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文檔簡(jiǎn)介
抽象函數(shù)
1、函數(shù)單調(diào)性的定義與逆用;
2、函數(shù)奇偶性的定義與性質(zhì);
教學(xué)目標(biāo)
3、抽象函數(shù)性質(zhì)的提取,抽象函數(shù)不等式的轉(zhuǎn)換;
4、會(huì)解決轉(zhuǎn)化后的不等式恒成立問(wèn)題;
重點(diǎn)抽象函數(shù)性質(zhì)的判定和應(yīng)用
難點(diǎn)抽象函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用
-知識(shí)梳理
一、定義:抽象函數(shù)問(wèn)題,一般指沒(méi)有給出具體函數(shù)解析式,只給出了其他一些條件(如函數(shù)定義域、解
析遞推式、取值情況、性質(zhì)、圖像特征等),研究解決這個(gè)函數(shù)的解析式、性質(zhì)或與函數(shù)相關(guān)的參數(shù)范圍、
求值、不等式(或方程)解、圖象、比較大小等問(wèn)題.這類問(wèn)題具有概念抽象、綜合性強(qiáng)、方法靈活等特點(diǎn).
抽象函數(shù)問(wèn)題既是學(xué)習(xí)的難點(diǎn),也是高考的熱點(diǎn),認(rèn)真學(xué)習(xí)它是提高學(xué)生數(shù)學(xué)能力和創(chuàng)新能力的有效途徑.
二、常見(jiàn)的抽象函數(shù)模型:
①正比例函數(shù)模型:f(x)=kx,k^O------f(x+y)=f(x)±f(y).
②幕函數(shù)模型:/(x)=x*——/(xy)=/(x)-/(y);/f-V4H.
⑴Ay)
③指數(shù)函數(shù)模型:/(%)=優(yōu)------/(x+j)=/(x)./(y);=黑.
(、
④對(duì)數(shù)函數(shù)模型:/(%)=iogax—/(孫)=/(九)+,(y);f-=?/(,).
/(x)+/(y)
⑤三角函數(shù)模型:f(x)=tanx------f(x+y)=
三、歸納方法:
1、觀察不等式兩端的特點(diǎn),化為同類函數(shù);
2、借助函數(shù)的單調(diào)性,脫掉“/”;
3、注意定義域及單調(diào)區(qū)間,特別是對(duì)數(shù)函數(shù)中真數(shù)大于0.
(一)抽象函數(shù)的定義域、遞推關(guān)系、值域
【例1】⑴已知函數(shù)/(%)的定義域?yàn)閇0,4],求函數(shù)y=/(x+3)+/(/)的定義域?yàn)?/p>
(2)已知函數(shù)/(必―2x+2)的定義域?yàn)閇0,3],求函數(shù)/(x)的定義域.
33
【例2】(1)已知定義在R上的函數(shù)/(x)的值域?yàn)椋?—?jiǎng)t函數(shù)/(x+1)的值域?yàn)?
28
(2)設(shè)g(x)是定義在R上,以1為周期的函數(shù),若函數(shù)f(x)=x+g(x)在區(qū)間[3,4]上的值域?yàn)椋?2,5],
則/(x)在區(qū)間[-10,10]上的值域?yàn)?
7
【例3】已知函數(shù)/(尤)是定義在(0,+oo)上的單調(diào)函數(shù),則對(duì)任意(0,+oo)都有〃/(x)+—)=-1成立,則/(1)
x
=()
A.-1B.-4C.-3D.0
【例4】已知定義在R上的奇函數(shù)/(x)且滿足/(l+x)=-/(3-x),且/(1)/0,若函數(shù)g(x)=x6+f(1)
cos4x—3有且只有唯一的零點(diǎn),則/'(2018)+“2019)=()
A.1B.-1C.-3D.3
[例5]已知函數(shù)/(x)滿足:f(x+y)=/(x).f(y)并且f(1)=1,那么:
喘+3f+喘+…+鵬的值為()A-201910104038D-3030
」鞏固訓(xùn)需
1、已知函數(shù)y=/(2x+l)的定義域?yàn)椋?』,求函數(shù)y=/(2x—3)的定義域;
2、設(shè)g(x)是定義在R上,以1為周期的函數(shù),若函數(shù)/(x)=x+g(x)在區(qū)間[3,4]上的值域?yàn)椋?2,5],
則/(%)在區(qū)間[-10,10]上的值域?yàn)?
3、設(shè)定義在尺上的函數(shù)/(X)的值域?yàn)锳,若集合A為有限集,且對(duì)任意玉、x2eR,存在weR使得
/(菁)/(/)=/(£),則滿足條件的集合A的個(gè)數(shù)為()
D.無(wú)窮個(gè)
(二)抽象函數(shù)的性質(zhì)
(例題精講
【例6](1)〃龍)是定義在(—1,1)上的奇函數(shù)且單調(diào)遞減,若y(2—。)+/(4-4)<0,則。的取值
范圍是()
⑵己知偶函數(shù)在區(qū)間[0,+8)上單調(diào)遞增,則滿足/(2x-l)<f的取值范圍是(
12121212
353353253253
【例7】設(shè)函數(shù)/(%)是定義在R上的偶函數(shù),且對(duì)任意的xeR恒有〃x+l)=/(x—1),已知當(dāng)xe[0,l]
時(shí),=則
①2是函數(shù)/(%)的一個(gè)周期;
②函數(shù)/(%)在(1,2)上是減函數(shù),在(2,3)上是增函數(shù);
③函數(shù)八司的最大值是1,最小值是0;
④%=1是函數(shù)/(%)的一個(gè)對(duì)稱軸;
其中所有正確命題的序號(hào)是.
【例8】用min{a,Z?)表示a/兩數(shù)中的最小值,若函數(shù)/(%)=min{|x|,|x+?|}的圖像關(guān)于直線x=g對(duì)稱,
則才的值為()
A.-1B.1C.-2D.2
【例9】已知函數(shù)/'(X)滿足4f(x)f(y)=/(x+y)+/(x-y),(x,ywR),則/(2015)=()
1/------------
【例10】定義在R上的偶函數(shù)〃可滿足y(x+8)=z+J,(x)—/⑴,則“2020)=
風(fēng)固訓(xùn)林
1、設(shè)定義在。上的兩個(gè)函數(shù)/(x)、g(x),其值域依次是[a,勿和[c,d],有下列4個(gè)命題:
①“a〉d”是“/(西)〉g(%)對(duì)任意和x2e。恒成立”的充要條件;
②“a>d”是“/(xj〉g(z)對(duì)任意和X[e。恒成立”的充分不必要條件;
③“a〉d”是“/(x)>g(x)對(duì)任意XGD恒成立”的充要條件;
④“a>d”是“/(x)>g(x)對(duì)任意xeD恒成立”的充分不必要條件.
其中正確的命題是(請(qǐng)寫(xiě)出所有正確命題的序號(hào)).
2、己知定義在R上函數(shù)〃尤)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,且/(l+x)+/(2—x)=0,若/⑴=1,則
/(1)+/(2)+/(3)++/(2020)=()
A.0B.1C.673D.674
3、已知函數(shù)/(九)是R上的偶函數(shù),對(duì)于任意xcR都有/(%+6)=/(x)+/(3)成立,當(dāng)王,元2£[°,3],
且再W%時(shí),都有J—八'>0.給出以下三個(gè)命題:
玉一X2
①直線x=-6是函數(shù)/(%)圖像的一條對(duì)稱軸;
②函數(shù)/(X)在區(qū)間[-9,-6]上為增函數(shù);
③函數(shù)/⑴在區(qū)間[-9,9]上有五個(gè)零點(diǎn).
問(wèn):以上命題中正確的個(gè)數(shù)有().
A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)
4、已知函數(shù)/(尤)是R上的減函數(shù),且y=/(九-2)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2,0)成中心對(duì)稱.若",v滿足不等式組
愕上口。bi+V2的最小值為.
5、已知函數(shù)了(無(wú))對(duì)任意實(shí)數(shù)x、y都有〃x+y)=/(x)+/(y),且當(dāng)x<0時(shí),/(x)<0,f(1)=5.
(1)判斷函數(shù)/(尤)的奇偶性;
(2)求/(x)在區(qū)間[-2,3]上的值域.
(三)抽象函數(shù)綜合
,例題精講
【例11]設(shè)函數(shù)y=/(x)的定義域是H,對(duì)于以下四個(gè)命題:
⑴若y=/(X)是奇函數(shù),則y=/(/(x))也是奇函數(shù);
⑵若y="X)是周期函數(shù),則y=/(/(x))也是周期函數(shù);
⑶若丁=/(力是單調(diào)遞減函數(shù),則y=/(/(x))也是單調(diào)遞減函數(shù);
(4)若函數(shù)y=/(x)存在反函數(shù)y=尸(%),且函數(shù)y=/(x)-尸⑴有零點(diǎn),則函數(shù)y=/(x)—x也
有零點(diǎn).
其中正確的命題共有()
A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)
【例12】對(duì)于定義在R上的函數(shù)〃光),如果存在實(shí)數(shù)%使得/(a+x>/(a—力=1對(duì)任意實(shí)數(shù)xeR恒
成立,則稱/(%)為關(guān)于a的“二函數(shù)”.已知定義在R上的函數(shù)/(%)是關(guān)于。和1的“7函數(shù)”,且當(dāng)行[0』]
時(shí),外力的取值范圍為[1,2],則當(dāng)%?—2,2]時(shí),〃力的取值范圍為.
【例13】定義在尺上的函數(shù)/(x)為增函數(shù),對(duì)任意a,beR者B有/3+與=/(a)+/3)+左(左為常數(shù))
(1)判斷左為何值時(shí),/(x)為奇函數(shù),并證明;
(2)設(shè)左=—1,/(尤)是R上的增函數(shù),且f(1)=2,若不等式/(znP-2m:+3)>3對(duì)任意xe(0,+oo)恒
成立,求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.
(3)若——-—,neN*,S,為C”的前〃項(xiàng)和,求正整數(shù)左,使得對(duì)任意"eN*均有/(SJ./(S“).
2""("+1)
【例14]已知/(x)是定義在R上,滿足/(x+y)=/(x)"(y),當(dāng)尤>0時(shí),0</(x)<l
(1)求/(0);
(2)x<0時(shí),比較/(x)與1的大小;
(3)討論/(x)在R上的單調(diào)性;
(4)/(3)=-,求”2014)
O
(5)%=/(0)且/(4+1=7(^'求4
【例15】定義在尺上的函數(shù)/(x)為增函數(shù),對(duì)任意a,beR都有/(”+與=/(幻+/3)+左(左為常數(shù))
(1)判斷女為何值時(shí),,(x)為奇函數(shù),并證明;
(2)設(shè)左=一1,/(%)是尺上的增函數(shù),且/(1)=2,若不等式/(爾2_2如+3)>3對(duì)任意了£(0,+00)恒
成立,求實(shí)數(shù)加的取值范圍.
(3)若C“=」--------,neN+,Sn為Cn的前〃項(xiàng)和,求正整數(shù)k,使得對(duì)任意neN*均有/⑸)⑸).
2n(n+1)
鞏固訓(xùn)林
/[a,a<b/、/、
1、定義/(。/)x=,已知函數(shù)/(尤),g(x)的定義域都是H,現(xiàn)有下述命題:
①若"%),g(x)都是奇函數(shù),則網(wǎng)/(%),g(x))為奇函數(shù);
②若/(%),g(x)都是偶函數(shù),則/(/(x),g(x))為偶函數(shù);
③若/(%),g(x)都是增函數(shù),則尸(/(x),g(x))為增函數(shù);
④若/(%),g(x)都是減函數(shù),則/(/(x),g(x))為減函數(shù);
則這些命題中,真命題的個(gè)數(shù)為個(gè).
2、已知偶函數(shù)/(%)對(duì)任意xeR都有〃x+6)—〃x)=2〃3),貝q/(2019)=.
3、已知函數(shù)/(x)的定義域?yàn)锳,且滿足/'。+切+/。一')=2"初/'(、),且/'§)=#,/(0)^0,則
7(2021)=()
A.2021B.1C.0D.-1
4、設(shè)/'(x),g(x),〃(x)是定義域?yàn)镽的三個(gè)函數(shù),對(duì)于命題:①若/Xx)+g(x),/(%)+//(%),g(x)+〃(x)均為
增函數(shù),則/(x),g(x)/(x)中至少有一個(gè)為增函數(shù);②若/Xx)+g(x),f{x}+h{x},g(x)+/z(尤)均是以T為
周期的函數(shù),則”x),g(x),〃(x)均是以T為周期的函數(shù),下列判斷正確的是()
A.①和②均為真命題B.①和②均為假命題
C.①為真命題,②為假命題D.①為假命題,②為真命題
5、己知定義在R上的函數(shù)/(x),對(duì)任意實(shí)數(shù)項(xiàng),/都有/(玉+々)=1+/(石)+/(%),且/(1)=L
(1)若對(duì)任意正整數(shù)〃,有氏+求卬、%的值,并證明{4}為等比數(shù)列;
(2)設(shè)對(duì)任意正整數(shù)〃,有》=」一.若不等式
/(〃)
b?+l+bn+2++d“>91og2(x+l)對(duì)任意不小于2的正整數(shù)〃都成立,求實(shí)數(shù)x的取值范圍.
實(shí)戰(zhàn)演練
一、填空題
1、奇函數(shù)/(x)的定義域?yàn)锳,若/(尤+1)為偶函數(shù),且=
貝I」/(2020)+/(2021)=.
2、已知函數(shù)/(無(wú))是R上的奇函數(shù),且對(duì)任意的x都有/(x+3)=-/(x)成立,/(-2)>1,/(17)=士士
22〃+5
則實(shí)數(shù)。的取值范圍為
3、己知是定義在R上的偶函數(shù),且在區(qū)間(-8,0]上單調(diào)遞增,若實(shí)數(shù)。滿足了(log2|a-l|)>/(-2),
則a的取值范圍是
4、已知函數(shù)/(無(wú))滿足:/(1)=|,對(duì)任意實(shí)數(shù)x,y都有/(x+y)+/(x-y)=2/(x)/(y),則/(1)+f(2)
+f(3)+...+/(2021)=.
Ov*
5、若對(duì)任意x,yeR,有/(x+y)=/(x)+”y),貝U函數(shù)g(x)=丁匚+/(尤)+3在[一2019,2019]上的最
x~+1
大值M與最小值機(jī)的和M+〃z=.
6、函數(shù)/(x)的定義域?yàn)?。,?duì)£)內(nèi)的任意石、x2,當(dāng)玉</時(shí),恒有f(%),,/(X?),則稱f(x)為非減函數(shù).B
知f(x)是定義域?yàn)閇0,1]的非減函數(shù),且滿足:①對(duì)任意xe[0,1],f(l-x)+f(x)=2.②對(duì)任意xe[0,
森則心+吟的值為——.
二、選擇題
7、函數(shù)/(%)是7?上的增函數(shù),點(diǎn)A(0,-l),3(3,1)是其圖象上的兩點(diǎn),則|/■(x+l)|<l的解集為()
A.(—oo,—1)'[4,+8)B.(—8,—1)[[2,+oo)
C.(-1,2)D.(1,4)
8、設(shè)函數(shù)/(尤)的定義域?yàn)镽,若對(duì)于任意實(shí)數(shù)加、〃,總有f(m+ri)=f(m)?f(n),當(dāng)x>0時(shí),0<f(x)<1,
那么以下說(shuō)法:
(1)7(0)=0;(2)/(0)=1;(3)/(%)是奇函數(shù);(4)/(x)在尺上單調(diào)遞增;
其中正確的個(gè)數(shù)是()
A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)
9、定義在(-1,1)上的函數(shù)/(無(wú))滿足/'(尤)=g(x)-g(-x)+2,對(duì)任意的玉,x2e(-l,l),石片馬,恒有
"(士)-/(9)](芯-9)>。,則關(guān)于尤的不等式/■(3尤+1)+〃*)>4的解集為()
1
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