2024-2025學(xué)年重慶市某中學(xué)高一數(shù)學(xué)上學(xué)期開學(xué)考試卷（附答案解析）

2024-2025學(xué)年重慶市南開中學(xué)高一數(shù)學(xué)上學(xué)期開學(xué)考試卷

(試卷滿分：100分時間：90分鐘)

一、選擇題：本題共8小題，每小題3分，共24分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題

目要求的.

1.一個四邊形的四邊長依次為。，b,c,d,且(”c)+他-4=°,則這個四邊形一定為()

A.平行四邊形B.矩形

C.菱形D.正方形

2.若4/—(左+1)%+9能用完全平方公式因式分解，則上的值為()

A.±6B.±12C.一13或11D.13或一11

3.把/_1+2切+_/分解因式的結(jié)果是()

A.(x+l)(x-l)+j(2x+B.(x+j+l)(x-j-l)

C.(x-y+l)(x-y-1)D.(x+y+l)(x+y-1)

4.同x4+JW的結(jié)果在哪兩個連續(xù)整數(shù)之間()

A.7與8B.8與9C.9與10D.10與11

5.將拋物線J=X2-2X+3通過某種方式平移后得到拋物線y=(x-4『+4,則下列平移方式正確的是

()

A.向上平移2個單位長度，再向右平移3個單位長度

B.向上平移2個單位長度，再向右平移2個單位長度

C.向上平移3個單位長度，再向右平移2個單位長度

D.向上平移3個單位長度，再向右平移1個單位長度

b—1a—1

6.若實數(shù)awb,且a,b滿足/+5=0,/-86+5=0，則代數(shù)式----F-的值為()

a-1b-1

A.2B.-20C.2或一20D.2或20

3

7.若不等式2旅9日—§<()對一切實數(shù)X都成立，則實數(shù)上的取值范圍是()

A—3(左<0B.-3<^<0C.-3<k<0D.左<—3或左20

x-a,八

------1>0

2

8.若關(guān)于x的不等式組《無解，且一次函數(shù)歹=（a-5）x+（2-a）的圖象不經(jīng)過第一象限,

4a+2x<之

-3-<

則符合條件的所有整數(shù)。的和是（）

A.7B.8C.9D.10

二選擇題：本題共3小題，每小題5分，共15分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全

部選對的得5分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分.

9.我們定義一種新函數(shù)，形如^=|"2+歐+4（。70,62—4收〉0）的函數(shù)叫做“鵲橋”函數(shù).小麗同學(xué)

畫出了“鵲橋”函數(shù)了=卜2-2x-3］的圖象（如圖所示），并寫出下列四個結(jié)論，其中正確的結(jié)論是（）

A.圖象與y軸的交點為（0,3）

B.圖象具有對稱性，對稱軸是直線X=1

C.當(dāng)或X23時，函數(shù)值了隨x值的增大而增大

D.當(dāng)x=l時，函數(shù)的最大值是4

10.已知不等式3ax2+2ax+l〉0，則下列說法正確的是（）

A.若a=—1,則不等式的解集為1-1,；

B.若不等式的解集為1-2,g

貝Ua=——

8

C.若不等式的解集為（石,9）,則x/2>0

2

D.若不等式的解集為（玉，|x+Xi|+卜—司》§

11.已知拋物線y=；/-6x+c,當(dāng)x=l時，><0；當(dāng)x=2時，y<0.下列說法正確的是（

A.b2<2c

2

3

B.若c〉l,則b>—

2

C.已知點4（叫，〃1）,5（加2，%）在拋物線了=3一+bx+c上，當(dāng)叫〈加2<6時，&>巧

1,

D.若方程7廣一區(qū)+。=0的兩實數(shù)根為七,》2，則再+》2〉3

三、填空題：本題共3小題，每小題3分，共9分.

12.多項式2/-4砂+4y2+6x+25的最小值為.

13.記△4BC的內(nèi)角/,B,C的對邊分別為a,b,c,已知bsinZcosC=—asinB,ab=6,貝!l△4BC

2

的面積為.

14.對于每個x,函數(shù)y是必=-》+6,外=-2—+4x+6這兩個函數(shù)的較小值，則函數(shù)y的最大值是

四、解答題：本題共5小題，共52分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.已知關(guān)于x的一元二次方程x2-2kx+k2+2=2（l-x）有兩個實數(shù)根X],聲.

（1）求實數(shù)后的取值范圍；

（2）若方程的兩個實數(shù)根匹,》2，滿足卜1+馬|=再入2一6,求左的值.

16.已知函數(shù)弱=2x+a.

x+1

（1）當(dāng)x>-1時，函數(shù)值歹隨X的增大而增大.求。的取值范圍；

（2）若a=l,求xe[0,2]時，函數(shù)值歹的取值范圍.

17.已知二次函數(shù)y=a/+6x+c的圖象經(jīng)過點N（2,c）,

（1）求該拋物線的對稱軸；

（2）若點（〃/J和點（〃-2,%）均在該拋物線上，當(dāng)〃<2時.請你比較%,為的大小;

（3）若c=l,且當(dāng)—l<x<2時，y有最小值;，求。的值.

18.已知。石，求2/_8a+l的值，小明是這樣分析與解答的：

.，.a=2+16=_（2__+_百k2）（H2_-_6__）=2-7?3'

3

a-2=—A/3

???（a-2）;3,即。2—公+4=3，

-4。=-1，

2a2-8a+l=2（q2-4a）+l=2x（-1）+1=-1.

請你根據(jù)小明的分析過程，解決如下問題：

（、1）若a=-,求3a②-12a—1的值；

V5-2

1111

（2）求〒一+7一產(chǎn)+〒-=+---+^=~『的值；

V2+1V3+V2V4+AMVlOO+y/99

（3）比較J2025—J2024與J2024—J2023的大小,并說明理由.

19.已知某二次函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)為（3,-4）,且圖象經(jīng)過點（0,5）.

（1）求該二次函數(shù)的解析式，

（2）若當(dāng)2Kx〈/時，該二次函數(shù)的最大值與最小值的差是9,求f的值；

（3）已知點M（2,加）,N（5,-4）,若該函數(shù)圖象與線段只有一個公共點，求加的取值范圍.

4

【答案】

1.A

【分析】由非負數(shù)和為零的意義得a-c=0,6-d=0,由平行四邊形的判定方法即可求解.

【詳解】v(a-c)2+|Z?-c/|=0,

..a—c—0,b—d=0,

?，a=c,b=d,

???四邊形一定是平行四邊形.

故選：A.

2.C

【分析】由題意可知，關(guān)于X的方程4--(k+l)x+9=0有兩個相等的實根，可得出△=(),即可求

得實數(shù)左的值.

【詳解】由題意可知，關(guān)于x的方程4/-化+l)x+9=0有兩個相等的實根，

則A=(左+1)2—4x4x9=(k+1)2—12?=0,解得左=11或一13.

故選：C.

3.D

【分析】觀察發(fā)現(xiàn)：一、三、四項一組，符合完全平方公式，然后運用平方差公式繼續(xù)分解.

［詳解］x2-l+2xy+y2=(x2+2xy+.v2)-1=(x+j)2-l=(x+^+l)(x+y-l).

故選：D.

4.C

【分析】根據(jù)二次根式的乘法和二次根式的性質(zhì)化簡再估算血的大小，進一步求解.

【詳解】V50x.f+V18=572X—+3A/2=5+372,

V22

4<372<5?

.-.9<5+372<10.

故選：C.

5

5.A

【分析】將原二次函數(shù)整理為用頂點式表示的形式，根據(jù)二次函數(shù)的平移法則即可判斷.

【詳解】函數(shù)了=/—2x+3=(x—1了+2,對稱軸軸為x=l,頂點為(1,2),

函數(shù)y=(x—4)?+4,對稱軸為x=4,頂點為(4,4),

故將拋物線y=x2-2x+3向上平移2個單位長度，再向右平移3個單位長度，

得到了=卜—4『+4的圖象.

故選：A

6.B

【分析】

b—Xa—1

利用韋達定理可求-—+--的值.

a-\b-\

【詳解】因為/一8。+5=0，尸―86+5=0，故為方程丁―8x+5=0的兩個根，

+b=8,ab=5.

又b-1a-\9-1)~^a+by-2^a+b^-2ab+2

a-\b-\ab-^a+b^+\ab-^a+b^+\

64-16-10+2”

=------------------=—20,

5-8+1

故選：B.

【點睛】本題考查一元二次方程的解、韋達定理，注意利用同構(gòu)的思想來構(gòu)建方程，另外注意將代數(shù)式

整合成與兩根和、兩根積有關(guān)的代數(shù)式，本題屬于基礎(chǔ)題.

7.C

,3

【分析】由2日2十質(zhì)—耳<。對一切實數(shù)了都成立，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)分類討論進行求解.

,3

【詳解】解：2乙一+笈-§<0對一切實數(shù)x都成立，

3一

①左=0時，一一<0恒成立，

8

fk<0

②左w0時，L,”八，解得一3〈左<0,

△=左2,+3左<0

綜上可得，—3〈左K0,

故選：C.

6

8.C

【分析】先解不等式組求出。的取值范圍,再根據(jù)一次函數(shù)的圖象不經(jīng)過第一象限求出a的取值范圍，從

而可得符合條件的所有整數(shù)然后求和即可得到答案.

產(chǎn)―1>0①

【詳解】因為L+2X丁，

2②

解不等式①得：x>a+2,

解不等式②得：x<3-2a,

V此不等式組無解，

:.a+2>3-2a,解得a>—,

3

?一次函數(shù)>=(a—5)x+(2—a)的圖象不經(jīng)過第一象限，

o-5<0

''cz解得<5,

2-a<0

綜上所述：2<a<5,

所以符合條件的所有整數(shù)a的和是2+3+4=9

故選：C

9.ABC

【分析】代入檢驗函數(shù)圖象上的點判斷選項A；觀察圖象結(jié)合二次函數(shù)對稱軸公式求解選項B；觀察圖

象變化情況判斷選項C；由函數(shù)圖象得最值情況判斷選項D.

【詳解】對于A,點(0,3)的坐標(biāo)滿足函數(shù)了=卜2一2》-3],所以函數(shù)圖象與y軸的交點為(0,3),A選項

正確；

對于B,觀察圖象可知，圖象具有對稱性，對稱軸用二次函數(shù)對稱軸公式求得是直線x=l,故B選項

正確；

對于C,根據(jù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)當(dāng)-lWxWl或X23時，函數(shù)值y隨x值的增大而增大，故C選

項正確；

對于D,由圖象可知，當(dāng)x<-l時，函數(shù)值y隨x值的減小而增大，當(dāng)x>3時，函數(shù)值y隨x值的增大

而增大，

均存在大于頂點縱坐標(biāo)的函數(shù)值，故當(dāng)x=l時，函數(shù)值4并非最大值，D選項不正確.

故選：ABC.

7

10.ABD

【分析】對于A解一元二次不等式即可判斷，對于BC根據(jù)不等式的解集可知對應(yīng)一元二次方程的根,

由根與系數(shù)的關(guān)系求解即可判斷，對于D,根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系及絕對值不等式即可判斷.

【詳解】對于A,a=—1時，不等式—3/—2x+l〉0，即3/+2X—1<0，即（3x—+<0,

解得-所以不等式的解集為［-1,；］,A正確；

對于B,若不等式的解集為1—2,，］,則二次函數(shù)y=3辦？+2"+1的圖象開口向下，即。<0,

4141

且3ax?+2ax+1=0方程的兩根為-2,；,故—=—2x—,所以a二一二,B正確；

33。38

對于C,若不等式的解集為（國,X2），則二次函數(shù)丁=3a*+2ax+l的圖象開口向下，即。<0,

且3ax?+2ax+1=0方程的兩根為國,％2，故玉％=—<0,C錯誤；

3a

對于D,若不等式的解集為（為,9）,則二次函數(shù)y=3a/+2辦+1的圖象開口向下，即。<0,

2

且3ax?+2辦+1=0方程的兩根為西,X2，故再+/=—§

所以,+苞|+,_々|2|（》+西）—（》_工2）|=|苞

當(dāng)且僅當(dāng)（x+xj（x—/）<0時，等號成立，D正確.

故選：ABD.

11.BC

【分析】對于A,利用根的判別式可判斷；對于B,把％=1,代入，得到不等式，即可判斷；對于C,求得拋

物線的對稱軸為直線X=6,利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可判斷;對于D,利用根與系數(shù)的關(guān)系即可判斷.

【詳解】對于A,:a=L〉0,開口向上，且當(dāng)X=1時，y<0；當(dāng)X=2時，y<0,

2

1,

拋物線y=-x2-bx+c與x軸有兩個不同的交點，

2

N=b~—4ac=b2—2c>0,

:.b2>2c,故A不正確;

對于B；當(dāng)久=1時，y<0,

8

—6+。<0,即b>—Fc,

22

3

?.-c>l：.b>—,故B正確；

對于C,拋物線y=-x2-bx+c的對稱軸為直線x=b，且開口向上，

當(dāng)x<6時，J的值隨x的增加反而減少，

當(dāng)叫<m2Vb時，nx〉%，故C正確；

對于D,???方程-x2-bx+c=0的兩實數(shù)根為為,馬,

/.再+%2=26,

3

???當(dāng)。>1時，/?>-,.*.Xj+x2>3,

但當(dāng)c<1時，則b未必大于日,則%+%〉3的結(jié)論不成立，故D不正確；

故選：BC.

12.16

【分析】將多項式分別按照x，V的二次項與x的二次項進行配方，分析即可求得.

【詳解】2x2-4xy+4y~+6x+25=(x2-4xy+4y2+(x2+6x+9)+16

=(x-2y)’+(x+3『+16,

因?qū)θ我鈱崝?shù)x/,都有(x—20,(x+3)2>0成立，

3

x-2y=0y——

故當(dāng)且僅當(dāng)<'，即<

M2時，多項式取得最小值16.

x+3=0

x=-3

故答案為：16

13.述

2

［分析］根據(jù)正弦定理化簡bsinAcosC=-asinB可得.

2

【詳解】由正弦定理，sinBsin/cosC=—sin/sinB,

2

因為sinZ>0,sinB〉0,故cosC=1.

2

又Cw(O,兀)，故。=］,

9

故Sv=—cibsinC=?

NABC22

故答案為：巫

2

14.6

【分析】根據(jù)函數(shù)解析式，在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出大致圖象，然后根據(jù)圖象即可解答.

【詳解】函數(shù)必=-》+6,8=一2爐+4x+6的圖像如圖，函數(shù)y取兩個函數(shù)的較小值，圖像是如圖

的實線部分，兩個函數(shù)圖像都過（0,6）點.

當(dāng)x<0時，必函數(shù)y的最大值是6,

當(dāng)x>0時，函數(shù)夕無論在必=-x+6上取得，還是外=一2》2+4x+6上取得，總有y<6,即x>0時,

函數(shù)y的圖像是下降的.

所以函數(shù)了的最大值是6.

故答案為：6.

2

【分析】（1）利用一元二次方程有實根的等價條件，列出不等式求解即得.

（2）利用韋達定理，結(jié)合已知列出方程并求解即得.

【小問1詳解】

方程2依+左2+2=2（1—X）,整理得工2—2（左一l）x+左2=0,

由該方程有兩個實數(shù)根看,》2,得A=4（左一1）2—4/20,解得左<g,

所以實數(shù)人的取值范圍是左V，.

2

【小問2詳解】

由再,％2是方程%?—2（左一1）%+左2=0的兩個實數(shù)根，得％1+9=2（左T1W=/,

10

而ki+^l=再入2一6，則|2(左一1)|=左2_6,由⑴知，2(左-1)<0,

于是F+2左一8=0，又左<3，解得上=—4，

所以k的值為一4.

16.(1)a<2(2)1,-

_3_

【分析】(1)將^=生卬變形為了=2+巴二，根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)可求出。的取值范圍;

x+lX+1

(2)將〃=1代入到函數(shù)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性即可求出函數(shù)的值域.

【小問1詳解】

_2x+a_2(x+l)+a-2a-2

y—-------------------------zH--------，

X+1x+lX+1

因為當(dāng)X>-1時，函數(shù)值歹隨X的增大而增大，

根據(jù)反比例函數(shù)性質(zhì)可知。-2<0,即a<2,

所以a的取值范圍是。<2.

【小問2詳解】

因為。=1,所以歹二^—=2-------,

x+lX+1

因為當(dāng)xe[0,2]時，函數(shù)值y隨x的增大而增大，

所以當(dāng)x=0時，y有最小值2———=1；當(dāng)x=2時，歹有最大值2-——

0+12+13

所以當(dāng)。=1,xe[0,2]時，函數(shù)值了的取值范圍是1,1.

22

17.(1)x=l；(2)答案見解析；(3)—或——.

39

【分析】(1)把(2,c)代入二次函數(shù)解析式，求出a,b的關(guān)系，再求出對稱軸.

(2)把(〃/J和(〃-2,%)分別代入二次函數(shù)解析式，作差分類即可判斷.

(3)按二次項系數(shù)的正負分類求出最小值即可得解.

【小問1詳解】

由二次函數(shù)y=ax?+bx+c的圖象過點Z(2,c),得4a+26+c=c,解得b=-2a,

所以該拋物線的對稱軸為直線x=-2,即x=l.

2a

11

【小問2詳解】

由(1)得拋物線的解析式為y=。/一24%+。，

22

依題意，必=an-2an+c,y2=a(n-2)一2。(〃-2)+。,

則必一%=an?-lan+c-[a(ji-2)2-2a(n-2)+c]=4Q(〃一2),而〃<2,

當(dāng)?！?時，有4a(〃-2)<0,因此必<%；

當(dāng)a<0時，有4a(〃-2)>0,因此%>出,

所以當(dāng)?！?時，必<%；當(dāng)〃<0時，%〉丹.

【小問3詳解】

由。=1,得拋物線的解析式為V=辦2一2依+1,

12

當(dāng)?！?時，則當(dāng)x=l時，》有最小值，即a-2a+1=§,解得。=§；

12

當(dāng)〃<0時，即當(dāng)％=-1時，歹有最小值，即。+2a+l=§,解得。二一,，

22

所以Q的值為一或.

39

18.(1)2(2)9(3),2025—42024<J2024—42023，理由見解析

【分析】(1)根據(jù)小明的分析過程，a=^—>化為。=6+2，則a-2=石，兩邊平方得

75—2

a2-4a=1,由3a?—12a—1=3(/—4aj—1即可求解；

1111_

⑵根據(jù)小明的分析過程’將R+行近+而正+…+而E的每一項分母有理化’

即可求得結(jié)果；

(3)因為J2025〉J2024〉,2023，可得-2025--2024〉0，J2024-J2023〉0，由

,——1；——^=72025+72024,；——1,——=72024+72023,可得結(jié)論.

V2025-V2024J2024-J2023

【小問1詳解】

12

a—2=y/5，

?，.(a-2)2=5,即。2-4a+4=5，a2-4a=1

3a2—12a-1=3(/—4a)-1=3x1-1=2.

【小問2詳解】

1111

------------1-----------------1----------------p—?-----------------------

V2+1V3+V2C+6AA00+A/59

V2-1V3-V2V4-V3

V100-V99

???-j-----------------------------------

(VT00+V99)(V100-A/99)

=V2-l+V3-V2+V4-^+???+JOO-M=1=9.

【小問3詳解】

J2025-J2024<J2024-42023，理由如下：

1/2025>2024>2023，，J2025>J2024>J2023，

V2025-V2024>0-J2024-J2023〉0，

1