,

所以平面PAC_L平面PBC.

(Ill)解：過點(diǎn)D作。E14B于E,取AC的中點(diǎn)F,連接EF,EF,

因?yàn)镻H1平面4BC,PAc.^-^PAB,

所以平面R4B1平面力BC,

又平面P4Bn平面ABC=AB,DEu平面P4B,

所以DE1平面ABC,DE//PA,

所以O(shè)F在平面48c上的投影為EF,

因?yàn)?D=CD,且F是AC的中點(diǎn)，所以。F12C,

所以EF1AC,

所以NDFE是二面角D-4C-B的平面角，

因?yàn)镋F14C,ACLBC,F是力C的中點(diǎn)，所以E是4B的中點(diǎn)，EF=；BC=號(hào),

又DEHPA,所以。是PB的中點(diǎn)，DE=jp/l=|,

在Rt△DE尸中，DF=yjDE2+EF2=

2

1

所以siMDFE=^=^=早’

~T

即二面角D-AC-8的正弦值為?.

1

18.解：(1)取%1=%2=1，可得f⑴=o,取=%2=—L可得/(T)=一寸⑴=0-

取第1=X,%2=—1，可得/(—%)=-/(%)+x/(—1)=—/(%).

???/"（%）是奇函數(shù).

⑵①/（尤）是奇函數(shù)，g。）=